北京市房山区2024年中考数学模拟试卷含解析

北京市房山区名校2024年中考数学模拟精编试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将木试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.如图，△ABC中，ZC=90°,D、E是AB、BC上两点，将AABC沿DE折叠，使点B落在AC边上点F处，并

且DF〃BC,若CF=3,BC=9,则AB的长是（）

2.港珠澳大桥是连接香港、珠海、澳门的超大型跨海通道，全长约55000米，把55000用科学记数法表示为（）

A.55x1伊B.5.5x104C.5.5x10sD.0.55xl05

3.如图,AADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90。,得4ABF,连接EF交AB于H,有如下五个结论①AEJLAF；

@EF：AF=V2：1;③AF2=FH・FE；®ZAFE=ZDAE+ZCFE(5)FB：FC=HB：EC.贝！1正确的结论有()

B.3个C.4个D.5个

4.如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C,再

经过一段坡度（或坡比）为i=l：0.75、坡长为10米的斜坡CD到达点D,然后再沿水平方向向右行走40米到达点E

（A,B,C,I）,E均在同一平面内）.在E处测得建筑物顶端A的仰角为24。，则建筑物AB的高度约为（参考数据:

sin24°M).41,cos24°=0.91,tan240=0.45)()

C.27.4米D.28.8米

5.已知血=l+&,〃=1一血，则代数式加2+（_3〃〃？的值为（）

A.±3B.3C.5D.9

6.将一副三角板和一张对边平行的纸条按如图摆放，两个三角板的一直角边重合，含30。角的直角三角板的斜边与纸

条一边重合，含45。角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则N1的度数是（）

7.一、单选题

如图，△ABC中，AB=4,AC=3,BC=2,将△ABC绕点A顺时针旋转60。得到△AED,则BE的长为（）

A.5B.4C.3D.2

8.随着服装市场竞争日益激烈，某品牌服装专卖店一款服装按原售价降价20%,现售价为。元，则原售价为（）

A.（fl-20%）元B.（。+20%）元C.y元D.u〃元

■4，■

9.如果将直线h：y=2x-2平移后得到直线L：y=2x,那么下列平移过程正确的是（）

A.将h向左平移2个单位B.将h向右平移2个单位

C.将h向上平移2个单位D.将h向下平移2个单位

10.如匡，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的。O的圆心O在格点上，则NBED的正切值等于（）

B

E

A2行R行「，

A.-----B.——C.2

5519

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11.已知正比例函数的图像经过点.?）、二（口.二.、二（n7二）如果二二二，那么二,-------Z；-（填“>”、

“=”、“V”)

12.如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME±AM,ME交AD的延长线于点E.若AB=12,BM=5,贝ljDE

的长为.

13.若A（-3,y）B（-2,y2）,C（1,y3）三点都在y=—」的图象上，则y,yz,y3的大小关系是___.（用“V”

x

号填空）

14.在△ABC中，若NA,N5满足|cosA-』|+（siiiB一正尸=0,则NC=_______.

22

15.己知点（・Lm）、（2,11）在二次函数丫=2乂2-22乂-1的图象上，如果m>n,那么a0（用“〉”或"V”连接）.

16.如匡，在△ABC中，AB=AC,AH±BC,垂足为点H,如果AH=BC,那么sin/BAC的值是__.

17.己知点尸是线段A5的黄金分割点，PA>PBtAB=4cm,则以=cm.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）如图所示，正方形网格中，△ABC为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）.

（1）把△ABC沿BA方向平移后，点A移到点Ai,在网格中画出平移后得到的△AIiG；

（2）把△A1B1G绕点Ai按逆时针方向旋转90。，在网格中画出旋转后的AAiB2c2；

（3）如果网格中小正方形的边长为1,求点B经过（1）、（2）变换的路径总长.

19.（5分）某家电销售商场电冰箱的销售价为每台1600元，空调的销售价为每台140。元，每台电冰箱的进价比每台

空调的进价多300元，商场用9000元购进电冰箱的数量与用7200元购进空调数量相等.

（1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？

（2）现在商场准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱x台，这100台家电的销售利润为Y元，要求购进

空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于16200元，请分析合理的方案共有多少种？

（3）实际进货时，厂家对电冰箱出厂价下调K（0VKV150）元，若商场保持这两种家电的售价不变，请你根据以上

信息及（2）中条件，设计出使这100台家电销售总利润最大的进货方案.

20.（8分）甲、乙两组工人同时开始加工某种零件，乙组在工作中有一次停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效

率是原来的2倍.两组各自加工零件的数量y（件）与时间x（时）之间的函数图象如下图所示.求甲组加工零件的数

量y与时间x之间的函数关系式.求乙组加工零件总量a的值.

21.（10分）知识改变世界，科技改变生活.导航装备的不断更新极大方便了人们的出行.如图，某校组织学生乘车到黑

龙滩（用C表示）开展社会实践活动，车到达A地后，发现C地恰好在A地的正北方向，且距离A地13千米，导航

显示车辆应沿北偏东60。方向行驶至B地，再沿北偏西37。方向行驶一段距离才能到达C地，求B、C两地的距离.（参

22.（10分）试探究：

小张在数学实践活动中，画了一个AABC,ZACfi=90°,BC=1,AC=2t再以点〃为圆心，8C为半径画弧交

于点。，然后以A为圆心，40长为半径画弧交AC于点£,如图1,则A£=；此时小张发现/4£2=从0£。,

请同学仁验证小张的发现是否正确.

拓展延伸：

小张利用图1中的线段AC及点心构造连接AP,得到图2,试完成以下问题：

（1）求证：AAC'/s△尸CE;

（2）求乙4的度数；

（3）求cosZA的值；

应用迁移：利用上面的结论，求半径为2的圆内接正十边形的边长.

23.（12分）如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台（矩形ABCD）靠墙摆放，SAD=80cm,宽AB=48cm,小

强身高166cm,下半身FG=100cm,洗漱时下半身与地面成80。（NFGK=80"），身体前倾成125。（NEFG=125。）,

脚与洗漱台距离GC=15cm（点D,C,G,K在同一直线上）.（cos80°=0.17,sin80。洸.98,e=1.414）

（1）此时小强头部E点与地面DK相距多少？

（2）小强希望他的头部E恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方，他应向前或后退多少？

24.（14分）如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE,AC=DF,BE=CF,求证：AB〃DE.

AD

B

E

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、C

【解析】

由折叠得到EB=EF,ZB=ZDFE,根据CE+EB=9,得到JCE+EF=9,设EF=x,得至I]CE=9-x,在直角三角形CEF中,

利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出EF与CE的长，由FD与BC平行，得到一对内

错角相等，等量代换得到一对同位角相等，进而确定出EF与AB平行，由平行得比例，即可求出AB的长.

【详解】

由折叠得至EB=EF,ZB=ZDFE,

在R3ECF中，设EF=EB=x,得到CE=BC・EB=9・x,

根据勾股定理得：EF2=FC2+EC2,即X2=32+（9-x）2,

解得：x=5,

AEF=EB=5,CE=4,

VFD/7BC,

/.ZDFE=ZFEC,

/.ZFEC=ZB,

AEF/7AB,

.EFCE

a•-----=-----•

BC

EF・BC5x945

贝！JAB=

44

故选C.

【点睛】

此题考查了翻折变换（折叠问题），涉及的知识有：勾股定理，平行线的判定与性质，平行线分线段成比例，熟练掌握

折叠的性质是解本题的关键.

2、B

【解析】

科学记数法的表示形式为axion的形式，其中l<|a|<10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动

了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.

【详解】

55000是5位整数，小数点向左移动4位后所得的数即可满足科学记数法的要求，由此可知10的指数为4,

所以，55000用科学记数法表示为5.5x10。

故选B.

【点睛】

本题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axion的形式，其中10a|〈1O,n为整数，表示时关键要正

确确定a的值以及n的值.

3、C

【解析】

由旋转性质得到△AFBWZXAED,再根据相似三角对应边的比等于相似比，即可分别求得各选项正确与否.

【详解】

解：由题意知，△AFBgZkAED

AAF=AE,ZFAB=ZEAD,ZFAB+ZBAE=ZEAD+ZBAE=ZBAD=90

AAE±AF,故此选项①正确；

AZAFE=ZAEF=ZDAE+ZCFE,故④正确；

•••△AEF是等腰直角三角形，有EF:AF=&：1,故此选项②正确；

VAAEF与4AHF不相似，

/.AF2=FHFE不正确.故此选项③错误，

VHB//EC,

.,.△FBH^AFCE,

AFB:FC=HB:EC,故此选项⑤正确.

故选：C

【点睛】

本题主要考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练地应用旋转的性质以

及相似三角形的性质是解决问题的关键.

4、A

【解析】

作BM1ED交ED的延长线于M,CNJ.DM于N.首先解直角三角形RtACDN,求出CN,DN,再根据tan24°=—,

EM

构建方程即可解决问题.

【详解】

作BM_LED交ED的延长线于M,CNJ_DM于N.

.*.CD=10,

/.(3k)2+(4k)2=100,

ACN=8,DN=6,

・・•四边形BMNC是矩形,

ABM=CN=8,BC=MN=20,EM=MN+DN+DE=66,

〜-AM

在RSAEM中，tan24o=------

EM

8+AB

,0.45=----------,

66

AAB=21.7(米),

故选A.

【点睛】

本题考查的是解直角三角形的应用一仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.

5、B

【解析】

由已知可得：m+〃=2,mn=(1+5/2)(1—>/2)=-1>+tr—3nm=J(口+〃了-5〃?〃.

【详解】

由已知可得：m+n=2,mn=(\+>/2)(l-y/2)=-\»

原式=y](in+n)2-5nm=^22-5x(-1)=M=3

故选：B

【点睛】

考核知识点：二次根式运算.配方是关铤.

6、A

【解析】

试题分析：如图，过A点作AB〃a,.*.Z1=Z2,Va/7b,/.AB/7b,AZ3=Z4=30°,而N2+N3=45。，，N2=15。,

/.Zl=15o.故选A.

a

方

考点：平行线的性质.

7、B

【解析】

根据旋转的性质可得AB=AE,ZBAE=60%然后判断出△AEB是等边三角形，再根据等边三角形的三条边都相等可

得BE=AB.

【详解】

解：•・•AABC绕点A顺时针旋转60。得到△AED,

.\AB=AE,ZBAE=60°,

•••△AEB是等边三角形，

ABE=AB,

VAB=1,

ABE=1.

故选B.

【点睛】

本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，主要利用了旋转前后对应边相等以及旋转角的定义.

8、C

【解析】

根据题意列出代数式，化简即可得到结果.

【详解】

根据题意得：a+(l-20%)=a+j=.a(元)，

■■

故答案选：C.

【点睛】

本题考查的知识点是列代数式，解题的关键是熟练的掌握列代数式.

9、C

【解析】

根据“上加下减”的原则求解即可.

【详解】

将函数y=2x-2的图象向上平移2个单位长度，所得图象对应的函数解析式是y=2x.

故选：C.

【点睛】

本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象变换的法则是解答此题的关键.

10、D

【解析】

根据同弧或等弧所对的圆周角相等可知NBED=NBAD,再结合图形根据正切的定义进行求解即可得.

【详解】

VZDAB=ZDEB,

.\tanZDEB=tanZDAB=-，

2

故选I）.

【点睛】

本题考查了圆周角定理（同弧或等弧所对的圆周角相等）和正切的概念，正确得出相等的角是解题关键.

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、>

【解析】

分析：根据正比例函数的图象经过点M（・1,1）可以求得该函数的解析式，然后根据正比例函数的性质即可解答本

题.

详解：设该正比例函数的解析式为广3则得：〃=・0.5,・••尸-0.5x.・・,正比例函数的图象经过点A（XB

》）、B（xi,ji）,xi<xi,

故答案为》.

点睛：本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用正比例函数的性质解答.

12吧

5

【解析】

由勾股定理可先求得AM,利用条件可证得△ABMSAEMA,则可求得AE的长，进一步可求得。£

【详解】

详解：•・•正方形A8C。，

z.z^=9(r.

V4«=12,BM=5,

9

：ME.LAMf

二NAM£=90°=N5.

VNb/1E=9O°,

，ZBAM+ZMAE=ZMAE+ZEf

/.NBAM=NE,

•••△ABMSZXEMA,

.BMAM513

・・------=,gBpn—=,

AMAE13AE

169

：.AE=——，

5

169109

：.DE=AE-AD=--------12=一.

55

故答案为祟.

【点睛】

本题主要考查相似三角形的判定和性质，利用条件证得△ABM^^EMA是解题的关键.

13、ya<yi<yi

【解析】

根据反比例函数的性质kVO时，在每个象限，y随X的增大而增大，进行比较即可.

【详解】

解：k=-l<0,

・・・在每个象限，y随x的增大而增大，

V-3<-l<0,

AO<yi<yi.

又・・T>0

3Vo

•*«y3<yi<yi

故答案为：ysVyiVyi

【点睛】

本题考查的是反比例函数的性质，理解性质：当k>0时，在每个象限，y随x的增大而减小，kVO时，在每个象限,

y随x的增大而增大是解题的关键.

14、75°

【解析】

【分析】根据绝对值及偶次方的非负性，可得出cosA及sinB的值，从而得出NA及NB的度数，利用三角形的内角

和定理可得出NC的度数.

【详解】•..|cosA—L+(sinB——?j2=0,

22

..1.R&

..cosA=—,$inB=-----,

22

/.ZA=60°,ZB=45°,

ZC=1800-ZA-ZB=75°,

故答案为：75°.

【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值及非负数的性质，解答本题的关键是得出cosA及sinB的值，另外要求我们

熟练掌握一些特殊角的三角函数值.

15、>；

【解析】

Vy=ax2-2ax-1=a(x-l)2-a-l,

，抛物线对称轴为：x=l,

由抛物线的对称性，点(-1,m)、(2,n)在二次函数丫=@*2-2@乂-1的图像上,

V|-1-1|>|2-1|,JBLm>n,

:.a>0.

故答案为〉

16、-

5

【解析】

过点B作BD_LAC于D,设AH=BC=2x,根据等腰三角形三线合一的性质可得BH=CH='BC=x,利用勾股定理列

2

式表示出AC,再根据三角形的面积列方程求出BD,然后根据锐角的正弦二对边：斜边求解即可.

【详解】

如图，过点B作BD_LAC于D,设AH=BC=2x,

根据勾股定理得，AC=y]AH2+CH2=7（2X）2+X2=X,

I1

SAABC=-BC*AH=-AC*BD，

22

„11

n即一・2x・2x=—・Jr,x・BD,

22

解得BC=^x,

5

4一.

所以，sinNBAC=BD_5A_4.

ABy/5x5

4

故答案为《.

J

17、2石一2

【解析】

根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP=41二1AB,代入运算即可.

2

【详解】

解：由于P为线段AB=4的黄金分割点，

且AP是较长线段；

贝!]AP=4x_1=2（>/5-1）cm,

故答案为：（2君-2）cm.

【点睛】

此题考查了黄金分割的定义，应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的邑1,难度一般.

2

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、（1）（2）作图见解析；（3）2及十乃乃.

2

【解析】

（1）利用平移的性质画图，即对应点都移动相同的距离.

（2）利用旋转的性质画图，对应点都旋转相同的角度.

（3）利用勾股定理和弧长公式求点B经过（1）、（2）变换的路径总长.

【详解】

解：（1）如答图，连接AAi,然后从C点作AA1的平行线且AiC尸AC,同理找到点B”分别连接三点，△AiBiCi即

为所求.

（2）如答图，分别将AiBi,AiG绕点Ai按逆时针方向旋转90。，得到Bz,C2,连接B2c2,AAiB2c2即为所求.

（3）VB"==2&,珞e=9。；；,二等乃，

・•・点B所走的路径总长=2四+显兀.

2

考点：1.网格问题；2.作图（平移和旋转变换）；3.勾股定理；4.弧长的计算.

19、（1）每台空调的进价为1200元，每台电冰箱的进价为1500元；（2）共有5种方案；

（3）当100VkV150时，购进电冰箱38台，空调62台，总利润最大；当OVkVIOO时，购进电冰箱34台，空调66

台，总利润最大，当k=100时，无论采取哪种方案，yi恒为20000元.

【解析】

（1）用“用9000元购进电冰箱的数量与用7200元购进空调数量相等”建立方程即可；（2）建立不等式组求出x的范围，

代入即可得出结论；（3）建立y尸（k-100）x+20000,分三种情况讨论即可.

【详解】

（1）设每台空调的进价为m元，则每台电冰箱的进价（m+300）元，

9000=7200

由题意得,

m+300m

Am=1200,

经检验，m=1200是原分式方程的解，也符合题意，

.*.m+300=1500元，

答：每台空调的进价为1200元，每台电冰箱的进价为1500元；

(2)由题意,y=(1600-1500)x+(1400-1200)(100-x)=-100x+20000,

♦♦-l(X)Jt+200(X)>16200

・1100-x<2

/.33-<x<38,

3

・・・x为正整数，

Ax=34,35,36,37,38,

即：共有5种方案：

(3)设厂家对电冰箱出厂价下调k(0<k<150)元后，这100台家电的销售总利润为”元，

Ayi=(1600-1500+k)x+(1400-1200)(100-x)=(k-100)x+20000,

当100VkV150时，yi随x的最大而增大，

・・・x=38时，y।取得最大值，

即：购进电冰箱38台，空调62台，总利润最大，

当OVkVIOO时，yi随x的最大而减小，

；・x=34时，yi取得最大值,

即：购进电冰箱34台，空调66台，总利润最大，

当k=100时，无论采取哪种方案，yi恒为20000元.

【点睛】

本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，不等式组的应用，根据题意找出等量关系是解题的关键.

20、(1)y=60x；(2)300

【解析】

(1)由题图可知，甲组的y是x的正比例函数.

设甲组加工的零件数量y与时间x的函数关系式为y=kx.

根据题意，得6k=360,

解得k=6().

所以，甲组加工的零件数量y与时间x之间的关系式为y=60x.

（2）当x=2时，y=100.因为更换设备后，乙组工作效率是原来的2倍.

a-100100汽

所以--------=——x2,解得a=300.

4.828----2

21、(20-573)千米.

【解析】

分析：作BDJ_AC,设AD=x,在R3ABD中求得BD=GX,在RlABCD中求得CD二型x,由AC=AD+CD建

3

立关于x的方程，解之求得x的值，最后由BC=—处1可得答案.

cosADBC

详解：过点B作BD_LAC,

依题可得：ZBAD=60°,ZCBE=37°,AC=13(千米),

VBD1AC,

AZABD=30°,ZCBD=53°,

在RtAABD中,设AD=x,

,AD

..tanZABD=-----

BD

,3coAD\/3

即BrTtan300=-----=——,

BD3

r.BD=^x,

在RtADCB中,

,CD

.,.tanZCBD=——

BD

CD4

H即ntan530=-----=—

BD3

,CD普

VCD+AD=AC,

,x+46'=13,解得，x=4\/3-3

3

・・・BD=12・3G

在RSBDC中,

,BD

:.cosNCBD=tan600=,

BC

配nr———J220-5人工米

即：RC=cos/DBC3（千米），

5

故B、C两地的距离为（20・56）千米.

点睛：此题考查了方向角问题.此题难度适中，解此题的关键是将方向角问题转化为解直角三角形的知识，利用三角

函数的知识求解.

22、（1）小张的发现正确；（2）详见解析；（3）ZA=36°；（4）75-1

【解析】

尝试探究：根据勾股定理计算即可；

ATApArFC

拓展延伸：（1）由AE2=4C・£C,推出一上二一匕，又AE=FC,推出一上二一上,即可解问题；

AEECFCEC

（2）利用相似三角形的性质即可解决问题；

（3）如图，过点尸作尸ML1C交AC于点M,根据COSNA=3^,求出AM、AP即可；

应用迁移：利用（3）中结论即可解决问题；

【详解】

解：尝试探究：石-1;

VZACB=90°,BC=1,AC=2f

：.AB=后,

：.AD=AE=^-\，

*：AE2=（V5-1）?=6-2后,

AOEC=2x[2-（75-1）J=6-25/5,

2

：.AE=A&ECt

，小张的发现正确：

拓展延伸：

2

(1)VAE=AC^ECt

・AC_AE

•:AE=FC,

.ACFC

••二,

FCEC

又・・・NC=NC,

:•△ACFsAFCE；

(2)•:△ACFsMCE,:・NAFC=NCEF,

又VEF=FC,

:・/C=4CEF,