考研数学二（线性代数）模拟试卷3（共189题）

考研数学二（线性代数）模拟试卷3（共

6套）

（共189题）

考研数学二（线性代数）模拟试卷第1

套

一、选择题（本题共8题，每题1.0分，共8分。）

1、己知2n阶行列式D的某一列元素及其余子式都等于a,则D等于（）.

A、0

B、a2

C、-a"

D、na2

标准答案：A

知识点解析：不妨设第一列元素及余子式都是a,则口=2]1人]]+22]人21+…+

a2n,A2n,l=a2—a2+...—a2=0,应选A.

2、行列式IAI非零的充分条件是（）.

A、A中所有元素非零

B、A中至少有n个元素非零

C、A的任意两行元素之间不成比例

D、以IAI为系数行列式的线性方程组有唯一解

标准答案：D

知识点解析：IAI川的充要条件是r（A）=n,r（A）=n的充要条件是AX=b有唯

一解，应选D.

3、假设A是n阶方阵，其秩（A）=r<n,那么在A的n个行向量中（）.

A、必有r个行向量线性无关

B、任意r个行向量线性无关

C、任意r个行向量都构成极大线性无关向量组

D、任何一个行向量列向量均可由其他r个列向量线性表示

标准答案：A

知识点解析：因为矩阵的秩与行向量组的秩及列向量组的秩相等，所以由r(A)=r

得A一定有r个行向量线性无关，应选A.

4、设A为n阶方阵，B是A经过若干次初等变换后所得到的矩阵，则有().

A、IAI=IBI

B、IAI#IBI

C、若IAI=0,则一定有IBI=0

D、若IAI>0,则一定有IBI>0

标准答案：C

知识点解析：因为初等变换不改变矩阵的秩，所以若IAI=0,即r(A)Vn,则

r(B)<n,即IBI=0,应选C.

5、设向量组(I)：ai，a2,...»如可由向量组(口)：Pi，历，…，由线性表示，则

().

A、若ai，。2，…，如线性无关，则rSs

B、若见，。2，…，齿线性相关，则Ws

C、若Bi，的，…，氏线性无关，则Es

D、若Pi，P2，…，伏线性相关，则Es

标准答案：A

知识点解析：因为(I)可由(II),所以(I)的秩8口］的秩，所以若ai，az，…，斯

线性无关，即(I)的秩=1•，则闫II)的秩卷，应选A.

6、设A是nxm矩阵，B是mxn矩阵,E是n阶单位矩阵,若AB=E,则().

A、B的行向量组线性无关

B、B的列向量组线性无关

C、A"=B

D、IABI=IAIIBI

标准答案：B

知识点解析：由八8=£得r(AB)=n,从而r(A)2n,r(B)Nn,又r(A)Wn,r(B)<n,

所以r(A)=n,r(B)=n,故B的列向量组线性五关，应选B.

7、非齐次线性方程组AX=b中未知量个数为n,方程个数为m,系数矩阵A的秩

为!•，则()・

A、r=m时，方程组AX=b有解

B、r=n时，方程组人*=1?有唯一解

C、m=n时，方程组AX=b有唯一解

D、r<n时，方程组AX=b有无穷多解

标准答案：A

知识点解析：t(A巨r(A),当r=m时，r(A)>r(A)=m；又r(A)Wm,所以r(A)=r(A)

=m,故AX=b有解，应选A.

8、设A为mxn矩阵且r(A)=n(nVm),则下列结论中正确的是().

A、若AB=AC,则A=C

B、若BA=CA,则B=C

C、A的任意n个行向量线性无关

D、A的任意n个行向量线性相关

标准答案：B

知识点解析：由BA=CA得(B-C)A=O,则r(A)+r(B-C)Sn,由r(A)=n得r(B

-C)=0,故8=(2,应选B.

二、填空题(本题共夕题，每题分，共9分。)

01…1

10…1

••••••

9、设n阶矩阵A=1110J,贝IAI=

标准答案：（n-l）（一l）n“

01…111…1

10-110

IA|=

••i••I»•••♦•

11-011…0

11…1

•••0

=（〃一1）（一1）1.

・•・•••

•1

知识点解析:00

0—ab

a0—c

10、ic0=.

标准答案：0

0-ab

a0—c

知识点解析：-bc0=（—a）Ai2+bA|3=aMi2+bMi3=

-b0-bc=­abc+abc=0.

II、设A,B均为n阶方阵IAI=2,IB|=-3,贝ljIA"B"-A*B/I=

(一1尸5"

标准答案：6

知识点解析:A*=IAIA"=2ALB*=IBIB-1=-3B_,,则IA“B"-A*B-

(一1尸5”

1I=I-3与电/-2与0/I=(-5)NIA-1I.IB1I=6

12、设三阶方阵A=[A],A2,A3]，其中Ai(i=l,2,3)为三维列向量，且A的行

列式IAI=-2,则行列式I—A[—2A2，2A2+3A3,—3A3+2A1I=.

标准答案：12

知识点解析：由(一A]—2A2，2A2+3A3，—3A3+2A1)=(Ai,A2，A3)

-102

-220

03-3得1—A1—2A2，2A2+3A3,—3A3+2A11=1Ai,A2，A31.

-102-102

-220=一202—4

03-303-3=12.

13、设A是三阶方阵，且IA-EI=IA+2EI=I2A+3EI=0,则I2A”一

3EI=.

标准答案：126

知识点解析：由IA-EI=IA+2EI=I2A+3EI=0得IE-AI=0,I2E

2

—AI=0,I—2E—AI=0,矩阵A的特征值为Q=l,入2=—2,九3=一

3中=3」4=+，9=一2.

2,|AI=3,A*的特征值为猫斯/人2A*—

3E的特征值为3,-6,-7,故I2A*-3E|=126.

14、设A为四阶可逆方阵，将A第3列乘3倍再与第1列交换位置，得到矩阵

B,则B/A=.

00-30

0100

1000

标准答案：00°1

10000010

01000100

00301000

知识点解析：由B=100

010001=AE3(3)E]3得B/A=E|3/E3

1000

000vo'

(0013

0100

_01000100

工=

一1000000

—Io31000

001

,,300010001

(3)A-A=E|3E3()

103

020

0'J,贝IJ「(AB)=

15、设A为4x3矩阵，且r(A)=2,而B=一

标准答案：2

103

020

知识点解析：因为IBI=-103=12和,所以B可逆，于是r(AB)=r(A)

=2.

16、向量组四=[0,4,2-k),a2=[2,3-k,1],a3=[l-k,2,3]线性相关,

则实数k=.

标准答案：6

021—A

43-A2

知识点解析：由2—613=0得k=6.

12-2

212

17、设三阶矩阵A=1304J,三维列向量a=(a,I,1)二已知Aa与a线性

相关，则a=.

标准答案：一1

知识点解析：因为Aa与a线性相关，所以Aa与。成比例，令Aa=ka,即

122aa(a-«

212112a+3=A♦

3041从而3a+4=A,解得a=-I.

三、解答题（本题共12题，每题1.0分，共12分。）

4321

-1204

21-10

18、设A=1212，求：(1)2AU+AI2-A]3；(2)AII+4A21+A31+

2A41.

21-10

204

21-10

标准答案：2AH+AI2—Ai3=2Aii+Ai2—A13+OA14=212

13211321

-10-80

42040-10-80

A”+4A2i+A”+2Aa==-2-3-1

11-100-2-3-1

-4-30

22120-4-30

5-801-3-11-3-1

1-3-1=25-80=2075=-2

2-302-30032

知识点解析•：暂无解析

19、设A为三阶方阵，A*为A的伴随矩阵，lA|=l/3,求I4A—(3A")J|.

标准答案：由A*=IAIA-1=3A”得I4A—(3A*)"I=I4A—AI=I3AI=

27IAI=9.

知识点解析：暂无解析

20、A是三阶矩阵，三维列向量组0],次，饱线性无关，满足A0]=02+B3,A02

=m+饱，AB3=B1+B2,求IA|•

标准答案：令B=(B1，的，03)，由Ap]=02+p3，Ap2=pl+p3>Ap3=pl+p2得

011011

B101101

1°L两边取行列式得IAI.IBI=IBI

AB=U110=2IBI,

因为Pl，02,饱线性无关，所以B可逆，故|Al=2.

知识点解析•：暂无解析

a”a】30i4araiza”

°21°22。23a、02202i

设A=,5=

°31033034034a“032。31

牝a43，.M°43042a4l,

00011000

01000010

Pl=，Pz-

00100100

21、10000001其中A

可逆，求BL

标准答案：由初等变换的性质得B=APIP2，则B"=P2"PJA"=P2PIA，

知识点解析：暂无解析

22、设A,B为三阶矩阵，满足AB+E=A2+B,E为三阶单位矩阵，又知A=

101

020

一10U.求矩阵B.

001

010

标准答案：由AB+E=A?+B得（A-E）B=A2-E,A-E='~X0°

因

201

030.

为IA-EI#0,所以A-E可逆，从而B=A+E=-】02

知识点解析：暂无解析

100100

B=000,p=2-10

1

23、已知.00-1,1J,AP=PB,求A与A5.

标准答案：由AP=PIM^・A=PBP'

100010000

由2-1002—10得-10

2111-41111

1000100

A=2-10—200

21116—1一1

[100

=PBSP1=PBP1=4=200

16-1

知识点解析：暂无解析

1/2000

A=01一3/4,B=1

24、设矩阵°-2/31一U满足A-I(E—BBTA/)-1C-I=

E,求C.

标准答案：由A"(E—BBTA/尸C/=E得C(E-BBTA-I)A=E,即C(A—BBb=

E,解得C=(A—BBr)-

1

00001/200

由BBT=1(0,1,-1)=01一1,A-BBT=001/4

-1.[0-1101/30

1/200100](100200][100200

由。01/4010-^001040—010003得

01/30001J1010003J[001040

200

C=003.

,040

知识点解析:暂无解析

/I2-33-1

、解方程

25'11-120

标准答案：令X=(X1，X2),

由

X\

—3*1

故*2局一1《M，好为任意常数).

A

知识点解析•：暂无解析

26、设向量组(I)：ai»a2,。3；(n)：ai，aa»04的秩分别为(I)=2,秩(H)=

3.证明向量组cq,a2，013+04的秩等于3.

标准答案：由向量组(U)的秩为3得四，a2,04线性无关，从而ai，(12线性无

美,由向量组(I)的秩为2得四，。2,线性相关，从而a3可由ai，a2线性表

示，令a3=kiai+k2a2.(ai,a?,013+04)=((11,02，kiai+k2a2+04)=(ai,a2,

10鬲1oM10机

01kt01k201k2

001、

04)由001=1和得矩阵001可逆,故r(ai，a2,。3

+a4)=r(ai，g,的)=3.

知识点解析：暂无解析

N]+Nz+2X3+3x4=1>

jj+3X2+6X3-bx4=3,

3xi-x2-^1X3+15X4=3,

x,5j210j3

27、己知线性方程组l-+12右=k2，问口和k2各取何值时,

方程组无解?有唯一解?有无穷多组解?在方程组有无穷多组解时，试求出一般解•

标准答案：

1123111231

13613024-22

A=—►

3-11530一4-M—660

0一6-129卜1

[1-5-1012k2b2一

1231

012-11

00一M+224

000342+5

(1)当k#2时,方程组有唯一解;(2)当ki=2时,

1123111231

012-11012-11

―►

0001200012

0003山2+5000062~1情形一:

k2Hl时，方程组无解;情形二:k2=l时,方程组有无数个解,

112311000-8

由A

000120002

0000000000原方程组通解为乂=

-2

2a：1

28、设向量组105试问：当

a,b,c满足什么条件时（1）0可由ai，3ct3线性表出，且表示唯一；（2用不能

由cq,a?,C13线性表出；（3）0可由四，口2，口3线性表出，但表示不唯一，并求出

一般表达式.

-2-1

211

标准答案:1054

=-(a+4).(1)当a#—4时，0可由a”a2,(X3唯一

线性表示.当a=-4时,

一4-11211h21b

A=21b-4一2-110026+1

1054c105400-1c-56

211b

00126+1

000c—364-1

⑵

当c—3b+l=。时，。可由四,C(2,a3线性表示,但表示方法不唯一,

16+】

21b0

~22

由00126+1

A00126+1

000

U0000

_±■■上6+1

222

X=

1+0

_A_"1

0264-126+1

则。=(22)o.|+

ka2+（2b+l）a3（其中k为任意常数）.（3）当c—3b+1和时,。不可由a1,。2，的线

性表示.

知识点解析：暂无解析

29、设线性方程组

X1+2x2+处一工4=0,

耳+=0

（I）

2xi+3X2+h—3x<=0,(D)<

X\+nxz+2%3=0

3xi+XX-414=0；

52+23（1）求线性

方程组（I）的通解；（2）m,n取何值时，方程组（1）4（11）有公共非零解；（3）m,

取何值时，方程组（I）与（II）同解.

标准答案:

121-121-1)(10-1-3

⑴由A=231一30-1-170111

352-400000000,

-1(121-1

-10111

-10n-3009

m+1000m+2

10000

当m=-2或n=3时，两个方程组有公共的非零解.（3）当m=-2,n=3时，两

个方程组同解.

知识点解析：暂无解析

考研数学二（线性代数）模拟试卷第2

套

一、选择题（本题共6题，每题分，共6分。）

~abb'

bab

1、设三阶矩阵A二％h°」，若A的伴随矩阵的秩为1,则必有

A、a=b或a+2b=0.

B、a=b或a+2b翔.

C^且a+2b=0.

D、arb且a+2b#0.

标准答案：C

知识点解析：由条件知0=|A*|二|A|2,=>0=|A|=(a+2b)(a-b)2,=(a=-2b或a=b,

若a=b,则A*=0,与r(A*)=l矛盾，故必有arb且a+2b=0.

2、设n维列向量组(I)：ai，ctm(m<n)线性无关，则n维列向量组(II)：

仇…，Bm线性无关的充分必要条件为

A、向量组(I)可由向量组(n)线性表示.

B、向量组(口)可由向量组(I)线性表示.

C、向量组(I)与向量组(H)等价.

D,矩阵A=[ai，…，aM与矩阵B=[°i…，等价.

标准答案：A

知识点解析:已知r(A)=m,而(U)线性无关㈡r(U)=r(B尸m,利用:同型矩阵A

与B等价㈡r(A)=r(B),即知只有(D)正确，注意，秩相同的向量组未必等价，例

-0-

与向量组(II):4,

上」两个向量组的秩都是2,

但(I)与(口)却不等价，故本题的选项(A)、(B)及(C)都不对.

3、设A、B都是n阶非零矩阵，且AB=0,则A和B的秩

A、必有一个等于零.

B、都小于n.

C、一个小于n,一个等于n.

D、都等于n.

标准答案：A

知识点解析：若r(A)=n，则A可逆，用A।左乘AB=O两端，得B=O,这与

B/D矛盾，故r(A)Vn,同理知r(B)Vn,故(B)正确.

4、设a【，a2，…，出均为n维向量，下列结论不正确的是

A、若对于任意一组不全为零的数ki，k2，…，ks，都有k]ct]+k2a2+…+ksas¥0，则

ai，012，…，出线性无关.

B、若ai，a2,as线性相关，则对于任意一组不全为零的数ki,k2,...»ks,

都有k(ai+k2a2+…+ksas=0.

C、ai，(12,…，as线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.

D、ai，a2,…，出线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关.

标准答案：B

知识点解析：反例：向量组ai=(l,1),(12=(0,0)线性相关，但对于不全为零的常

数ki=l,k2=2,却有kiai+k2(X2#0.故(B)不对.

5、设A为mxb矩阵，则齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充要条件是A的

A、列向量组线性无关.

B、列向量组线性相关.

C、行向量组线性无关.

D、行向量组线性相关.

标准答案：A

知识点解析：设A按列分块为A=[a]a2...斯],则方程组Ax=O的向量形式是

x1a1+X2a2+...+xnan=O,由此可知Ax=O仅有零解㈡xiai+x2a2+…+xnan=O，仅在

Xl=X2j..=Xn=0时成立0向量组a],。2，…，an线性无关.

6、设有齐次线性方程组Ax=O和Bx=O,其中A、B均为mxn矩阵，现有4个命

题：①若Ax=O的解均是Bx=O的解，则秩(A巨秩(B)；②若秩(A心秩(B),则

Ax=O的解均是Bx=O的解；③若Ax=O与Bx=O同解，则秩(A)二秩(B)；④若秩

⑺尸秩很)，则Ax=O与Bx=O同解.以上命题中正确的是

A、①②

B、©@

C、②④

D、③④

标准答案：B

知识点解析：若Ax=O的解均是Bx=O的解，则Ax=O的解空间是Bx=O的解空间的

子空间，从而有n—r(A)9—r(B),=7依)与出).当Ax=O与Bx=O同解时，还有

r(B)>r(A),从而有r(A)=r(B),因此，①与&)正确.

二、填空题(本题共9题，每题分，共9分。)

标准答案：X4；

知识点解析：暂无解析

1111

123x

149

8、方程1827/=0的全部根是

标准答案：1,2,3.

知识点解析：利用范德蒙行列式的结果，得D=(2—1)(3—l)(x—1)(3—2)(x—

2)(x—3)；

-14-r

A=-252,

9、设L36tJB#0,满足BAO,则匚

标准答案：一3.

知识点解析：由BA=O及B#3,n|A|=0,,匚一3.

10、设n阶方阵A、B的行列式分别为|A|=2,|B|=-3,A"为A的伴随矩阵，则行

列式|2A*B]\=.

标准答案：一丁’

221

知识点解析：|2A*B'1|=2n|A*||B]\=2n\A\n||B|!=3'

11、设n维向量a=(a,0,…，0,a)T,a<0；E为n阶单位矩阵，矩阵A=E-

1

aaT,B=E+aaaT,其中A的逆矩阵为B,则a=.

标准答案:-1.

221

知识点解析：aTa=2a2,E=AB=(E-aaT)(E+aaaT)=E+aaaT-aaT—a

1n«L

(aTa)aT=E+(a-1一2a)aaT,a一1-2a=0,=a=一1.

12、已知a1，(X2均为2维向量,矩阵A—[2ai+a2，aj—a?],p=[ai，a?],若行

列式|A|=6,则|B|=.

标准答案：一12.

■21-

知识点解析：A=[2ai+a2，囚一a21=[ai，a2]^一】」，两端取行列式，得

|A|=|B|(-3),因|A|=6,得间=一2.

TT

13、若向量组(I)：ai=(l,0,0),a2=(h1,0),a3=(l,1,1)T可由向量组

(H)：pi，p2,的，饱线性表示，则向量组(II)的秩为.

标准答案：由条件知3=r(I闫(n)S3,f*(n)案.

知识点解析：暂无解析

-q+Zxz-2工3=0

3xi-Hz+Ar3=0

有J即非令刀冲。口、JW—舛州无刀任组{乃十七一小的解，则

2=0

九=,|B|=.

标准答案：入=1,|B|=0.

知识点解析：由条件知方程组有非零解，故其系数行列式

12-2

IA|二2-1A

31—1=5(九一1)一0,故31.又由条件知AB=0,若|B|#0,则

B可逆，用B।右乘AB=0两端得A=0,这与AW0矛盾，故|B|=0.

15、设可逆方阵A有特征值A,则(A*)2+E必有一个特征值为.

(W

标准答案：'29

(I1V4-1A*育特征值IAI

知识点解析：'a,',故(A*「+E有特征值

W+L

三、解答题(本题共76题，每题1.0分，共76分。)

-301-

4=110

16、设Lo14-

矩阵B满足AB=A+2B,求B.

-5-2-2-

4-3-2

标准答案：B=(A—2E)1A二-1223.

知识点解析：暂无解析

ri111-

-1

一1

1」(1)求A、n=2,3,...)；(2)若方阵B满足

17、设s

A2+AB—A=E,求B.

标准答案：⑴A2=4E=A2m=(A2)m=4mE,A2m+1=A2mA=4mA(m=l,2,...).(2)A

1=4,AB=E+A—A2,两端左乘A得B=A】+E-A=

-1-3一3-3-

-3133

4A=N

-3313

-3331.

知识点解析：暂无解析

18、设a是n维非零列向量，矩阵A=E一口户.证明：⑴A?=A的充要条件是

aTa=l；（2）当aTa=l时，A不可逆.

标准答案：（1）A?=A㈡（E=aa「）（E—aa1）=E一aa1―2aaT+a（aTa）ar=E—aa1

㈡（（Pa—DaalfX注意0101「和）-（1,（1=1.（2）当/（1=1时，A2=A,若人可逆，用

A।左乘A?二A两端，得A=E，代入A的定义式，得（10=0,这与矛盾.

知识点解析：暂无解析

19、设⑴二（1,1,1）,a2-（l,2,3）,a3-（l,3,t）.（1）问t为何值时，向量组

（XI，a2,a3线性无关?⑵当t为何值时,向量组ai，a2，（X3线性相关？（3）当囚,

a2，013线性相关时，将ai表示为ai和a2的线性组合.

标准答案：由行列式|（四，。2，a3）T|=t=5,知当¥5时，ai，a2，（13线性无关，当

t=5时，ai，a2，（13线性相关.当1=5时，由解方程组Xia2+X2a2=a3，得。3=一

a।+2a2.

知识点解析：暂无解析

+q=0

20、设4元线性方程组（I）为一/=0’又已知某齐次线性方程组（口）的通解

为ki（0,1,1,0）+k2（—1,2,2,1）.（1）求线性方程组（I）的基础解系；（2）问线

性方程组（I）和（口）是否有非零公共解？若有，则求出所有的非零公共解，若没

有，则说明理由.

标准答案：（1）由系数矩阵的初等行变换：A=

■1100-1「1001]n产=-q

.010-1JLo1

0-1J\x2=X4(X3,X4任意)，令

X3=l.X4=0,得匕1=(0.0.1.0)T：令X3=0，X4=1.得&=(一1«1.o.I)T.则

白，々就是（I）的一个基础解系.（2）若x是（I）和（H）的公共解,则存在常数入1，

由此得入1，12,

解此齐次线性方程

组，得其参数形式的通解为九|=。X2=C,入3=-C,X4=C,其中C为任意常

数.故(I)和(H)有非零公共解，全部非零公共解为C(0,0,I,0)T+C(-1,1,

o,1)T=C(-1,I,1,l)T,其中c为任意非零常数.

知识点解析：暂无解析

zi-FQ\JCt+a1X3=a；

X|4-atXz4-aix3=al

X1+a3x2-Fa1x3=ai

21、设有线性方程组十0"2+万4=a；⑴证明：当a2,a3,包两两

不等时，此方程组无解；(2)设ai=a3=k,@2=04=—*k(k#))时，方程组有解由=(一

1,1,1)T，。2二(1，1，一1户，写出此方程组的通解.

可答案：(1)此时，增广矩阵的行列式是一个f阶范德蒙行列式，不等于零，故r

(4)=4,而r(A)$3.故方程组无解；(2)r(A)=r(A)=2<3,方程组有无穷多解，导

出组Ax=0的基础解系含3一r(A)=3一2=1个解向量.可取其基础解系为由一

。2=(一2,0,-2)T.故此方程组的通解为X邛l+c(pl一例尸(一1，1,l)T+c(一

2,0,2)T.

知识点解析：暂无解析

22、已知(1,—1,1,一1)丁是线性方程组

(4+AX2+狂3+Z4=0

12xi++13+2^4=0

3币+(2+入)工2+(4+〃)勾+4匕=1的一个解，试求(1)该方程组的全

部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解；(2)该方程组满足

X2=X3的全部分.

标准答案：将解向量X=(l,—1,1,一1户代入方程组，得人比对方程组的增广

矩阵施行初等行变换：

1AA1On-10-2A1-A；-A-

A=[A;b]=211200131：1

32+A4-f-A402(2A-1)2A—1:2A—1.

(1)当)工十时•有

-10010

1

010

一~2~~2

11

001

~2~2

Wr(A)=r(A)=3V4,故方程组有无穷多解,全部解为

x=(0.—.+A(-2,1,-1,2),,其中左为任意常数.

r1.IT

_10TT

当…十时，有心013]」

.000050.

因r(A)=N，)=2V4,故方程组有无穷多解，全部解为x=(2,1,0,0)

T+ki(l,一3,1,0)T+k2(—1,—2,0,2)T，其中ki，k2为任意常数.(2)当杼

----L+&=」---鼠解得上=工

2时，由于X2=X3,即2十龙2'册傅2'故此时，方程组的

(。，—IT4-

解为x=22z(-2,1,-I,2)T=(-1,0,0,l)T.当入=2

2

时，由于X2=X3，即I—3k]—2k2=ki，解得k2=2—2k]故此时全部解为

x=(2,1,0,O)T+k1(l,―3,1,0户+(2—2ki)(—1,一2,0,2)T=(­

1,0,0,1)T+ki(3,1,1,一4产.

知识点解析：暂无解析

23、设3阶方阵A的特征值为2,—1,0,对应的特征向量分别为⑴，。2,03，

若B=A3—2A?+4E,试求B1的特征值与特征向量.

标准答案：B=f(A),其中f(x)=x3—2X2+4.由Aai=2ai，两端左乘A,得

A2ai=2Aai，将Aai=2ai代入,得A%i=2%i=4ai,类似可得A3al=2%]=8(11，=

Bai=(A3—2A2+4E)ai=A3ai—2A2ai+4ai=23ai—2.22ai+4ai=(23—

2.22+4)ai=f(2)ai=4ai,类似可得Ba2=f(一I)a2=a2,Bai=f(0)a3=4a3，所以，B的

特征值为4,1,4,对应特征向量分别为ai，Q2，C13.因为ai，a?,0:3线性无关，

所以矩阵P=[ala2a3]可逆，且有P“BP」4」为对角矩阵，两端取逆能

-J_■

T

1

121_

阵，得Pb】P二L4」，由此知B的特征值为NT,对应特征

向量分别为a1,。2,。3.

知识点解析：暂无解析

■0or

A=x1j

24、设L100」有3个线性无关的特征向量，求x与y满足的关系.

标准答案：A的特征值为找=12=1，兀3二一1，由题设条件A有3个线性无关特征向

量，知A的属于特征值入产入2=1的线性无关特征向量有2个㈡齐次线性方程组（E

"A）x=O的基础解系含2个向量㈡3-r（E—A）=2

■10一r

<=>r(E—A)=r—r0-y=]㈡

T01」x+y=0.

知识点解析：暂无解析

25、下列矩阵是否相似于对角矩阵？为什么？

rl02一口

「52—31八

014-2

⑴45-4,⑵1T。1-

LG，"L-1-12.

标准答案：（1）是，因该方阵的特征值入k1,入2=2,入3=3互不相同；（2）因A的特

征值为X1—入2=Q=M=1，但r（E—A）=2,n1A的线性无关特征向量只有2个（或用

反证法）.

知识点解析：暂无解析

22iro1o-

32,P=101

01J,B=p"p,求B+2E的特征值

26、设矩阵23JLO

与特征向量，其中A*为A的伴随矩阵,E为3阶单位矩阵.

标准答案：A的特征值为猫=〃=1，，3=7,A的对应于特征值1的线性无关特征向

量可取为中二(-1,1,0)T,r|2=(-1»0,1)T；对应于特征值7的特征向量可取

为“3=(1，1，1)二由A的特征值得A*的特征值为7,7,1,0B的特征值为7,

7,1,+2E的特征值为9,9,3,且对应特征向量分别可取为P1L(1,•

1,0)T,P、2=(一1，一1，1)T，P'1]3=(0,1,1)T,故对应于特征值9