2025年高考备考高中数学个性化分层教辅中等生篇《圆锥曲线综合》

第1页（共1页）2025年高考备考高中数学个性化分层教辅中等生篇《圆锥曲线综合》一．选择题（共10小题）1．（2023秋•泊头市校级月考）已知A（3，2），B（﹣3，﹣2），若动点M满足直线MA与直线MB的斜率之积为13，则动点MA．y2−x2C．y2−x2．（2023秋•荔城区期末）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的准线过双曲线x28−A．2 B．4 C．6 D．83．（2024春•南京月考）与双曲线x25−A．x24+yC．x236+4．（2024•重庆模拟）长为2的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则点A关于点B的对称点M的轨迹方程为（）A．x24+yC．x216+5．（2024•临汾模拟）已知F是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右焦点，点P在椭圆C上，线段PFA．13 B．12 C．536．（2024春•岳麓区校级月考）平面直角坐标系中，等边△ABC的边长为23，M为BC中点，B，C分别在射线y=3x(y≥0)，y=−3x(y≥0)上运动，记A．C1为部分圆 B．C1为部分线段 C．C1为部分抛物线 D．C1为部分椭圆7．（2024•淄博一模）在平面直角坐标系xOy中，已知向量OA→与OB→关于x轴对称，向量a→=(0，1)，若满足OA→A．E是一条垂直于x轴的直线 B．E是一个半径为1的圆 C．E是两条平行直线 D．E是椭圆8．（2024春•官渡区校级期末）已知圆O：x2+y2＝4，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段PP1（P1在y轴上），M在直线PP1上且P1M→=2A．4x2+16y2＝1 B．16x2+4y2＝1 C．x24+y29．（2024•江西二模）已知抛物线E：y2＝2x，圆M：（x﹣1）2+y2＝1，N（x0，y0）为圆M外一点，过点N作圆M的两条切线l1，l2，直线l1与抛物线E交于点A（x1，y1），B（x2，y2），直线l2与抛物线E交于点C（x3，y3），D（x4，y4），若x02+y02=1，则y1A．16 B．8 C．4 D．110．（2024春•东坡区月考）设圆O：x2+y2＝4与y轴交于A，B两点（A在B的上方），过B作圆O的切线l，若动点P到A的距离等于P到l的距离，则动点P的轨迹方程为（）A．x2＝8y B．x2＝16y C．y2＝8x D．y2＝16x二．多选题（共5小题）（多选）11．（2023秋•莱芜区校级月考）已知曲线C：mx2+ny2＝1，则（）A．若m＝n＞0，则曲线C是圆 B．若m＞0，n＞0，则曲线C是椭圆 C．若mn＜0，则曲线C是双曲线 D．若m＝0，n＞0，则曲线C是一条直线（多选）12．（2024春•沅陵县校级期末）在平面直角坐标系中，有两个圆C1：（x+2）2+y2＝r12和C2：（x﹣2）2+y2＝r22，其中r1，r2为正常数，满足r1+r2＜4或|r1﹣r2|＞4，一个动圆P与两圆都相切，则动圆圆心的轨迹方程可以是（）A．两个椭圆 B．两个双曲线 C．一个双曲线和一条直线 D．一个椭圆和一个双曲线（多选）13．（2023秋•西湖区校级期末）若方程x23−t+A．若1＜t＜3，则C为椭圆 B．若C为椭圆，且焦点在y轴上，则2＜t＜3 C．曲线C可能是圆 D．若C为双曲线，则t＜1（多选）14．（2024春•大理州期末）已知O为坐标原点，曲线C：x2+y2＝1+|x|y图象酷似一颗“红心”（如图）．对于曲线C，下列结论正确的是（）A．曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点） B．曲线C上存在一点P使得|OP|=2C．曲线C上存在一点P使得|OP|＝2 D．曲线C所围成的“心形”区域的面积大于3（多选）15．（2024春•南岗区校级月考）已知m、n∈R，则方程m2x2+ny2＝1表示的曲线可能是（）A．两条直线 B．圆 C．焦点在x轴的椭圆 D．焦点在y轴的双曲线三．填空题（共5小题）16．（2024•荔湾区校级模拟）如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点P沿正方形ABCD按ABCDA的方向做匀速运动，点Q沿正方形B1C1CB按B1C1CBB1的方向以同样的速度做匀速运动，且点P，Q分别从点A与点B1同时出发，则PQ的中点的轨迹所围成图形的面积大小是．17．（2024•梅州模拟）在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，定义P（x1，y1）、Q（x2，y2）两点之间的“直角距离”为d（P，Q）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．已知两定点A（﹣1，0），B（1，0），则满足d（M，A）+d（M，B）＝4的点M的轨迹所围成的图形面积为．18．（2024•毕节市模拟）已知直线l1：x+ty﹣5＝0，直线l2：tx﹣y﹣3t+2＝0，l1与l2相交于点A，则点A的轨迹方程为．19．（2024春•丰台区期中）已知曲线y=x2ex+1上任意一点P（与原点O①k的值不可能为0；②∀k∈（﹣∞，0），总存在唯一的点P与之对应；③∀k∈（0，+∞），总存在两个点P与之对应；④k＜1恒成立．其中所有正确结论的序号为．20．（2024•庐阳区校级模拟）在平面直角坐标系中，已知动点A和C，定点B（3，0）和M（2，2），若|BC|＝6，且△ABC的周长恒为16，则|AB|+|AM|的最小值为．四．解答题（共5小题）21．（2024春•莒南县期中）向量是研究几何的一个重要工具，在证明某些几何结论时会大大简化证明过程．请用向量法解决解决以下问题：（1）证明△ABC的三条高线AD、BE、CF交于一点；（2）已知矩形MNPQ，G为平面内任意一点，求证：|GM|2+|GP|2＝|GN|2+|GQ|2；（3）如图，已知圆O：x2+y2＝4，A，B是圆O上两个动点，已知点P（1，0），求矩形PACB的顶点C的轨迹方程．22．（2023秋•天心区校级期末）已知线段AB的端点B的坐标是（6，5），端点A在圆C1：（x﹣4）2+（y﹣3）2＝4上运动．（1）求线段AB的中点P的轨迹C2的方程；（2）设圆C1与曲线C2交于M、N两点，求线段MN的长．23．（2023秋•盐田区校级期末）已知圆C1：(x+3)2+y2=9，C2：(x−3)2+（1）求曲线C的方程；（2）斜率为4的直线l过点C2，且与曲线C交于A，B两点，求△C1AB的面积．24．（2023秋•丰泽区校级月考）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A（1，1），动点P满足|PA|=2（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）直线l：y＝k（x+1）与轨迹C交于E，F两点，若EF的长为15，求直线l的方程．25．（2024春•浙江月考）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为12，右焦点为F，圆O：x2+y2＝（1）求C的标准方程；（2）若直线l：y＝kx﹣2与曲线C交于A，B两点，求△OAB面积的最大值．

2025年高考备考高中数学个性化分层教辅中等生篇《圆锥曲线综合》参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2023秋•泊头市校级月考）已知A（3，2），B（﹣3，﹣2），若动点M满足直线MA与直线MB的斜率之积为13，则动点MA．y2−x2C．y2−x【考点】轨迹方程．【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．【答案】A【分析】根据斜率公式，建立方程，可得答案．【解答】解：设M（x，y），由题意可得y−2x−3整理可得y2即动点M的轨迹方程为y2故选：A．【点评】本题主要考查了求动点的轨迹方程，属于基础题．2．（2023秋•荔城区期末）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的准线过双曲线x28−A．2 B．4 C．6 D．8【考点】圆锥曲线的综合．【专题】方程思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．【答案】C【分析】由已知求出双曲线的焦点坐标，然后利用抛物线的定义，求解p即可．【解答】解：双曲线x2∵抛物线y2＝2px（p＞0）的准线过双曲线x2∴p2=3，可得故选：C．【点评】本题考查双曲线与抛物线的几何性质，是基础题．3．（2024春•南京月考）与双曲线x25−A．x24+yC．x236+【考点】圆锥曲线的综合．【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．【答案】C【分析】求得双曲线的焦点，可设椭圆方程为x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），可得a【解答】解：双曲线x2可设椭圆方程为x2a2+y由题意可得c＝3，即a2﹣b2＝9，又e=ca=解得a＝6，b＝33，则所求椭圆方程为x2故选：C．【点评】本题考查椭圆和双曲线的方程、性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．4．（2024•重庆模拟）长为2的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则点A关于点B的对称点M的轨迹方程为（）A．x24+yC．x216+【考点】轨迹方程．【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．【答案】D【分析】设点M（x，y）、A（x0，0）、B（0，y0），由已知条件可得出x02+y02=4，分析可知，B为AM【解答】解：设点M（x，y）、A（x0，0）、B（0，y0），则|AB|=x02因为点A关于点B的对称点为M，则B为AM的中点，所以x+x02将x0=−xy0=即x2因此，点M的轨迹方程为x2故选：D．【点评】本题考查了求点的轨迹方程，考查了方程思想，属于基础题．5．（2024•临汾模拟）已知F是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右焦点，点P在椭圆C上，线段PFA．13 B．12 C．53【考点】圆与圆锥曲线的综合．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．【答案】C【分析】利用已知条件，画出图形，设出圆的圆心，利用椭圆的定义，转化求解椭圆的离心率即可【解答】解：由题意，椭圆的图形如图：F是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右焦点，点P在椭圆C上，线段PF与圆(x−c2所以F1P＝2b，FQ=(所以PF=2c所以：2c2−b2+2b＝2a，可得c2﹣b2＝a2可得2a＝3b，即4a2＝9（a2﹣c2），所以e=则椭圆C的离心率：53故选：C．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，离心率的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．6．（2024春•岳麓区校级月考）平面直角坐标系中，等边△ABC的边长为23，M为BC中点，B，C分别在射线y=3x(y≥0)，y=−3x(y≥0)上运动，记A．C1为部分圆 B．C1为部分线段 C．C1为部分抛物线 D．C1为部分椭圆【考点】轨迹方程．【专题】数形结合；转化法；圆锥曲线中的最值与范围问题；数学运算．【答案】D【分析】由题意建立适当的平面直角坐标系设出点的坐标，由|BC|=23得（b﹣c）2+3（b+c）2＝12，进一步由结合xM=【解答】解：如图，由题意不妨设B(b，3b)，C(c，−3而|BC|=(b−c)2+3(b+c)2=23，即（b﹣c）2又xM∴43yM∵yB，yC≥0，∴yM≥0，即C1为部分椭圆．故选：D．【点评】本题考查了轨迹方程、椭圆的方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．（2024•淄博一模）在平面直角坐标系xOy中，已知向量OA→与OB→关于x轴对称，向量a→=(0，1)，若满足OA→A．E是一条垂直于x轴的直线 B．E是一个半径为1的圆 C．E是两条平行直线 D．E是椭圆【考点】轨迹方程；平面向量数量积的性质及其运算．【专题】整体思想；综合法；直线与圆；数学运算．【答案】B【分析】设点A（x，y），则OA→=（x，y），OB→=（x，﹣y），进而求出AB→=（0，﹣2【解答】解：设点A（x，y），则OA→=（x，∵向量OA→与OB→关于∴OB→=（x，﹣∴AB→=OB∵向量a→=(0，1)，且满足∴x2+y2﹣2y＝0，即轨迹E的方程为x2+（y﹣1）2＝1，是一个半径为1的圆．故选：B．【点评】本题主要考查了求动点的轨迹方程，属于中档题．8．（2024春•官渡区校级期末）已知圆O：x2+y2＝4，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段PP1（P1在y轴上），M在直线PP1上且P1M→=2A．4x2+16y2＝1 B．16x2+4y2＝1 C．x24+y2【考点】轨迹方程．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【答案】D【分析】转化为极坐标，圆的方程为ρ＝2，确定M点坐标，即可求出动点M的轨迹方程．【解答】解：转化为极坐标，圆的方程为ρ＝2P点坐标为（2cosα，2sinα）因为P1M→=2P1P→所以x＝4cosα，y＝2sinα所以动点M的轨迹方程是x2故选：D．【点评】本题考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于中档题．9．（2024•江西二模）已知抛物线E：y2＝2x，圆M：（x﹣1）2+y2＝1，N（x0，y0）为圆M外一点，过点N作圆M的两条切线l1，l2，直线l1与抛物线E交于点A（x1，y1），B（x2，y2），直线l2与抛物线E交于点C（x3，y3），D（x4，y4），若x02+y02=1，则y1A．16 B．8 C．4 D．1【考点】圆与圆锥曲线的综合；抛物线的焦点与准线．【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算．【答案】C【分析】由题意，可得x0≠0，设出过点N且与圆M相切的切线方程以及直线l1，l2的斜率，推出k1，k2为方程x0(x0−2)k2−2y0【解答】解：因为N（x0，y0）为圆M外一点且l1，l2都与抛物线有两个不同的交点，所以x0≠0，不妨设过点N且与圆M相切的切线方程为y﹣y0＝k（x﹣x0），即kx﹣y+y0﹣kx0＝0，可得|k+y即x0不妨设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1，k2为方程x0所以k1+k联立kx−y+y0−kx0=0y2=2x，消去x并整理得ky2因为A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），所以y1y2=2(y0则y1y2y3y4==4[故选：C．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．10．（2024春•东坡区月考）设圆O：x2+y2＝4与y轴交于A，B两点（A在B的上方），过B作圆O的切线l，若动点P到A的距离等于P到l的距离，则动点P的轨迹方程为（）A．x2＝8y B．x2＝16y C．y2＝8x D．y2＝16x【考点】轨迹方程．【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．【答案】A【分析】由抛物线的定义可得：动点P的轨迹为以A（0，2）为焦点，直线y＝﹣2为准线的抛物线，然后求解即可．【解答】解：已知圆O：x2+y2＝4与y轴交于A，B两点（A在B的上方），则A（0，2），B（0，﹣2），又过B作圆O的切线l，则直线l的方程为y＝﹣2，∵动点P到A的距离等于P到l的距离，∴由抛物线的定义可得：动点P的轨迹为以A（0，2）为焦点，直线y＝﹣2为准线的抛物线，则动点P的轨迹方程为x2＝8y．故选：A．【点评】本题考查了抛物线的性质，重点考查了抛物线的定义，属基础题．二．多选题（共5小题）（多选）11．（2023秋•莱芜区校级月考）已知曲线C：mx2+ny2＝1，则（）A．若m＝n＞0，则曲线C是圆 B．若m＞0，n＞0，则曲线C是椭圆 C．若mn＜0，则曲线C是双曲线 D．若m＝0，n＞0，则曲线C是一条直线【考点】曲线与方程．【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．【答案】AC【分析】结合椭圆、圆、双曲线、直线的知识对选项进行分析，从而确定正确选项．【解答】解：对A：当m＝n＞0，则x2+y对B：当m＝n＞0时，曲线C是圆，故B错误；对C：曲线C：mx2+ny2＝1化为x21m+y21对D：当m＝0，n＞0，则曲线C的方程为y2=1n，即故选：AC．【点评】本题考查曲线与方程的关系，考查方程思想和推理能力，属于基础题．（多选）12．（2024春•沅陵县校级期末）在平面直角坐标系中，有两个圆C1：（x+2）2+y2＝r12和C2：（x﹣2）2+y2＝r22，其中r1，r2为正常数，满足r1+r2＜4或|r1﹣r2|＞4，一个动圆P与两圆都相切，则动圆圆心的轨迹方程可以是（）A．两个椭圆 B．两个双曲线 C．一个双曲线和一条直线 D．一个椭圆和一个双曲线【考点】轨迹方程．【专题】分类讨论；数形结合法；直线与圆；逻辑推理．【答案】BCD【分析】两圆圆心距C1C2＝4，当r1+r2＜4，即两圆外离时，动圆P可能与两圆均内切或均外切或一个内切一个外切，当|r1﹣r2|＞4，两圆相交，动圆P可能与两圆均内切或均外切或一个内切一个外切，分别讨论，得出结论．【解答】解：根据题意圆C1的圆心C1（﹣2，0），半径r1，圆C2的圆心C2（2，0），半径r2，所以C1C2＝4，设圆P的半径为r，（1）当r1+r2＜4，即两圆外离时，动圆P可能与两圆均内切或均外切或一个内切一个外切，①均内切时|PC1|＝r﹣r1，|PC2|＝r﹣r2，此时||PC1|﹣|PC2||＝|r1﹣r2|，当r1≠r2时，此时P点的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线，当r1＝r2时，此时点P在C1，C2的垂直平分线上．②均外切时|PC1|＝r+r1，|PC2|＝r+r2，此时||PC1|﹣|PC2||＝|r1﹣r2|．此时P点的轨迹是与①相同．③与一个内切与一个外切时，不妨设与圆C1内切，与圆C2外切，|PC1|＝r﹣r1，|PC2|＝r+r2，|PC2|﹣|PC1|＝r1+r2与圆C2内切，与圆C1外切时，同理得，|PC1|﹣|PC2|＝r1+r2此时点P的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线，与①中双曲线不一样．（2）当|r1﹣r2|＞4，两圆相交，动圆P可能与两圆均内切或均外切或一个内切一个外切，④均内切时轨迹和①相同．⑤均外切时轨迹和①相同⑥与一个内切另一个外切时，不妨设与圆C1内切，与圆C2外切，|PC1|＝r1﹣r，|PC2|＝r+r2，|PC1|+|PC2|＝r1+r2此时点P的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆．与圆C2内切，与圆C1外切时，同理得PC1|+|PC2|＝r1+r2，此时点P的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆．故选：BCD．【点评】本题考查动点的轨迹方程的求法以及圆与圆的位置关系，属于中档题．（多选）13．（2023秋•西湖区校级期末）若方程x23−t+A．若1＜t＜3，则C为椭圆 B．若C为椭圆，且焦点在y轴上，则2＜t＜3 C．曲线C可能是圆 D．若C为双曲线，则t＜1【考点】曲线与方程；双曲线的几何特征．【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理．【答案】AD【分析】利用椭圆的标准方程、圆的标准方程以及双曲线的标准方程，依次进行判断即可．【解答】解：对于A，当t＝2时，曲线表示圆，故选项A错误；对于B，当曲线C为焦点在y轴上的椭圆时，则t﹣1＞3﹣t＞0，解得2＜t＜3，故选项B正确；对于C，当t＝2时，曲线C表示圆的方程，故选项C正确；对于D，当曲线C为双曲线时，则（3﹣t）（t﹣1）＜0，解得t＜1或t＞3，故选项D错误．故选：AD．【点评】本题考查了椭圆的标准方程、圆的标准方程以及双曲线的标准方程的理解与应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题．（多选）14．（2024春•大理州期末）已知O为坐标原点，曲线C：x2+y2＝1+|x|y图象酷似一颗“红心”（如图）．对于曲线C，下列结论正确的是（）A．曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点） B．曲线C上存在一点P使得|OP|=2C．曲线C上存在一点P使得|OP|＝2 D．曲线C所围成的“心形”区域的面积大于3【考点】曲线与方程．【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算．【答案】ABD【分析】由题意，通过对曲线方程特点分析，分x＝0，x＞0，x＜0三种情况下，曲线图象经过的点，即可判断A，B项；对于C项，考虑方程变形后，利用基本不等式即可判断|OP|≤2，排除C；对于D项，由A【解答】解：对于选项A：当x＝0时，代入方程x2+y2＝1+|x|y中，解得y＝±1，则曲线经过点（0，1），（0，﹣1），当x＞0时，方程为y2﹣xy+x2﹣1＝0，此时Δ＝x2﹣4（x2﹣1）＝4﹣3x2≥0，解得x∈(0，2因为x∈Z，所以x只能取1，当x＝1时，解得y＝0或y＝1，即曲线经过（1，0），（1，1）；由曲线方程的特征易得曲线关于y轴对称，所以曲线还经过（﹣1，0），（﹣1，1），则曲线共经过6个整数点，即选项A正确；对于选项B：当x＝1时，方程为y（y﹣1）＝0，解得y＝0或y＝1，即曲线经过点P（1，1），此时|OP|=2，故选项B对于选项C：当x＞0时，可得x2当且仅当x＝y时，等号成立，解得x2+y2≤2，即曲线在y轴右侧区域内的任意点P（x，y），都满足|OP|≤2根据对称性，曲线C上任意一点P（x，y）到原点距离都不超过2，故选项C错误；对于选项D：因为曲线经过点P（1，1），Q（﹣1，1），R（﹣1，0），S（0，﹣1），T（1，0），则曲线C所围成的“心形”区域的面积S＞SPQRT+故选：ABD．【点评】本题考查曲线与方程，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力，属于中档题．（多选）15．（2024春•南岗区校级月考）已知m、n∈R，则方程m2x2+ny2＝1表示的曲线可能是（）A．两条直线 B．圆 C．焦点在x轴的椭圆 D．焦点在y轴的双曲线【考点】曲线与方程；椭圆的几何特征；双曲线的几何特征．【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．【答案】ABC【分析】对m2是否为0，以及n的正负分情况讨论，结合圆、椭圆和双曲线的标准方程判断即可．【解答】解：曲线C：m2x2+ny2＝1，对于A，若m2＝0，n＞0，方程化为y2=1n，即y=±n对于B，若m2＝n＞0，方程化为x2+y2=对于C，若n＞m2＞0，方程化为x21m2+y21n对于D，若m2＞0，n＜0，方程化为x21m2+y21n=1，得故选：ABC．【点评】本题主要考查了曲线与方程，考查了双曲线、椭圆和圆的标准方程，属于中档题．三．填空题（共5小题）16．（2024•荔湾区校级模拟）如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点P沿正方形ABCD按ABCDA的方向做匀速运动，点Q沿正方形B1C1CB按B1C1CBB1的方向以同样的速度做匀速运动，且点P，Q分别从点A与点B1同时出发，则PQ的中点的轨迹所围成图形的面积大小是34【考点】轨迹方程；棱柱的结构特征．【专题】计算题；整体思想；演绎法；空间位置关系与距离；逻辑推理；直观想象；数学运算．【答案】3【分析】画出符合要求的图形，观察得到轨迹是菱形，并进行充分性和必要性两方面的证明，并求解出轨迹图形的面积．【解答】解：如图，E，F，G分别是正方形ABCD，ABB1A1，BCC1B1的中心，下面进行证明：菱形EFGC的周界即为动线段PQ的中点H的轨迹，首先证明：如果点H是动线段PQ的中点，那么点H必在菱形EFGC的周界上，分两种情况证明：（1）P，Q分别在某一个定角的两边上，不失一般性，设P从B到C，而Q同时从C1到C，由于速度相同，所以PQ必平行于BC1，故PQ的中点H必在CG上；（2）P，Q分别在两条异面直线上，不失一般性，设P从A到B，同时Q从B1到C1，由于速度相同，则AP＝B1Q，由于H为PQ的中点，连接B1H并延长，交底面ABCD于点T，连接PT，则平面PB1QT与平面ABCD交线是PT，∵B1C1∥平面ABCD，∴B1C1∥PT，∴△HB1Q≅△HTP，而PT＝B1Q＝AP，PT∥BC，∴△APT是等腰直角三角形，∠TAP=π4，从而T在可以证明FH∥AC，GH∥AC，DG∥AC，基于平行线的唯一性，显然H在DG上，综合（1）（2）可证明，线段PQ的中点一定在菱形EFGC的周界上；下面证明：如果点H在菱形EFGC的周界上，则点H必定是符合条件的线段的中点．也分两种情况进行证明：（1）H在CG或CE上，过点H作PQ∥BC1（或BD），而与BC及CC1（或CD及BC）分别相交于P和Q，由相似的性质可得：PH＝QH，即H是PQ的中点，同时可证：BP＝C1Q（或BQ＝DP），因此P、Q符合题设条件，（2）H在EF或FG上，不失一般性，设H在FG上，连接B1H并延长，交平面AC于点T，显然T在AC上，过T作TP∥CB于点P，则TP∥C1B1，在平面PTC1B1上，连接PH并延长，交B1C1于点Q，在三角形ACB1中，G是B1C的中点，FG∥AC，则H是B1T的中点，于是△PTH≅△QB1H，从而有B1Q＝PT，又因为TP∥CB，∠CAB=∠ATP=π4，所以AP＝从而B1Q＝AP，因此P，Q符合题设条件．由（1）（2），如果H是菱形EFGC周界上的任一点，则H必是符合题设条件的动线段PQ的中点，证毕．因为四边形EFGC为菱形，其中CE=1所以边长为22且AC＝CB1＝AB1，△AB1C为等边三角形，∠GCE=所以面积S=2故答案为：34【点评】本题主要考查立体几何中的轨迹问题，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．17．（2024•梅州模拟）在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，定义P（x1，y1）、Q（x2，y2）两点之间的“直角距离”为d（P，Q）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．已知两定点A（﹣1，0），B（1，0），则满足d（M，A）+d（M，B）＝4的点M的轨迹所围成的图形面积为6．【考点】轨迹方程．【专题】计算题；数形结合；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．【答案】6．【分析】利用已知条件，求解轨迹方程，然后画出图形即可求解面积．【解答】解：设M（x，y），由题意d（M，A）+d（M，B）＝4，可知|x+1|+|x﹣1|+2|y|＝4，轨迹方程的图形如图，图形的面积为：4+2×1故答案为：6．【点评】本题考查轨迹方程的求法，图形的画法，面积的求法，是中档题．18．（2024•毕节市模拟）已知直线l1：x+ty﹣5＝0，直线l2：tx﹣y﹣3t+2＝0，l1与l2相交于点A，则点A的轨迹方程为（x﹣4）2+（y﹣1）2＝2．【考点】轨迹方程．【专题】方程思想；综合法；直线与圆；数学运算．【答案】（x﹣4）2+（y﹣1）2＝2．【分析】推得l1⊥l2，分别求得两直线恒过的两个定点B和C，可得A的轨迹是以BC为直径的圆，求得方程即可．【解答】解：由直线l1：x+ty﹣5＝0，直线l2：tx﹣y﹣3t+2＝0，可得t×1﹣1×t＝0，所以l1⊥l2，又直线l1：x+ty﹣5＝0恒过定点B（5，0），直线l2：tx﹣y﹣3t+2＝0恒过定点C（3，2），所以AB⊥AC，则A的轨迹是以BC为直径的圆，其圆心为（4，1），半径为(4−5)方程为（x﹣4）2+（y﹣1）2＝2．故答案为：（x﹣4）2+（y﹣1）2＝2．【点评】本题考查动点的轨迹方程和两直线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于基础题．19．（2024春•丰台区期中）已知曲线y=x2ex+1上任意一点P（与原点O①k的值不可能为0；②∀k∈（﹣∞，0），总存在唯一的点P与之对应；③∀k∈（0，+∞），总存在两个点P与之对应；④k＜1恒成立．其中所有正确结论的序号为①②④．【考点】曲线与方程．【专题】转化思想；综合法；导数的综合应用；圆锥曲线中的最值与范围问题；数学运算．【答案】①②④．【分析】设P（x，y），（x，y）≠（0，0）．利用斜率计算公式即可判断出①②③的正误；令f（x）＝ex﹣x﹣1（x≠0），利用导数研究函数f（x）的单调性研究函数的单调性，结合斜率计算公式即可判断出④的正误．【解答】解：设P（x，y），（x，y）≠（0，0）．①k=yx≠②k=yx=xex+1＜0，解得x＜0，③k=yx=xex+1＞0，解得x＞0，④令f（x）＝ex﹣x﹣1（x≠0），f′（x）＝ex﹣1，可得x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＜0；x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0．∴f（x）＞f（0）＝0，因此k=yx=故答案为：①②④．【点评】本题考查了曲线的性质、斜率计算公式、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（2024•庐阳区校级模拟）在平面直角坐标系中，已知动点A和C，定点B（3，0）和M（2，2），若|BC|＝6，且△ABC的周长恒为16，则|AB|+|AM|的最小值为5．【考点】轨迹方程；两点间的距离公式．【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．【答案】5．【分析】建立平面直角坐标系，由题意可得点A的轨迹方程，可得|AB|+|AM|≥|BM|，当且仅当M，A，B三点共线时（A在B，M之间或A，M重合），等号成立，进而求出|BM|的值，即求出|AB|+|AM|的正弦值．【解答】解：由题意知，点C在以B为圆心，6为半径的圆上运动，点A在以B，C为焦点，长轴长为10的椭圆上运动（长轴两端点除外），为方便计算，可将B，C视为定点，则点M在以B为圆心，5为半径的圆上运动，以BC的中点O为坐标原点，直线BC为x轴建立如图的直角坐标系，设点B（3，0）和C（﹣3，0），则点A的轨迹方程为x225+由图可知|AB|+|AM|≥|BM|=5当M，A，B三点共线时（A在B，M之间或A，M重合），等号成立，所以|AB|+|AM|的最小值为5．故答案为：5．【点评】本题主要考查了动点轨迹方程，考查了椭圆与圆的性质，属于中档题．四．解答题（共5小题）21．（2024春•莒南县期中）向量是研究几何的一个重要工具，在证明某些几何结论时会大大简化证明过程．请用向量法解决解决以下问题：（1）证明△ABC的三条高线AD、BE、CF交于一点；（2）已知矩形MNPQ，G为平面内任意一点，求证：|GM|2+|GP|2＝|GN|2+|GQ|2；（3）如图，已知圆O：x2+y2＝4，A，B是圆O上两个动点，已知点P（1，0），求矩形PACB的顶点C的轨迹方程．【考点】轨迹方程．【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；数学运算．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）x2+y2＝7．【分析】（1）设AD，BE交于点H，AD⊥BC，BE⊥CA，利用向量证明CF⊥AB即可；（2）以M点为原点建立平面直角坐标系，记M（0，0），N（a，0），P（a，b），Q（0，b），设G（x，y），利用向量的模求解；（3）利用（2）的结论由|OP|2+|OC|2＝|OA|2+|OB|2求解．【解答】（1）证明：设AD，BE交于点H，因为AD⊥BC，BE⊥CA，则有AH→⋅CB又(CH→（CH→−CB①﹣②，可得CH→⋅(CB→−CA→)=0，即又因为CF⊥AB，则C，H，F三点共线，所以AD，BE，CF相交于一点．（2）解：以M点为原点建立平面直角坐标系：记M（0，0），N（a，0），P（a，b），Q（0，b），设G（x，y），则有：|GM|2+|GP|2＝x2+y2+（x﹣a）2+（y﹣b）2＝2x2+2y2﹣2ax﹣2by+a2+b2，|GN|2+|GQ2|＝（x﹣a）2+y2+x2+（y﹣b）2＝2x2+2y2﹣2ax﹣2by+a2+b2，故：|GM|2+|GP|2＝|GN|2+|GQ|2；（2）设C（x，y），由（1）可得：|OP|2+|OC|2＝|OA|2+|OB|2，得：1+x2+y2＝4+4，化简得M轨迹方程为：x2+y2＝7．【点评】本题考查向量的应用，属于中档题．22．（2023秋•天心区校级期末）已知线段AB的端点B的坐标是（6，5），端点A在圆C1：（x﹣4）2+（y﹣3）2＝4上运动．（1）求线段AB的中点P的轨迹C2的方程；（2）设圆C1与曲线C2交于M、N两点，求线段MN的长．【考点】轨迹方程．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆；数学运算．【答案】（1）（x﹣5）2+（y﹣4）2＝1；（2）142【分析】（1）设点P的坐标为（x，y），点A的坐标为（x0，y0），由于点B的坐标为（6，5），且点P是线段AB的中点，利用代入法可得轨迹方程．（2）两圆相减得公共弦方程2x+2y﹣19＝0，利用弦长公式可得MN的长．【解答】解：（1）设点P的坐标为（x，y），点A的坐标为（x0，y0），由于点B的坐标为（6，5），且点P是线段AB的中点，所以x=x于是有x0＝2x﹣6，y0＝2y﹣5，①因为点A在圆C1所以点A的坐标满足方程（x﹣4）2+（y﹣3）2＝4，即(x0把①代入②，得（2x﹣6﹣4）2+（2y﹣5﹣3）2＝4，整理，得（x﹣5）2+（y﹣4）2＝1，所以点P的轨迹C2的方程为（x﹣5）2+（y﹣4）2＝1；（2）圆C1：(x−4)得2x+2y﹣19＝0，由圆C2：(x−5)且（5，4）到直线2x+2y﹣19＝0的距离d=|10+8−19|则公共弦长|MN|=2r【点评】本题考查了动点的轨迹问题以及直线与圆的位置关系，属于中档题．23．（2023秋•盐田区校级期末）已知圆C1：(x+3)2+y2=9，C2：(x−3)2+（1）求曲线C的方程；（2）斜率为4的直线l过点C2，且与曲线C交于A，B两点，求△C1AB的面积．【考点】直线与圆锥曲线的综合；轨迹方程．【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算．【答案】（1）x2（2）247【分析】（1）由题意，根据两圆的位置关系结合双曲线的定义分析求解；（2）设出直线AB的方程，将直线AB的方程与曲线C的方程联立，结合韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式以及三角形面积公式再进行求解即可．【解答】解：（1）易知圆C1的圆心C1（﹣3，0），半径r1＝3；圆C2的圆心C2（3，0），半径r2＝3，因为动圆M与圆C1，C2均外切，所以|MC1|﹣3＝|MC2|﹣1，即|MC1|﹣|MC2|＝2＜|C1C2|，由双曲线的定义知，点M是以C1，C2为焦点，2为实轴长的双曲线的右支，所以a＝1，c＝3，则b2＝c2﹣a2＝8，故曲线C的方程为x2（2）由（1）知双曲线的渐近线方程为y=±22所以斜率为4的直线与双曲线的右支有两个交点A，B，不妨设直线AB的方程为y＝4（x﹣3），A（x1，y1），B（x2，y2），联立y=4(x−3)x2−y28=1，消去此时Δ＞0，由韦达定理得x1+x2＝12，x1x2＝19，所以|AB|==1+16而点C1（﹣3，0）到直线AB的距离d=|4×(−3)−0−12|故S△【点评】本题考查轨迹方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．24．（2023秋•丰泽区校级月考）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A（1，1），动点P满足|PA|=2（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）直线l：y＝k（x+1）与轨迹C交于E，F两点，若EF的长为15，求直线l的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合；轨迹方程．【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算．【答案】（1）（x+1）2+（y+1）2＝4；（2）3x−y+3=0【分析】（1）设动点P的坐标为（x，y），根据题意列出方程，化简，即得答案；（2）利用点到直线的距离公式，结合圆的几何性质，求出弦长的表达式，结合题意列式计算，求得k的值，即可得答案．【解答】解：（1）设动点P的坐标为（x，y），因为点A（1，1），动点P满足|PA|=2所以(x−1)整理得（x+1）2+（y+1）2＝4，则动点P的轨迹C的方程（x+1）2+（y+1）2＝4；（2）因为轨迹C为圆心为（﹣1，﹣1），半径为2的圆，若直线l：y＝k（x+1）与轨迹C交于E，F两点，此时点（﹣1，﹣1）到直线l的距离d=1则|EF|=24−解得k=±3此时d=1满足直线l：y＝k（x+1）与轨迹C交于E，F两点，则直线l的方程为y=3(x+1)或即3x−y+3=0【点评】本题考查轨迹方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．25．（2024春•浙江月考）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为12，右焦点为F，圆O：x2+y2＝（1）求C的标准方程；（2）若直线l：y＝kx﹣2与曲线C交于A，B两点，求△OAB面积的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合；直线及坐标轴被圆截得的弦及弦长；根据椭圆的几何特征求标准方程；直线与椭圆的综合．【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算．【答案】（1）x2（2）3．【分析】（1）由已知分别求出a、b即可得到C的标准方程；（2）通过直曲联立，求出|AB|弦长，再由点到直线距离公式求出原点到直线AB的距离，代入三角形面积公式，利用不等式求出△OAB面积的最大值．【解答】解：（1）设椭圆C的半焦距为c（c＞0），因为过F且垂直于x轴的直线被圆O所截得的弦长为23所以2a又a2解得a=2b=则C的标准方程为x2（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立y=kx−2x24+y23=1，消去y并整理得（3+4此时Δ＝16（12k2﹣3）＞0，解得k2由韦达定理得x1所以|AB|=1+又原点到直线AB的距离d=2所以S△AOB令4k可得4k2＝1+t2，则S△AOB当且仅当t＝2，即k=±5故△OAB的面积取得最大值3．【点评】本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．

考点卡片1．平面向量数量积的性质及其运算【知识点的认识】1、平面向量数量积的重要性质：设a→，b→都是非零向量，e→是与b→方向相同的单位向量，a→（1）a→⋅e→=（2）a→⊥b（3）当a→，b→方向相同时，a→⋅b→=|a→||b→|；当a特别地：a→⋅a→=|a→|（4）cosθ=a（5）|a→⋅b→|≤|2、平面向量数量积的运算律（1）交换律：a→（2）数乘向量的结合律：（λa→）•b→=λ（a→⋅（3）分配律：（a→⋅b→）•平面向量数量积的运算平面向量数量积运算的一般定理为①（a→±b→）2=a→2±2a→•b→+b→2．②（a→−b→）（a→+b→）=【解题方法点拨】例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn＝nm”类比得到“a→②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（a→+b③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“c→≠0，a④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“|a→⋅b→|＝|⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（a→⋅b⑥“acbc=ab”类比得到a→解：∵向量的数量积满足交换律，∴“mn＝nm”类比得到“a→即①正确；∵向量的数量积满足分配律，∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（a→+b即②正确；∵向量的数量积不满足消元律，∴“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“c→≠0，a即③错误；∵|a→⋅b→|≠|∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“|a→⋅b→|＝|即④错误；∵向量的数量积不满足结合律，∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（a→⋅b即⑤错误；∵向量的数量积不满足消元律，∴acbc=a即⑥错误．故答案为：①②．向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“a→⋅b→=b→⋅a→”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（a→+b→）•c→=a→⋅c→+b→⋅c→”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“c→≠0，a→⋅c→=b→⋅c→⇒a→【命题方向】本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．2．棱柱的结构特征【知识点的认识】1．棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．棱柱用表示底面各顶点的字母来表示（例：ABCD﹣A′B′C′D′）．2．认识棱柱底面：棱柱中两个互相平行的面，叫做棱柱的底面．侧面：棱柱中除两个底面以外的其余各个面都叫做棱柱的侧面．侧棱：棱柱中两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．顶点：棱柱的侧面与底面的公共顶点．高：棱中两个底面之间的距离．3．棱柱的结构特征棱柱1．两个底面互相平行根据棱柱的结构特征，可知棱柱有以下性质：（1）侧面都是平行四边形（2）两底面是全等多边形（3）平行于底面的截面和底面全等；对角面是平行四边形（4）长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和．4．棱柱的分类（1）根据底面形状的不同，可把底面为三角形、四边形、五边形…的棱柱称为三棱柱、四棱柱、五棱柱…．（2）根据侧棱是否垂直底面，可把棱柱分为直棱柱和斜棱柱；其中在直棱柱中，若底面为正多边形，则称其为正棱柱．5．棱柱的体积公式设棱柱的底面积为S，高为h，V棱柱＝S×h．3．两点间的距离公式【知识点的认识】﹣距离公式：两点（x1，y1）和（x2，y2）之间的距离由公式：d=(这是平面直角坐标系中常用的距离计算公式．【解题方法点拨】﹣计算距离：1．代入公式：将两点的坐标代入距离公式．2．简化计算：计算平方差的和，开方得到距离．【命题方向】﹣距离计算：常考查计算两点间的直线距离，尤其在几何题目中经常出现．4．直线及坐标轴被圆截得的弦及弦长【知识点的认识】﹣弦长公式：给定直线方程和圆的方程，可以计算直线截得圆的弦长．【解题方法点拨】﹣计算弦长：1．求交点：计算直线和圆的交点．2．弦长公式：用交点坐标计算弦的长度．【命题方向】﹣弦长计算：考查如何利用直线和圆的交点计算弦的长度，涉及几何和代数计算．5．根据椭圆的几何特征求标准方程【知识点的认识】椭圆的几何特征包括长轴2a、短轴2b、焦点(±c，0)．【解题方法点拨】1．提取几何特征：从题目中得到长轴、短轴或焦距．2．代入标准方程：使用几何特征计算a和b，代入标准方程：x2【命题方向】﹣由椭圆的几何特征（如长轴、短轴）求标准方程．﹣根据焦点位置和长短轴所在位置推导标准方程．6．椭圆的几何特征【知识点的认识】1．椭圆的范围2．椭圆的对称性3．椭圆的顶点顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．4．椭圆的离心率①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比ca叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e=ca②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．7．直线与椭圆的综合【知识点的认识】直线与椭圆的位置判断：将直线方程与椭圆方程联立，消去x（或y）的一元二次方程，则：直线与椭圆相交⇔Δ＞0；直线与椭圆相切⇔Δ＝0；直线与椭圆相离⇔Δ＜0；【解题方法点拨】（1）直线与椭圆位置关系的判断方法①联立方程，借助一元二次方程的判别式来判断；②借助直线和椭圆的几何性质来判断．根据直线系方程抓住直线恒过定点的特征，将问题转化为点和椭圆的位置关系，也是解决此类问题的难点所在．（2）弦长的求法设直线与椭圆的交点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），则|AB|=(1+k2注意：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．（3）中点弦、弦中点常见问题①过定点被定点平分的弦所在直线的方程；②平行弦中点的轨迹；③过定点的弦的中点的轨迹．解决有关弦及弦中点问题常用方法是“韦达定理”和“点差法”，这两种方法的前提都必须保证直线和椭圆有两个不同的公共点．（4）椭圆切线问题①直线与椭圆相切，有且仅有一个公共点；②过椭圆外一点可以作两条直线与椭圆相切；③过椭圆上一点只能作一条切线．（5）最值与范围问题的解决思路①构造关于所求量的函数，通过求函数的值域来获得问题的解；②构造关于所求量的不等式，通过解不等式来获得问题的解．在解题过程中，一定要深刻挖掘题目中的隐含条件，如判别式大于零等可利用条件．【命题方向】1．由已知条件求椭圆的方程或离心率；2．由已知条件求直线的方程；3．中点弦或弦的中点问题；4．弦长问题；5．与向量结合求参变量的取值．8．抛物线的焦点与准线【知识点的认识】抛物线的简单性质：9．双曲线的几何特征【知识点的认识】双曲线的标准方程及几何性质标准方程x2a2−yy2a2−x图形性质焦点F1（﹣c，0），F2（c，0）F1（0，﹣c），F2（0，c）焦距|F1F2|＝2c|F1F2|＝2c范围|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R对称关于x轴，y轴和原点对称顶点（﹣a，0）．（a，0）（0，﹣a）（0，a）轴实轴长2a，虚轴长2b离心率e=ca（准线x＝±ay＝±a渐近线xa±yxb±y10．曲线与方程【知识点的认识】在直角坐标系中，如果某曲线C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程f（x，y）＝0的实数解建立了如下的关系：①曲线上点的坐标都是这个方程的解；②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．求解曲线方程关键是要找到各变量的等量关系．【解题方法点拨】例：：定义点M到曲线C上每一点的距离的最小值称为点M到曲线C的距离．那么平面内到定圆A的距离与它到定点B的距离相等的点的轨迹不可能是（）A：直线B：圆C：椭圆D：双曲线一支．解：对定点B分类讨论：①若点B在圆A内（不与圆心A重合），如图所示：设点P是圆A上的任意一点，连接PB，作线段PB的垂直平分线l交AP于点M，连接BM，则|AM|+|BM|＝|AP|＝R＞|AB|．由椭圆的定义可知：点M的轨迹是以点A、B为焦点的椭圆．②若点B在圆A外，如图2所示：设点P是圆A上的任意一点，连接PB，作线段PB的垂直平分线l交AP于点M，连接BM，则|BM|﹣|AM|＝|AP|＝R＜|AB|．由双曲线的定义可知：点M的轨迹是以点A、B为焦点的双曲线的一支．③若定点B与圆心A重合，如图3所示：设点P是圆A上的任意一点，取线段AP的中点M，则点M满足条件，因此点M的轨迹是以点A为圆心，以12④若点B在圆A上，则满足条件的点是一个点B．综上可知：可以看到满足条件的点M的轨迹可以是：椭圆、双曲线的一支，圆，一个点，而不可能是一条直线．故选A．这是一个非常好的题，一个题把几个很重要的曲线都包含了，我认为这个题值得每一个学生去好好研究一下．这个题的关键是找等量关系，而这个等量关