第五章　§5.1　平面向量的概念及线性运算2025高考

§5.1平面向量的概念及线性运算单击此处添加章节页副标题011.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义.课标要求内容索引01第一部分

落实主干知识02第二部分

探究核心题型03课时精练落实主干知识单击此处添加章节页副标题021.向量的有关概念(1)向量：既有大小又有

的量叫做向量，向量的大小称为向量的____(或称

).(2)零向量：长度为

的向量，记作

.(3)单位向量：长度等于

的向量.(4)平行向量：方向相同或

的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量

.(5)相等向量：长度相等且方向

的向量.(6)相反向量：长度相等且方向

的向量.方向长度模001个单位长度相反平行相同相反向量运算法则(或几何意义)运算律加法

交换律：a＋b＝

；结合律：(a＋b)＋c＝_________b＋aa＋(b＋c)2.向量的线性运算向量运算法则(或几何意义)运算律减法

a－b＝a＋(－b)向量运算法则(或几何意义)运算律数乘|λa|＝

，当λ>0时，λa的方向与a的方向

；当λ<0时，λa的方向与a的方向

；当λ＝0时，λa＝___λ(μa)＝

；(λ＋μ)a＝

；λ(a＋b)＝_______相同相反0(λμ)aλa＋μaλa＋λb|λ||a|3.向量共线定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使

.b＝λa4.对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b.(

)(2)单位向量都相等.(

)(3)任一非零向量都可以平行移动.(

)(4)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量.(

)√××√2.下列命题正确的是A.零向量是唯一没有方向的向量B.若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－bD.平行向量不一定是共线向量√A项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；B项，|a|＝|b|说明a，b的长度相等，不能判断它们的方向，故B错误；D项，平行向量就是共线向量，故D错误.3.(必修第二册P10T4改编)(多选)下列各式化简结果正确的是√√－4返回即2e1－3e2＝k(λe1＋6e2)，又e1，e2为平面内两个不共线的向量，探究核心题型单击此处添加章节页副标题03例1

(1)(多选)下列说法正确的是√√√题型一平面向量的基本概念对于A，由相等向量的定义知，A正确；对于C，若b＝0，则由a∥b，b∥c，无法得到a∥c，故C错误；(2)如图，在等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式中成立的是√方法一(排除法)∵AB∥CD，∵EF∥AB，∴PE＝PF，即P为EF的中点，平行向量有关概念的四个关注点(1)非零向量的平行具有传递性.(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.√√跟踪训练1(1)(多选)下列关于向量的说法正确的是对于A，若|a|＝0，则a＝0，故A正确；对于C，若a，b方向相同，则|a＋b|＝|a|＋|b|，若a，b方向相反，则|a＋b|<|a|＋|b|，若a，b不共线，根据向量加法的三角形法则及两边之和大于第三边可知|a＋b|<|a|＋|b|.综上可知对于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|，故C正确；对于D，若a≠0，b＝0，则a∥b，此时不存在实数λ，使a＝λb，故D错误.(2)(多选)如图所示，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论中一定成立的是√√√命题点1向量加、减法的几何意义A.[3,7] B.(3,7)C.[3,11] D.(3,11)√题型二平面向量的线性运算A.3m－2n

B.－2m＋3nC.3m＋2n

D.2m＋3n√命题点2向量的线性运算√命题点3根据向量线性运算求参数如图，在矩形ABCD中，在△DAO中，平面向量线性运算的解题策略(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义.(2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来进行比较，求参数的值.√在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是OD的中点，AE的延长线交CD于点F，√例5

(1)(2023·徐州模拟)已知向量a，b不共线，向量8a－kb与－ka＋b共线，则k＝________.因为向量a，b不共线，向量8a－kb与－ka＋b共线，所以8a－kb＝t(－ka＋b)＝－kta＋tb，t∈R，题型三共线定理及其应用3如图，延长AG交BC于点F，则F为BC的中点，又G，D，E三点共线，利用向量共线定理解题的策略(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据.(2)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.A.A，B，D三点共线

B.A，B，C三点共线C.B，C，D三点共线

D.A，C，D三点共线√返回且B，P，N三点共线，课时精练单击此处添加章节页副标题0412345678910111213141516√一、单项选择题12345678910111213141516因为六边形ABCDEF为正六边形，123456789101112131415162.如图，e1，e2为互相垂直的单位向量，向量a＋b＋c可表示为A.2e1－3e2B.3e1－2e2C.2e1＋3e2D.3e1＋2e2√由题意得a＝e1＋2e2，b＝e1－2e2，c＝e1＋2e2，所以a＋b＋c＝e1＋2e2＋e1－2e2＋e1＋2e2＝3e1＋2e2.12345678910111213141516A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件√12345678910111213141516123456789101112131415164.(2024·银川模拟)已知向量a，b不共线，且c＝xa＋b，d＝a＋(2x－1)b，若c与d方向相反，则实数x的值为√12345678910111213141516因为c与d方向相反，所以存在k∈R，使得d＝kc，且k<0，即a＋(2x－1)b＝kxa＋kb，整理可得x(2x－1)＝1，即2x2－x－1＝0，12345678910111213141516A.点P在线段AB上B.点P在线段AB的延长线上C.点P在线段AB的反向延长线上D.点P在射线AB上√1234567891011121314151612345678910111213141516A.4 B.3C.2 D.1√12345678910111213141516所以G为△ABC的重心，12345678910111213141516√√√二、多项选择题1234567891011121314151612345678910111213141516√√√12345678910111213141516∵AB∥CD，AB＝2DC，1234567891011121314151612345678910111213141516等腰梯形三、填空题12345678910111213141516所以四边形ABCD是梯形，所以梯形ABCD的两个腰相等，所以四边形ABCD是等腰梯形.1234567891011121314151610.(2023·徐州模拟)已知单位向量e1，e2，…，e2024，则|e1＋e2＋…＋e2024|的最大值是________，最小值是____.20240当单位向量e1，e2，…，e2024方向相同时，|e1＋e2＋…＋e2024|取得最大值，|e1＋e2＋…＋e2024|＝|e1|＋|e2|＋…＋|e2024|＝2024；当单位向量e1，e2，…，e2024首尾相连时，e1＋e2＋…＋e2024＝0，所以|e1＋e2＋…＋e2024|的最小值为0.1234567891011121314151612345678910111213141516如图，过点P作AB，AC的垂线交AB，AC分别于点E，F，所以在等腰直角△ABC中，PE＝1，BE＝1，所以AB＝5，12345678910111213141516312345678910111213141516又因为∠BAD＝120°，所以∠ADC＝60°，所以△ADC为等边三角形，所以AC＝AD＝2，12345678910111213141516四、解答题123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，12345678910111213141516(2)求证：B，E，F三点共线.1234567891