北京市崇文区中考数学模试卷及答案解析

北京市崇文区名校中考数学模试卷

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5亳米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05亳米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.已知入、B两地之间铁路长为450千米，动车比火车每小时多行驶50千米，从A市到B市乘动车比乘火车少用40

分钟，设动车速度为每小时x千米，则可列方程为（）

450450450450

A.=40B.=40

X—50XXx-50

450450_2450450_2

C.D.

Xx+50-3x-50X"3

2.如图是某蓄水池的横断面示意图，分为深水池和浅水池，如果向这个蓄水池以固定的流量注水，下面能大致表示水

的最大深度〃与时间/之间的关系的图象是（）

3.若点（5,）1）,（七,％），伍，为）都是反比例函数），=^^的图象上的点，并且不＜。＜匕＜当，则下列各式中正

x

确的是（（）

A.B.为＜）'3VMC.%＜）’2＜凹D・

4.如图，平面直角坐标系xOy中，矩形。48c的边04、0c分别落在X、轴上，点〃坐标为（6,4）,反比例函数

y=9的图象与45边交于点O,与BC边交于点E,连结OE,将ABDE沿&E翻折至△方OE处，点a恰好落在正

x

比例函数产A*图象上，则k的值是（）

m

5.反比例函数y=—的图象如图所示，以下结论：①常数mV・l；②在每个象限内，y随x的增大而增大；③若点

x

A(-1,h),B(2,k)在图象上，则h<k；④若点P(x,y)在上，则点Pr(-x,・y)也在图象.其中正确结论的个数是()

S

6.如图，已知矩形AEC。中，BC=2ABt点E在边上，连接OE、4E,若E4平分N8E&,则1q"的值为()

'•CDE

A2-73„26-3「273-32-6

A.---------B.----------C.----------In）.---------

2233

7.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到AADE,若NCAE=65。，NE=70。，KAD1BC,NBAC的度

数为（）.

A.60°B.75°C.85°D.90°

8.若()-5二-3,则括号内的数是()

A.-2B.-8C.2D.8

9.在平面直角坐标系中，点P（m・3,2-m）不可能在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

10.随着“三农”问题的解决，某农民近两年的年收入发生了明显变化，己知前年和去年的收入分别是60000元和80000

元，下面是依据①②③三种农作物每种作物每年的收入占该年年收入的比例绘制的扇形统计图.依据统计图得出的以

A.①的收入去年和前年相同

B.③的收入所占比例前年的比去年的大

C.去年②的收入为2.8万

D.前年年收入不止①②③三种农作物的收入

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.估计无理数而在连续整数一与—之间.

12.如国，A、D是€）0上的两个点，BC是直径，若/D=40。，则/OAC=度.

13.方程王一4=2的根是.

14.菱形AHCO中，？A60%其周长为32,则菱形面积为.

15.己知。O半径为1,A、B在OO上，且4区=&,则AB所对的圆周角为一。.

DE

16.如匡，在△ABC中，DE〃BC,若AD=1,DB=2,则一1的值为.

三、解答题（共8题，共72分）

X1

17.（8分）先化简，再求值：—,其中X满足l2一4%+1=（）.

18.（8分）我市正在开展“食品安全城市”创建活动，为了解学生对食品安全知识的了解情况，学校随机抽取了部分学

生进行问卷调查，将调查结果按照“A非常了解、B了解、C了解较少、D不了解”四类分别进行统计，并绘制了下列

两幅统计图（不完整）.请根据图中信息，解答下列问题:

此次共调查了.名学生；扇形统计图中D所在扇形的圆心角

为;将上面的条形统计图补充完整；若该校共有800名学生，请你估计对食品安全知识“非常了解”的学生的人

19.（8分）平面直角坐标系xOy（如图）.抛物线y=-'2+2mx+3m2（m>0）与x轴交干点A、R（点A在点R左侧）.

与y轴交于点C,顶点为D,对称轴为直线I,过点C作直线1的垂线，垂足为点E,联结DC、BC.

(1)当点C(0,3)时,

①求这条抛物线的表达式和顶点坐标;

②求证：ZDCE=ZBCE；

（2）当CB平分NDCO时，求m的值.

20.（8分）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量

为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润”（元）

与销售单价（元）之间的函数关系式；求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；商场的营销部结合上

述情况，提出了A、B两种营销方案

方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元;

方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元

请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由

21.（8分）如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩

形羊圈，求羊圈的边长AB,BC各为多少米？

RC

22.（10分）如图，在RtAABC中，z64CB=90°,过点C的直线MN〃AB,D为AB边上一点，过点D作DEJ_BC,

交直线MN于E,垂足为F,连接CD、BE.求证：CE=AD；当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？

说明理由；若D为AB中点，则当NA=时，四边形BECD是正方形.

23.（12分）如图所示，在RtZXABC中，ZAC£?=90°,用尺规在边RC上求作一点P,使=（不写作法,

保留作鱼痕迹）连接AP当D4为多少度时，AP平分NC43.

24.关于x的一元二次方程f一仕+3）x+2攵+2=0.求证：方程总有两个实数根；若方程有一根小于1,求k的取值

范围.

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、D

【解析】

解：设动车速度为每小时x千米，则可列方程为：-—=1.故选D.

x-50x3

2、C

【解析】

首先看医可知，蓄水池的下部分比上部分的体积小，故h与t的关系变为先快后慢.

【详解】

根据题意和图形的形状，可知水的最大深度h与时间t之间的关系分为两段，先快后慢。

故选：C.

【点睛】

此题考查函数的图象，解题关键在于观察图形

3、B

【解析】

解：根据题意可得：-a?-1<0

・・・反比例函数处于二、四象限，则在每个象限内为增函数，

且当xVO时y>0,当x>0时，y<0,

：•)’2<)’3<3・

4、B

【解析】

根据矩形的性质得到，CB〃x轴，AB〃y轴，于是得到D、E坐标，根据勾股定理得到ED,连接BB，，交ED于F,

过B作B，G_LBC于G,根据轴对称的性质得到BF=B，F,BB」ED求得BIT,设EG=x,根据勾股定理即可得到结论.

【详解】

解；•・,矩形O4BC,

轴，A8〃y轴.

丁点B坐标为(6,1),

・・・。的横坐标为6,£的纵坐标为1.

VD,E在反比例函数)，=9的图象上,

x

3

：.D(6,1),E(一，1),

2

39

：.BE=6--二一，BD=\-1=3,

22

3r-

；・ED川BE2+BD?=5回.连接56，交EO于凡过ZT作/G_L〃C于G.

•:R,方关于EO对称，

：.BF=BTtBB」ED,

:.BF*ED=BE，BD,即-V1I3BF=3乂-,

22

9

：.BF=-=

a3t

18

BB,=I—.

V13

9

设KG=x,贝!jDG=--x.

2

•:BB'2-BG2=B,G2=Eli,2-GE2,

故选B.

【点睛】

本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键.

5、B

【解析】

根据反比例函数的图象的位置确定其比例系数的符号，利用反比例函数的性质进行判断即可.

【详解】

解：・・♦反比例函数的图象位于一三象限,

/.m>0

故①错误；

当反比例函数的图象位于一三象限时，在每一象限内，y随x的增大而减小，故②错误；

将A(・Lh),B(2,k)代入y=—,得到h=-m,2k=m,

x

Vm>0

Ah<k

故③正确；

将P(x,y)代入y=%得到m=xy,将P'(・x,・y)代入y='得至ljm=xy,

XX

故P(x,y)在图象上，则P(-x,-y)也在图象上

故④正碓，

故选：B.

【点睛】

本题考杳了反比例函数的性质，牢记反比例函数的比例系数的符号与其图象的关系是解决本题的关键.

6、C

【解析】

过点A作AFJ_DE于F,根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得AF=AB,利用全等三角形的判定和性质以及

矩形的性质解答即可.

【详解】

在矩形48CO中，AB=CDf

T4E平分N8EO,

：.AF=ABf

■;BC=2AB,

工BC=2AF,

:.ZAD/=30°,

在&AFD与ADCE中

VZC=ZAFD=90",

ZADF=ZDEC,

AF=DC„

:.△AFD乌4DCE(AAS),

・••△COE的面积=△A尸。的面积=,AFxDF=!AFxGAF=苴AB2

222

:矩形ABCD的面积=4B・"C=2A"2,

2

A2AABE的面积=矩形ABCD的面积・2ACDE的面积=(2・6)ABf

・••^ABE的面积=仅一百,

2

2—y/3

・SABE_2_2G_3

S.CDE3

T

故选：c.

【点睛】

本题考查了矩形的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，以及全等三角形的判定与性质，关键是根据角

平分线上的点到角的两边距离相等可得AF=AB.

7、C

【解析】

试题分析：根据旋转的性质知，ZEAC=ZBAD=65°,ZC=ZE=70°.

如图，设AD_LBC于点F.则NAFB=90。，

，在RtAABF中，ZB=900-ZBAD=25°,

・・・在4ABC中，ZBAC=1800-ZB-ZC=18()o-25o-70o=85°,

即NBAC的度数为85。.故选C.

考点：旋转的性质.

8、C

【解析】

根据有理数的减法，减去一个数等于加上这个数的相反数，可得答案.

【详解】

解：2-5=-3,

故选：C.

【点睛】

本题考查了有理数的减法，减去一个数等于加上这个数的相反数.

9、A

【解析】

分点P的横坐标是正数和负数两种情况讨论求解.

【详解】

即m>3时，

2-mVO,

所以，点P（m-3,2-m）在第四象限；

②m・3V0,即mV3时,

2-m有可能大于0,也有可能小于0,

点P（m-3,2-m）可以在第二或三象限，

综上所述，点P不可能在第一象限.

故选A.

【点睛】

本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是:

第一象限（+,+）;第二象限（・，+）;第三象限（・，・）；第四象限（+,-）.

10、C

【解析】

117117

A、前年①的收入为60000x——=19500,去年①的收入为80000x——=26000,此选项错误；

360360

**CM必、bi-11>I_360—135—117、bi-11g360—126—117

B、前年③的收入所占比例为--------------xl00%=30%,去年③的收入所占比例为---------------x100%=32・5%,

360360

此选项错误；

126

C、去年②的收入为80000xU=28000=2.8（万元），此选项正确；

360

D、前年年收入即为①②③三种农作物的收入，此选项错误，

故选c.

【点睛】

本题主要考查扇形统计图，解题的关键是掌握扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量

占总数的百分数，并且通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11、34

【解析】

先找到与11相邻的平方数9和16,求出算术平方根即可解题.

【详解】

解：V>/9<TH<V16,

，3<而<4,

・•・无理数4T在连续整数3与4之间.

【点睛】

本题考查了无理数的估值，属于简单题，熟记平方数是解题关键.

12、50

【解析】

根据8C是直径得出N8=NO=40。，NBAC=90。，再根据半径相等所对应的角相等求出NBAO,在直角三角形BAC

中即可求出NOAC

【详解】

2BC是直径,ZD=40°,

AZB=ZD=40°,ZBAC=90°.

VOA=OB,

AZBAO=ZB=40o,

.*.ZOAC=ZBAC-ZBAO=90°-40=50°.

故答案为：50

【点睛】

本题考查了圆的基本概念、角的概念及其计算等腰三角形以及三角形的基本概念，熟悉掌握概念是解题的关键

13>1.

【解析】

把无理方程转化为整式方程即可解决问题.

【详解】

两边平方得到：2x-l=l,解得：X=l,经检验：41是原方程的解.

故答案为：1.

【点睛】

本题考查了无理方程，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，注意必须检验.

14、328

【解析】

分析：根据菱形的性质易得AB=BC=CD=DA=8,AC±BD,OA=OC,OB=OD,再判定△ABD为等边三角形，根据

等边三角形的性质可得AB=BD=8,从而得OB=4,在RMAOB中，根据勾股定理可得OA=4g,继而求得

AC=2AO=8百，再由菱形的面积公式即可求得菱形ABCD的面积.

详解：・・•菱形A5C。中，其周长为32,

/.AB=BC=CD=DA=8,AC±BD,OA=OC,OB=OD,

VZA=60%

•••△ABD为等边三角形，

AAB=BD=8,

AOB=4,

在RtAAOB中，OB=4,AB=8,

根据勾股定理可得OA=473,

AAC=2AO=8V3»

・•・菱形ABCD的面积为：-AC£?D=-X8^X8=32>/3.

22

点睛：本题考查了菱形性质:1.菱形的四个边都相等；2.菱形对角线相互垂直平分，并且每一组对角线平分一组对角;

3.菱形面积公式=对角线乘积的一半.

15、45”或135。

【解析】

试题解析：如图所示,

VOC±ABf

为A8的中点，即AC=BC=，A5=72

22，

在RtAAOC中,OA=1,AC=—,

2

根据勾股定理得：0C=JO/V—AC?=走，即OC=AC,

2

•••△AOC为等腰直角三角形,

/.ZAOC=45,

同理N8OC=45,

ZAOB=ZAOC+ZBOC=90,

VZAOB与NAO3都对AB，

ZADB=-ZAOB=45,

2

丁大角ZAOB=270,

ZAEB=i35.

则弦AB所对的圆周角为45或135.

故答案为45或135.

16.-

3

【解析】

DE/7BC

ADDE

ABBC

DE1

R即n——=-

BC3

三、解答题(共8题，共72分)

x2+1

17、

x

【解析】

原式括号中的两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，再与括号外的分式通分后利用同分母分式的加法法则计算,

约分得到最简结果，将/一4工+1=0变形为V+i=4x,整体代入计算即可.

【详解】

xx(x-l)1

解：原式=|

x-1x(x-l)x(x-l)

X2X2-^+1

A—1—1)

X3X2-x+1

x(x_1)x(x-l)

x3-X2+X-1

屹-1)

x2(x-l)+(x-l)

X-v-D

x2+l

X

VX2-4X+1=0»

•**x2+1=4x,

，原式二4七v二4

x

【点睛】

本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则.

18、(1)120；(2)54°；(3)详见解析(4)1.

【解析】

(1)根据B的人数除以占的百分比即可得到总人数;

(2)先根据题意列出算式，再求出即可;

(3)先求出对应的人数，再画出即可；

(4)先列出算式，再求出即可.

【详解】

(1)(25+23)4-40%=120(名)，

即此次共调查了120名学生，

故答案为120；

,、10+8

(2)360°x------=54°,

120

即扇形统计图中D所在扇形的圆心角为54。,

故答案为54。；

答：估计对食品安全知识“非常了解”的学生的人数是1人.

【点睛】

本题考杳了条形统计图、扇形统计图，总体、个体、样本、样本容量，用样本估计总体等知识点，两图结合是解题的

关键.

19、(1)y=-X2+2X+3；D(1,4)；(2)证明见解析；(3)m=—；

3

【解析】

(1)①把C点坐标代入产・C+2mx+3m2可求出m的值，从而得到抛物线解析式，

然后把一般式配成顶点式得到D点坐标；

②如图1,先解方程・x2+2x+3=0得B(3,0),则可判断AOCB为等腰直角三角形得到N

OBC=45°,再证明△CDE为等腰直角三角形得到NDCE=45。，从而得至！］NDCE=NBCE；

(2)抛物线的对称轴交x轴于F点，交直线BC于G点，如图2,把一般式配成顶点式得

到抛物线的对称轴为直线x=m,顶点D的坐标为(m,4m2),通过解方程f2+2mx+3m2=0

得B(3m,0),同时确定C(0,3m2),再利用相似比表示出GF=2m2,则DG=2m2,接着证

明NDCG=NDGC得至IJDC二DG,所以0?+(4m2-3nr)2=4m4,然后解方程可求出m.

【详解】

(1)①把C(0,3)代入y=-、2+2mx+3m2得3m2=3,解得mi=l,m2=-1(舍去),

・••抛物线解析式为y=-x2+2x+3；

V)，=-x2+2x+3=-(x-I)2+4,

・•・顶点D为(1,4)；

②证明：如图1,当产0时，・X2+2X+3=0,解得XI=-1,X2=3,则B(3,0),

VOC=OB,

AAOCB为等腰直角三角形，

:.ZOBC=45°,

直线x=l,

/.ZBCE=45°,

VDE=1,CE=1,

/.△CDE为等腰直角三角形，

AZDCE=45°,

r.ZDCE=ZBCE；

(2)解：抛物线的对称轴交x轴于F点，交直线BC于G点，如图2,

y=-x2+2mx+3m2=—(x—+4w2,

・••抛物线的对称轴为直线x=m,顶点D的坐标为（m,4m2）,

当y=0时，・x2+2mx+3m2=0,解得xi=・m,X2=3m,贝!|B(3m,0),

当x=0时，y=-x2+2mx+3m2=3m2,贝(JC(0,3m2),

VGF/7OC,

GFBFGF2m皿但,

■—=——,nBnP,解得GF=2n?,

OCBO3m23m

/.DG=4nr-2m2=2m2,

VCB平分NDCO,

AZDCB=ZOCB,

VZOCB=ZDGC,

/.ZDCG=ZDGC,

ADC=DG,

即nr+(4nr-3m2)2=4m4,

/.m~=-

3

而m>0,

本题考杳了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的性质；会利

用待定系数法求函数解析式；灵活应用等腰直角三角形的性质进行几何计算；理解坐标与图形性质，记住两点间的距

离公式.

20、(1)W=-10X24-700X-10()00;(2)即销售单价为35元时，该文具每天的销售利润最大；

(3)A方案利润更高.

【解析】

试题分析：(1)根据利润=(单价-进价)X销售量，列出函数关系式即可.

(2)根据(1)式列出的函数关系式，运用配方法求最大值.

(3)分别求出方案A、B中x的取值范围，然后分别求出A、B方案的最大利润，然后进行比较.

【详解】

解：(1)w=(x-20)(250-10x4-250)=-10x2+700x-10000.

(2)Vw=-10x2+700x-10000=~10(x-35)2+2250

，当x=35时，w有最大值2250,

即销售单价为35元时，该文具每天的销售利润最大.

(3)A方案利润高，理由如下：

A方案中：20Vx£30,函数w=-10(x-35)2+2250随x的增大而增大，

，当x=30时，w有最大值，此时，最大值为2000元.

[-10x+500>10

B方案中：〈.A«，解得x的取值范围为：45金“9.

x-20>25

•・・45Wx99时，函数w=-l。(x-35)2+2250随x的增大而减小，

，当x=45时，w有最大值，此时，最大值为1250元.

V20001250,

・,・A方案利润更高

21、羊隆的边长AB,BC分别是20米、20米.

【解析】

试题分析：设AB的长度为x米，则BC的长度为(100-4X)米；然后根据矩形的面积公式列出方程.

试题解析：设AB的长度为x米，则BC的长度为(100-4x)米.根据题意得(100-4x)x=400,

解得xi=20,x2=l.则100-4x=20或100-4x=2.V2>21,・・.X2=1舍去.即AB=20,BC=20

考点：一元二次方程的应用.

22、(1)详见解析；(2)菱形；(3)当NA=45。，四边形BECD是正方形.

【解析】

(1)先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；

⑵求出四边形BECD是平行四边形，求出CD=BD,根据菱形的判定推出即可；

(3)求出ZCDB=90°,再根据正方形的判定推出即可.

【详解】

(1)VDE±BC,

/.ZDFP=90°,

VZACB=90°,

/.ZDFB=ZACB,

ADE//AC,

VMN//