专题02 数与式二（因式分解、分式、二次根式35题）（解析版）

PAGE7原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！专题02数与式二（因式分解、分式、二次根式35题）（解析版）题目精选自：2023、2024年上海名校及一二模真题，内容包含因式分解、分式、二次根式部分共35题。一、单选题，4题1．（2023·上海松江·统考二模）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.【详解】解：A、，与不是同类二次根式；B、，与是同类二次根式；C、，与不是同类二次根式；D、.，与不是同类二次根式；故选：B.【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的概念是解题的关键.2．（2023上·上海宝山·九年级统考期中）如果，那么代数式的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查的是分式的化简求值，解题的关键是采用换元法即可解答．【详解】解：设，，，故选：D3．（2023·上海松江·统考二模）下列方程中，有实数根的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据一元二次方程根的判别式、二次根式的非负性，以及分式方程的解进行判断即可．【详解】A：，方程有两个相等的实根，符合题意；B：，方程无实根，不符合题意；C：,∴方程无解，不符合题意；D：，解得，分式方程的解使分母为0，是原方程的增根，此方程无解，不符合题意．故答案选：A【点睛】本题一元二次方程根的判别式、二次根式有意义的条件以及分式方程的定义，掌握相关的定义与计算是解题关键．4．（2023·上海·模拟预测）如果把二次三项式分解因式得，那么常数的值是（

）A．3 B．-3 C．2 D．-2【答案】B【分析】将因式分解的结果用多项式乘法的展开，其结果与二次三项式比较即可求解．【详解】解：∵∴故故选B【点睛】本题考查了因式分解，多项式的乘法运算，掌握多项式乘法与因式分解的关系是解题的关键．二、填空题，13题5．（2023·上海宝山·统考二模）分解因式：．【答案】【分析】先提公因式，然后再利用平方差公式可进行求解．【详解】解：；故答案为：．【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．6．（2023·上海崇明·统考二模）已知，那么．【答案】【分析】将代入解析式，进行求解即可．【详解】解：∵，∴；故答案为：．【点睛】本题考查求反比例函数的函数值．熟练掌握二次根式的除法法则，是解题的关键．7．（2023·上海静安·统考二模）已知，那么．【答案】【分析】把代入，根据负整数指数幂运算法则计算，再化简为最简二次根式即可得答案．【详解】∵，∴，故答案为：【点睛】本题考查负整数指数幂的运算及二次根式的化简，熟练掌握运算法则是解题关键．8．（2023上·上海普陀·九年级统考阶段练习）已知是锐角，化简：．【答案】1【分析】本题主要考查了锐角三角函数，化简二次根式，根据锐角的余弦值小于1化简二次根式，然后合并即可得到答案．【详解】解：，故答案为：1．9．（2023·上海·统考中考真题）化简：的结果为．【答案】2【分析】根据同分母分式的减法计算法则解答即可．【详解】解：；故答案为：2．【点睛】本题考查了同分母分式减法计算，熟练掌握运算法则是解题关键．10．（2023·上海·统考中考真题）函数的定义域为．【答案】【分析】根据分式有意义的条件可进行求解．【详解】解：由可知：，∴；故答案为．【点睛】本题主要考查函数及分式有意义的条件，熟练掌握函数的概念及分式有意义的条件是解题的关键．11．（2023上·上海崇明·九年级校联考期中）若，且，那么．【答案】【分析】本题考查了比例的性质，分式运算．熟练掌握：若，则，是解题的关键．由，可得，根据，计算求解即可．【详解】解：∵，∴，∴，故答案为：．12．（2023·上海闵行·统考二模）因式分解：．【答案】【分析】根据平方差公式直接进行因式分解即可．【详解】解：原式故答案为：．【点睛】本题考查因式分解，常用的方法有：提取公因式法，公式法，十字相乘法．13．（2023下·上海杨浦·九年级统考阶段练习）分解因式：．【答案】【分析】根据提公因式法进行因式分解即可．【详解】解：原式；故答案为：．【点睛】本题主要考查提公因式进行因式分解，找出多项式中各项的公因式是解题的关键．14．（2024上·上海黄浦·九年级统考期末）已知，则＝．【答案】【分析】由可得，设=k，则a=2k，b=5k，然后代入求解即可．【详解】解：∵∴设=k，则a=2k，b=5k∴．故填．【点睛】本题主要考查了代数式求值，正确的对已知条件进行变形成为解答本题的关键．15．（2023上·上海徐汇·九年级校联考阶段练习）矩形中，，，将矩形沿过点A的直线折叠，使点B落在点E（不与点B重合）处，如果是以点E为直角顶点的直角三角形，那么点E与点B的距离是．【答案】【分析】如图，连接，交于，求解，当矩形沿直线折叠，此时，可得是以为直角顶点的直角三角形，证明，，由等面积法可得：，从而可得答案.【详解】解：如图，连接，交于，∵矩形，∴，，，∴，

当矩形沿直线折叠，此时，∴是以为直角顶点的直角三角形，∴，，∴，，由等面积法可得：，∴，∴；∴点E与点B的距离是.故答案为：【点睛】本题考查的是矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，线段的垂直平分线的判定与性质，二次根式的除法运算，熟练的利用轴对称的性质解题是关键.16．（2023上·上海闵行·九年级统考期中）若，那么．【答案】/【分析】根据比例性质设，则，，，进而代值求解即可．【详解】解：设，则，，，∴．【点睛】本题考查比例性质、分式的性质，熟练掌握比例性质并灵活运用是解答的关键．17．（2024上·上海崇明·九年级统考期末）已知，那么的值为．【答案】【分析】本题考查了分式的性质．熟练掌握分式的性质是解题的关键．根据，计算求解即可．【详解】解：由题意知，，故答案为：．三、解答题，18题18．（2023·上海嘉定·统考二模）解方程：【答案】，【分析】将②式因式分解解两个二元一次方程组即可．【详解】解：由②得或由①③得：，把③代入①得：，解得：，把代入③得：，∴方程的解为：；由①④得：，把④代入①得：，解得：，把代入①得：，∴方程的解为：.【点睛】本题考查二元一次方程组，因式分解；注意将②式因式分解转化为两个方程是本题关键．19．（2023·上海长宁·统考二模）解方程组：【答案】或【分析】利用平方差公式将化为，进而利用加减消元法解二元一次方程组即可解答．【详解】解：由②得：，∴或。从而有或，解得：，故原方程组的解是，【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，平方差公式，加减消元法解二元一次方程，利用平方差公式将二元二次方程将次是解题的关键．20．（2023·上海松江·统考二模）计算：【答案】【分析】根据零指数幂，分数指数幂，负整数指数幂，二次根式的混合运算法则进行计算即可求解．【详解】解：．【点睛】本题考查了零指数幂，分数指数幂，负整数指数幂，二次根式的混合运算，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．21．（2023·上海浦东新·统考二模）计算：．【答案】【分析】先根据负整数指数幂，特殊角锐角三角函数值，零指数幂，二次根式的性质化简，再计算，即可求解．【详解】解：【点睛】本题主要考查了负整数指数幂，特殊角锐角三角函数值，零指数幂，二次根式的性质，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．22．（2023·上海嘉定·统考二模）计算：【答案】【分析】根据二次根式的混合运算法则，特殊角的三角函数值以及零指数幂进行计算即可．【详解】．【点睛】考查了实数的综合运算能力，负整数指数幂、零指数幂、分母有理化、特殊角度的三角函数值等考点的运算．23．（2023·上海虹口·校联考二模）先化简，再求值：，其中．【答案】【分析】对分母进行分解因式，再利用除法法则变形，约分计算后利用同分母分式的加法法则计算得到最简结果，将m的值代入计算并进行分母有理化即可求解．【详解】解：原式当时，原式．【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则及二次根式的分母有理化是解本题的关键．24．（2023·上海青浦·统考二模）计算：【答案】2【分析】根据实数的运算法则进行计算即可．【详解】原式．【点睛】本题主要考查实数的混合运算，涉及绝对值的性质，负整数指数幂，分母有理化等知识，熟练掌握实数运算法则是解题的关键．25．（2023上·上海黄浦·九年级统考期中）计算：．【答案】【分析】先代入特殊角三角函数值，再利用二次根式的运算法则进行计算．【详解】解：原式．【点睛】本题考查了特殊角三角函数的值的运算，二次根式的运算，牢记特殊角三角函数值是解题的关键．26．（2023·上海普陀·统考二模）计算：．【答案】【分析】根据负整数指数幂，零指数幂，分母有理化，分数指数幂进行计算即可求解．【详解】解：．【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握负整数指数幂，零指数幂，分母有理化，分数指数幂是解题的关键．27．（2023上·上海静安·九年级上海市回民中学校考期中）计算：．【答案】【分析】根据特殊角的三角函数值和零指数幂的性质计算即可．【详解】解：．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数计算和零指数幂的性质，牢记特殊角的三角函数值是解题关键．28．（2023上·上海青浦·九年级校考期中）【答案】【分析】本题考查了特殊角的三角函数运算，零指数幂运算，把特殊角的三角函数值代入原式计算即可，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．【详解】解：原式，=，，，，，，．29．（2023·上海·模拟预测）解方程组：【答案】【分析】先将左侧因式分解化为，再解二元一次方程组即可．【详解】解：∵∴原方程组可化为，①-②得，，解得：将代入①中得，解得：，∴所以原方程组的解为．【点睛】本题主要考查解二元一次方程组、因式分解，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．30．（2024上·上海奉贤·九年级统考期末）计算：．【答案】【分析】本题考查了实数的运算，原式利用特殊角的三角函数值计算即可求出值，熟练掌握运算法则和特殊角的三角函数值是解本题的关键．【详解】31．（2023·上海崇明·统考二模）计算：【答案】5【分析】先进行正整数指数幂，零指数幂，分数指数幂以及分母有理化的计算，再进行加减运算．【详解】解：原式．【点睛】本题考查二次根式的混合运算．解题的关键是掌握相关运算法则，正确的计算．32．（2023下·上海普陀·九年级统考期中）计算：．【答案】【分析】根据绝对值的代数意义得，利用特殊角的三角函数可得，则，根据负整数幂的运算法则得，再将分母有理化得，再计算加减法即可求解．【详解】解：原式．【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算、负整数指数幂、分母有理化、特殊角的三角函数值，灵活运用相关知识解决问题是解题关键．33．（2024上·上海青浦·九年级统考期末）计算：．【答案】0【分析】本题主要考查了特殊角度的锐角三角函数值的混合运算，解题的关键是熟记各个特