向量在物理中的应用举例（分层作业）高一数学系列（人教A版2019）

6.4.2向量在物理中的应用举例（分层作业）（夯实基础+能力提升）

【夯实基础】

一、单选题

1.（2022•全国•高一专题练习）人骑自行车的速度为力,风速为1,则逆风行驶的速度为（）

A.匕一匕B.匕—匕C.V]+v2D.-v2|

【答案】C

【分析】利用向量的加法运算求解.

【详解】解：由题得盯和也都是向量，根据向量的加法运算得逆风行驶的速度为大+g.

故选：C.

2.（2022春•湖北荆州•高一公安县车胤中学校考阶段练习）某人先向东走弘〃?，位移记为G,接着再向北

走弘7〃，位移记为5，则1+B表示（）

A.向东南走B.向东北走6〃加

C.向东南走3岳川D.向东北走3及加？

【答案】D

【分析】根据向量方向和模长可得结果.

【详解】由题意知：B+E|=V^W=3及，位移方向为东北方向，,2+5表示向东北走

故透:D.

3.（2022春・江苏无锡・高一辅仁高中校考阶段练习）一物体在力广一的作用下，由点44,-2）移动到点4（5,4）.

已知户二（3,2）,则尸一对该物体所做的功为（）

A.-15B.15C.28D.-28

【答案】B

【分析】利用数量积的坐标公式进行计算.

【详解】由题意得：布=（1,6）,设尸一对该物体所做的功为：1x3+6x2=15

故选：B

4.（2022春・山东临沂•高一校考阶段练习）加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生

做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60。，每只胳膊的拉力大小均为

20（）6N,则该学生的体重（单位：kg）约为（参考数据：取重力加速度大小为g=10m/s2）（）

A.60右B.61C.75D.60

【答案】D

【分析】用向量方，砺表示两只胳膊的拉力的大小和方向，它们的合力与体重相等，求出|况+砺卜西化

为千克即可得.

【详解】如图，侬=|得=2005408:60。,

作平行四边形。则O的8是菱形，OC=OA+OB,

|困=2网sin60。=600,

所以同=|明=600,

因此该学生体重为驷=竽=60(kg).

g10°

故选：D.

二、多选题

，作用在行李包上的两个拉力分别为耳，耳，且同=园，耳与月的夹角为"下列结论中正确的是（

d)

B.。的取值范围为［0,司

C.当时，同D.当8=暂时，园

【答案】AD

【分析】利用平面向扁的加法运算以及模长、数最积公式进行求解.

【详解】对于A，根据题意,得同工|耳+同,所以同2=图+同+2同入同xcos6=2同（1+36）,

解得丘国

,因为夕€（0,"）时，p=COS。单调递减，所以6越大越费力,e越小越省力，故A正

确；

对于B,由题意知。的取值范围是（0,幻，故B错误；

对于c,因为同=.同方'所以当时，同=单，所以园=孝同，故C错误；

对「D,因为同2=2。同犷所以当"当时，园2=耕，所以同=同，故D正确.

故选：AD.

6.（2022・高一课时练习）（多选）如图所示，小船被绳子拉向岸边，船在水中运动时。，设水的阻力大小不

变，那么小船匀速靠岸过程中（）

A.船受到的拉力不断增大B.船受到的拉力不断变小

C.船受到的浮力不断变小D.船受到的浮力，呆持不变

【答案】AC

由向量加法的平行四边形法则可知耳+月的方向是竖直向上的，且

|[+可=2|耳|sin450=2xl0x等=10上，所以物体的重力大小为10及M

故答案为：ioVI

9.（2022•高一课时练习）己知力耳=耳=（1,5）,且冗后和耳三个力的合力为尸=（0,1）,则

______-

【答案】（-3,-3）

【分析】利用平面向量线性运算的坐标表示即可求解.

————一[2+1+x=0[x=—3

【详解】解：设居=（4/）,则月+居+£=产，即,<J解得/

—1+b+y=11y=-3

所以耳=（一3,-3）.

故答案为：（-3,-3）.

10.（2022・高一课时练习）力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的,运力的叠加亦用

到向量的合成.

【答案】加减法

【分析】略

【详解】略

故答案为：加减法

11.（2022春•高一课时练习）如图，一个力厂作用于小车G,使小车G发生了40米的位移，厂的大小为

50牛，且与小车的位移方向（s的方向）的夹角为60。，则力/做的功为牛•米.

F

JS

…_____________

【答案】100（）

【分析】根据平面向量数量积的几何意义，求出小车位移方向力的大小，即可求出力产做的功.

【详解】解：小车位移方向力的大小为50-cos6（）o=25牛，

所以力产做的功为25x40=1000牛•米.

故答案为：1000.

四、双空题

12.（2022春・北京丰台•高一统考期中）一条河两岸平行，河的宽度为240夜米，一个人从岸边游向对岸.

已知他在静水中游泳时，速度大小为每分钟12百米，水流速度大小为每分钟12米.

①当此人垂直游向河对岸，那么他实际前进速度的大小每分钟米；

②当此人游泳距离最短时，他游到河对岸的需要分钟.

【答案】24；20.

【分析】（1）求出J（12百¥+12,即得解;

（2）求出他游到河对岸的速度即得解.

【详解】解：（1）如图所示，当比人垂直游向河对岸，那么他I际前进速度的大小为J（12石产+[2?-24，

他实际前进速度的大小每分钟24米.

（2）如图所示，当此人游泳距离最短时，他游到河对岸的速度为/126）2-12?=12五,所以他游到河对

岸的需要—工=20分钟.

I2V2

13.（2022•全国•高一专题练习）若"表示"向东走8km”，E表示“向北走8km”，则K+可=,a+b

的方向是.

【答案】8&km东北方向

【分析】画出图形，利用向量加法公式得到工+坂=夕+益=方，进而求出模长及方向.

【详解】如图所示，作=Z荔=Z,

B

贝〃+至=方+而=砺.

所以归+,二|砺卜,8?+8:=86(km),

因为N/1O4=45。，

所以£+B的方向是东北方向.

故答案为：8\/2km,东北方向

14.(2022・高•课时练习)在水流速度为lOkm/h的河中，要使船以10。km/h的速度与河岸成直角横渡，

则船行驶速度的大小为km；h,与水流方向所成的角为.

【答案】20120。

【分析】如表示水流方向，砺表示垂直于对岸横渡的方向，反表示船实际航行的方向，则丽=反十万，

由|网=|方|可得答案.

【详解】如图，风表示水流方向，丽表示垂直于对岸横渡的方向，反表示船实际航行的方向，则

丽=反+而，由题意知匹卜网=10,画=1。5所以|因二20,且乙40。=120。.所以船行驶速

度的大小为20km/h,与水流方向所成的角为120"

故答案为：①20②120。.

A

五、解答题

15.（2022・高一课前预习）在静水中船的速度为20m/min,水流的速度为10nVmin,如果船从岸边出发

沿垂直于水流的航线到达对岸，则经过3小时，该船的实际航程是多少km?

【答案】乎（km）

【分析】如图，设水流的速度为苏，船航行的速度为方，则这2个速度的和为沅，则由题意可得10,

|砺1=20,解直角三角形O8C求出合速度的大小，然后求解即可.

【详解】解：如图：设水流的速度为次，船航行的速度为砺，则这2个速度的和速度为历，

则由题意可得|方|=10,I痂1=20.

直角三角形OBC中，由08=20,8c=04=10,可得6=30。，

所以船的合速度的大小为1oGnVmin=3目（km/h）,

故船行驶的方向与水流的方向成120。（即4OB=12曲.

所以经过3小时，该船的实际航程是3、苧=竽千米.

16.（2023・全国•高三专题练习）平面上三个力耳、耳、尺作用于一点且处于平衡状态，|1|=1N,

-|=X/6+X/2N＞［与月的夹角为45。，求：

（1）后的大小；

（2）及与耳夹角的大小.

【答案】（1）6+1

（2）：50°.

【分析】（1）三个力平衡则三个力的和为0；移项，利用向量模的平方等于向量的平方求出向量的大小.

（2）利用三角函数的余弦定理求出两个向量的夹角大小.

(1)

解：:三个力平衡，.・・耳+及+耳=0,

.♦」司=1月+月1=#+2无及+隹

=+2x1x"；立cos45。+("；="+2百=百+I，

(2)

解：耳与耳的夹角可由余弦定理求得,

COS<06>=叵

2xlx(>/3+])2

「.月与月的夹角为30。

则K与耳的夹角为180。-30。=150。.

17.(2022・高•课时练习)已知某人在静水中游泳的速度为4#km/h,河水的流速度为4km/h,现此人

在河中游泳.

(1)如果他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么方向前进？实际前进的速度为多少？

(2)他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度为多少？

参考数据：tan35.26。q立■.

2

【答案】(1)方向为与水流方向成60。，速度为8km/h

(2)方向与水流方向成125.26。，速度为4后km/h

【分析】(1)用刀表示河水的流速，砺表示该人在静水中游泳的速度.以04,为邻边作平行四边

形04c8,用工为此人游泳的实际速度，在矩形中求解中得；

------------ULlLLn

(2)同(1)用07,表示河水的流速，O7T表示此人自身游泳的速度，以0'彳，0'"为邻边作平行四边形

UUUU

0/CE,0(”表示此人实际游泳的速度，在平行四边形中求解.

(1)

如图①，用应表示河水的流速，而表示该人在静水中游泳的速度.以。4,。8为邻边作平行四边形O1CB,

用反为此人游泳的实际速度.

一,一uuuuuiuinrfutr---HOT-

在放A/OC中，|。*=4,|力C|=|OB|=4百，所以|0C|=JCUE+|4CT=8.

所以tanZ.AOC=［益1=百，所以乙40C=60。.

\OA\

故此人实际前进速度为8km/h,方向为与水流方向成60。.

(2)

..........uum

如图②，用O，/表示河水的流速，O7T表示此人自身游泳的速度，以OW,。5为邻边作平行四边形

OWC'B',表示此人实际游泳的速度.

UUUU-

所以有OC

uuur

B'C_V2

所以tanNB'OC=uumr所以NB'OCN35.26。.

O'C"一2

故此人实际前进速度为4/km/h,方向与水流方向成125.26。.

图①图②

18.(2022•全国•高一专题练习)三个大小相同的力入%、工作用在同一物体P上，使物体P沿2方向做匀

速运动，设百=",而=»,~PC=cy判断的形状.

【答案】等边三角形

【分析】作而=一书可知平行四边形4PC。为菱形，求出NP4B=NPBA=NPAC=NPC4=NPBC=NPCB,

可求出三个内角的大小，由此可判断出的形状.

【详解】由题意可得忖叫=『|,由于合力作用后做匀速运动，则£+B+"=0,所以，a+c=-b,

A

作PQ=M，则平行四边形/PC。为菱形，因为网=匹卜回

故AHW为等边三角形，则//PQ=60",

因为|沙卜|而则N"8=NP"4=3（r,同理可得/4。=/。口=/，8。=/尸。8=30°，

所以，ZABC=ZACB=ZBAC=60,因此，/8C为等边三角形.

19.（2022♦高二课时练习）解决本节开始时的问题：在如图的天平中，左、右两个秤盘均被3根细绳均匀

地固定在横梁上.在其中一个秤盘中放入质量为1kg的物品，在另一个秤盘中放入质量为1kg的磅码，天平

平衡.3根细绳通过秤盘分担对物品的拉力（拉力分别为耳，耳,耳），若3根细绳两两之间的夹角均为。,

不考虑秤盘和细绳本身的质量，则开，F\,豆的大小分别是多少？

【答案】"g牛.

66

【分析】由题可得园=同=同，且耳，艮,月两两之间的夹角均为三，|k+M+E|=g,然后利用数量

积的运算律及数量积的定义即得.

【详解】由题可知闰=同=同，且耳，及，及两两之间的夹角均为不

又肉十月+瓦卜g,（g为重力加速度）

2

Fi~+F2~+F3~+2Fi-F2+2F]-F3++2F2-F3=g»

，6网-=g2，

常书书4g（牛），

即耳，艮,用的大小都是如g牛.

6

20.（2022・高一课时练习）如图，一物体在表面粗糙的斜面上大动，斜面沿水平方向做匀速直线运动，若

物体的质量为根，斜面的倾角为“，位移大小为s,求物体与斜面之间的摩擦力所做的功.

【答案】wgvsinacosa

【分析】利用物理知识和向量知识得到摩擦力和在/方向上的位移，再利用功的公式进行求解.

【详解】设物体与斜面之间的摩擦力为了,

则f=mgsina,

又因为在/方向上的位移为再=scosa,

所以物体与斜面之间的摩擦力所做的功

为％=/凶二mgsinaXcosa=勿gssinacosa.

故答案为：Mgssinacosa.

【能力提升】

一、单选题

1.（2022春・江西南昌•高一统考期末）某学生体重为〃Jkg,处于如图所示的平衡状态，假设他每只胳膊的

最大拉力大小均为半加gN（重力加速度大小为g），如果要使胳膊得到充分的锻炼，那么他两只胳膊的夹

角最大为（）

【答案】B

【分析】设两只胳膊拉力最大时的夹角为仇ec（o,m,根据力的平衡可得iK+Ei=〃?g,结合向量的数量积

的运算，即可求得答案.

【详解】由题意，不妨设当该学生两只胳膊的拉力最大时，

他两只胳膊的夹角最大为aec（om）,

设此时两只胳膊的拉力为冗E，则|斤卜|月上等〃?gN,

则函+引=〃陪,即有|耳+可2=51g

所以尸+月*+2耳耳=（〃?j，

即：（〃唁）2+；（用g/+2x；x（mg）2KCOSO=（mg）2,

故cosO=1,故0=三，

23

故选：B

2.（2022•高一单元测试）如图，在重100N的物体上有两根绳子，绳子与铅垂线的夹角分别为30。，60°,

物体平衡时，两根绳子拉力的大小分别为（）

A.50石N,506NB.50N,100N

C.5()6N,50ND.100N,5()石\

【答案】C

【分析】设两根绳子的拉力分别为次，砺，作口0CB,根据题意得到其为矩形求解.

【详解】解：如图所示：

A

BL/

O

设两根绳子的拉力分别为E，OB.

作口0/C8,使//OC=30。，N8OC=60。.

在口。力CB中，ZACO=NBOC=60。,

所以NO4C=90。，

所以网=|可伸30。=50百N,|祠=瓯卜n30°=50N,

所以网=|狗=50N,

故两根绳子拉力的大小分别为50GN,50N.

故选：C.

3.（2022春•北京通州•高一统考期中）一条河两岸平行，河的宽度为200m,一艘船从河岸边的A的速度4

的大小为|%|=l°km/h，水流速度彩的大小为卜2|=6km/h.设这艘船行驶方向与水流方向的夹角为0,行驶

完全程需要的时间为“min）,若船的航程最短，则（）

71_271._271c3兀.一

A.—<0<—,/=i.5B.—<0<—,/=1.5

2334

分兀八2万-〜2兀八3兀八

C.~<0<——,/=2D.——<0<—,t=2

2334

【答案】B

【分析】作出图形，由题意可得sina,可分析。的范围，再由同角三角函数基本关系求出cosa,据此可求

出速度L再由，=士求解.

V

【详解】如图，

0

由图可知，sinor=,所以」＜sina＜--»故/〈av?,

1052264

所以"＜。＜个又因为sina。，所以cosa=（,

3455

4/=心-=15

所以y=Kcosa=10x—=8（km/h）,故8xlO?（mm）.

5

故选：B

4.（2022春•浙江•高一校联考阶段练习）甲、乙两人提起重量为8N的物体，两人用力方向的夹角为夕，用

力大小分别为6N、7N,则cos。的值为（）

A.-[B.-C.gD.--

4422

【答案】A

【分析】由向量的平行四边形法则及力的分解可得.

【详解】如图，设|万5|=6,|方|=7,合力即为|左|=8

:,OA+OB=OC两边平方可得（51+无广=交

即|厉『+2次•砺+|砺『=|反『，

.\62+2X6X7XCOS<9+72=82>解得cos9=一!

故选：A

5.（2022・高一单元测试）P是“BC所在平面内一点，满足|m|-|而+正-2秒|=0,则』4C的形状是

()

A.等腰直角二角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形

【答案】B

【分析】根据平面向量的线性运算与模长公式，可以得出方.太=0,由此可判断出A8C的形状.

UIWUUUT

【详解】由卜p4+PC_2P/|,可得C[=]AB+AC,即向一画=国+西,

等式|布-%卜|就+刘|两边平方，化简得存.芯=0，...存j,就,

因此，是直角三角形.

故选：B.

【点睛】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算，也考查了模长公式应用，是中等题.

__一一ab

6.（2022•全国•高一专题练习）在中，CB=a，CA=b^且。2=00〃？^]----+闩-----,mwR,

|fl|sinB邢吊/1,

则点P的轨迹一定通过“8C的（）

A.重心B.内心

C.外心D.垂心

【答案】A

【分析】过C作C〃_L48,交于H,取力8中点。，连接CD,所以向sin8=⑹卜皿彳=%],根据向量

的线性运算法则，化简可得而二奇质，根据三角形的性质，分析即可得答案.

【详解】过C.作交月8于“，取44中点。，连接C〃，如图所示：

根据三角函数定义可得忖Sin〃=降mA=J：石|,

/\

——ab

因为OP=OC+〃？尸p—+闩——，

J《sin8阵由力

所以而-1=南@+5）,即以前诙，

即点P的轨迹在中线CD上，而三角形三边中线的交点为该三角形的重心,

所以点尸的轨迹一定通过“BC的重心.

故选:A

7.（2022•全国•高一专题练习）如图为一个空间探测器的示意图，[、鸟、8、6是四台喷气发动机，4、

6的连线与空间一个固定坐标系的x轴平行，每台发动机开动时，都能向探测器提供推力，但不会使探测器

转动，开始时，探测器以恒定的速率%向正r方向平动，要使探测器改为正r偏负），60的方向以原来的速

A.先开动［适当时间，再开动R适当时间

B.先开动£适当时间，再开动£适当时间

C.开动乃适当时间

D.先开动巴适当时间，再开动打适当时间

【答案】A

【分析】对每个选项中的方案进行讨论，分析探测器所受到的推力方向以及探测器的运动状态，即可得出

结论.

【详解】先开动《适当时间，探测器受到的推力沿负x方向，探测器沿正4方向做减速运动，

再开动乙适当时间，又产生沿负J'方向的推力，探测器的合速度可以沿正x偏负y60。的方向，并以原来的

速率%平动，故A正确;

先开动6适当时间，探测器受到的推力沿正x方向，将沿正x方向加速运动,

再开动6适当时间,又产生沿正y方向的推力，探测器的合速度在第一象限，故B错误;

先开动巴适当时间,探测器受到沿负y方向的推力，将获得沿负y方向的速度，沿x轴方向的速率不变，故

C错误;

先开动々适当时间,探测器受到的推力沿正x方向，将沿着正工方向加速运动，速率大于%.

再开动A适当时间,探测器又受到沿负歹方向的推力，将获得沿负，方向的速度，合速度的大小大于％,

故D错误.

故选:A.

二、多选题

8.（2022春•新强巴音郭楞•高一校考期末）在保证公平的情况下，两个人共同手提一个行李包.假设行李

包所受重力为G,作用在行李包上的两个拉力分别为耳，耳，且同=|同，尺与月的夹角为牝下列结论

正确的为（）

一2

A.0越大越费力，0越小越省力B.|^|2=----

''2（1+cos。）

C.当6时，同=同D.当0=当时，园=同

【答案】ABD

【分析】根据向量的定义和性质对选项逐一计算检验即可.

【详解】因为向=恒+同为定值，园xcos”2同（1+cos。），解得庐『=_0_____

1112（1+cos。）

由题意知6w（0/）时，y=cos。单调递减，所以同2单调递增，

即e越大越费力，0越小越省力，故A正确，B正确；

当。吟时,同耳，所以用=¥1斗故C错误；

当夕=早时，同=|同，所以同=同，故D正确.

故选：ABD.

9.（2022春•新疆巴音郭楞•高一校考期末）在保证公平的情况下，两个人共同手提一个行李包.假设行李

包所受重力为G,作用在行李包上的两个拉力分别为耳，却且同=|同，耳与耳的夹角为。.下列结论

正确的为（）

一2

A.。越大越费力，。越小越省力B.R2=—9一

12（1+cos。）

C.当夕咤时，园=同D.当6=与时，园=同

【答案】ABD

【分析】根据向量的定义和性质对选项逐一计算检验即可.

【详解】因为向二忖+同为定值，园xcos0=2间（1+cos。），解得庐「=_0_____

1112（1+cos。）

由题意知。€（（）,4）时，y=cos。单调递减，所以同2单调递增，

即0越大越费力，0越小越省力，故A正确，B正确；

当时,同耳，所以I用《同,故c错误；

当°喂时，同=|同,所以同=同，故D正确.

故选：ABD.

10.（2022春・全国•高一期末）一物体受到3个力的作用，其中重力占的大小为2N,水平拉力片的大小为

IN,力月未知，则（）

A.当该物体处于平衡状态时，园=VLv

B.当物体所受合力为耳时，|瓦卜石N

C.当园=W时，（石—1）NK同+及+同工（5+2）N

D.当园=W时，必存在实数心使得不=冗+说

【答案】ABD

【分析】根据向量的加法与减法的运算法则，依次讨论各选项即可得答案.

【详解】解：对于A选项，当该物体处于平衡状态时，如图1,此时吊弓的合力大小为2N,方向与重力

方向相反，故因卜石，正确：

对于B选项，当物体所受合力为耳时，结合向量加法的平行四边形法则，如图2,|国=石，正确；

对于C选项，当园=1N时，设重力不与水平拉力耳的合力为八大小为同二石N,如图3,当后与R方

向相同时，忻+月+可取得最大值（石+1）N,当尺与R方向相反时，|K+E+可取得最小值（逐一1）N,

故（石-1）N1万+瓦+@4（6+1）N,错误；

对于D选项，当园=W时，若存在实数义，使得3=瓦+病，贝IJ

22=（G-/S）2=4+1-2X2X1COS^=5-4COS6>G[1,9],其中。为力1耳的夹角，所以存在实数力,使得

3=耳+证,故D正确.

故选：ABD

三、填空题

11.(2022・高一课时练习)已知々=(1,0),^=(0,1),现有动点P从《(-1,2)开始，沿着与向量［相同

的方向做匀速直线运动，速度大小为每秒届+可，另一动点。从。。(-2,-1)开始，沿着与向量嘉+21相同

的方向做匀速直线运动，速度大小为每秒|3鼻+2可，设P,。在f=0s时分别在4，0。处,则当画_L颓

时所需的时间/为s.

【答案】2

—一—一UUUU_____

【分析】根据题意，分别得到与0+马，3q+2e2方向相同的单位向量，再由题中条件，表示出玲0。，尸。的

坐标，根据向量垂直列出方程求解，即可得出结果.

【详解】由题意得［+£=(1,1),则届+可=0,与其方向相同的单位向量为，31+21=(3,2),

与其方向相同的单位向量为(木，卡卜

则忸+2司=g,

如图,

y

则麻卜"，蜀=/，

故已同冬用=("),丽=的忌喘卜(30,

又兄(-1,2),a(-2,-i),

AP(z-l,/+2),0(3—2,2/-1),

UUL11

《2=(-1,-3),

ULU

・•・P0=(2/-l,/-3).

•••@顿，

・••丽•屯0,

HP2/-l+3/-9=O,解得，=2.

故当闻_L函时所需的时间，为2s.

故答案为：2

12.(2022・高一课时练习)设。为&48C内一点，且满足关系式01+20%+302=3/1%+241+。1，则

S-BOC'S"IOB：S'CCU=__•

【答案】3:2:1

【分析】由题意将已知中的向量都用。为起点来表示，从而得到35+d+2况=6,分别取48、AC的中

点为。、E,可得。3=2应？，利用平面知识可得SZUO8与SA4OC及SA8OC

与SA49C的关系，可得所求.

【详解】VOA+2OB+3OC=3AB+2BC+CA=3(08-OA)+2(OC-OB)+(OA-OC)，

:-3OA+OB+2OC=0'

AOA+OB+2OC+2OA=0f分别取"从40的中点为。、E,

：*0D=2EOf

,3_12_J

、AOB~5'GABFX3»“BC

S，6=；SjcF=；x$rBC=3"C；

=

S△BOCQSAABC•

cBOC-S«AOB'SJCOA=QS“8C:~S"BC'不^^ABC=3：2：1

故答案为：3:2:1.

13.(2022•高一课时练习)已知“8C内接于一个半径为2的圆，其中O为圆心，G为"8C的重心，则

西.(砺+玩)的取值范围为

【答案】[-；,8)

【分析】如下图所示，建立平面直角坐标系，设仄C、。、力的坐标，得出点力的轨迹方程，根据三角形

的外心和重心的性质，求得点。、G的坐标，运用向量数量积的坐标运算可求得范围.

【详解】解：如下图所示，以8c所在的直线为x轴，以8c的中点D为坐标原点，建立平面直角坐标系,

设8(T,0),C(Z,0)(P>0),0(0,〃)，：,n2+t2=4=>-2<n<2

设N(x,y),所以[04|=1所=2,即=4="24歹4〃+2,

又/8C的重心G为仁所以前二("号砺=1=(“〃)，

所以0G(O8+0C)=•一〃)(0，-2")=_gx(y_3〃)=,

又-2<〃<2,n-2<y<n+2,

2、44

所以§〃(z3"-y)M+1)<yx2x3=8,

2441,11

y/7(3w-^)>yrt(W-l)=y[(//--)2

12

综二得-545〃(3"y)<8,

所以丽.(无+1)的取值范围为

【点睛】关键点点睛：本题考查向量的数量积运算，关键在于建立适当的坐标系，利用外心，重心的性质

得出点的坐标，再利用函数的性质求得范围.

14.（2022・全国•高一假期作业）如图所示，无弹性细绳。4,08的一端分别固定在A,8处，同样的细绳

OC下端系着一个秤盘，且使得，则。力，OB,OC三根细绳受力最大的是.

【答案】0A

【分析】设。，OB,OC三根组绳对0所施力分别为£,E，房可知£+E+"=0,在平行四边形O8C%

中比较向量模的大小即可求解.

【详解】受力最大的是。力，

理由如下：

设。4,OB,0C三根细绳对。所施力分别为b，c，

则4+B+C=6'

设Z与B的合力为才，则F|=p|，

如图：在平行四边形O8CNH』，网为砺_L灰"才=万，

所以囱＞I词，恒卜口目,

即M卜W邛卜同=用

所以绳。4受力最大.

故答案为：04.

15.（2022•高一课时练习）如图，在平面四边形"CO中，AB1BC,NBCD=60。,^ADC=\5（f,BE=3EC,

CD=*BE=6,若点E为边”。上的动点，则而.丽的最小值为

【分析】以8为原点建立平面宜角坐标系，求得40,2）,。（4,1）,£（百,0）,设尸（工,歹），令乔=之而，得出

丑石人2-/1）,利用数量积的运算得到乔•丽=4万-74+4,结合二次函数的性质，即可求解.

【详解】以8为原点，以"C,84所在的直线为xj轴，建立如图所示的平面直角坐标系，

依愿意得CE=工BE=®,BC=BE+CE=迈,NBCD=60

333

在△8。中，由余弦定理得BD=]竽[+'苧）—2xqx苧xcos60。=2，

所以8》+°2=8。2,所以N8OC=9（T，

由8C=2CD,所以NDBC=30°,NZ）C8=60。，

每递8s6。。=1

在©）E中,由余弦定理得。七二+畔

33

所以员所以/QEC=90”，

在中，ZABD=AADB=60°,所以△480为等边三角形,

所以48=8。=2,所以4(0,2),D(73,1),夙百,0),

设尸(x,y),由题意令万而，即(x,y-2)=/l(G,-l),

解得X=x/il,y=2-；l,所以尸(#42-71),

所以而诉=(64-6,2-/1)-(342-/1)=4储-7/1+4,

设/⑷=4万_7/1+4(0工人2),可得其对称轴为％=：,且开口向上，

O

所以4=:时，/仅)取得最小值，即瓦贰砺的最小值为4x(：)2—7x：+4=

o8816

四、解答题

16.(2022春・山东荷泽•高一统考期末)如图，一条河两岸平行，河的宽度/!C=ekm,一艘船从河边的力

点出发到达对岸的B点，船只在河内行驶的路程/8=2kmh.已知船在静水中的速度匕的大小为IM,水流的

速度匕的大小为何卜2km/h.求：

A

⑴Ml：

(2)船在静水中速度看与水流速度鼻夹角的余弦值.

【答案】(1)同=2万

⑵等

【分析】(1)先求出船只沿力力方向的速度为H=10kin/h.(％”=60。,利用向量的数量积运算求出同：

(2)利用数量积及夹角公式求出船在静水中速度匕与水流速度3夹角.

(1)因为船只在河内行驶的路程"=2kmh,所以船只沿48方向的速度为M=2=10km/h.由力c=75km,

4A=2km,根据勾股定理可得：5C=V22-3=lkm，所以NR4根=30。,即卜2，分=60°由1=彳+R,得:v(=v?-v,

-2^-^+v-=X/22-2X2X10COS60°+102=2721.

⑵因为工=7+E，所以；J=(X+Q2,即100=(2收y+2乂2向、2(：05网,正)+22,解得：cos母0=鲁

即船在静水中速度K与水流速度匕夹角的余弦值为巴.

17.(2022•高一单元测试)如图所示，一条河的两岸平行，河的宽度d=500m,一艘船从A点出发航行到

河对岸，船航行速度的大小为M=10knVh,水流速度的大小为'2|=4knVh,设工和工的夹角为

Q02

A

(1)当cos。多大时，船能垂直到达对岸？

(2)当船垂直到达对岸时，航行所需时间是否最短？为什么？

【答案】⑴-1

(2)当船垂直到达对岸时，航行所需时间不是最短，理由见解析.

【分析】(1)由题意，且与正垂直，即(％+E)-E=。，根据数量积的定义即可求解:

d1R

（2）设船航行到对岸所需的时间为，h,则“芯标=荻荷，比较。=90。和sin0=qi两种情况即可

求解.

（1）

解：船垂直到达对岸，即1，=匕+匕且与匕垂直，即（匕+匕）•匕=0,

所以正司+丁=0,即E闷COS0+同2=0,

2

所以40cos6+16=0,解得85。=-1；

（2）

d（）.51心

解：设船航行到对岸所需的时间为小，贝『=7匚7=1^^=荻荷，

所以当。=90。时，船的航行时间最短为焉h,

而当船垂直到达对岸时，由（1）知sin。=叵，

5

（10.5而心f—

所需时间"丽T；^"百叫鲁吟,

故当船垂直到达对岸时，航行所需时间不是最短.

18.（2022・高一课时练习）如图所示，把一个物体放在倾角为30。的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三

个力的作用，即重力G,沿着斜面向上的摩擦力片，垂直斜面向上的弹力巴.已知|制=30N,求G,乙的

大小.

【答案】重力G为60M,沿着斜面向上的摩擦力片为30赤N.

【分析】沿水平方向和垂直方向建立直角坐标系，利用坐标法进行计算即可.

【详解】建立如图的坐标系，

由国=30N,可得：O^=(15>/3J5).

设限|="N,|q=bN,则近,诟=(0,-6).

因为西+西+诟=6

15方，+0=0

2a■30百

所以r-，解得：

6=60

15+--Z>=0

2

所以重力G为60N,沿着斜面向上的摩擦力片为306N.

19.(2021春・福建•高一校联考期中)如图，设。丫、是平面内相交成60。角的两条数轴，口晟分别是与

x轴,y轴正方向同向的单位向量，若向量OP=g+ye2，则把有序数对(%,y)叫做向量OP在坐标系xQn

ULllLILU

中的坐标，设OP=2%+%.

⑴计算囱的大小;

(2)甲在Ox上距。点3千米的点/处，乙在Qy上距。点1千米的点4处，现在甲沿.％)的方向，乙沿6,的

方向同时以4千米/小时的速度行走;

①若过半小时后甲到达C点，乙到达。点，请用i与6来表示而；

②若,时刻，甲到达G点，乙到达〃点，求|丽|的最小值.

【答案】(1)将

UUU1LUU

(2)①。O=3e「q：②2

【分析】(1)利用同=后，直接求出|赤|的大小；

(2)①先表示出OC=d,7)。=3e,.利用向量的减法即可表示ILPICD•

②表示出两人在工时刻相距而，求出模长，利用二次函数求最值即可.

(1)

因为e1•e2=1x1xcos60°=g,

所以|阿二J(2、)2+@)2+43；G=，+l+4x；=

(2)

①因为OC=3-2=1,00=1+2=3,

所以4=£历=31，所以丽=3最一5；

②两人在1时刻相距丽=(1+4，足-(3-4后,

所以归同？=(1+4/)2+(3-4/)2-20+4，)(3-4。鼠£

-48/2-24/+7

=481一；、+4

当,=2时，I两I=2,即!小时后，他们两人相距最短.

4IImm4

20.(2023・高一课时练习)设作用于同一点的三个力耳，耳,尺处于平衡状态，若园=1,同=2,且耳与

一7

5的夹角为:乃，如图所示.

(1)求用的大小；

(2)求耳与耳的夹角.

Fi

7J

【答案】⑴同=5（2）y.

【解