福建省泉州2024年中考数学仿真试卷含解析

福建省泉州2024年中考数学仿真试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.已知二次函数产4+2仆+3/+3（其中x是自变量），当后2时，随x的增大而增大，且-290时，y的最大值为

9,则。的值为

A.1或-2B.或U

C.HD.1

2.如图，4张如图1的长为0,宽为b（a>b）长方形纸片，按图2的方式放置，阴影部分的面积为空白部分的

面积为Sz,若Sz=2Si,贝！］人满足（）

图2

3,5

A.a=-bB.a=2bC.a=—bD.a=3b

22

3.如图，平行四边形A3CO中，E,尸分别为A0,3C边上的一点，增加下列条件，不一定能得出尸的是（）

A.AE=CFB.RE=DFC.NEBF=NFDED.NBED=/BFD

4.计算（―18）+9的值是（）

A.-9B.-27C.-2D.2

5.如图，在AABC中，AB=AC,ZBAC=90°,直角NEPF的顶点P是BC中点，PE,PF分别交AB,AC于点E,

F,给出下列四个结论：①△APE92XCPF；®AE=CF；③AEAF是等腰直角三角形；④SAAHC=2S四娓AEPF,上述结

论正确的有（）

6.如图所示是8个完全相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的左视图是（）

7.如图，小明为了测量河宽AB,先在BA延长线上取一点D,再在同岸取一点C,测得NCAD=60。，ZBCA=30°,

AC=15m,那么河AB宽为（）

A.15mB.5x/3mC.10x/3mD.12月m

8.在实数・73，0.21,£，J，40.001，0.20202中，无理数的个数为（）

28

A.1B.2C.3D.4

9.将一圆形纸片对折后再对折,得到下图，然后沿着图中的虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开后的平面图形是

A△B・匚二IC.D.

k

10.如图，已知反比函数y=—的图象过RtAABO斜边OB的中点D,与直角边AB相交于C,连结AD、OC,若

X

△ABO的周长为4+2#，AD=2,则△ACO的面积为（）

A.-B.1C.2D.4

2

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.在△ABC中，点D在边BC上，BD=2CD,AB=a，AC=bf那么AO=.

12.如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C,OA交小圆于点D,若OD=2,tanNOAB=!，

13.某种药品原来售价100元，连续两次降价后售价为81元，若每次下降的百分率相同，则这个百分率是.

14.因式分解ai~6a2+9a=.

15.如图，已知正方形ABCD中，ZMAN=45°,连接BD与AM,AN分别交于E,F点，则下列结论正确的有

①MN=BM+DN

②△CMN的周长等于正方形ABCD的边长的两倍；

③EFi=BE】+DFi；

④点A到MN的距离等于正方形的边长

⑤△AEN、△AFM都为等腰直角三角形.

⑥SAAMN=1SAAEE

⑦S正方形ABCD：SAAMN=1AB：MN

b

⑧设AB=a,MN=b,则一N1夜-1.

16.如图，在等腰△ABC中，AB=AC,BC边上的高AD=6cm,腰AB上的高CE=8cm,则BC=cm

17.（8分）某花卉基地种植了郁金香和玫瑰两种花卉共30亩，有关数据如表:

成本销售额

（单位：万元庙）（单位：万元/亩）

郁金香2.43

玫瑰22.5

（1）设种植郁金香x亩，两种花卉总收益为y万元，求y关于x的函数关系式.（收益=销售额-成本）

（2）若计划投入的成本的总额不超过70万元，要使获得的收益最大，基地应种植郁金香和玫瑰个多少亩？

18.（8分）已知：如图，在平行四边形43co中，"4。的平分线交BC于点E,过点。作AE的垂线交AE于点G,

交A8延长线于点尸，连接收，ED.

EF=ED若NA5C=60。，40=6,CE=2,求E尸的长.

19.（8分）一个不透明的口袋中装有2个红球（记为红球1、红球2）、1个白球、1个黑球，这些球除颜色外都相同,

将球摇匀.从中任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率是；先从中任意摸出1个球，再从余下的3个球中任意摸

出1个球，请用列举法（画树状图或列表）求两次都摸到红球的概率.

20.（8分）如图，AB是。。的直径，C是弧AB的中点，弦CD与AB相交于E.

c

区若NAOD=45。，求证：CE=72ED；(2)若AE=EO,求tanNAOD的值.

----/

21.（8分）如图1,NB4C的余切值为2,AB=2后,点D是线段上的一动点（点D不与点A、B重合），以点

D为顶点的正方形O£PG的另两个顶点E、F都在射线AC上，且点F在点E的右侧，联结3G,并延长8G,交射

线EC于点P.

（1）点D在运动时，下列的线段和角中，是始终保持不变的量（填序号）；

®AF；@FPx③BP；@ZBDG；⑤NGAC；⑥NBPA;

（2）设正方形的边长为x,线段AP的长为y,求y与x之间的函数关系式，并写出定义域；

（3）如果APFG与AAFG相似，但面积不相等，求此时正方形的边长.

22.（10分）如图，△ABC内接于。O,且AB为。。的直径，OD_LAB,与AC交于点E,与过点C的。O的切线

交于点D.

若AC=4,BC=2,求OE的长.试判断NA与/CDE的数量关系，并说明理由.

23.（12分）我校对全校学生进传统文化礼仪知识测试，为了了解测试结果，随机抽取部分学生的成绩进行分析，现

将成绩分为三个等级：不合格、一般、优秀，并绘制成如下两幅统计图（不完整）.

人数

3

一不合格一般优秀成绩等级

请你根据图中所给的信息解答下列问题：（1）本次随机抽取的人数是人，并将以上两幅统计图补充完整;

（2）若“一般”和“优秀”均被视为达标成绩，则我校被抽取的学生中有人达标；

（3）若我校学生有1200人，请你估计此次测试中，全校达标的学生有多少人？

24.定义：若某抛物线上有两点A、B关于原点对称，则称该抛物线为“完美抛物线”.已知二次函数y=ax2・2mx+c（a,

m,c均为常数且a#0）是“完美抛物线”：

（1）试判断ac的符号；

（2）若c=・L该二次函数图象与y轴交于点C,且SAABC=L

①求a的值；

②当该二次函数图象与端点为M（・1,1）、N（3,4）的线段有且只有一个交点时，求m的取值范围.

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、D

【解析】

先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上a>0,然后由-2金勺时，y的最大值为9,

可得x=l时，y=9,即可求出a.

【详解】

;二次函数y=ax?+2ax+3a?+3（其中x是自变量），

・•・对称轴是直线、==二・1,

二•当也2时,y随x的增大而增大，

/.a>0,

•・・・23烂1时，y的最大值为9,

Ax=l时，y=a+2a+3a2+3=9,

.*.3a2+3a-6=0,

•*.a=l,或a=-2（不合题意舍去）.

故选D.

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，二次函数尸ax'+bx+c(a9)的顶点坐标是(•_,_____：),对称轴直线『丁，二次函

元gJE

数产ax?+bx+c(a#0)的图象具有如下性质：①当a>0时，抛物线y=ax2+bx+c(a#0)的开口向上，xV--时，y随x

的增大而减小；x>-时，y随X的增大而增大；X=.时，y取得最小值L0”即顶点是抛物线的最低点.②当aV

JQ元<□

U时，抛物线y=ax?+bx+c(a#U)的开口向下，x<.二时，y随x的增大而增大；x>・,.时，y随x的增大而减小；x=・.

而WW

时，取得最大值：即顶点是抛物线的最高点.

y“一_,

43

2、B

【解析】

从图形可知空白部分的面积为S2是中间边长为(a-b)的正方形面积与上下两个直角边为(。+力)和。的直角三角形

的面积，再与左右两个直角边为。和力的直角三角形面积的总和，阴影部分的面积为力是大正方形面积与空白部分面

积之差，再由S2=25I,便可得解.

【详解】

由图形可知，

Si=(a-b)2+b(a+b)+ab=a2+2b2,

Si=(a+b)2-S2=2ab-b2,

2s2=2$,

：.a2+lb2=2(2ab・〃),

»•a2-4。。+4b2=0,

即(a-2b)2=0,

..a=2b,

故选从

【点睛】

本题主要考查了求阴影部分面积和因式分解，关键是正确列出阴影部分与空白部分的面积和正确进行因式分解.

3、B

【解析】

由四边形ABCD是平行四边形，可得AD〃BC,AD=BC,然后由AE=CF,ZEBF=ZFDE,NBED=NBFD均可判定

四边形BFDE是平行四边形，则可证得BE〃DF,利用排除法即可求得答案.

【详解】

四边形ABCD是平行四边形，

AAD//BC,AD=BC,

A、VAE=CF,

ADE=BF,

・・・四边形BFDE是平行四边形，

ABE//DF,故本选项能判定BE//DF；

B、VBE=DF,

••・四边形BFDE是等腰梯形，

「•本选项不一定能判定BE//DF；

C>VAD//BC,

:.ZBED+ZEBF=180°,ZEDF+ZBFD=180°,

VZEBF=ZFDE,

AZBED=ZBFD,

四边形BFDE是平行四边形，

ABE//DF,

故本选项能判定BE//DF；

D、VAD//BC,

AZBED+ZEBF=180°,ZEDF+ZBFD=180°,

VZBED=ZBFD,

.*.ZEBF=ZFDE,

J四边形BFDE是平行四边形，

/.BE//DF,故本选项能判定BE//DF.

故选B.

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定与性质，注意根据题意证得四边形BFDE是平行四边形是关键.

4、C

【解析】

直接利用有理数的除法运算法则计算得出答案.

【详解】

解：(-18)4-9=-1.

故选；c.

【点睛】

此题主要考查了有理数的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键.

5、C

【解析】

利用“角边角”证明△APE和4CPF全等，根据全等三角形的可得AE=CF,再根据等腰直角三角形的定义得到△EFP

是等腰直角三角形，根据全等三角形的面积相等可得△APE的面积等于△CPF的面积相等，然后求出四边形AEPF的

面积等于^ABC的面积的一半.

【详解】

VAB=AC,ZBAC=90°,点P是BC的中点，

AAP±BC,AP=PC,ZEAP=ZC=45°,

.\ZAPF+ZCPF=90o,

VZEPF是直角，

AZAPF+ZAPE=90°,

AZAPE=ZCPF,

在^APE和ACPF中，

ZAPE=ZCPF

<AP=PC,

ZEAP=ZC=45°

AAAPE^ACPF(ASA),

AAE=CF,故①@正确；

VAAEP^ACFP,同理可证△APFg/XBPE,

•••△EFP是等腰直角三角形，故③错误；

VAAPE^ACPF,

•\SAAPE=SACPF,

**•四边形AEPF=SAAEP+SAAPF=SACPF+SABPE=-SAABC.故④正确，

2

故选c.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，根据同角的余角相等求出NAPE二NCPF,从而

得到△APE和ACPF全等是解题的关键，也是本题的突破点.

6、A

【解析】

分析：根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看所得到的图形，从而得出该几何体的左视图.

详解：该几何体的左视图是：

故选A.

点睛：本题考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力.

7、A

【解析】

过C作CE±AB,

RtAACE中，

VZCAD=60°,AC=15m.

]]/T15/3

/.ZACE=30°,AE=-AC=-xl5=7.5m,CE=AC*cos30°=15x^-=1^,

2222

VZBAC=30°,ZACE=30°,

AZBCE=60,

:.BE=CE・tan60o=史8x73=22.5m,

2

AAB=BE-AE=22.5-7.5=15m,

故选A.

【点睛】本题考查的知识点是解直角三角形的应用，关键是构建直角三角形，解直角三角形求出答案.

8、C

【解析】

在实数-J5,0.21,,V0.001，0.20202中，

2o

根据无理数的定义可得其中无理数有一百，y,疯丽T,共三个.

故选c

9、C

【解析】

严格按照图中的方法亲自动手操作一下，即可很直观地呈现出来.

【详解】

根据题意知，剪去的纸片一定是一个四边形，且对角线互相垂直.

故选C.

【点睛】

本题主要考查学生的动手能力及空间想象能力.对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现.

10、A

【解析】

在直角三角形40〃中，由斜边上的中线等于斜边的一半，求出08的长，根据周长求出直角边之和，设其中一直角边

AB=xt表示出利用勾股定理求出A〃与。4的长，过。作垂直于x轴，得到E为。4中点，求出OE的长,

在直角三角形中，利用勾股定理求出OE的长，利用反比例函数A的几何意义求出A的值，确定出三角形AOC

面积即可.

【详解】

在RS403中，AD=2f40为斜边08的中线，

由周长为4+276

,得至!JAB+AS26，

设贝!jA0=2几-X，

222

根据勾股定理得：AB+OA=OBf即炉+（2显-x）2=42,

整理得：x2-!76x+4=0,

解得xi=x/6+V2»x?=瓜・6，

••AB—5/6+>/2，0A—-yfo,，

过。作轴，交x轴于点乙可得E为40中点,

・・・0£=；。4=；（遥•夜）（假设。4=6+血，与OA=R-6,求出结果相同），

在R3DE0中，利用勾股定理得：DE=10D?—0E二（指十6）），

:・k=-DE・OE=-g（瓜+啦））x；（6•行））=1.

11

••SAAOC=—DE・0E=—,

22

故选A.

【点睛】

本题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：勾股定理，直角三角形斜边的中线性质，三角形面积求法，以及反比例

函数k的几何意义，熟练掌握反比例的图象与性质是解本题关键.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

12

11、一a十一br

33

【解析】

首先利用平行四边形法则，求得AC的值，再由BD=2CD,求得8。的值，即可求得AQ的值・

【详解】

■:AB-a，AC=b，

BC=AC-AB~b~a>

VBD=2CD,

,BD=^C=^(b-a)f

JJ

・2--1«2-

12、8

【解析】

nr

如图，连接OC,在在RtAACO中，由tanNOAB=——,求出AC即可解决问题.

AC

【详解】

解：如图，连接OC.

：AB是©O切线，

AOC±AB,AC=BC,

在RtAACO中，VZACO=90°,OC=OD=2

,OC

tanNOAB=，

AC

.12

=----,

2AC

AAC=4,

AAB=2AC=8,

故答案为8

【点睛】

本题考查切线的性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形，属于中考

常考题型.

13、10%.

【解析】

设平均每次降价的百分率为工，那么第一次降价后的售价是原来的(1-A),那么第二次降价后的售价是原来的(1-X)2,

根据题意列方程解答即可.

【详解】

设平均每次降价的百分率为X，根据题意列方程得，

100x(1)2=81,

解得玉=0.1=10%,X2=1.9(不符合题意，舍去)，

答：这个百分率是10%.

故答案为10%.

【点睛】

本题考查一元二次方程的应用，要掌握求平均变化率的方法.若设变化前的量为〃，变化后的量为8，平均变化率为“，

则经过两次变化后的数量关系为=b.

14、a(a-3)2

【解析】

根据因式分解的方法与步骤，先提取公因式，再根据完全平方公式分解即可.

【详解】

解：o1-6a2+9a

=a(/-6a+9)

=a(a-3)2

故答案为：a(a—3『.

【点睛】

本题考查因式分解的方法与步骤，熟练掌握方法与步骤是解答关键.

【解析】

将△ABM绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADH.证明△MAN@2\HAN,得到MN=NH,根据三角形

周长公式计算判断①；判断出BM=DN时，MN最小，即可判断出⑧；根据全等三角形的性质判断②④；将AADF绕

点A顺时针性质90。得到△ARH,连接HE.证明AEAHS2\EAF,得到NHBE=90。，根据勾股定理计算判断③；根

据等腰直角三角形的判定定理判断⑤；根据等腰直角三角形的性质、三角形的面积公式计算，判断⑥，根据点A到

MN的距离等于正方形ABCD的边长、三角形的面积公式计算，判断⑦.

【详解】

将AABM绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADH.

则NDAH=NBAM,

V四边形ABCD是正方形，

AZBAD=90°,

VZMAN=45°,

，NBAN+NDAN=45°,

/.ZNAII=45°,

在XHAN中,

AM=AH

<4MAN=/HAN,

AN=AN

/.△MAN^AHAN,

.\MN=NH=BM+DN,①正确;

;BM+DN21J3M・£>N，（当且仅当BM=DN时，取等号）

:.BM=DN时,MN最小,

1

ABM=2-b,

\

VDH=BM=-b,

2

ADH=DN,

VAD1HN,

1

:.ZDAII=-ZIIAN=11.5°,

2

在DA上取一点G,{JDG=DH=-b,

2

AZDGH=45°,HG=J2DH=—b,

2

VZDGH=45°,ZDAH=11.5°,

/.ZAHG=ZHAD,

五

.\AG=HG=—b,

2

:.AB=AD=AG+DG=—b+-b=2^11b=a,

222

A-=^—=2x/2-2,

a5/2+1

：.->2y[2-2f

当点M和点B重合时，点N和点C重合，此时，MN最大二AB,

即：1=1,

•••2V2-2<-<1>⑧错误；

a

VMN=NH=BM+DN

/.△CMN的周长:CM+CN+MN=CM+BM+CN+DN=CB+CD,

/.△CMN的周长等于正方形ABCD的边长的两倍，②结论正确；

,/△MAN^AHAN,

二点A到MN的距离等于正方形ABCD的边长AD,④结论正确;

H

如图1,将△ADF绕点A顺时针性质90。得到△ABH,连接HE.

VZDAF+ZBAE=900-ZEAF=45°,ZDAF=ZBAE,

.\ZEAH=ZEAF=45°,

VEA=EA,AH=AD,

/.△EAH^AEAF,

AEF=HE,

VZABH=ZADF=45°=ZABD,

.,.ZHBE=90°,

在RtABHE中，

VBH=DF,EF=HE,

VEF^BE'+DF1,③结论正确；

丁四边形ABCD是正方形，

.\ZADC=90°,ZBDC=ZADB=45°,

VZMAN=45°,

AZEAN=ZEDN,

，A、E、N、D四点共圆，

/.ZADN+ZAEN=180°,

:.ZAEN=90°

・•・△AEN是等腰直角三角形，

同理△AFM是等腰直角三角形；⑤结论正确；

VAAEN是等腰直角三角形，同埋△AFM是等腰直角三角形,

AAM=x/2AF,AN=V2AE,

如图3,过点M作MP_LAN于P,

在RtAAPM中,ZMAN=45°,

.\MP=AMsin45°,

VSAAMN=-AN«MP=-AM»AN*sin45°,

22

SAAEI=—AE«AF»sin45°,

2

•••SAAMN:SAAEF=1,

ASAAMN=1SAAEF>⑥正确；

•・•点A到MN的距离等于正方形ABCD的边长，

AB?

•'•S正方形ABCD:SAAMN=1=1AB：MN,⑦结论正确.

一MN义AB

2

即：正碓的有①②③@<5)⑥⑦，

故答案为①@③④⑤⑥⑦.

【点睛】

此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解本题

的关键是构造全等三角形.

24/-

16、—

5

【解析】

根据三角形的面积公式求出㈣=2,根据等腰三角形的性质得到BD=DC=1BC,根据勾股定理列式计算即可.

BC42

【详解】

〈AD是BC边上的高，CE是AB边上的高，

11

A-AB<E=-BC-AD,

22

VAD=6,CE=8,

.AB_3

••—=一,

BC4

.AB2_9

■•----1-------9

BC216

VAB=AC,AD±BC,

/.BD=DC=-BC,

2

VAB2-BD2=AD2,

191

/.AB2=-BC24-36,即一BC2=—BC2+36,

4164

解得：BC=-->/5.

J

24r-

故答案为：y>/5.

【点睛】

本题考查的是等腰三角形的性质、勾股定理的应用和三角形面积公式的应用，根据三角形的面积公式求出腰与底的比

是解题的关

三、解答题(共8题，共72分)

17、(1)y=O.lx+15,(2)郁金香25亩，玫瑰5亩

【解析】

(1)根据题意和表格中的数据可得到y关于x的函数；

(2)根据题意可列出相应的不等式，再根据(1)中的函数关系式即可求解.

【详解】

(1)由题意得丫=(3-2.4)x-(2.5-2)(30-x)=0.1x+15

即y关于x的函数关系式为y=0.1x+15

(2)由题意得2.4x+2(30-x)芸70

解得x<25,

Vy=0.1x+15

**•当x=25时，y锻大=17.5

30-x=5,

・••要使获得的收益最大，基地应种植郁金香25亩和玫瑰5亩.

【点睛】

此题主要考查一次函数的应用，解题的关键是根据题意进行列出关系式与不等式进行求解.

18、(1)详见解析；(2)EF=2币

【解析】

(1)根据题意平分㈤。可得NAGb=NAGO=90。，从而证明△MG£M4G(AS4)即可解答

(2)由(1)可知A/=4力=6,再根据四边形ABCO是平行四边形可得/歹=4/一八8=6-4=2,过点尸作

77/延长线于点〃，再根据勾股定理即可解答

【详解】

(1)证明：AB平分/BAD

:.ZFAG=ZDAG

・.DGLAE

ZAGF=ZAGD=9(r

又「AG=AG

：.\FAG=\DAG{ASA)

:.GF=GD

又DF±AE

:.EF=ED

(2)\FAG^\DAG

AF=AD=6

四边形A8CD是平行四边形

/.AD//BC.BC=AD=6

.♦.ZBAD=180。一N/WC=180。-60。=120°

ZFAE=-ZBAD=60°

2

Z/v\E=Z^=60°.•.△A8石为等边三角形

/.AB=AE=BE=BC-CE=6-2=4

BF=AF-AB=6-4=2

过点尸作切_L所延长线于点H.

在Rt^BFH中，ZHBF=ZABC=6()。4HFB=30°/.BH=-BF

HF=ylBF2-BH2=V22-12=V3

EH=BE+BH=^+\=5

EF=《FH2+EH?=J（可+52=25/7

【点睛】

此题考查三角形全等的判定与性质，勾股定理，平行四边形的性质，解题关键在于作好辅助线

19、（1）-（2）-

26

【解析】

试题分析：（1）因为总共有4个球，红球有2个，因此可直接求得红球的概率；

（2）根据题意，列表表示小球摸出的情况，然后找到共12种可能，而两次都是红球的情况有2种，因此可求概率.

试题解析：解：（1）

2

（2）用表格列出所有可能的结果:

第二次

红球1红球2白球黑球

第一次

红球1（红球1,红球2）（红球1,白球）（红球1,黑球）

红球2（红球2,红球1）（红球2,白球）（红球2,黑球）

白球（白球，红球1）（白球，红球2）（白球，黑球）

黑球（黑球，红球1）（黑球，红球2）（黑球，白球）

由表格可知，共有12种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，其中“两次都摸到红球”有2种可能.

21

・・・P（两次都摸到红球）

126

考点：概率统计

3

20、（1）见解析；（2）tanZAOD=-.

4

【解析】

（1）作DF_LAB于F,连接OC,则△ODF是等腰直角三角形，得出OC=OD=&DF,由垂径定理得出NCOE=90。,

证明ADEFsaCEO得出型二生二'初=加,即可得出结论；

CEDFDF

11EFEO1

(2)由题意得OE=-OA=-OC,同(1)得ADEFs/iCEO,得出一=—=-,设。O的半径为2a(a>0),

22DFOC2

则OD=2a,EO=a,设EF=x,则DF=2K,在R3ODF中，由勾股定理求出x=」3a,得出DF=6?a,OF=EF+EO8=-a,

555

由三角函数定义即可得出结果.

【详解】

(1)证明：作DFJ_AB于F,连接OC,如图所示：

VZAOD=45°,

/.△ODF是等腰直角三角形，

AOC=OD=72OF,

•・・C是弧AB的中点，

Z.OC1AB,

/.ZCOE=90°,

VZDEF=ZCEO,

AADEF^ACEO,

.EDOC叵DFr-

••-----=------=-----------=V2,

CEDFDF

/.CE=V2ED；

（2）如图所示：

VAE=EO,

11

.\OE=-OA=-OC,

22

同（1）得：，△DEF^ACEO,

.EF_EO_\

DFOC2

设。O的半径为2a（a>0）,则OD=2a,EO=a,

设EF=x,则DF=2x,

在R30DF中，由勾股定理得：(2x)2+(x+a)2=(2a)2,

解得：x=1a,或、=-2(舍去)，

68

ADF=-a,OF=EF+EO=­a,

55

DF3

:.tanZAOD=—=—.

OF4

【点睛】

本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、垂径定理、三角函数等知识，熟练

掌握相似三角形的判定与性质、勾股定理是关键.

21、(1)@@；(2)y=——(l,,x<2)；(3);或一,

2-x54

【解析】

(1)作BM_LAC于M,交OG于N,如图，利用三角函数的定义得到4”二2,没BM=t,则利用

BM

勾股定理得(21)2+/=(26)2,解得7=2,即8M=2,AM=4,设正方形的边长为x,则AE=2x,AF=3xf

GF1

由于tan/GA/=—=-,则可判断/GA尸为定值；再利用QG//A尸得到/8DG=/84C,则可判断N8DG为

AF3

定值；在Rt△山MP中，利用勾股定理和三角函数可判断依在变化，NBPM在变化,尸尸在变化；

(2)易得四边形OEMN为矩形，则M0=OE=x,证明ABQGSABAP,利用相似比可得到y与x的关系式；

(3)由于NAH7=NP/G=90",MPG与A4RS相似，且面积不相等，利用相似比得到二(x,讨论：当点P

在点F点右侧时，则AP二半x,所以二二当工，当点P在点F点左侧时，则=所以"然

32-x332-x3

后分别解方程即可得到正方形的边长.

【详解】

(1)如图，作3M_L4C于M,交。G于N,

在RtA/WM中，・・・cotN3AC=^^=2,

BM

设则4W=2/,

•:AM2+BM1=AB2，

・・・(2f)2+/=(2@2,解得f=2,

BM—2,AM—4,

设正方形的边长为x,

AP

在RtMO石中，•：cotZDAE=—=2,

DE

J.AE=lx,

:.AF-3x，

口I

在RtAGAF中，tanNGAF=,

AF3x3

，NGA尸为定值；

,:DGHAP,

：.4BDG=4BAC,

:.NBDG为定值;

在RtABMP中，PR=\]12-PM2，

而尸”在变化，

，依在变化，N8P用在变化，

・・・。/在变化，

所以/RDG和/G4C是始终保持不变的量：

故答案为：@@

(2)VMN±AP,DEFG是正方形,

，四边形。EMN为矩形，

/.NM=DE=x,

•:DGHAP,

:.ABZX^ABAP,

.DGBN

…左一丽’

**-y=^—(tyX<2)

2-x

(3)V^AFG=ZPFG=90°,APP与AAFG相似，且面积不相等,

.GFPFxPF

：.——=——,即nn一=—,

AFGF3xx

PF=—xf

3

当点P在点F点右侧时，AP=AF+PF=2x+3x=?x,

33

2x

・.------=—10x,

2-x3

7

解得x=《，

1Q

当点P在点F点左侧时，AP=AF-PF=3x--x=-x

33f

.2x

:.------=—8x,

2-x3

解得一，

【点睛】

本题考查了相似形综合题：熟练掌握锐角三角函数的定义、正方形的性质和相似三角形的判定与性质.

22、(1)与(2)ZCDE=2ZA.

2

【解析】

(1)在RtAABC中，由勾股定理得到AB的长，从而得到半径AO.再由△AOEs^ACB,得到OE的长;

(2)连结OC,得到N1=NA,再证N3=NCDE,从而得到结论.

【详解】

(1)〈AB是。O的直径，

/.ZACB=90°,

在R3ABC中，由勾股定理得：

AB=JAC?+BC?=V42+22

=2年,

AAO=^AB=75.

VOD±AB,

AZAOE=ZACB=90o,

又・・・NA=NA,

/.△AOE^AACB,

,OEAO

••—,

BCAC

.^_BCAO275

AC4

----•

2

(2)ZCDE=2ZA.理由如下:

连结OC,

VOA=OC,

Z1=ZA,

•・,CD是0O的切线，

.\OC±CD.

r.ZOCD=90°,

/.Z2+ZCDE=90°,

VOD±AB,

AZ2+Z3=90°,

・・・N3;NCDE.

•・・N3=NA+N1=2NA,

AZCDE=2ZA.

考点：切线的性质；探究型；和差倍分.

23、(1)120,补图见解析；(2)96；(3)960人.

【解析】

(1)由“不合格”的人数除以占的百分比求出总人数，确定出“优秀”的人数，以及一般的百分比，补全统计图即可;

(2)求出“一般”与“优秀”占的百分比，乘以总人数即可得到结果；

(3)求出达标占的百分比，乘以1200即可得到结果.

【详解】

(1)根据题意得：24v20%=120(人)，

则“优秀”人数为120-(24+36)=60(A),“一般”占的百分比为w、100%=30%,

120

补全统计图，如图所示:

则达标的人数为96人；

96

(3)根据题意得：—X1200=960(人)，

120

则全校达标的学生有960人.

故答案为(1)120；(2)96人.

【点睛】

本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关

键•条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.

21

24、(l)ac<3；(3)①a=l；②m>—或mV—.

32

【解析】

(1)设A(p,q).则B(-p,-q),把A、B坐标代入解析式可得方程组即可得到结论；

(3)由c=・L得到p3=_l,a>3,且C(3,-1),求得p=±1,①根据三角形的面积公式列方程即可得到结果；

aVa