浙江省杭州四中2024-2025学年高二（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页浙江省杭州四中2024-2025学年高二（下）月考数学试卷（3月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.向量a=(−1,tA.80° B.90° C.120°2.已知复数z=a(1+i)是关于xA.22 B.1 C.23.已知(x+2x)A.40 B.60 C.80 D.1004.设a≠b，函数y=|2x+a|A.0 B.−1 C.−2 5.甲、乙两位老师带领六位同学分别去A、B两所学校参加交流活动，甲、乙老师将去往不同的学校，甲老师的队伍中至少需要有两位学生，乙老师的队伍中至少需要有三位学生，且所有学生均参与活动，则不同的参会方案的种数为(

)A.50 B.60 C.70 D.806.已知ω∈R，函数f(x)=(x−6A.π2 B.π3 C.π47.已知在△ABC中，∠A=90°，BC=2，∠A的角平分线与△A.1 B.3 C.3−8.21世纪以来，人工智能迅猛发展，在人工智能算法中，精确率Q、召回率R、卡帕(Kappa)系数κ是衡量算法性能的重要指标.在对某型号扫雷机器人的测试中，记A表示事件“选择的位点实际有雷”，B表示事件“选择的位点检测到有雷”，定义：精确率Q=P(A|BA.κ=2QR−2P(A二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已为随机变量X，Y，且X∼N(μ1,A.若μ1=μ2，则E(X)=E(Y)

B.若μ1=μ210.设函数f(x)=A.f(x)是偶函数 B.f(x)的最小正周期为π

C.f(x11.投掷一枚均匀的骰子8次，记录每次骰子出现的点数.根据统计结果，可以判断一定出现点数6的是(

)A.第25百分位数为2，极差为4 B.平均数为3.5，第75百分位数为3.5

C.平均数为3，方差为3 D.众数为4，平均数为4.75三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若双曲线x2+my2=1的两条渐近线之间的夹角为6013.已知x，y，z∈N*，且x+y+z=8，记随机变量X为x，14.已知圆C：x2+(y−a)2=a2(a四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，经过大数据分析，每局比赛甲获胜的概率约为23，乙获胜的概率约为13．

(1)若比赛为三局两胜制，设比赛结束时比赛场次为X，求X的分布列与数学期望；

(216.(本小题15分)

如图，在四棱锥O−ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC=π4，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为17.(本小题17分)

设抛物线Γ：y2=2px(p>0)的焦点为F，直线l与抛物线Γ相交于两点A、B，记AB的中点为C，AB的中垂线与y轴相交于点T(0,1)，已知直线FC平行于y轴．

(1)求p的取值范围；

(18.(本小题15分)

已知函数f(x)=13x3−a(x2+x+119.(本小题17分)

某电子器件由若干个相同的电子模块构成，每个电子模块由4个电子元件按如图所示方式联接，其中每个电子元件导通的概率均为0.9．

(1)求每个电子模块导通的概率p(保留两位有效数字)；

(2)已知某电子器件由20个相同的电子模块构成，系统内不同电子模块彼此独立，是否导通互不影响，当且仅当电子器件中不低于50%的电子模块处于导通状态时，电子器件才能正常工作答案和解析1.【答案】C

【解析】解：由于向量a=(−1,tan140°)与b=(cos100°,sin100°)，故2.【答案】C

【解析】解：复数z=a(1+i)是关于x的二次方程x2+px+4=0(a,p∈R)的一个解，

则a(1−i)3.【答案】B

【解析】解：令x=1，则展开式的各项系数和为(1+2)n=729，解得n=6，

所以二项式(x+2x)6的展开式的通项公式为Tr+1=C6r(4.【答案】D

【解析】解：由指数函数y=2x的性质可知，若a，b都大于0或都小于0，且函数y=|2x+a|与y=|2x+b|在[0,1]上的值域相同，

则a=b，与题意不符，

所以a，b异号，不妨设a>0，b<0，

则函数y=|2x+a|=2x+a，在[0,1]上单调递增，

所以在[5.【答案】C

【解析】解：根据题意可得：

若甲老师队伍有2名学生，乙老师队伍里有4名学生，有C62=15种情况；

若甲老师队伍有3名学生，乙老师队伍里有3名学生，有C63=20种情况，

则共有15+20=35种情况，

再将两组人员派往A，B两所学校有35A22=706.【答案】C

【解析】解：由于函数f(x)=(x−6)2⋅sin(ωx)，存在常数a∈R，

f(x+a)为偶函数，

则：f(7.【答案】A

【解析】解：以直角顶点A为坐标原点，AB为x轴正方向，AC为y轴正方向，

建立平面直角坐标系，如图所示：

设B(b,0)，C(0,c)，斜边BC=2，所以b2+c2=4；

△ABC的外接圆M的方程为(x−b2)2+(y−c2)2=1，角平分线AD沿直线y=x延伸，

代入圆的方程，得(x−b2)2+(x−c2)2=1，解得x=0(8.【答案】A

【解析】解：由已知得：k=p0−pe1−pe=P(AB)+P(AB−)−P(A9.【答案】AC【解析】解：对于A，由正态分布的期望公式得，E(X)=μ，故A正确；

对于B，由正态分布的方差公式得，D(X)=σ12，故B错误；

对于C，由正态分布的对称性得，P(X≤1)=P(X≥3)，

所以P(X≤1)+P(X≤310.【答案】AC【解析】解：对于A，∵f(x)=cosx+|sinx|，

∴f(−x)=cos(−x)+|sin(−x)|=cosx+|sinx|=f(x)，即f(x)是偶函数，故A正确；

对于B，∵f(x+π)=cos(x+π)+|sin(x+π)|=11.【答案】BD【解析】解：不妨设1≤x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6≤x7≤x8≤6，

对于A，这8个数可以是1，2，2，2，3，3，4，5，故不一定出现点数6，故A错误．

对于B，因为平均数为3.5，所以x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8=3.5×8=28，

又第75百分位数为3.5，所以x6+x7=7，所以x6=3，x7=4，

所以x1+x2+x3+x4+x5+x8=21，且x1≤12.【答案】−13或【解析】解：已知双曲线方程为x2+my2=1，

则其渐近线方程为x=±−my，

即y=±1−mx，

又两条渐近线之间的夹角为60°，

13.【答案】1049【解析】解：首先原问题总情况可理解为将8个完全相同的小球排成一排，利用两个隔板区分成三组，故有C72=21种情况，

当最小的数为1时，有两种情况，

①有一个1，此时即将剩余7个小球分成两组，但是不能再分成一个和6个，故不可在第一个和第二个，及最后一个和倒数第二个中插入隔板，有C41=4种，

此时有13C41C=12种情况，

②有两个1，有C32=3种情况，

故最小值为1时的概率P1=12+321=57，

当最小数为2时，有两种情况，

①有一个为2，剩余6个小球分为3和3，故C31=3种，

②有两个为2时，有C14.【答案】2×【解析】解：x2+(y−a)2=a的圆心为C(0,a)，半径为a，显然O(0,0)在圆上，

且在y=x3上显然除原点外，y=x3与x2+(y−a)2=a2还有1个公共点M(m,m3)，m>0，

则y=x3与x2+(y−a)2=a15.【答案】(

1

)分布列见解析，E(X)=229；

(

2【解析】解：(

1

)X所有可能的取值为

2，3，

P(X=2)=X23P54E(X)=2×59+3×49=229；

(

2

)

设A=“甲最终获胜”，B=“共进行了

5

场比赛甲获胜”，

则P(A16.【答案】解(Ⅰ)∵CD//AB，∴∠MDC为异面直线AB与MD所成的角(或其补角)．

作AP⊥CD于点P，连接MP．

∵OA⊥平面ABCD，∴CD⊥MP．

∵∠ADP=π4，∴DP=22．

∵MD=MA2+AD2=2，

∴cos∠MDP=DPMD=12，∠MDC=∠M【解析】(Ⅰ)求异面直线所成的角，可以做适当的平移，把异面直线转化为相交直线，然后在相关的三角形中借助正弦或余弦定理解出所求的角．平移时主要是根据中位线和中点条件，或者是特殊的四边形，三角形等．∵CD//AB，∴∠MDC为异面直线AB与MD所成的角(或其补角)．

(Ⅱ)在立体几何中，求点到平面的距离是一个常见的题型，同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离．本题可以先“转化”：当由点向平面引垂线发生困难时，可利用线面平行或面面平行转化为直线上(平面上)其他点到平面的距离．∵AB/​/平面OCD，所以点B和点A到平面OCD的距离相等．

连接OP，过点A作AQ⊥O17.【答案】(23,+∞)；

【解析】解：(1)易知抛物线的焦点F(p2,0)，

设A(2pm2,2pm)，B(2pn2,2pn)，

此时C(p(m2+n2),p(m+n))，

因为直线FC平行于y轴，

所以p(m2+n2)=p2，

解得m2+n2=12，

易知kTC⋅kAB=−1，kAB=2pm−2pn2pm2−2pn2=1m+n，直线TC的方程为y18.【答案】(

1

)

(3,−30)；

(

2【解析】解：(1)当

a=3

时，f(x)=13x3−3x2−3x−3，f′(x)=x2−6x−3，f′′(x)=2x−6=0，解得x=3，

即f(x)

的对称中心为(3,−30)；

(2)证明：由于x19.【答案】0.8；

增大，理由见解析．

【解析】解：(1)该电子模块导通即电子1、4必须导通且电子2、3至少要有一个导通，

所以p=0.92⋅(1−0.