北京市北某中学中考数学模拟试卷及答案解析

北京市北师大附中中考数学模拟精编试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.一个两位数，它的十位数字是3,个位数字是抛掷一枚质地均匀的骰子（八个面分别标有数字1-6）朝上一面的数

字，任意抛掷这枚骰子一次，得到的两位数是3的倍数的概率等于（）

2.正三角形绕其中心旋转一定角度后，与自身重合，旋转角至少为（)

A.30°B.60°C.120°D.180°

在4ABC中，若cos八1

3.•(1lan阴2=o,则NC的度数是（）

2

A.45°B.60°C.75°D.

4.如图，在△ABC中,CD_LAB于点D,E,F分别为AC,BC的中点,AB=10,BC=S,DE=4.5,则△DEF的周长

是()

B.13.5C.14.5D.17

5.AfB两地相距48千米，一艘轮船从4地顺流航行至8地，又立即从8地逆流返回A地，共用去9小时，已知水

流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程（）

48484848

A.------+-------=9B.------+-=---9---

x+4x-44+x4-x

489696

—+4=9D.------+-------=9

Xx+4x-4

6.用五个完全相同的小正方体组成如图所示的立体图形，从正面看到的图形是（）

7.如图，已知四边形ABCD,R,P分别是DC,BC上的点，E,F分别是AP,RP的中点，当点P在BC上从点B

向点C移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（）.

A.线段EF的长逐渐增大B.线段EF的长逐渐减少

C.线段EF的长不变D.线段EF的长不能确定

8.小明家1至6月份的用水量统计如图所示，关于这组数据，下列说法错误的是（）.

A.众数是6吨B.平均数是5吨C.中位数是5吨D.方差是二

3

9.如图，PA切©O于点A,PO交OO于点B,点C是€）0优弧弧AB上一点，连接AC、B-C,如果NP=NC,G»O

的半径为1,则劣弧弧AB的长为（)

1111

A.—7TB.—n—7TD.---7T

34612

10.如图，在矩形4BC。中，40=1,AB>ltAG平分分别过点。，。作BB_LAG于点E,CF_LAG于点F,

则AE-G尸的值为（）

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.若3,a,4,5的众数是4,则这组数据的平均数是.

12.如图，圆柱形容器高为18cm,底面周长为24cm,在杯内壁离杯底4cm的点B处有乙滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好

在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外币A处到达内壁B处的最短距离为.

13.若a、b为实数，且b=^Z1+2^EZ+4,贝lja+b=

a+7

14.如图，在平面直角坐标系中,正方形ABOC和正方形DOFE的顶点B,F在x轴上，顶点CD在y轴上，且SAADC=4,

k

反比例函数y二一（x>0）的图像经过点E,贝ijk=o

15.2011年，我国汽车销量超过了18500000辆，这个数据用科学记数法表示为

▲辆.

16.如图，在KfAABC中，ZACB=90°,点。、E、尸分别是48、AC.的中点，若8=5,则E尸的长为

a厉

B

21.(8分)如图，在平面直角坐标系式。),中，以直线无二|为对称粕的抛物线)，=。小+以+。与直线

/:y=h+〃?(Z>0)交于A(l/)，B两点,与y轴交于C(O,5),直线/与y轴交于点Q.

(1)求抛物线的函数表达式;

AF3

(2)设直线/与抛物线的对称轴的交点为尸，G是抛物线上位于对称轴右侧的一点，若二，且ABCG与ABC。

FB4

的面积相等，求点G的坐标;

(3)若在x轴上有且只有一点P,使乙4PB=90。，求攵的值.

点E在。O上,若NAOD=52°,

求NDEB的度数；若OC=3,OA=5,求AB的长.

23.(12分)如图，在AQO中，OA=OBfC为A3中点，以。为圆心，0C长为半径作圆，A0与。0交于点E,

0"与。。交于点尸和O,连接笈/，CF,CF与，4交于点G

(1)求证：直线4月是。。的切线;

(2)求证：△GOCSAGEF；

(3)若AB=4BD,求sin4的值.

24.如图所示，在正方形ABCD中，E,F分别是边AD,CD上的点，AE=ED,DF=-DC,连结EF并延长交BC

4

的延长线于点G,连结BE.求证：△ABE^ADEF.若正方形的边长为4,求BG的长.

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、B

【解析】

直接得出两位数是3的倍数的个数，再利用概率公式求出答案.

【详解】

・・•一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6,投掷一次，

十位数为3,则两位数是3的倍数的个数为2.

21

・••得到的两位数是3的倍数的概率为：|=-.

故答案选：B.

【点睛】

本题考查了概率的知识点，解题的关键是根据题意找出两位数是3的倍数的个数再运用概率公式解答即可.

2、C

【解析】

求出正三角形的中心角即可得解

【详解】

正三角形绕其中心旋转一定角度后，与自身重合，旋转角至少为120。，

故选C.

【点睛】

本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种羽形叫做旋转对称

图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角，掌握正多边形的中心角的求解是解题的关键

3、C

【解析】

根据非负数的性质可得出cosA及tanB的值,继而可得出A和B的度数,根据三角形的内角和定理可得出NC的度数.

【详解】

由题意，得cosA=1,tanB=L

2

/.ZA=60°,ZB=45°,

AZC=180°・ZA-ZB=180。・60145。=75°.

故选C.

4、B

【解析】

由三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答.

【详解】

•・,在AABC中，CD_LAB于点D,E,F分别为AC,BC的中点，

111

r.DE=-AC=4.1,DF=-BC=4,EF=-AB=1,

222

・••△DEF的周长二L(AB+BC+AC)=-x(10+8+9)=13.1.

22

故选B.

【点睛】

考查了三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.

5、A

【解析】

根据轮船在静水中的速度为无千米/时可进一步得出顺流与逆流速度，从而得出各自航行时间，然后根据两次航行时间

共用去9小时进一步列出方程组即可.

【详解】

•・,轮船在静水中的速度为x千米/时，

4848

・•・顺流航行时间为：-逆流航行时间为：-

x+4x-4

4848

，可得出方程：——+——=9,

x+4x-4

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了分式方程的应用，熟练掌握顺流与逆流速度的性质是解题关键.

6、A

【解析】

从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，

故选：A.

7、C

【解析】

因为R不动，所以AR不变.根据三角形中位线定理可得EF=!AR,因此线段EF的K不变.

2

【详解】

如图，连接AR,

D

R

C

VE>F分别是AP、RP的中点，

，EF为AAPR的中位线，

AEF=-AR,为定值.

o

・•・线段EF的长不改变.

故选：C.

【点睛】

本题考查了三角形的中位线定理，只要三角形的边AR不变，则对应的中位线的长度就不变.

8、C

【解析】

试题分析：根据众数、平均数、中位数、方差：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数.将一组数据按

照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果

这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.平均数是指在一组数据中所有数据之和再

除以数据的个数.一般地设n个数据，Xl,xz,…xn的平均数为，则方差S2=[(XL)2+(X2-)2+…+(X1|_)巩数

据：3,4,5,6,6,6,中位数是5.5,

故选C

考点：1、方差；2、平均数；3、中位数；4、众数

9、A

【解析】

利用切线的性质得NOAP=90。，再利用圆周角定理得到NC=，NO,加上NP=NC可计算写出NO=60。，然后根据弧

2

长公式计算劣弧A8的长.

【详解】

解：:PA切。O于点A,

AOA1PA,

/.ZOAP=90°,

VZC=r-ZO,ZP=ZC,

，NO=2NP,

而NO+NP=90。，

:.Z()=60°,

m~4/60?4・11

••劣弧AB的长二--------=一冗.

1803

故选：A.

【点睛】

本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了圆周角定理和弧长公式.

10、D

【解析】

设4£=工厕43=、了,由矩形的性质得出NAW=ND=909Q=A凡证明△ADG是等腰直角三角形，得出AG=^AD=^

同理得出CD=AB=^x,CG=CD-DG=-x-l,CG=F尸，得出G尸，即可得出结果.

【详解】

设AE=x,

二•四边形ABCD是矩形，

:.ZBAD=ZD=90°,CD=AB,

,・FG平分N6AO,

・•・Z£)AG=45°,

:.XADG是等腰直角三角形，

：.DG=AD=1,

，AG=、yo=\],

同理:3£=AE=x,CD=AB=,-x

\▲9

工CG=CD-DG=、：x1

同理：CG=前产，

:・FG=-],

yDD=n-y

».AE-GF=x-(x--)=一

VJ<J

TT

故选D.

【点睛】

本题考杳了矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理;熟练掌握矩形的性质和等腰直角三角形的性质，并能

进行推理计算是解决问题的关键.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11、4

【解析】

试题分析：先根据众数的定义求出a的值，再根据平均数的定义列出算式，再进行计算即可.

试题解析：:3,a,4,5的众数是4,

.\a=4,

，这组数据的平均数是(3+4+4+S)-4=4.

考点：1.算术平均数；2.众数.

12>20cm.

【解析】

将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A，，根据两点之间线段最短可知AB的长度即为所求.

【详解】

解:如答图，将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A，，连接A，B,则A，B即为最短距离.

根据勾股定理，得A，B=JAC+BD?=J/+162=20(cm).

故答案为：20cm.

【点睛】

本题考查了平面展开…最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键.同时也考

查了同学们的创造性思维能力.

13、5或1

【解析】

根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0,分母不等于0,可以求出〃的值，力的值，根据有理数的

加法，可得答案.

【详解】

由被开方数是非负数，得

a2-\>0

\-a2>0f

解得。=1,或。=・1,6=4,

当。=1时，0+力=1+4=5,

当a=T时,a+b=-1+4=1,

故答案为5或1.

【点睛】

本题考查了函数表达式有意义的条件，当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑

分式的分母不能为0;当函数表达式是二次根式时，被开方数非负.

14、8

【解析】

设正方形ABOC和正方形DOFE的边长分别是m、n,则AB=OB=m,DE=EF=OF=n,BF=OB+OF=m+n,然后根据

SAADF=SABOD+SADOF-SAABF=4,得到关于n的方程，解方程求得n的值，最后根据系数k的几何意义求得即可.

【详解】

设正方形A5OC和正方形。。正£的边长分别是血、〃，贝ljA3=05=m,DE=EF=OF=nt

S.ADF=S梯形AB。/，+S.即—S.的二=gm(m+n)+gn2.gm(m+n)=4,

An2=8,

*：点在反比例函数产〃x(x>0)的图象上，

工k=n?=8,

故答案为8.

【点睛】

本题考查了正方形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征.图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k,即xy=k.

15、2.85x2.

【解析】

根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为ax2(T,其中20a|V2O,n为整数，表示时关键要正确确定a的值

以及n的值.在确定n的值时，看该数是大于或等于2还是小于2.当该数大于或等于2时，n为它的整数位数减2；

当该数小于2时，一!1为它第一个有效数字前0的个数(含小数点前的2个0).

【详解】

解：28500000一共8位，从而28500000=2.85x2.

16、5

【解析】

已知CD是RSABC斜边AB的中线，那么AB=2CD；EF是△ABC的中位线，则EF应等于AB的一半.

【详解】

是直角三角形，CD是斜边的中线，

：.CD=-AB

2t

又・・・E/是AA3C的中位线，

."5=23=2x5=10,

.*.EF=-xlO=5.

2

故答案为5.

【点睛】

本题主要考查三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，熟悉掌握是关键.

三、解答题(共8题，共72分)

17、(1)详见解析；(2)(冬巨，1).

3

【解析】

(1)根据勾股定理可得AB的长，即。M的直径，根据同弧所对的圆周角可得BD平分NABO；

(2)作辅助构建切线AE,根据特殊的三角函数值可得NOAB=30。，分别计算EF和AF的长，可得点E的坐标.

【详解】

(1);点A(0)与点B(0,-1),

AOA=^3，OB=1,

/.AB=^(^3)2+I2=2,

TAB是©M的直径，

・・・G)M的直径为2,

VZCOD=ZCBO,ZCOD=ZCBA,

AZCBO=ZCBA,

即BD平分NABO；

(2)如图，过点A作AE_LAB于E,交RD的延长线于点E,过E作EF_LOA于F,即AE是切线,

1Fl

丁在RtZiACB中，tanNOAB=——=-==—,

OA&3

/.ZOAB=30°,

VZABO=90°,

AZOBA=60,

:.ZABC=ZOBC=-ZABO=30°,

2

:.OC=OB・tan300=lx且=正，

33

2IT.

.*.AC=OA-OC=—

3

/.ZACE=ZABC+ZOAB=60°,

AZEAC=60°,

・••△ACE是等边三角形，

AAE=AC=zr

AAF=-AE=gEF=>AE=b

232

AOF=OA-AF=区"

3

二点E的坐标为(汉1,1).

3

【点睛】

此题属于圆的综合题，考查了勾股定理、圆周角定理、等边三角形的判定与性质以及三角函数等知识.注意准确作出

辅助线是解此题的关键.

18、(1)J-)或(-1,-1)；(1)①2VaV17②)的最小值是,

223

【解析】

(1)把x=y=m,a=Lb=l代入函数解析式，列出方程，通过解方程求得m的值即可；

(1)抛物线上恒有两个不同的“和谐点”A、B.则关于m的方程m=an?+(3b+l)m+b-3的根的判别式△=9b,-4ab+lla.

①令y=9bL4ab+lla,对于任意实数b,均有y>2,所以根据二次函数产9b1-4ab+ll的图象性质解答；

②利用二次函数图象的对称性质解答即可.

【详解】

(1)当。=1,力=1时，，〃=1切1+4/〃+1・4,

解得血=［或6=-1.

2

所以点尸的坐标是4

彳)或(・1,-1)；

(1)m=aml+(3b+1)m+b-3,

△=9bl-4ab+l\a.

①令y=9"-4"+lla,对于任意实数b,均有y>2,也就是说抛物线y=9加・4M+11的图象都在。轴(横轴)上方.

/.△=(-4a)1-4x9xllfl<2.

/.2<n<17.

②由“和谐点”定义可设A(xi,yi)tB(xi,ji),

贝Uxi,。是。山+（3。+1）X+。・3=2的两不等实根，土上匕二一」^.

22a

・•・线段4〃的中点坐标是：（■学L■当也）・代入对称轴y=x-（4+1），得

2a2aa~

3/?+13"1,1、

-----------=-----------（―+1）,

2a2aa~

:・3b+1——+a.

a

Vfl>2»—>2,a*—=1为定值，

aa

=

••3^+1—+«>1Ja・1=1f

，力的最小值是;.

【点睛】

此题考查了二次函数综合题，其中涉及到了二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，一元二次方程与二

次函数解析式间的关系，二次函数图象的性质等知识点，难度较大，解题时，掌握“和谐点”的定义是解题的难点.

19、建筑物AB的高度为80/H.建筑物CD的高度为35m.

【解析】

分析：过点。作于于昂贝？10E=8C=60m.在R348C中，求出A氏在RtA4&E中求出AE即可解决问

题.

详解：过点。作。及LA3于于E,则Z)£=3C=60,〃，

**ABAB4,、

在RSAAC中，tan530=——，.=一=-,.9\4«=80(m).

BC603

AE3AE

在RtAHO笈中，tan370=——=——，：.AE=45(w),

DE46()

工BE=CD=AR・AE=35(m).

答：两座建筑物的高度分别为80m和35m.

点睛：本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关

键.

20、（1）EF是。O的切线，理由详见解析；（1）详见解析；（3）。。的半径的长为L

【解析】

（1）连接OE,根据等腰三角形的性质得到NA=NAEO,ZB=ZBEF,于是得到N

OEG=90,即可得到结论；

（1）根据含30。的直角三角形的性质证明即可；

（3）由AD是。O的直径，得到NAED=90。，根据三角形的内角和得到NEOD=60。，求得

NEGO=30。，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论.

【详解】

解：（1）连接OE,

VOA=OE,

AZA=ZAEO,

AZB=ZBEF,

VZACB=90°,

AZA+ZB=90°,

AZAEO+ZBEF=90°,

:.ZOEG=90,

・・・EF是€)0的切线；

(1)VZAED=90",NA=30。,

1

/.ED=-AD,

2

VZA+ZB=90°,

/.ZB=ZBEF=60°,

VZBEF+ZDEG=90°,

/.ZDEG=30°,

VZADE+ZA=90°,

，NADE=60°,

VZADE=ZEGD+ZDEG,

/.ZDGE=30°,

.\ZDEG=ZDGE,

ADG=DE,

/.DG=-DA；

2

(3)〈AD是。。的直径，

AZAED=90°,

VZA=30°,

r.ZEOD=60°,

/.ZEGO=30°,

•・•阴影部分的面积=—丝包二二26—2兀

23603

解得：r*=4,即r=l,

即。O的半径的长为1.

【点睛】

本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，圆周角定理，扇形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键.

21、(1)y=x2-5x+5.；(2)点G坐标为G(3,-1)；

I¥4，宅4J".23

【解析】

分析：（1）根据已知列出方程组求解即可；

（2）作AM_Lx轴，BN_Lx轴，垂足分别为M,N,求出直线I的解析式，再分两种情况分别求出G点坐标即可；

（3）根据题意分析得出以AB为直径的圆与x轴只有一个交点，且P为切点，P为MN的中点，运用三角形相似建立

等量关系列出方程求解即可.

h5

~2a=2'

详解：(D由题可得：\c=5,解得〃=1,〃=一5,c=5.

a+Z?+c=1.

2

•••二次函数解析式为：y=x-5x+5.

AFMQ3

⑵作AM一轴’眈口轴，垂足分别为忆N,则百二加二“

]_

k+in=1,

2111、

'9,1，解得/.v,=—x+—D0,

“222;

124

Le1u

同理，yBC———x+5.

S人BCD=SABCG，

:①DG//BC(G在8C下方)，丁3二一;R+；，

3

1+-=X2-5X+5

X即2d-94+9=0，1.内=2，&=3・

22

\'x>—,%=3,G(3,—1).

②G在BC上方时，直线G2G，与QQ关于8c对称.

119119,uU2

••=~~x+~+-=x-5x+5,2x-9^-9=0.

v>5X="3而.c'9+3而67-3而1

综上所述，点G坐标为G(3,-l)；G29+y,67-

(3)由题意可得：k+m=\.

m=1—4，•'.y二区+1一左，/.6+1—k=jf2—5x+5,即厂一(k+5)/+Z+4=0.

/.x}=\,x2=k+41/.B(Z+4,%2+3Z+)

设AZ?的中点为O',

・・・P点有且只有一个，..•以AB为直径的圆与x轴只有一个交点，且尸为切点.

(k+5、

...0。，不轴，厂.P为的的中点，厂.户［—^-,0)

•:MMP^APNB,,：.AM・BN=PN・PM,

PMBN

1X(^2+3^+1)=〃44一^^］—艮［J3^2+64—5=0,A-96>0.

I，八，7

.八.-6+4>/62>/6

•1k>0,:.k=-----=-l+——・