2025年高考备考高中数学个性化分层教辅中等生篇《统计》

第1页（共1页）2025年高考备考高中数学个性化分层教辅中等生篇《统计》一．选择题（共10小题）1．（2024春•即墨区期末）如果一组数据的频率分布直方图在右边“拖尾”，则下列说法一定错误的是（）A．数据中可能存在极端大的值 B．这组数据是不对称的 C．数据中众数一定不等于中位数 D．数据的平均数大于中位数2．（2024春•即墨区期末）某校高一、高二、高三的人数之比为9：7：4，从中随机抽取400名学生组成志愿者，若学校中每人被抽中的概率都是15A．1000 B．900 C．800 D．7003．（2024•耒阳市校级开学）长沙市某校希望统计学生是否曾在考试中作弊，考虑到直接统计可能难以得到真实的回答，故设计了如下方案：在一个袋子里放入只有颜色和序号不同的红球和绿球各50个，分别编号为1﹣50，被调查的学生从中随机摸出一个，确认颜色和序号后放回（调查者不知道），摸到红球的学生回答“你摸到的球的序号是否为奇数？”，摸到绿球学生的回答“你是否曾在考试中作弊？”．共调查了1200名学生，得到了390个“是”的回答，据此估计该校学生的作弊率为（）A．15% B．20% C．5% D．30%4．（2024春•朝阳区期末）古语云：“朝霞不出门，晚霞行千里”，其意是如果早晨起来看到天边有朝霞的话，今天的天气可能不佳，会下雨，要引起重视，若是傍晚看到天边的晚霞，第二天很有可能有一个好天气，天气晴朗．某学习小组针对“朝霞不出门”这一句的可信度进行了观测统计，得到如下2×2列联表．有朝霞无朝霞合计当天有雨8816当天无雨21214合计102030参考公式：χ2临界值参照表：α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828则下列说法正确的是（）A．如果有朝霞，当天下雨的概率超过95% B．能在犯错概率不超过5%的前提下，认为有朝霞与当天下雨有关 C．能在犯错概率不超过0.5%的前提下，认为有朝霞与当天下雨有关 D．连续三天中必有一天出现朝霞5．（2024春•启东市期中）稀土被誉为工业的维生素，具有无法取代的优异磁、光、电性能，对改善产品性能，增加产品品种，提高生产效率起到了巨大的作用．下表是2023年前5个月我国稀土出口均价y（单位：万元/吨）与月份x的统计数据．x12345y1.72.42.0t1.6若y与x的线性回归方程为ŷ=−0.08x+2.14，则A．1.6 B．1.8 C．2.0 D．2.26．（2024•红桥区校级模拟）针对时下的“短视频热”，某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生、女生人数均为5m（m∈N*）人，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的45，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的35．零假设为H0：喜欢短视频和性别相互独立．若依据α＝0.05的独立性检验认为喜欢短视频和性别不独立，则附：χ2α0.050.01xα3.8416.635A．7 B．8 C．9 D．107．（2024春•顺德区校级期末）已知一组正数x1，x2，x3，x4，x5的方差为s2=15i=15xi2−9，则另一组数据2x1﹣1，2xA．4 B．5 C．6 D．78．（2024春•武进区校级期末）已知某班级参与定点投篮比赛的学生共有20名，进球数的平均值和方差分别是4和3.6，其中男生进球数的平均值和方差分别是5和1.8，女生进球数的平均值为3，则女生进球数的方差为（）A．3.2 B．3.4 C．3.6 D．3：89．（2024春•福州期末）已知由小到大排列的5个样本数据a，12，16，19，23的极差是15，则a的值为（）A．6 B．7 C．8 D．910．（2024春•温州期末）已知样本数据x1，x2，…，x9的平均数为9，方差为12，现这组样本数据增加一个数据x10，此时新样本数据的平均数为10，则新样本数据的方差为（）A．18.2 B．19.6 C．19.8 D．21.7二．多选题（共5小题）（多选）11．（2024秋•天心区月考）已知一组样本数据x1，x2，…，x20（x1≤x2≤⋯≤x20），下列说法正确的是（）A．该样本数据的第60百分位数为x12 B．若样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则其平均数大于中位数 C．剔除某个数据xi（i＝1，2，⋯，20）后得到新样本数据的极差不大于原样本数据的极差 D．若x1，x2，…，x10的均值为2，方差为1，x11•x12，…，x20的均值为6，方差为2，则x1，x2，…，x20的方差为5（多选）12．（2024春•大观区校级期末）若数据x1，x2，⋯，x10的平均数为3，方差为4，则下列说法正确的是（）A．数据4x1+1，4x2+1，⋯，4x10+1的平均数为13 B．数据3x1，3x2，⋯，3x10的方差为12 C．i=110D．i=1（多选）13．（2023秋•湖北月考）近一个月宜昌气温变化很大，为了解其变化情况，近17天最高气温分别为3，2，7，9，12，13，11，10，7，8，5，10，8，m，14，15，11（其中m数据缺失），则下列结论中正确的是（）A．这组数据的中位数可能是9 B．这组数据的众数可能是10 C．m的值可以通过中位数的值确定 D．m的值可以通过全部数据的平均数确定（多选）14．（2024春•荆门月考）某中学选派甲、乙、丙、丁、戊5位同学参加数学竞赛，他们的成绩统计如下：学生甲乙丙丁戊成绩8472806876则下列结论正确的为（）A．这5位同学成绩的中位数是80 B．这5位同学成绩的平均数是76 C．这5位同学成绩的第75百分位数是80 D．若去掉戊的成绩，则剩余四人成绩的方差保持不变（多选）15．（2024•丹东模拟）已知甲乙两人进行射击训练，两人各试射5次，具体命中环数如下表（最高环数为10.0环），从甲试射命中的环数中任取3个，设事件A表示“至多1个超过平均环数”，事件B表示“恰有2个超过平均环数”，则下列说法正确的是（）人员甲乙命中环数9.09.89.09.29.59.39.59.29.19.4A．甲试射命中环数的平均数小于乙试射命中环数的平均数 B．甲试射命中环数的方差大于乙试射命中环数的方差 C．乙试射命中环数的的25%分位数是9.2 D．事件A，B互为对立事件三．填空题（共5小题）16．（2024•达拉特旗校级开学）已知某班有男生25人，女生20人．为了解该班学生的体质健康情况，按性别进行分层，采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为9的样本进行调查．若样本按比例分配，则抽取的男生人数为．17．（2024春•清镇市校级期末）若某校高一年级10个班参加合唱比赛的得分分别为89，91，90，92，87，93，96，94，96，95，则这组数据的众数是；中位数是．18．（2024•贵州开学）已知一组样本数据1，2，m，6的极差为6，若m＞0，则m＝，这组数据的方差为．19．（2024春•常州期末）为估计某草场内兔子的数量，使用以下方法：先随机从草场中捕捉兔子100只，在每只兔子的尾巴上作上记号后放回草场．再随机从草场中捕捉60只，若尾巴上有记号的兔子共有10只，估计此草场内约有兔子只．20．（2024春•共和县校级期末）某学校有高中学生800人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为260，240，300．为调查学生参加“社区志愿服务”的意向，现采用按比例分配的分层抽样方法从中抽取一个容量为200的样本，那么应抽取高一年级学生的人数为．四．解答题（共5小题）21．（2023秋•广丰区月考）近年来，我国新能源汽车技术水平不断进步、产品性能明显提升，产销规模连续六年位居世界首位．某汽车城从某天开始连续的营业天数x与新能源汽车销售总量y（单位：辆）的统计数据如下表所示：从某天开始连续的营业天数x1020304050新能源汽车销售总量y/辆6268758189（1）已知可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明（结果精确到0.001）；（2）求y关于x的经验回归方程ŷ参考数据：i=15xiyi参考公式：相关系数r=i=1nxiyi−n22．（2024•宜章县校级开学）某校为了解高二段学生每天数学学习时长的分布情况，随机抽取了100名高二学生进行调查，得到了这100名学生的日平均数学学习时长（单位：分钟），并将样本数据分成[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]六组，绘制如图所示的频率分布直方图．（1）若该校高二段有800名学生，估计该段日平均数学学习时长不低于80分钟的学生有多少名？（2）估计该100名学生的日平均数学学习时长的平均数和第75百分位数．23．（2024•路南区校级开学）某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下：得分在[70，80）内的学生获三等奖，得分在[80，90）内的学生获二等奖，得分在[90，100]内的学生获一等奖，其他学生不得奖．为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示．若该市所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布N（μ，σ2），其中σ≈15，μ为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：（1）若该市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数（结果四舍五入到整数）；（2）若从所有参赛学生中（参赛学生数大于10000）随机抽取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为ξ，求随机变量ξ的分布列和均值．附：若随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≈0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）≈0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）≈0.9974．24．（2024秋•银海区校级月考）某市调研考试后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的列联表，且已知在甲、乙两个文科班全部110人中优秀的人数是30人．（1）请完成如表的列联表；优秀非优秀合计甲班10__________乙班_____30_____合计__________110（2）根据列联表的数据，若按99.9%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”；参考公式与临界值表K2P（K2≥k）0.1000.0500.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.82825．（2024春•龙安区校级期末）2024年4月25日，神舟十八号载人飞船顺利发射，本次乘组将首次在空间站实施水生生态项目，即要实现“太空养鱼”，意味着我们有能力在太空构造新的生态环境和生态系统．郑州航天电子技术有限公司为此次任务提供了科技产品和技术服务，该公司为了提高单位职工的工作热情，开展了知识比赛，满分120分，100分及以上为“航天达人”，结果航天达人有t人，这t人按年龄分成了5组，其中第一组：[20，25），第二组：[25，30），第三组：[30，35），第四组：[35，40），第五组：[40，45]，得到的频率分布直方图如下图，已知第一组有10个人．（Ⅰ）根据频率分布直方图，估计这t人年龄的第80百分位数；（Ⅱ）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任“航天工程”的宣传大使．若第四组宣传大使的年龄的平均数与方差分别为36和52，第五组宣传大使的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这t（分层随机抽样中各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m，x⃐，s12；n，y

2025年高考备考高中数学个性化分层教辅中等生篇《统计》参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2024春•即墨区期末）如果一组数据的频率分布直方图在右边“拖尾”，则下列说法一定错误的是（）A．数据中可能存在极端大的值 B．这组数据是不对称的 C．数据中众数一定不等于中位数 D．数据的平均数大于中位数【考点】频率分布直方图的应用．【专题】数形结合；数形结合法；概率与统计；逻辑推理．【答案】C【分析】根据频率分布直方图的性质结合样本的数字特征即可判断．【解答】解：数据的频率分布直方图在右边“拖尾”，则其图单峰不对称，故B正确；其大致图如下：由图可知数据中可能存在极端大的值，故A正确；由于“右拖尾”时最高峰偏左，中位数靠近高峰处，可能与众数相等，故C错误；平均数靠近中点处，平均数容易受极端值的影响，与中位数相比，平均数总是在“拖尾”那边，故D正确．故选：C．【点评】本题主要考查频率分布直方图的应用，属于基础题．2．（2024春•即墨区期末）某校高一、高二、高三的人数之比为9：7：4，从中随机抽取400名学生组成志愿者，若学校中每人被抽中的概率都是15A．1000 B．900 C．800 D．700【考点】分层随机抽样的比例分配与各层个体数及抽取样本量．【专题】对应思想；定义法；概率与统计；数学运算．【答案】D【分析】先根据学校中每人被抽中的概率都是15【解答】解：因为从全校学生中随机抽取400名学生组成志愿者，且每人被抽中的概率都是15所以全校的总人数为4001因为高一、高二、高三的人数之比为9：7：4，所以该校高二年级的人数为2000×7故选：D．【点评】本题考查分层抽样的应用，属于基础题．3．（2024•耒阳市校级开学）长沙市某校希望统计学生是否曾在考试中作弊，考虑到直接统计可能难以得到真实的回答，故设计了如下方案：在一个袋子里放入只有颜色和序号不同的红球和绿球各50个，分别编号为1﹣50，被调查的学生从中随机摸出一个，确认颜色和序号后放回（调查者不知道），摸到红球的学生回答“你摸到的球的序号是否为奇数？”，摸到绿球学生的回答“你是否曾在考试中作弊？”．共调查了1200名学生，得到了390个“是”的回答，据此估计该校学生的作弊率为（）A．15% B．20% C．5% D．30%【考点】简单随机抽样．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；数学运算．【答案】A【分析】根据简单随机抽样的性质求解．【解答】解：由题意可知，摸到红球的学生有600人，摸到绿球的学生有600人，因为50个红球中序号为奇数的有25个，概率为12所以摸到红球的600名学生中，有300人回答“是”，所以摸到绿球的600名学生中，有390﹣300＝90人回答“是”，所以据此估计该校学生的作弊率为90600故选：A．【点评】本题主要考查了简单随机抽样的应用，属于基础题．4．（2024春•朝阳区期末）古语云：“朝霞不出门，晚霞行千里”，其意是如果早晨起来看到天边有朝霞的话，今天的天气可能不佳，会下雨，要引起重视，若是傍晚看到天边的晚霞，第二天很有可能有一个好天气，天气晴朗．某学习小组针对“朝霞不出门”这一句的可信度进行了观测统计，得到如下2×2列联表．有朝霞无朝霞合计当天有雨8816当天无雨21214合计102030参考公式：χ2临界值参照表：α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828则下列说法正确的是（）A．如果有朝霞，当天下雨的概率超过95% B．能在犯错概率不超过5%的前提下，认为有朝霞与当天下雨有关 C．能在犯错概率不超过0.5%的前提下，认为有朝霞与当天下雨有关 D．连续三天中必有一天出现朝霞【考点】独立性检验．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；数学运算．【答案】B【分析】对A，由题中2×2列联表判断即可；对BC，计算卡方判断即可；对D，根据概率的性质判断即可．【解答】解：对于A，由题中2×2列联表知，如果有朝霞，则当天下雨的概率约为80%，故A选项错误；对于BC，由题得χ2=30×(8×12−8×2)2对于D，有朝霞的天数占总天数的13，但并不意味着连续三天中必有一天出现朝霞，故D故选：B．【点评】本题主要考查了独立性检验的应用，属于基础题．5．（2024春•启东市期中）稀土被誉为工业的维生素，具有无法取代的优异磁、光、电性能，对改善产品性能，增加产品品种，提高生产效率起到了巨大的作用．下表是2023年前5个月我国稀土出口均价y（单位：万元/吨）与月份x的统计数据．x12345y1.72.42.0t1.6若y与x的线性回归方程为ŷ=−0.08x+2.14，则A．1.6 B．1.8 C．2.0 D．2.2【考点】经验回归方程与经验回归直线．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；数学运算．【答案】B【分析】根据线性回归方程为ŷ=−0.08x+2.14过样本中心点（x，【解答】解：由题意可知，x=因为线性回归方程为ŷ=−0.08x+2.14过样本中心点（x，所以y=−0.08x所以1.7+2.4+2.0+t+1.65解得t＝1.8．故选：B．【点评】本题主要考查了线性回归方程的性质，属于基础题．6．（2024•红桥区校级模拟）针对时下的“短视频热”，某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生、女生人数均为5m（m∈N*）人，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的45，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的35．零假设为H0：喜欢短视频和性别相互独立．若依据α＝0.05的独立性检验认为喜欢短视频和性别不独立，则附：χ2α0.050.01xα3.8416.635A．7 B．8 C．9 D．10【考点】独立性检验．【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计；数学运算．【答案】C【分析】依题意，写出2×2列联表中的a，b，c，d，算出X2的数值，和表格中的参照数据比较后选出答案．【解答】解：根据题意，不妨设a＝4m，b＝m，c＝3m，d＝2m，于是χ2由于依据α＝0.05的独立性检验认为喜欢短视频和性别不独立，根据表格可知10m21≥3.841，解得m≥8.0661，于是故选：C．【点评】本题考查了独立性检验的应用，属于中档题．7．（2024春•顺德区校级期末）已知一组正数x1，x2，x3，x4，x5的方差为s2=15i=15xi2−9，则另一组数据2x1﹣1，2xA．4 B．5 C．6 D．7【考点】用样本估计总体的离散程度参数；用样本估计总体的集中趋势参数．【专题】对应思想；定义法；概率与统计；数学运算．【答案】B【分析】根据题意，求得x=3【解答】解：由s2可得x2=9且x＞0故数据2x1﹣1，2x2﹣1，2x3﹣1，2x4﹣1，2x5﹣1的平均数为2×3﹣1＝5．故选：B．【点评】本题考查平均数相关运算，属于基础题．8．（2024春•武进区校级期末）已知某班级参与定点投篮比赛的学生共有20名，进球数的平均值和方差分别是4和3.6，其中男生进球数的平均值和方差分别是5和1.8，女生进球数的平均值为3，则女生进球数的方差为（）A．3.2 B．3.4 C．3.6 D．3：8【考点】方差．【专题】转化思想；转化法；概率与统计；数学运算．【答案】B【分析】根据已知条件，结合平均数、方差公式，即可求解．【解答】解：设男生的人数为x，女生的人数为y，由题意可知，x+y=205x+3y=20×4，解得x=10设女生进球数的方差为s2，进球数的平均值和方差分别是4和3.6，其中男生进球数的平均值和方差分别是5和1.8，女生进球数的平均值为3，则1020×[1.8+(5−4)2故选：B．【点评】本题主要考查平均数、方差公式，属于基础题．9．（2024春•福州期末）已知由小到大排列的5个样本数据a，12，16，19，23的极差是15，则a的值为（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】极差．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；数学运算．【答案】C【分析】根据极差的定义求解．【解答】解：因为样本数据a，12，16，19，23是由小到大排列的，所以最小的数据是a，最大的数据是23，则极差为23﹣a＝15，解得a＝8．故选：C．【点评】本题主要考查了极差的定义，属于基础题．10．（2024春•温州期末）已知样本数据x1，x2，…，x9的平均数为9，方差为12，现这组样本数据增加一个数据x10，此时新样本数据的平均数为10，则新样本数据的方差为（）A．18.2 B．19.6 C．19.8 D．21.7【考点】方差；平均数．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；数学运算．【答案】C【分析】利用平均数和方差的公式计算．【解答】解：设增加的数为k，则x1+x2+…+x9＝81，x1+x2+…+x9+k＝100，所以k＝19，又因为19所以i=19所以110×[i=19(xi−10)2+（k故选：C．【点评】本题主要考查了平均数的方差的定义，属于基础题．二．多选题（共5小题）（多选）11．（2024秋•天心区月考）已知一组样本数据x1，x2，…，x20（x1≤x2≤⋯≤x20），下列说法正确的是（）A．该样本数据的第60百分位数为x12 B．若样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则其平均数大于中位数 C．剔除某个数据xi（i＝1，2，⋯，20）后得到新样本数据的极差不大于原样本数据的极差 D．若x1，x2，…，x10的均值为2，方差为1，x11•x12，…，x20的均值为6，方差为2，则x1，x2，…，x20的方差为5【考点】百分位数；平均数；中位数；方差．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；数学运算．【答案】BC【分析】利用百分位数和极差的定义可判断AC，根据频率分布直方图的性质可判断B，利用分层随机抽样的方差公式可判断D．【解答】解：选项A，因为20×60%＝12，所以该样本数据的第60百分位数为x12+x选项B，平均数是频率分布直方图的重心，它等于频率分布直方图中每个小矩形的面积（即落在该组中的频率）乘以小矩形底边中点的横坐标（组中值）之和，而中位数则是将一组数据按大小顺序排列后，位于中间的数值，根据题意可知此时平均数大于中位数．故B正确；选项C，当i≠1，20时，极差为x20﹣x1，当剔除x1时，极差为x20﹣x2≤x20﹣x1，当剔除x20时，极差为x19﹣x1≤x20﹣x1，故C正确；选项D，由题意可知，x1，x2，…，x20的平均数为10×2+10×620所以x1，x2，…，x20的方差为1020×[1+(2−4)故选：BC．【点评】本题主要考查了百分位数和极差的定义，考查了频率分布直方图的性质，以及分层随机抽样的方差公式，属于中档题．（多选）12．（2024春•大观区校级期末）若数据x1，x2，⋯，x10的平均数为3，方差为4，则下列说法正确的是（）A．数据4x1+1，4x2+1，⋯，4x10+1的平均数为13 B．数据3x1，3x2，⋯，3x10的方差为12 C．i=110D．i=1【考点】平均数；方差．【专题】计算题；整体思想；综合法；概率与统计；数学运算．【答案】ACD【分析】利用平均数和方差的定义，逐项计算判断作答．【解答】解：因为数据x1，x2，⋯，x10的平均数为3，方差为4，所以110对于A选项，110i=1对于B选项，依题意，110所以数据3x1，3x2，⋯，3x10的方差为：110i=110对于C选项，i=1对于D选项，由110解得i=110故选：ACD．【点评】本题考查了平均数和方差的定义，属于中档题．（多选）13．（2023秋•湖北月考）近一个月宜昌气温变化很大，为了解其变化情况，近17天最高气温分别为3，2，7，9，12，13，11，10，7，8，5，10，8，m，14，15，11（其中m数据缺失），则下列结论中正确的是（）A．这组数据的中位数可能是9 B．这组数据的众数可能是10 C．m的值可以通过中位数的值确定 D．m的值可以通过全部数据的平均数确定【考点】中位数；众数；平均数．【专题】方程思想；定义法；概率与统计；数学运算．【答案】ABD【分析】利用中位数判断A；利用众数判断B；利用中位数判断C；利用平均数判断D．【解答】解：除m以外的16个数从小到大为：2，3，5，7，7，8，8，9，10，10，11，11，12，13，14，15，当m＝9时，这组数据的中位数是9，故A正确；当m＝10时，这组数据的众数是10，故B正确；当m≤9时，中位数是9，当9＜m＜10时，中位数是m，当m≥10时，中位数是10，∴m的值不可以通过中位数的值确定，故C错误；由平均数的定义得m的值可以通过全部数据的平均数确定，故D正确．故选：ABD．【点评】本题考查中位数、众数、中位数、平均数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．（多选）14．（2024春•荆门月考）某中学选派甲、乙、丙、丁、戊5位同学参加数学竞赛，他们的成绩统计如下：学生甲乙丙丁戊成绩8472806876则下列结论正确的为（）A．这5位同学成绩的中位数是80 B．这5位同学成绩的平均数是76 C．这5位同学成绩的第75百分位数是80 D．若去掉戊的成绩，则剩余四人成绩的方差保持不变【考点】用样本估计总体的离散程度参数；百分位数；用样本估计总体的集中趋势参数．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；数学运算．【答案】BC【分析】ABC选项，根据中位数，平均数和百分位数的定义进行求解；D选项，计算出去掉戊的成绩的方差和不去掉戊的成绩的方差，比较后得到结论．【解答】解：A选项，将5位同学的成绩从小到大排列，得到68，72，76，80，84，则这5位同学成绩的中位数为76，A错误；B选项，这5位同学成绩的平均数为68+72+76+80+845=76，C选项，5×7500=3.75D选项，五个人的成绩方差为(68−76)2若去掉戊的成绩，剩下4个人的成绩方差为(68−76)2+(72−76)故选：BC．【点评】本题主要考查了中位数，平均数、百分位数和方差的定义，属于基础题．（多选）15．（2024•丹东模拟）已知甲乙两人进行射击训练，两人各试射5次，具体命中环数如下表（最高环数为10.0环），从甲试射命中的环数中任取3个，设事件A表示“至多1个超过平均环数”，事件B表示“恰有2个超过平均环数”，则下列说法正确的是（）人员甲乙命中环数9.09.89.09.29.59.39.59.29.19.4A．甲试射命中环数的平均数小于乙试射命中环数的平均数 B．甲试射命中环数的方差大于乙试射命中环数的方差 C．乙试射命中环数的的25%分位数是9.2 D．事件A，B互为对立事件【考点】用样本估计总体的集中趋势参数；用样本估计总体的离散程度参数；互斥事件与对立事件．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；数学运算．【答案】BCD【分析】根据平均数、方差和百分位数的定义可判断ABC，根据对立事件的定义可判断D．【解答】解：对于A，甲试射命中环数的平均数为9.0+9.8+9.0+9.2+9.55=9.3，乙试射命中环数的平均数为所以甲试射命中环数的平均数等于乙试射命中环数的平均数，故A错误；对于B，甲试射命中环数的方差为15×[（9.0﹣9.3）2+（9.8﹣9.3）2+（9.0﹣9.3）2+（9.2﹣9.3）2+（9.5﹣9.3）乙试射命中环数的方差为15×[（9.3﹣9.3）2+（9.5﹣9.3）2+（9.2﹣9.3）2+（9.1﹣9.3）2+（9.4﹣9.3）所以甲试射命中环数的方差大于乙试射命中环数的方差，故B正确；对于C，乙试射命中环数从小到大排列为9.1，9.2，9.3，9.4，9.5，因为25%×5＝1.25，所以乙试射命中环数的的25%分位数是9.2，故C正确；对于D，甲试射命中的环数中有2个超过平均环数，所以事件A与事件B是对立事件，故D正确．故选：BCD．【点评】本题主要考查了平均数、方差和百分位数的定义，考查了对立事件的定义，属于基础题．三．填空题（共5小题）16．（2024•达拉特旗校级开学）已知某班有男生25人，女生20人．为了解该班学生的体质健康情况，按性别进行分层，采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为9的样本进行调查．若样本按比例分配，则抽取的男生人数为5．【考点】分层随机抽样的比例分配与各层个体数及抽取样本量．【专题】整体思想；定义法；概率与统计；数学运算．【答案】5．【分析】利用比例分配的分层抽样的性质直接求解．【解答】解：由比例分配的分层抽样得：男生应该抽取的人数为：25×9故答案为：5．【点评】本题考查分层抽样的应用，属于基础题．17．（2024春•清镇市校级期末）若某校高一年级10个班参加合唱比赛的得分分别为89，91，90，92，87，93，96，94，96，95，则这组数据的众数是96；中位数是92.5．【考点】众数；中位数．【专题】对应思想；定义法；概率与统计；数学运算．【答案】96，92.5．【分析】把数据从小到大排列，再根据相关定义求众数和中位数．【解答】解：这组数据从小到大排列为87，89，90，91，92，93，94，95，96，96，96出现的次数最多，则这组数据的众数是96；中位数是92+932故答案为：96；92.5．【点评】本题考查众数和中位数的应用，属于基础题．18．（2024•贵州开学）已知一组样本数据1，2，m，6的极差为6，若m＞0，则m＝7，这组数据的方差为6.5．【考点】方差；极差．【专题】转化思想；综合法；概率与统计；数学运算．【答案】7；6.5．【分析】求出m的值，再得到样本数据的平均数，代入方差公式，计算即可．【解答】解：∵一组样本数据1，2，m，6的极差为6，且m＞0，∴m﹣1＝6，解得m＝7；∵x=∴该样本数据的方差为14[（1﹣4）2+（2﹣4）2+（6﹣4）2+（7﹣4）2故答案为：7；6.5．【点评】本题考查了求数据的平均数，方差问题，是基础题．19．（2024春•常州期末）为估计某草场内兔子的数量，使用以下方法：先随机从草场中捕捉兔子100只，在每只兔子的尾巴上作上记号后放回草场．再随机从草场中捕捉60只，若尾巴上有记号的兔子共有10只，估计此草场内约有兔子600只．【考点】简单随机抽样．【专题】对应思想；定义法；概率与统计；数学运算．【答案】见试题解答内容【分析】根据简单随机抽样相关知识可解．【解答】解：设此草场内约有兔子n只，则100n则n＝600只．故答案为：600．【点评】本题考查简单随机抽样相关知识，属于基础题．20．（2024春•共和县校级期末）某学校有高中学生800人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为260，240，300．为调查学生参加“社区志愿服务”的意向，现采用按比例分配的分层抽样方法从中抽取一个容量为200的样本，那么应抽取高一年级学生的人数为65．【考点】分层随机抽样．【专题】对应思想；分析法；概率与统计；数学运算．【答案】65．【分析】利用抽样比可求出结果．【解答】解：根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为200800则高一年级抽取的人数是260×1故答案为：65．【点评】本题考查分层抽样的应用，属于基础题．四．解答题（共5小题）21．（2023秋•广丰区月考）近年来，我国新能源汽车技术水平不断进步、产品性能明显提升，产销规模连续六年位居世界首位．某汽车城从某天开始连续的营业天数x与新能源汽车销售总量y（单位：辆）的统计数据如下表所示：从某天开始连续的营业天数x1020304050新能源汽车销售总量y/辆6268758189（1）已知可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明（结果精确到0.001）；（2）求y关于x的经验回归方程ŷ参考数据：i=15xiyi参考公式：相关系数r=i=1nxiyi−n【考点】一元线性回归模型；样本相关系数．【专题】应用题；对应思想；数学模型法；概率与统计；数据分析．【答案】（1）答案见解析；（2）ŷ【分析】（1）根据相关系数的计算公式代入数据即可求解，（2）由最小二乘法的计算公式求解线性回归方程，即可代入求解．【解答】解：（1）由题意知，x=y=5xi=15则相关系数r=i=1y与x的相关系数近似为0.999，说明y与x的线性相关程度相当高，从而可用线性回归模型拟合y与x的关系．（2）由（1）得b̂â所以y关于x的经验回归方程为ŷ将x＝130代入ŷ=0.67x+54.9，得所以预测该汽车城连续营业130天的汽车销售总量为142辆．【点评】本题考查了线性回归方程应用问题，是中档题．22．（2024•宜章县校级开学）某校为了解高二段学生每天数学学习时长的分布情况，随机抽取了100名高二学生进行调查，得到了这100名学生的日平均数学学习时长（单位：分钟），并将样本数据分成[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]六组，绘制如图所示的频率分布直方图．（1）若该校高二段有800名学生，估计该段日平均数学学习时长不低于80分钟的学生有多少名？（2）估计该100名学生的日平均数学学习时长的平均数和第75百分位数．【考点】频率分布直方图的应用；百分位数．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；数学运算．【答案】（1）240人；（2）平均数约为72，第75百分位数约为82．【分析】（1）求得不低于80分的频率，进而可求人数；（2）利用频率分布直方图的平均数的估计公式可求平均数，利用百分位数的定义计算可求第75百分位数．【解答】解：（1）由（0.025+0.005）×10×800＝240，可知每天数学学习时长不低于80分钟的同学约有240人；（2）由（0.005×45+0.015×55+0.02×65+0.03×75+0.025×85+0.005×95）×10＝72，可知，100名学生数学学习时长样本的平均数约为72，设第75百分位数为x，因为（0.005+0.015+0.02+0.03）×10＝0.7，（0.005+0.015+0.02+0.03+0.025）×10＝0.95，所以第75百分位数在80﹣90之间，则0.7+（x﹣80）×0.025＝0.75，解得x＝82，所以100名学生数学学习时长样本的第75百分位数约为82．【点评】本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了平均数和百分位数的定义，属于中档题．23．（2024•路南区校级开学）某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下：得分在[70，80）内的学生获三等奖，得分在[80，90）内的学生获二等奖，得分在[90，100]内的学生获一等奖，其他学生不得奖．为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示．若该市所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布N（μ，σ2），其中σ≈15，μ为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：（1）若该市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数（结果四舍五入到整数）；（2）若从所有参赛学生中（参赛学生数大于10000）随机抽取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为ξ，求随机变量ξ的分布列和均值．附：若随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≈0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）≈0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）≈0.9974．【考点】频率分布直方图的应用．【专题】计算题；对应思想；综合法；概率与统计；数学运算．【答案】（1）1587；（2）分布列见解析，数学期望为32【分析】（1）利用频率分布直方图求出μ，再由正态分布的对称性求出P（X＞79），进而求出学生数．（2）由（1）求出P（X＞64），再利用二项分布求出分布列及期望．【解答】解：（1）由频率分布直方图知，各小矩形面积从左到右依次为0.06，0.12，0.18，0.34，0.16，0.08，0.06，样本平均数的估计值μ＝0.06×35+0.12×45+0.18×55+0.34×65+0.16×75+0.08×85+0.06×95＝64，则所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布N（64，152），而μ+σ＝79，因此P(X＞79)=P(X＞μ+σ)=所以参赛学生中成绩超过79分的学生数约为0.1587×10000＝1587．（2）由（1）知，μ＝64，P(X＞64)=1即从所有参赛学生中随机抽取1名学生，该学生竞赛成绩在64分以上的概率为12因此随机变量ξ服从二项分布ξ～B(3，12)则P(ξ=0)=C30(12)所以随机变量ξ的分布列为：ξ0123P18383818数学期望E(ξ)=0×1【点评】本题主要考查了频率分布直方图的应用，正态分布曲线的对称性，离散型随机变量的分布列和期望，考查运算求解能力，属于中档题．24．（2024秋•银海区校级月考）某市调研考试后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的列联表，且已知在甲、乙两个文科班全部110人中优秀的人数是30人．（1）请完成如表的列联表；优秀非优秀合计甲班10__________乙班_____30_____合计__________110（2）根据列联表的数据，若按99.9%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”；参考公式与临界值表K2P（K2≥k）0.1000.0500.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.828【考点】独立性检验．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；数学运算．【答案】（1）2×2列联表如下：优秀非优秀合计甲班105060乙班203050合计3080110（2）不能认为“成绩与班级有关系”．【分析】（1）由于从甲、乙两个理科班全部110人中随机抽取人为优秀的概率为311（2）假设成绩与班级无关，根据列联表中的数据可得K2，和临界值表比对后即可得到答案．【解答】解：（1）根据题意，补全2×2列联表如下：优秀非优秀合计甲班105060乙班203050合计3080110（2）零假设H0：成绩与班级没有关系，根据列联表中的数据，计算得到K2依据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H0成立，因此按99.9%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”．【点评】本题主要考查了独立性检验的应用，属于基础题．25．（2024春•龙安区校级期末）2024年4月25日，神舟十八号载人飞船顺利发射，本次乘组将首次在空间站实施水生生态项目，即要实现“太空养鱼”，意味着我们有能力在太空构造新的生态环境和生态系统．郑州航天电子技术有限公司为此次任务提供了科技产品和技术服务，该公司为了提高单位职工的工作热情，开展了知识比赛，满分120分，100分及以上为“航天达人”，结果航天达人有t人，这t人按年龄分成了5组，其中第一组：[20，25），第二组：[25，30），第三组：[30，35），第四组：[35，40），第五组：[40，45]，得到的频率分布直方图如下图，已知第一组有10个人．（Ⅰ）根据频率分布直方图，估计这t人年龄的第80百分位数；（Ⅱ）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任“航天工程”的宣传大使．若第四组宣传大使的年龄的平均数与方差分别为36和52，第五组宣传大使的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这t（分层随机抽样中各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m，x⃐，s12；n，y【考点】频率分布直方图的应用；平均数；方差；百分位数．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；数学运算．【答案】（1）37.5；（2）平均数为38，方差为10．【分析】（Ⅰ）直接根据频率分布直方图计算平均数和百分位数；（Ⅱ）由分层抽样得第四组和第五组分别抽取4人和2人，再利用分层随机抽样的均值和方差公式求解．【解答】解：（Ⅰ）设这m人的平均年龄为x，则x=设第80百分位数为a，由5×0.02+（40﹣a）×0.04＝0.2，解得a＝37.5；（Ⅱ）由频率分布直方图得各组人数之比为1：7：6：4：2，故各组中采用分层随机抽样的方法抽取20人，第四组和第五组分别抽取4人和2人，则第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为44+2方差为44+2【点评】本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了分层随机抽样的均值和方差公式，属于基础题．

考点卡片1．互斥事件与对立事件【知识点的认识】1．互斥事件（1）定义：一次试验中，事件A和事件B不能同时发生，则这两个不能同时发生的事件叫做互斥事件．如果A1，A2，…，An中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件A1，A2，…An彼此互斥．（2）互斥事件的概率公式：在一个随机试验中，如果随机事件A和B是互斥事件，则有：P（A+B）＝P（A）+P（B）注：上式使用前提是事件A与B互斥．推广：一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么事件发生（即A1，A2，…，An中有一个发生）的概率等于这n个事件分别发生的概率之和，即：P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）2．对立事件（1）定义：一次试验中，两个事件中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件，事件A的对立事件记做A．注：①两个对立事件必是互斥事件，但两个互斥事件不一定是对立事件；②在一次试验中，事件A与A只发生其中之一，并且必然发生其中之一．（2）对立事件的概率公式：P（A）＝1﹣P（A）3．互斥事件与对立事件的区别和联系互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生．因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要但不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分但不必要条件．【命题方向】1．考查对知识点概念的掌握例1：从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．“至少有一个红球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“都是黑球”C．“至少有一个黑球”与“至少有1个红球”D．“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”分析：列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可解答：对于A：事件：“至少有一个红球”与事件：“都是黑球”，这两个事件是对立事件，∴A不正确对于B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴B不正确对于C：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有1个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴C不正确对于D：事件：“恰有一个黑球”与“恰有2个黑球”不能同时发生，∴这两个事件是互斥事件，又由从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，得到所有事件为“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”以及“恰有2个红球”三种情况，故这两个事件是不是对立事件，∴D正确故选D点评：本题考查互斥事件与对立事件．首先要求理解互斥事件和对立事件的定义，理解互斥事件与对立事件的联系与区别．同时要能够准确列举某一事件所包含的基本事件．属简单题．例2：下列说法正确的是（）A．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件B．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件C．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大D．事件A，B同时发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率小．分析：根据对立事件和互斥事件的概率，得到对立事件一定是互斥事件，两个事件是互斥事件不一定是对立事件，这两者之间的关系是一个包含关系．解答：根据对立事件和互斥事件的概念，得到对立事件一定是互斥事件，两个事件是互斥事件不一定是对立事件，故选B．点评：本题考查互斥事件与对立事件之间的关系，这是一个概念辨析问题，这种题目不用运算，只要理解两个事件之间的关系就可以选出正确答案．2．互斥事件概率公式的应用例：甲乙两人下棋比赛，两人下成和棋的概率是12，乙获胜的概率是13分析：记“两人下成和棋”为事件A，“乙获胜”为事件B，则A，B互斥，且P(A)=12，P(B)=13，则乙不输即为事件A+B，由互斥事件的概率公式可得，P（A+B）＝P（A）+解答：甲乙两人下棋比赛，记“两人下成和棋”为事件A，“乙获胜”为事件B，则A，B互斥，则P(A)=12，则乙不输即为事件A+B，由互斥事件的概率公式可得，P（A+B）＝P（A）+P（B）=故答案为：5点评：本题主要考查互斥事件的关系，不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，也叫互不相容事件，考查了互斥事件的概率的加法公式在概率计算中的应用．3．对立事件概率公式的应用例：若事件A与B是互为对立事件，且P（A）＝0.4，则P（B）＝（）A.0B.0.4C.0.6D.1分析：根据对立事件的概率公式p（A）＝1﹣P（A），解得即可．解答：因为对立事件的概率公式p（A）＝1﹣P（A）＝0.6，故选C．点评：本题主要考查对立事件的定义，属于基础题．2．简单随机抽样【知识点的认识】1．定义：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本（n≤N），如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．2．特点：（1）有限性：总体个体数有限；（2）逐个性：每次只抽取一个个体；（3）不放回：抽取样本不放回，样本无重复个体；（4）等概率：每个个体被抽到的机会相等．（如果从个体数为N的总体中抽取一个容量为n的样本，则每个个体被抽取的概率等于nN3．适用范围：总体中个数较少．4．注意：随机抽样不是随意或随便抽取，随意或随便抽取都会带有主观或客观的影响因素．【解题方法点拨】1．抽签法（抓阄法）一般地，从个体总数为N的总体中抽取一个容量为k的样本，步骤为：（1）编号：将总体中所有个体编号（号码可以为1﹣N）；（2）制签：将编号写在形状、大小相同的号签上（可用小球、卡片、纸条等制作）；（3）搅匀：将号签放在同一个箱子中进行均匀搅拌；（4）抽签：每次从箱中取出1个号签，连续抽取k次；（5）取样：从总体中取出与抽到号签编号一致的个体．2．随机数表法．〇随机数表：由0﹣9十个数字所组成，其中的每个数都是用随机方法产生的，这样的表称为随机数表．〇随机数表法：按一定的规则到随机数表中选取号码的抽样方法叫做随机数表法．实现步骤：（1）编号：对总体中所有个体编号（每个号码位数一致）；（2）选数：在随机数表中任选一个数作为开始；（3）取数：从选定的起始数沿任意方向取数（不在号码范围内的数、重复出现的数不取），直到取满为止；（4）取样：根据所得的号码从总体中抽取相应个体．【命题方向】以基本题（中、低档题）为主，多以选择题、填空题的形式出现，以实际问题为背景，综合考查学生学习基础知识、应用基础知识、解决实际问题的能力．（1）考查简单随机抽样的特点例：用简单随机抽样的方法从含有100个个体的总体中依次抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率为（）A.1100B.120C.199分析：依据简单随机抽样方式，总体中的每个个体被抽到的概率都是一样的，再结合容量为5，可以看成是抽5次，从而可求得概率．解答：一个总体含有100个个体，某个个体被抽到的概率为1100∴以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为1100×5故选：B．点评：不论用哪种抽样方法，不论是“逐个地抽取”，还是“一次性地抽取”，总体中的每个个体被抽到的概率都是一样的，体现了抽样方法具有客观公平性．（2）判断抽样方法是否为简单随机抽样常见与分层抽样、系统抽样对比，注意掌握各种抽样方法的区分．例：下面的抽样方法是简单随机抽样的是（）A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解学校机构改革的意见D．用抽签法从10件产品中选取3件进行质量检验．分析：从所给的四个选项里观察因为抽取的个体间的间隔是固定的；得到A、B不是简单随机抽样，因为总体的个体有明显的层次，C不是简单随机抽样，D是简单随机抽样．解答：A、B不是简单随机抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的；C不是简单随机抽样，因为总体的个体有明显的层次；D是简单随机抽样．故选D．点评：本题考查简单随机抽样，考查分层抽样，考查系统抽样，是一个涉及到所学的所有抽样的问题，注意发现各种抽样的特点，分析清楚抽样的区别．（3）考查简单随机抽样的抽样方法操作例：利用随机数表法对一个容量为500编号为000，001，002，…，499的产品进行抽样检验，抽取一个容量为10的样本，若选定从第12行第5列的数开始向右读数，（下面摘取了随机数表中的第11行至第15行），根据下图，读出的第3个数是（）A.841B.114C.014D.146分析：从随机数表12行第5列数开始向右读，最先读到的1个的编号是389，再向右三位数一读，将符合条件的选出，不符合的舍去，继续向右读取即可．解答：最先读到的1个的编号是389，向右读下一个数是775，775它大于499，故舍去，再下一个数是841，舍去，再下一个数是607，舍去，再下一个数是449，再下一个数是983．舍去，再下一个数是114．读出的第3个数是114．故选B．点评：本题主要考查了抽样方法，随机数表的使用，在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的，属于基础题．3．分层随机抽样【知识点的认识】1．定义：当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更客观地反映总体的情况，常将总体按不同的特点分成层次比较分明的几部分，然后按各部分在总体中所占的比例进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，其中所分的各部分叫“层”．2．三种抽样方法比较类别共同点各自特点相互联系适用范围简单随机抽样抽样过程中每个个体被抽取的概率是相同的从总体中逐个抽取总体中的个体数较少系统抽样将总体均匀分成几个部分，按事先确定的规则在各部分抽取在起始部分抽样时采用简单随机抽样总体中的个体数较多分层抽样将总体分成几层，分层进行抽取各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样总体由差异明显的几部分组成【解题方法点拨】分层抽样方法操作步骤：（1）分层：将总体按某种特征分成若干部分；（2）确定比例：计算各层的个体数与总体的个体数的比；（3）确定各层应抽取的样本容量；（4）在每一层进行抽样（各层分别按简单随机抽样或系统抽样的方法抽取），综合每层抽样，组成样本．【命题方向】（1）区分分层抽样方法例：某交高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查．这种抽样方法是（）A．简单随机抽样法B．抽签法C．随机数表法D．分层抽样法分析：若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样解答：总体由男生和女生组成，比例为500：400＝5：4，所抽取的比例也是5：4．故选D点评：本小题主要考查抽样方法，属基本题．（2）求抽取样本数例1：某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出16人参加军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是（）A.8，8B.10，6C.9，7D.12，4分析：先计算每个个体被抽到的概率，再用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率，即得到该层应抽取的个体数．解答：每个个体被抽到的概率等于1654+42=16，54故从一班抽出9人，从二班抽出7人，故选C．点评：本题考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数．例2：某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（）A.35B.25C.15D.7分析：先计算青年职工所占的比例，再根据青年职工抽取的人数计算样本容量即可．解答：青年职工、中年职工、老年职工三层之比为7：5：3，所以样本容量为77故选C．点评：本题考查分层抽样的定义和方法，求出每个个体被抽到的概率，用个体的总数乘以每个个体被抽到的概率，就得到样本容量n的值．4．分层随机抽样的比例分配与各层个体数及抽取样本量【知识点的认识】﹣比例分配：根据每层在总体中的比例分配样本量．﹣计算：每层样本量＝总样本量×层的比例．【解题方法点拨】﹣确定每层样本的分配比例，并计算各层的样本量．【命题方向】﹣重点考察分层随机抽样中样本量的分配问题．5．频率分布直方图的应用【知识点的认识】﹣应用：用于数据的分布可视化，帮助分析数据集中趋势、离散程度等．【解题方法点拨】﹣分析：通过直方图观察数据的分布特征，识别数据的集中区域和离散程度．【命题方向】﹣重点考察如何解读频率分布直方图及其对数据分析的贡献．6．用样本估计总体的集中趋势参数【知识点的认识】1．众数、中位数、平均数众数、中位数、平均数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中以平均数的应用最为广泛．（1）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；（2）中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数；（3）平均数：一组数据的算术平均数，即x=2．众数、中位数、平均数的优缺点【解题方法点拨】众数、中位数、平均数的选取：（1）平均数能较好地反映一组数据的总体情况；（2）中位数不受极端值影响，有时用它代表全体数据的中等水平（或一般水平）；（3）众数能反映一组数据的集中情况（即多数水平）．根据频率分布直方图估算众数、中位数、平均数：（1）众数：在频率分布直方图中，最高矩形的中点的横坐标就是众数．（2）中位数：在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值．（3）平均数：是频率分布直方图的“重心”，是直方图的平衡点．平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积（即落在该组中的频率）乘以小矩形底边中点的横坐标（组中值）之和．7．平均数【知识点的认识】﹣平均数：数据集中所有值的算术平均，计算公式为x=【解题方法点拨】﹣计算：求出数据集中所有值的总和，再除以数据的个数．【命题方向】﹣主要考察平均数的计算和解释．8．中位数【知识点的认识】﹣中位数：数据集中将数据分为两部分的中间值，数据需按顺序排列．【解题