博士计量经济学试题

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《计量经济学》博士研究生入学试题(A)解答

一、简答题

1、指出稳健标准误和稳健/统计量的适用条件。

答：稳健标准误和稳健/统计量的适用条件是样本容量较大的的场合。在大样本容量的情况下，一

般在横截面数据分析中总是报告稳健标准误。在小样本情况下，稳健f统计量不那么接近，分布，

从血口J能导致推断失误。

2、若回归模型的随机误差项可能存在4(^>1)阶自相关，应采用什么检验？其检验过程和检验

统计量是什么？

答：如果模型：y,=4)…的误差项满足：

g=P1G-1+夕2邑-2+…+Pq£”q+匕，其中匕是白噪声。

原假设“0：夕［=0,22=0,…，凡=0

那么，以下两种回答都可以。

1)、(1).K对乙，巧，…，%(=12…,7)做OLS回归，求出OLS残差£,；

(2).3对芭,,々,，…，%，百一自.2,…，£,―/做(%5回归，(+….丁)，得到中；

(3).计算⑵中的£.，£,_2,…，5r联合尸检验统计量。若尸检验统计量大于临界值，则判

定回归模型的随机误差项存在ty(4>1)阶自相关；否则，则判定判定回归模型的随机

误差项不存在q(9>1)阶自相关。

2)、完成了1)中的(1)、(2)两步以后，运用布劳殊一戈弗雷检验(BreschGoldferytest)

LM=(JT-q)R2,由于它在原假设〃。成立时渐近服从I?./分布。当大于临界值，

则判定回归模型的随机误差项存在“(夕>1)阶自相关；否则，判定回归模型的随机误

差项不存在q(q>l)阶自相关。

3、谬误回归的主要症状是什么？检验谬误回归的方法主要有哪些？在回归中使用非平稳的时间

序列必定会产生伪回归吗？

答:格兰杰(Granger)和纽博尔德(Newbold)认为在用时间序列数据进行回归估计时，如果R?在

数值上大于德宾-沃特森统计量，则我们应当怀疑有谬误回归存在.

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检验谬误回归的方法主耍是用DF和ADF检验考察回归的残差是否服从1(0),进出判定变量之

间的关系是否为协积的，从而检验出谬误回归的存在性。

回归中使用非平稳的时间序列不一定会产生谬误回归，比如两个协积的变量，虽然它们可以非

平稳，但是不会产生谬误回归。

4、一般的几何滞后分布模型具有形式：y=。+双£(1-4)\乙+£,,E(£,)=0,

I=O

=b2a*,0<2<1o

如何对这类模型进行估计，才能获得具有较好性质的参数估计量？

答：对一般的几何滞后分布模型y,,有限的观测不可能估计无限的参

*=0

数。为此，必须对模型形式进行变换：

00

注意到：)%=%)+%42(1-2)'苍+|+弓-1，从而：

1=0

由于y-与相关，所以该模型不能用OLS方法进行估计，必须采用诸如工具变量等方法

进行估计，才能获得具有较好性质的参数估计量。

5、假定我们要估计一元线性回归模型：

2

y=a±px,+q,Mq)=0,cov(^,^)-cra>rs

但是担心看可能会有测量误差，即实际得至U的3可能是京=匕+匕，匕是白噪声。如果已经知道

存在与X；相关但与£,和匕不相关的工具变量z,,如何检验工是否存在测量误差？

答：已知存在与X；相关但与J和匕不相关的工具变量z,,用最小二乘法估计模型X；=旬+。,+匕，

得到残差苗=年-年-4小把残差工作为解释变量放入回归方程y,=a+您+即+%,用最小二

乘法估计这个人工回归，对显着性假设运用通常的一检验。

"0：3=0(匕与j之间没有相关性)

储：5工()(匕与J之间有相关性)

注意，由y=a+我可推得y-夕一位,=能+应，即：£,=dv,+u,<,

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利用对“=a+/K+j所做回归得到的残差3替代%,对系数6作OLS估计，当”检验显着时就

表明X,与邑之间有相关性，即%存在测量误差。否则就没有。

6、考虑一个单变量平稳过程

M=%）+%）■+几芭+与（1）

这里,=/7D（O,cr2）以及|aj<lo

由于（1）式模型是平稳的，,和项都将达到静态平衡值，即对任何/有：

<=MK）,/=E（x）

于是对（1）式两边取期望，就有

），.=劭+药<+儿/+'/•(2)

也就是

«。()(夕0+夕I)*1,1*

y=———+~尤=k+kx(3)

1-(71]一%01

这里占是〈关于R的长期乘数，

重写（1）式就有：

=。0+（四—一k（、_4毛_［）+。0琳+3(4)

我们称（4）式为（1）式的误差修正机制（Error-correctionMechanism）表达式（ECM）0在（4）

式中我们可以发现长期均衡的正、负偏离对短期波动的作用是对称的。假如这种正、负偏离

对短期波动的作用不是对称的，那么模型应该如何设计与估计？

答：若对误差修正（ECM）模型，假如发现长期均衡的正、负偏离对短期波动的作用是非对称的

话，模型可以设计如下：

1”叫演为虚拟变量，表示Y偏离的方向。

其中九=«

1。y,^fM

当以正偏离时，=i,误差修正项系数为

当上为负偏离时，=o,误差修正项系数为心。

参数估计的方法可用MLE,也可用OLS。

7、检验计量经济模型是否存在异方差，可以用布罗歇一帕甘检验（BreuschPagan）和怀

特（White）检验，请说明这二种检验的差异和适用性。

答:当人们猜测异方差只取决于某些解释变量时，布罗歇一帕甘检验（BreuschPagan）比较适合

使用；当人们猜测异方差不仅取决于某些解释变量，还取决于这些自变量的平方和它们的交叉

乘积项时，怀特（White）检验比较适合使用。虽然，有时使用布罗歇一帕甘检验无法检验出

异方差的存在，但用怀特（White）检验却能检测出来。不过，怀特（White）检验要用掉很多

自由度。

8、在模型设定时，如果遗漏重要变量，那么模型中保留下来的变量系数的OLS估计是无

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偏和一致的吗？请举简例说明。

答：在模型设定时，如果遗漏重要变量，那么模型中保留下来的变量系数的OLS估计通常是有偏和

不一致的。例如，假定工资模型为：

如果估计时遗漏了变量〃/也，得到如下估计模型：

即使假定ed〃c,exper无关,我们也容易证明反与A也都是有偏和不一致的，且有：

由于/73>0,并且变量比/〃c与a〃〃正相关，因此，。是正偏误和不-一致的。

二、综合题

1、为了比较A、8和。三个经济结构相类似的城市由于不同程度地实施了某项经济改革政策后的

绩效差异，从这三个城市总计+NB+N。个企业中按一定规则随机抽取〃八+〃H+〃（.个样本企

业，得到这些企业的劳动生产率），作为被解释变量,如果没有其它可获得的数据作为解释变量，

并且A城市全面实施这项经济改革政策，B城市部分实施这项经济改革政策，。城市没有实施这

项经济改革政策。如何建立计量经济模型检验A、8和C这三个城市之间由于不同程度实施某项

经济改革政策后存在的绩效差异？

解：把4、8两个城市中第i企业的劳动生产率y写成如下模型：

、=&+即4+加防+与，

（1）

这里，虚拟变量。八可表示为：

J1,第i个企业来自于城市A（2）

L[（）,其它

A[1,第i个企业来自于城市4（3）

，寸0.其它

于是，参数a表示城市C企业的期望劳动生产率，而参数/表示城市A企业的期望劳动生产率

与城市C企业的期望劳动生产率之间的差异，即a+夕表示城市A企业的期望劳动生产率;参数/表

示城市B企业的期望劳动生产率与城市C企业的期望劳动生产率之间的差异，即。+/表示B城市

企业的期望劳动生产率，即：

a+=1,Df^=0

顼y,）=a+y，DAi=o,DBi=\（4）

a、DAi=0,DBi=0

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要检验城市A企业的期望劳动生产率与城市B企业的期望劳动生产率之间的有无显着差异，改

写模型为：

X=a+8DA.+yiDBi+DA.）+s.,

其中，8-p-yx与〜N（0Q2）；

此时，有：

a+y+S,DAi=1,DBi=0

E（y）=<a+y,。*=（）,。所=1（5）

a,D.S=0

运用t检验看参数6是否显着地不为0,否则就认为城市A企业的期望劳动生产率与城市B企业的

期望劳动生产率之间无显着差异

2、用观测值y，…,y20和x（），为，…,与（）估计模型

得到的OLS估计值为

R2=0.86和a2=25

括号内为t统计量。由于自的t值较小，去掉滞后回归自变量为-重新估计模型，这时，R2为多少？

解：去掉滞后回归自变量X“后所估计的模型可以看作是无约束模型：

在约束条件：R0=o之下所得到的估计。这里，R=（o,o,l）,6=（a,0o，0）o

设无约束模型的OLS残差向量为e,带约束模型的OLS残差向量为公，则有:

=—e'e—25»从而可得至ll：ee=20&2=2x25=500

20

（八、

令。=（XX）T=&L，则有4=乍幺从而可得到：。22

二A=0.0256

心

yJC22

注意到带约束模型的OLS残差平方和与无约束模型的残差平方和存在如下关系:

可推得：SST=——

由i篝〜丽,\-R2r

同理，由解T一怒可推得：耳点一等之一警（1一店

所以，/?-=1-(1_/?-)=1-^2112X0.24=0.86

v

片e'e)500

3、对线性回归模型:

(z=1,2,…,〃)(1)

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满足后沼工0。假定Zj可以作为七合适的，具变量，且Vc”（e|Z）=b2/,请导出，具变量

估计量，并给出它的极限分布。

解：由于瓜月工（），所以参数向量夕的OLS估计将是不一致的。假定Z,可以作为为合适的工具

变量，对模型进行变换：

Z,」=zHF+ZR--------------------------------------------------(2)

TTT

从而有：=p£z/；+£z向-------------------(3)

1=11=11=1

1T1T2T

根据：^[-7=^2,.^]=0,—^Z,.Z；--------(4)

7Tr=i7TJ=I/r=i

并且PIMJZz#)PHRJZz£)=加h•°=0

所以运用OLS估计方法，可得：吼二唇川恪z3-----------------（5）

注意到:何时一万出沙；］［煮沙

由（4）和中心极限定理，可得：

"（吼一〃）的极限分布为正态N（0,/M"）分布,其中：M==plim，之z,W

T/-I

也就是，：BN'N'

4、考虑如下受限因变量问题：

1）、二元离散选择模型中的Logit模型，在给定W，，=1,2,…,N条件之下方=1的条件概率为:

在重复观测不可得的情况下，运用极大似然估计方法证明：

其中T=（1,X.，3,与），立=1：皆2）。

2）、为什么利用观测所获得的正的数据4来估计Tobit模型是不合理的？

3）、对Tobit模型：），：=%/+与，i=l,2,…，〃以及与服从正态N（0,/）分布，

y,=y；，若y；>o；乂=。，若y：«。；

求：（1）>E（）“y：>0）；

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（2）、对重复观测不可得的情况详细说明Heckman提出的模型估计方法。

答案：

1）、证明：对Logit模型，其似然函数可写成如下形式：

即）=n[P（M=/）]、'•=°k）Tv,--------------------（1）

1=1

（1）式的对数似然函数为：

N

log[F（x；/7）]+（1-X-）log[l-F（x；/?）]}-----------（2）

（2）式关于参数夕的一阶导数为：

于是，一阶条件为：_expU^）1-------（3）

句l+exp（.r；^）J

NN

由（3）式可知：2凹七=2）四------------（4）

1=11=1

由于片=（1,当，4，…，％）中第一分量为常数L所以根据（4）式可得到：

2）、假定我们考虑的Tobil模型为：），：=必?+不i=l,2,…，〃以及明.服从正态

N（0,（y2）分布，满足必=5：，若y：＞0；yf.=0,若y；K0。

则有：＞0）"»+或花＞-加='+二?黑）

即；E（）“y；＞0）=x\P+o）=x\P+b#\p

赋""：力气x

UH）/l-（P（-A；/?/o-）W/b）

也就是仅仅考虑利用观测所获得的正的数据y：来估计Tobit模型，所获得的参数夕的估计

是有编的，并且其数值大于由力并且依赖于纲，这就是仅仅运用正观测值子样本来估计Tobit

①（•）

模型的不合理性。

3）、我们知道，对于Tobit模型有这样的结论:

=印+o"=邙+(J^(1)

这里，取二。…＜哈。

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如果有.关于4的估计，就可得到"的一致估计。

JamesHeckman设计出了一种相对比较简单的两步估计法，但这个估计法能够得到夕的一致估

计。

（I）在重复观测不可得的条件下，具体的估计步骤如下：

第一步，我们通过Probil模型来区分“y；〉0”的观测和“y；<0”的观测，可以得到：

-{马=1|%}=p{y->o|xf}=P{-〉r-M=①（中）,

运用极大似然估计方法有：

=位中（硒r口-明夕）『

(2)

/(£)=£[”①(0+(1—zjn(l—①(。))](3)

对数似然函数为:

f=l

根据：甯=£Z,一6（力）

。（“泸）怎=。，利用数值运算方法可以求得/“,，这样就

C，P,=1中（山7）口-%朗

很容易获得:=少也

①（皿））

第二步，我们在获得了％之后，考虑下述模型:

y=X；?+侦+%♦(i=\,2,…，N)(4)

其中，我们假定《满足高斯一马尔可夫条件。于是,运用OLS方法可以得到Tobit模型的参数

估计成。但是，需要注意的是，《完全可能不满足高斯一马尔可夫条件，出现序列相关或异方差的

现象，因此，需要运用广义最小二乘法（GLS）或可行的广义最小二乘法（FGLS）。一般情况下，由

OLS方法得到的t检验是有偏的。另外，Heckman的二步估计法不如Fair的极大似然估计法那样

有效。因此，只要可能的话，最好采用极大似然估计法。

《计量经济学》博士研究生入学试题（B）解答

一、简答题

1、说明随机游动过程和单位根过程的联系与差异？如何检验某个经济变量具有单位根？

答：随机游动过程在形式上与单位根过程完全一样，但它们之间的本质性差异在?上。当是白噪

声时，我们就称该过程为随机游动过程（randomwalk）；当邑是平稳过程时，该过程就是单位根

过程。随机游动过程是单位根过程的一种特殊情形，它是非平稳过程。

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如果某个经济变量的数据发生过程满足，假定随机干扰项〃，独立同服从于均值

为0,方差为4的分布时，检验它是否具有单位根可以用迪基和富勒（DF）检验；

如果放宽对随机干扰项的限制，允许随机干扰项应服从一个平稳过程，即吃=才。27,在这种的

7=0

情况下，它是否具有单位根可以用增广的迪基和富勒（ADF）检验。

2、冰积的概念是什么？如何检验两个序列是协积的？

答：如果工和七都是非平稳/⑴过程变量，则我们自然会预期它们的差，或者诸如4=咒-%-巴工

一类的任何线性组合也是/⑴的。但是，有一种很重要的情形就是“=X-%-%为是一个平稳的

/⑻过程。这一情形我们称乂和为是协积的。协积意味着孙和为拥有相似的随机趋势，于是它们

的差酊就是平稳的，它们相互之间绝不会偏离太远。协积变量％和西之间表现出一种定义为

），,=%+%%的长期均衡关系，而G是均衡误差，表示对长期均衡关系的一种短期偏离。

通过检验误差,-因-％%是否平稳，我们判断上和再之间是否协积。因为我们不能观察

储,所以就使用迪基一富勒（DF）检验，通过检验最小二乘估计的残差自="-自-制七的平稳性

来替代。

3、在二元离散选择的模型中解释变量/变化作用的符号与其系数A的符号有什么关系？为什

么？至少写出二点关于丁帅”模型与二元离散选择的模型的区别？

答：在Probit模型、Logit模型中的参数是无法直接解释的。我们可以通过如下微分来考察这些模

型：

畔上0=[-7=exp]—|（HP）?\P=。（后夕以（1）

河2JJ

F二一向一二L『瓦（2）

这里，。（后⑶表示标准正态密度函数。这些微分度量了与变化的边际作用。4变化的边际作

用都依赖于4的数值。在（1）和（2）两种情况下，/变化作用的符号与其系数乩的符号是相一

致的。

力力〃模型与二元离散选择的模型的区别：（1）概率单位模型和Tobit模型的区别是前者因

变量使用的是哑变量，后者因变量使用的是删尾的连续变量；（2）Tobit模型中乃=0要比），：＞0

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时K=）,；有更重的权数，因为有Pr｛）”O|xJ=Pr｛y；工0|七｝,这是其它离散选择模型所不具备

的。

4、海德拉斯（Hildreth）和卢（Lu）（I960）检查分析了30个月度的时间序列观测数据（从1951

年3月到1953年7月），定义了如下变量：

cons=每人冰激凌的消费量（按品脱计）

income=每周平均的家庭收入（按美元计）

price=每品脱冰激凌的价格（按美元计）

temp=平均气温（°F）

1）、用cons对income,price,tem和常数作线性回归模型，得到DW统计量的数值为1.0212,

请说明模型存在什么病态？

答：说明模型的随机误差项可能存在序列相关，因此，用cons对income,price,tem和常数作线

性回归模型所得到的参数估计可信度低。

2）、上述模型中加入平均气温的一阶滞后项tem（-1）,得到力W=1.5822,并且该项的系数估计

为负，请说明加入该项的作用以及系数为负的经济含义。

答：模型中加入平均气温的一阶滞后项te口（T）后，有助于改善随机误差项存在序列相关所带来的

干扰和影响；该项系数为负说明，如果上月的平均气温很高，当月趋于正常的话，当月每人冰

激凌的消费量不会保持上个月的高水平，只会有所下降，并与当月的平均气温呈正向因果关系;

反之也一样。

3）、请写出2）中模型的另一种表达式，说明该表达式中变量系数的符号，解释符号的经济意义。

答:若const=aQ+axprice,+a.incomet+a3te/npl+aAtempt_x+,且其参数满足：

%<0,«2>0,>0,<0,且有%>-%,因为，一般当月的平均气温对每人当

月冰激凌的消费量影响最大。

我们可以把上述模型进行变形，即：

其中，各个变量的系数满足四<0,«2>0,4>0,/>0o

这说明每人月冰激凌的消费量受价格的抑制影响，而收入与当月的平均气温与每人冰激凌

消费量的走向一致，当月平均气温的变化量与每人冰激凌消费量的变化也是一致的。

4、说明配和调整的声之间的差异，为什么在多变量线性回归模型的拟合评价中人们主要用肥，

而不是一般的决定系数相呢?

__!1__yN2

（N-（p+l））白e，,嘴口而

答：由于支=1

（A^l）S（Z-y）2

因此，当模型中引入另外的回归变量时，无论这个变量是否合理，R2值永远不会减小。正是

用于修正自由度的拟合优度度量，即：

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于是，当模型中引入另外的回归变量时，展值也许就会减小。因此，尸并不依赖于模型中解

释变量的个数，这也就是在多变量线性回归模型的拟合评价中人们主要用R2,而不是用一般的拟

合优度上。

5、对于一种简化的异方差模型，即假定：Var—Xj—这里假定九可以被。估计

的。那么关于参数夕的可行的广义最小二乘估计（FGLS）量如何得到？它是否还具有广义最小

一乘估计的优良性质？

答：假定网厂区/为上/月，儿是已知的。于是，关于参数夕的广义最小二乘估计（GLS）量适

用于下述转换了的模型：

很明显，转换了的模型的随机扰动项具有同方差。这样，就产生了GLS估计量：

a「N]TN

PGIS=ZX2M凹

-r=l」7

由于儿可以被冗估计，则得到参数夕可行的广义最小二乘估计（FGLS）量，即

人「N八J-'N人

=22

PFGLS^4xixixiyi

_J=：Jz=i

显然，/「GIA不再具有无偏性的性质，但一致性继续保持。

7、在美国有人对密歇根的AnnArbor的大学生进行调查，认为男生和女生对空间（用R00MPER度

量）和距学校的距离（用DIST度量）具有不同的观点。试问如何利用租金（用RENT度量）数

据对下述模型：

用尸检验法检验假设句J>以〃,（£女）？

注：SEY为虚拟变量——（1;如果是女生；0；如果是男生）。

答：假定被调查的男大学生和女大学生人数分别为M和N-M，利用被调查的男大学生和女大学

生的数据分别对下述模型：

JV.N-NX

工或百

进行OLS估计，得到端=上—,逍=—且-----。

于是，对原假设%：嫉=/和备择假设^>4。

A2

检验统计量为尸=粤在原假设“°：编=七成立时服从AN「3,N-N「3）

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分布。若卜,卜"a（Ni，N-N「S）,则拒绝原假设设〃0，认为火"为J>V"（£女）成立；否则，就

认为&r（£男）>（£女）不成立。

8、为了研究美国住房需求情况，我们利用对3120个家庭调查的截面资料资料，对以下回归模型:

其中Q=3120个家庭中的任何一个家庭每年所需要的住房面积平方英尺数；

P=家庭所在地住房的价格；

Y二家庭收入。

假设我们认为住房需求由两个方程组成，一个描述黑人的住房需求，另一个描述白人的住

房需求，这个模型可以写成：

logQ=77]+=210g尸+夕31°§丫+£；白人家庭

,o+lo+

g0=Xi/2g/slogy+6,；黑人家庭

我们希望对黑人需求方程的系数等于白人需求方程的系数的原假设进行检验。这个假设是联

合假设：A=/142=Y1A=Yi

为了对上述假设进行检验，我们首先对上述模型进行估计，并将每个方程的误差平方和相加，

得到ESSw=13640。现在，假设原假设为真，则模型简化为

logQ=px+/?2logP+ftlog/4-^所有家庭

对这个模型进行估计，得到它的误差平方和£5S〃=138380我们能否认为系数全相等是正确的？

答：对于黑人需求方程的系数等于白人需求方程的系数的原假设进行检验，我们采用邹检验（Chow

test）o在原假设成立时，尸=（空匚后汨'〜网上3U4）,计算检验统计量

ESS^R3114

尸JESS=1：83fl,远大于5%显着性水平时网3,3114）的临界值，所以拒绝

ESSUK/3\\413640/3114

黑人需求方程的系数等于白人需求方程的系数的原假设，它们之间存在显着差异。

二、综合题

1、假定模型的矩阵形式

y=X…，其中E®=。，E（X£）=0；

1）、假定碌£'）=。2/7，求在跖二厂条件下，参数夕的最小二乘估计量。

2）、假定£（££'）二。％且£是正态向量N（0,cr2/J构造检验原假设”0：R13=7-[q=rank（R）]

的检验统计量，并说明该检验统计量服从F分布。

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3)、如何判断参数线性约束条件是否成立，请做说明。

4)、证明：对模型显着性检验的统计量产飞_春联一女_[),请说明原假设是什么？其中，K是

模型y=XB+£在无约束条件下作OLS估计所得到的拟合优度。

解：1)、要求在约束条件跖=/•下，参数向量夕的最小二乘估计量，目标是求向量函数

V(分)二6一乂4)心一乂/?)+2/1'(即一厂)达到最小时的参数向量瓦。

对上述函数求导可得：

=-2X,+2(XX)瓦+2*2=0(1)

=瓦=(XX)TX,一(XX)-欠兄=瓦、.一(XX)“R睨(2)

因为，破=r=值心-R(XXYR以(3)

所以，2=[R(XX)TR(%-瓦闫R(XX)T(R%"

(4)

即瓦=鼠—(XX)TR[R(XX厂行(R晨-力(5)

2)、

根据上式中带约束参数向量的最小二乘估计公式，我们有：

瓦二鼠_(XX『MMXX)TR"H鼠"(6)

从而，可以得到带约束参数向量模型的最小二乘估计残差公式：

整理以后可得到：

也一%〃心.=(R%.一J[R(XX)TR『(R鼠">0(7)

也就是说,带约束参数向量模型的最小二乘估计残差平方和相对于无参数向量约束模型的最小

二乘估计残差平方和会变大，即：

ee>ep

—^UOLS^UOLS

要检验原假设“。：刖=，•是否成立，需要构造检验统计量。根据(8)式中所体现的性质,

我们构造尸检验统计量:

F=&3%咽小",这里q=m〃k(R)。

e晨-W-(p+l)]

(9)

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当原假设“。：跖=「成立并且误差向量£不仅满足高斯一马尔柯夫条件，还满足正态分布时,

P_（。/?金-）'q

可以得到:服从自由度为（小N—〃一1）的尸

e嬴%ozs/[N-（P+1）]

分布，即产

3）、对于给定的检验水平a,若尸＞Ra（dN-〃-1）时，说明带约束参数向量模型的最小二

乘估计残差平方和或以与无参数向量约束模型的最小二乘估计残差平方和或四与皿之间差异显

着，此时，我们对参数向量的约束条件即=「不成立，也就是说在原始模型中并不存在参数之间的

这种约束关系。因此，我们拒绝原假设"0。若尸二片〃-1）时，说明带约束参数向量模型

的最小二乘估计残差平方和q4与无参数向量约束模型的最小二乘估计残差平方和或之间

在统计上没有什么差异，此时，我们对参数向量的约束条件R£=厂是合理的，也就是说在原始模型

的参数之间确实存在着这种关系。因此，我们接受原假设“。。

4）、注意到无参数向量约束条件时模型的拟合优度（或称决定系数）和参数向量带约束

条件时模型的拟合优度（或称决定系数）Rj分别为:

5S4,SSE

用二1一R2=]R

SSTu

从而有：SS耳尸Q—R；）SST/SSER=（1-RI）SSTL!

可以推得：SSER-SSEu=-几次S=民-R）SS£

这样，残差形式的尸检验统计量:

又可以写成拟合优度形式的尸检验统计量:

因此，当对模型显着性检验的统计量产=7~辱见——则原假设指的是所有解释变量的系数

（1-明（7-p-1）

都为零，即“0：/?,=P2=•••=/?,=0o也就是当〃。成立时，有以二0。这时，对模型显着性检

验的统计量F=7~至上——c。

2、对线性回归模型:

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y=X…,其中随机误差向量£满足高斯-马尔可夫条件。

1)、定义最小二乘估计量6.

2)、如果X的第一列每个元素都是1,证明最小二乘残差和为零，即>>,=0。

3)、令。=(4,比')'wRi：力=(b3b和X=(X„X2),推导：和打的表

达式。

4)、如果历夕=/。与单位矩阵不成比例，试推出〃和/(GLS)方差形式。

解：1)、按照最小二乘的思想，我们定义该模型最小二乘估计量

注意，这时我们认为(XX)是可逆的矩阵。

2)、令X=(z,Xj,其中,,则根据残差向量的矩阵形式e=),_Xb=[/_X(XX)7x]v,

可以得到；X2=0,于是可推得;

即有：X40

3)、令M=，-X|(X：X|尸X：],M2=[Z2-X2(X;X2)-'X;]

根据y=X^+X2p2^E(1)

由(1)式左乘M,可得：My=MX圈+MX2A+M£------(2)

注意到：=0,可得：/?2---------(3)

-,

同理：M3X2=0，可得：bx=(X；M2X1)X；A/2J--------(4)

4)、如果反a与单位矩阵不成比例，则根据:

可得：W/r(7?)=cr2(XX)■'(Xnx

由于=为对称正定矩阵，所以存在非奇异矩阵P,满足=也就是

Q=(P)7(P)L根据这一性质，我们对模型进行变换：

2,

Py=PX^+P£f显然，Var(P£)=P(y^P=(y'I。因此，对变换了的模型运用最小二

乘估计，得到：

从而,va\p(GLs^=(xn-1%)-1xn-,(o-2Q)Q-,x(xn-,x)-,=o-2(xn-'x)-,o

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3、假设年轻男性职员与年轻女性职员的工资之间存在着恒定的差别，为检验年轻男性职员与年轻

女性职员受教育的回报是否相同以及方便起见，在模型中只包含受教育水平和性别二个定性的

解释变量。试设计模型既能体现存在恒定的工资差别，又能反映存在受教育回报上的差别，并

对模型参数的估计及其所蕴涵的意义进行讨论。

解：假设年轻男性职员与年轻女性职员的工资(wage)之间存在着恒定的差别，同时为方便起见,

在模型中只包含受教育水平(edu)和性别(female)二个定性的解释变量。为进行模型分析,

我们把定性的解释变量转换为可进行定量分析的虚拟变量，即：

由于本问题涉及的解释变量多于1个虚拟变量，因此，当被解释变量取为

log(卬age)时，这些虚拟的解释变量系数就具有一种百分比的解释。

为检验年轻男性职员与年轻女性职员受教育的回报是否相同，考虑到加入解释变量交互项能

够产生不同的斜率这一作用，我们设计如下模型：

log(wage),=(a0+feinale^-v(ai+八fenuilei)eduj+ci.........—(1)

在(1)式中代入勿山/力=0,就会发现，年轻男性职员这一组的截距为4,而受过初等

教育的斜率为％。对于年轻女性职员这一组，代入户〃"七=1；于是其截距为。0+九，而

受过初等教育的斜率为2十为。因此，几度量了年轻男性职员与年轻女性职员在截距上的

差异，力度量了年轻男性职员与年轻女性职员在受过初等教育回报上的差异。

要估计模型(1),我们可以把它改写成：

log(wage)=female[+a]edui+%female•edui+-----------(2)

对模型(2)中我们可以用OLS方法估计出参数4,九0‘。

对于九必的取值可以分成如下四种情况：

(1)/0<0,/)<0；(2)/0<0,/1>0；(3)几>0,%<0；

(4)/0>0,%>0o

其中，情形(1)/0<0,为<0表明，年轻女性职员组各种受教育水平的人的工资都比年轻

男性职员来得低，并且其工资差距随着教育水平的提高而扩大；情形(2)/0<0,%>0表

明，年轻女性职员组的截距小于年轻男性职员组，但年轻女性职员组的斜率却大于年轻男性

职员组，这意味着年轻女性职员在受教育水平低的时候，其工资比年轻男性职员来得低，但

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随着年轻女性职员受教育水平的提高，其工资水平会接近和超过年轻男性职员。情形（3）

与情形（4）的解释相类似，这里略去。

4、投资学说中的资本存量调整原理认为人们根据最近的市场需求情况预期当前的需求量

}'；，然后根据生产技术关系确定最合适的资本存量K；为：K；=v,从而得到必

要的净投资量=阳

1）、为什么这种投资计划当期内不一定能实现？

2）、说明为什么实际净投资量必