线性代数期末考试复习题

线性代数期末考试复习题

练习L1〃阶行列式的定义

一、1.12.2.3.2；-1.4.5或I；3；1或5.

二、1.(B).由行列式定义知，一个〃阶行列式为加项取自不同行不同列的内个元素的乘

积的代数和.由于传二1或一1,故每项为1或一1,设有，项是一1,则项是1故

IA|=0I5""GD=二从而知|A|为偶数,应选⑻.

2.(D),因为|A|=(-D2过不成立，

IB|=(一IX—DEJD-^(一尸/乂一。-♦不成立，

|C|=(-/(-DWT+f1不成立，|D|=(W»Dfil成立，应选(D).

3.(B).

三、设排列.巧_JC^Xh的逆序数为k,则不产口…巧巧的逆序数为多少？

解1：设排列不巧…中元素玉的逆序数为可，即毛的前面有/个元素比毛大,而毛的

后面有“一1个元素，故后的后面有(“一“一比个元素比不小.从而，排列…括

中元素毛的逆序数为皿3.

所

以，

与)=/_£1_之/=/_域71)_比=汉;1)一比

解2：由于任一对数偶在排列召…和Ak---书中必形成一个逆序和顺序,所以这

两个排列的逆序之和等于从”个元素中取两个元素的组合数°：于

是，8p3•2.由于Ur3)=±所以

~2~

四、利用对角线法则计算下列三阶行列式:

201

(1)T83；⑵

111

abc

2,22

abc

解：(1)原式

=2x(-^9x3+lx8xl+(-^x(-5x0-lx(-l)x(-4)-0xlx3-(-5x2x3=-4

111

=abc=6c2+ab2^ca—ba2-ac—cb1

2,22

(2)原式"0°

五、证明：一个旗阶行列式中等于零的元素个数若比/一。多，则此行列式必等于零.

证明：因为k阶行列式中共有二个元素，若零元素的个数多于二一”，则非零元素的个数

少于，一(二一切=”个.而行列式的值为加项取自不同行不同列的川个元素的乘积的代

数和，故每一项中至少有一个零因子，因此行列式必等于零.

练习L2〃阶行列式的性质与计算

一、填空题:

aBT

7aB

1.设是方程炉+口+9=0的三个根，则行列式07a

解：由于■氏，是方程9+"+,=°的三个根，由根与系数的关系有“+£+，=°,又

a4f

6rl-Hi

7«07a7«

7«6以7,故应填

23241

2-x233-121

%

A=235232

2225062

2.9-x

4的第一二列对应元素相等，故4=°,从而4有因子d-D；

解:由于7=1时,

又由于7=4时，T的第三四行对应元素相等,故4=°,从而4有因子d一。由

于4中关于"最高次数为4,故4=壮一打一与，又由于4的1的项为

1(2-x2)1(9-x2)-!(2-x2)2(9-x2)比较两边/的系数，得金=-3,故应填

2424

3-125062

5=1=0

2323

4=_箕？_咳9_4）由于506506，故应填心二°

yz

x1oo

JF01o

z则”,y=

3.已知0

工y

3+/+/=°,从而工=°J=°N=°,故应填五=o，，=°2=°

1l-x1—1

D^=112-x—1=0

an«■«■

4.方程I111…的所有解为

解：因为当工分别等于°工2尸/T时，4H1均有两列元素对应相等，故居H1=0,故

x=0,%=Lc=a…工=〃一!是刀1Hl=0的解，又刃1Hl口关于上的最高次数为巴所以

无=0,xr=Lx=Z…/=〃-1是D1Hl=°的所有解，故应填无二&%=L"=Z…无="一1

1』1+2-1+W.

2=1+码1+石马—1.5%

5.行列式1+2-1+小当森=2

时,A=_____________,当"23时，A=

解:4=6一"无心一骷）,当ji之3

if1#卬2-1+Wa

M（巧一五），式巧一瑜-K（巧一天）

y可

，式鼻一反）-一天）

时,

1+卬i1斗卬2■"

=n®F居%-M.

i-2

Ai，故应填

4=GFXhF)4=0

二、选择题:

故应选（B）.

2,设W=°f办二山邛pl2jrT，H其中一♦门均为三维列向量，若

网=1,则1A1=[]

(A)1：(B)3；

11

(C)6；(D)9.

解：

.-1H1=1■+耶f+2rT+2^=|3[«+?^,+身妙叫=3卜母T-«。中=3,T-«

=卦LT=*TT=91HfT|=9|A|故四三叶无故应选(D).

3,设1Al=k%Pil.M=k,匐，期—九%均为三维列向量，且

囚=科|叫=’则

12111M2如…唱+匐=

[]

(A)2m+n.(B)2m-n.(C)

6m—3n.(D)6m+3n

解:k+%与+%毫+间=m+叼）招一毫+闻

=3k+，2«2+«12R+闻

*+闻=叼，』

=31al+.®23%«22fi+f2|=3|oi«22pli+21al

匕闻♦』=故应选©

=6«2-3k2nl6|A|-3|B|=6m->

三、计算下列行列式：

1^41-21

02-112

心=54-213

10-124

⑴1403T⑵

1-21

-112

5-1-26

02-1

31-10

★+DnQ-1"

57-2n1n

22

0-10-000-10-00

。402-2------go0-----------

000--n-11-n000--01-n

=（/驾（W4智?

四、证明:

ty+teaz^bx.ryz

ac+by=(fl3)yZX

ac+by«y+fez

⑴万y⑵

证明：（i）利用行列式的性质可将左边行列式表示为炉个行列式之和.这八个行列式中有

六个行列式因有两列元素成比例，因而为所以，

o00

n,得

证.

练习13行列式按行（列）展开定理与克莱姆法则

一、填空题：

012

103

D=

110

5

1.已知2表示第工行第J列元素的余子式,则

MQ+2/32+Af42=

-112

103

跖2+%2+A/骁+腹42=一&+42-42+4==0

-110

154

解:因为，故应填

122-2

222--2

2

222——n

解:

200

20

200

，一！210

020=(-1)=-2(n-2)I

2n—2

02

故应填_2（鞭一2）!

kc+y+z=O

jc+fy+z=0

3.当斤=时,方程组五斗9.七=°有非零解.

1

1k1=0

k

解:方程组有非零解,由于

11t+2

i1=i+2=(t+2)1k1

23

i+2

or

2

昂（H2）0k-10=(k+2)(i-l)

00i-1,所以上=-2或上=1.故应填一2或1.

二、选择题:

♦1+X〜+X

0H+X%+X%+x

/«=

■+X七十x%+X

1.设l+X%+X则多项式f3次数最高可能

为[]

(B)2；

(C)3.(D)4.

OF

/㈤晶

解:,将其按第一行展开，得

若"，则/(X)是常数；若户，则/W是一次多项式，故应选(A).

2.设用刃,且其每列元素之和为品闻，则1Al的第一行元素的代数余子式之和

4乜-"=[]

(A)也(B)无;

a

4+4++4=/+/+-+A=：(蚪+弭—+%)=加|=汕=?

，故应选(B).

3.行列式D非零的充分条件

是

[]

(A)D的所有元素非零；(B)D的任意两行元素之间

不成比例；

(C)D至少有〃个元素丰零；①)以D为系数行列式的齐次线

性方程组有唯一解.

解：选项(A),(B),(C)均不是D非零的充分条件，故应选(D).

\+2xj-2x^=0

2^-/+乜=0

齐次线性方程组〔加+巧一巧=°只有零解,

4.则Z应满足的条件

是]

(A)以=0；(B)z=2；

(C)z=1；(D)

12-2

02-1A工0

131-1

解：齐次线性方程组只有零解而

故应选(D).

证

10a1

0-1b-1

=33+方4■㈤

-1-1c1

⑵-11d0

00

-X0=xV=右

0—y

,得证.

⑵

bTTb-1

\a^c—b3

a^c2=0a^c-b34■力=右

w

a^d00

,得证.

四、计算卜列行列式:

「S—炉—(&一冷・

产1(&_口1—(a-n)*4

aa—1---a-n

⑴11-1⑵

解：(1)将“3的第a+1行经”次行的调换调至第一行，第“行经”一1次行的调换调至第

_,域八+D

n+--+2+l=———-

二行，…，第2行经1次行的调换调至第〃行,于是经过2次行调

换，故得

a-2

2

。1Hi=(T).................——=(T)2口K。-力-

F(«-l)T(。-2)TQ-〃)T""

HB

才(a-i)(fl-2)-g-研

=(-i)2n("力=n(j—o

(2)将。■按第〃列展开，得quQwm%一42,但此说推公式难以推出A的表土

式.由于

11

M1

CDS22

AE叫V亮=2l=cns2fiFZ)l=12cos^=4cos6—3cns^=tns3ft

012cose

于是我们猜测[=皿^.事实上，假设结论对于小于正阶的行列式均成立，则对于七阶，

由递推公式有

4=(2ms0Z^_1-Z^_2=Qcos0-cos(fc-l)^-cos(Jt-2)0

=2-[ms(6l+(i-^+ms(^-(i-l)0]-cDs^-^=aisfc9+aK(i-2^-casCt-2)0=co5W

冠

,故由数学归纳法，得%=cos

练习2.1矩阵及其运算

一、填空题：

1设。=Q-25),1=(21-3)>A=arf贝偿5=

解：A=/xWf而"Q1-3X1-25)r=-15

所以，A5=15VM15*A,故应填］5*A

2.设A是叫价矩阵，其每行元素之和为士则A■的每行元素之和为

有解

原=2乂+2达士%

石=3此+小/5%

已知线性变换I巧=3乂+2典+3再则变量不巧到变量外,叫,%的线性变换

3.

为.

2吸+2叫.y3=a22101

79

3”32+5%=',二万=315-95

34

3尸11功+3招=巧，3233

解1:因为Y

20

A=1=—7天一4巧+9巧

20

211

4=35巧一5。0=6jq+g-7巧

33巧一3天0

2-40

4=331=3jq+2x^—7巧

32-30巧一2巧

4

=2

4万

万=

n_

%=多=巧_巧

故应填3/127

r22心7-49丫乂、

315，231563-7

2人加,故⑴[切(

解2：由已知:W133[323J32-4

乂=-7天-4巧19巧队一寸与+与

%=6/+3巧一7/%=6/♦3〃-7巧>

4=3一土书一4巧，故应填

r43r

1-2321(T2)=

4.570W

(12,3)2=10(12,3)2=10

II

J

『I

(不，巧，巧)%=+2dbift+入书

仆

二、选择题：

L设人B,C是”阶方阵且AB=BC=CA=E,则

A^+tf+C^[]

(A)E.(B)2E.(c)

3E；(D),.

解：丁允=(期)(8=4(804二人[同理可得1：=片,£=<：[故

A?+B、c2=3E.故应选(c).

2.设A为”阶对称矩阵.B为”阶反对称矩阵,则下列矩阵中为反对称矩阵的

是[]

(A)AB+BA；(B)AB-BA；(C)

(D)BAB

解.v(AB+BA)r=BrAr+ArBr=-BA-AB=-(AB+BA)故应选依)

3.设AB为力阶方阵，无为正整数，则下列结论中不正确的

是[]

(A)若A>H可交换，则(A+B)(A-呀=然一/；⑻若A>B可交换，则

Atf和RA”可交换；

(C)若A-B和A+B可交换，则可交换；(D)若AB和RA可

交换，贝内■可交换.

解：若交换，则(A+H)(AF=AJAB+BA-BN=A2-町故⑴正确;

若AH可交换,显然也可交换，于是

时小、)二(ABX^A1)=(RAXAlBl)=(BA^CAB1)故⑴)正确；

2222

1).(A+BXA-B)=A-AB+RA-B(A-BXA+B)=A+AB-RA-BH

A-B和A+B可交换的充要条件是一AB，RA=AB—RA,即AB=RA,故(c)正

确；从而(D)不正确.事实上，若

f-i1Y1「00

A=TJ,由

J-V00知即AB不可

00

(A^KBA)=(R^(Am=

交换，但d故应选(A).

rl02、

A=01-1

0

4.设4矩阵咤荫足AB=A-2B-E,则

I

]

99

(A)7.(B)7；(C)7

(D)-1.

解:由AB=A-2B-E得AB-A=-2B+2E—3E即A(B-E)=一独一呀一克

亦即(A+2B3O®=-第，两边取行列式得

|(A+2EXB-I3|=|A+2E||B-E|=|-3E|=-27因

2

2

|A+2E|=03T=3]=21

3庄产二一2

1

故217,故应选(B).

5.设A>B为”阶方阵,则下列结论正确的

是

[]

(A)AB=.oA=•且B=•:(B)若

|A|=O<=>A=t

（C）1ABi阳或

1*0①)A=E=|A|=1

•・・AB|=A||B|=O=|A|=O或网=0,

解:故（C）成立;

则AR=O,但AfQBfO,故（A）不成立;0)，故⑻不

|A|=1!=1A=|11卜E

成立；P1，但1°，故（D）不成立.故应选（C）.

三、设

四、设r=C；）A=（：:卜=（：；）A"AQ

计算Q，及A・

QP=

解:Q就优：）

Att=(PAQT=flPAQXFAQ)--^AQ)=PA(QP)A(QP)(QP)AQ=FAX?

当万=21时，Aa=E,所以A.=PQ=E：

.fl0、3V1-3「7

Aa=

2

当ji=2t+l时,I。-v所以

rio000、

oi000

2ft

A=0010-2JI

00010

所以1°0

oo1,

六、证明任何一个M阶方阵都可以表示为一对称矩阵与一反对称矩阵之和.

证明：设A为任-矩阵，且A=B4C,其中统=住厘=4，由于

Ar=^+<5=8-0,所以

JA=B+C

rr

rB=-(A+AXC=-(A-A)

[A=B-C，解得22即

A=[1(A+Ar)]+[1(A-Ar)]i(A+Ar)^(A-Ar)

22，且2为一对称矩阵,2为一反对

称矩阵.得证.

练习2.2矩阵的初等变换

一、选择题:

I.

则必有［]

B=AP,

（A）底题立(B)2i；B=P1P2A

(D)B=P2PtA

解：因为对段X，矩阵A施行一次初等行（列）变换，相当于用同种的段00阶初等矩阵左（右）

乘A,而B是由A经过将第一行加到第三行，调换第一，二行两次初等行变换得到的，所

以故应选

B=F2PlA,(D).

故存在三阶矩阵

r010、

1-20

(C)2-1L

解：B是由A经过将调换第一，二行，第一行乘以々加到第二行，第二行乘以T加到第三

行三次初等行变换得到的，所以B=其中

何10、00>

\二100息=-210工=010

(00

,所以

00ri0OYO10「016

『=中禺=010-210100ITO

&-1100火0。V1-121)

,故应选(C).

3.设矩阵A中有一个阶子式不为零，且所有七阶子式全为零，则必

有[]

(A)必)=£(B)心)…；(C)3HL(D)

r(A)=i-l^r(A)=i

解：因为矩阵A所有阶子式全为零，所以'(A)＜二+1,又矩阵A中有一个上一]阶子式

不为零，所以«A)A*T,因而，(A)=*-l或，(A)=£故应选①).

自31T0

二、用初等行变换将94743瓦为行最简形矩阵，再进一步用初等列变换将

其化为标准形.

20-220-2-4、

-111-1111

-8890014

-7780014,

q20041020-2、002-2、10000、

0-10-32t0一1030-1301000

->->->

0004r00014004Q-2<i00100

0000」*0000,0000*0000)

rl020一2、‘10000、

01-10301000

0001400100

)(

所以，矩阵A的行最简形矩阵为*0000，标准形为0000Oj

1-2廿

A=T2kT

」

设kT3问无为何值时，可使

a)KA)=1;(2)KA)=2;KA)=3.

解

1-23k、rl-23k、

vA=02(£-D3(〉D0雄-D3(t-D

*折D-驶_6*o-3(t+2Xi-1)；

所以(1)1r(A)=l,则后两行元素全为零，故上=L即上=1时，(A)=l；

(2)«A)=2,见有两行非零，故土=-2,即*=一2时，(A)=2；

3t

(3)必)=3,则三行全非零，故*L金才一2,即上工1且上3t-2时，(A)=3.

四.、设为行数相等矩阵，C&I9是由人日并列所得的矩阵.证

明：

'E,OOO、

(AOOooo

OOE,O(AO

=尸+s

证明：设则1°OOOJ,故I。B

AO

又OB所以

&Bao

r(C)=r(AB)<r=产+s=r(A)+r(B)

2»,得证.

「21837、

2-3•7-5

3458

1・32

五、求矩阵J的秩,并求一个最高阶非零子式.

解

11

-30

-20

07)I。

217

3-20=14

所以，矩阵的秩为3,三阶非零子式为1°0

练习2.3逆矩阵

一、填空题：

1.设A为三阶方阵，14万、则.

UA|=1#0,v.AlA_i2A'=21AT=AT

解：2二A可逆且A=|A|A,所以2,

（2A•尸=N）T=A,IQA.尸1#片故应填g

2.设A为吨笏阶可逆方阵，则（A〉'=.

解：vAA#=|A|E,^>0.-JAHA-HIAIEHAnEHAr,即川平厂又

£（A・）・=|A・|E=|ALE=|ALA・A,所以（A・）.=（ALA,故应填|ALA

-200、

A=03-1

3,设1°5~2<R是三阶矩阵，满足A^IAIEnA'+B,则

B=.

解：由ABf|A|E=A、B得AB-B=A'一|A|E,即(A-E)B=(E-A)A：因

―300、

|A-E|=02-1=3*0

I。5-3),A-E可逆，上式两边左乘(A-E)T,得

B=-A>=-|A|A-1

4.设AB均为三阶方阵，将A的第一行的2倍加到第三行得C,将B的第一，二列互换得

102、

CD=011

D.已知1213),则血=.

解：由题设EGK2))A=CBEa2)=D,所以CD="3.1Q))ABEQ2),因而

2\(01f012、

AB=E(3」Q))Tci»：a2)T=1

一1A故应填

’012、

101

J0F

二、选择题：

1.设AR是同阶方阵，且A可逆，B不可逆，则下列矩阵中一定可逆的矩阵

是]

r

(A)AB；(B)AA；(C)

3

A+B;(D)4B

解：因A可逆,所以i^l1=1AHAF|=IAl2*0,因此AA「可逆，故应选(B).

2.设AB均为”阶方阵，则下列结论中正确的

是[

]

(A)A或B可逆，则必有AB可逆；(B)AB均可

逆,则必有A+B可逆;(C)AB不可逆，则必有A或B不可

逆;(D)均不可逆，则必有A+B不可逆.

解：若AB不可逆，则1神1=°,于是必有|A|=0或|同=0,即A或B不可逆，故应选(c).

3.设A为力阶方阵，满足A3=O,则必

有

[]

2

(A)A=O.(B)."A均不可逆；©A2_A+£A2+A+月均可

逆；(D)E+A不可逆.

2

解：由A'=°得A1E=E,gp(A+EXA-A+E)=E>所以HA可逆，且

(E+A)-1=A2-A+E故应选(D).

‘5200、

」22100

34-20083

三、求下列矩阵的逆矩阵：(1)&<1J52

⑵I。。J,

⑴解1："|=2,故A”存在而

4=-44=24=Q4=-134=64=-上

4=-324=144=T

解:2

2-1100、20000、

『%

34-200-»010

15000016-7

1000

0

131

->00130103

22

16

1°00-167-1

故

0

13

3

22

1一167

|A|=1*Q

⑵解故存在而

4=MI=N4=04=Q4=-24=54=04=Q

4=0=04=­5=&

从而,

四、设工阶矩阵A及零阶矩阵B都可逆,JO方

oAY^x,

则J。八X,X|

因此，由于均可逆，所以

=O,BX1=O,BX,=EA,B

1

X5=A-；X4=O,X1=O,X2=B^从而【Boj(AToj

则

因此，+由于A,B均可逆，所以

(AO，A-1O、

从而]4

Y>=A^,Y2=O,Y3=_"A±K一[R4CATR,

A=

五、设

v|A|=-4*Q

解1