广东省茂名市2024-2025学年高二下学期第一次校际联考 数学试题（含解析）

2024-2025学年度第二学期第一次校际联考高二数学试卷考生须知：1.考生必须在答题卡上作答，否则成绩无效.选择题的答题卡上对应题目的标号上，非选择题的答案写在答题卡指定区域内.2.考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡内.3.本试卷满分150分，考试时间120分钟.一､单选题：（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知甲部门有员工4人，乙部门有员工5人，丙部门有员工6人，现从这三个部门的员工中任选1人参加接待客户的活动，不同的选法种数为（）A.120 B.15 C.25 D.90【答案】B【解析】【分析】根据分类加法计数原理可得答案.【详解】根据分类加法计数原理可知，不同的选法种数为.故选：B.2.在等比数列中，，，则首项等于（）A.2 B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】根据等比数列基本量关系求解即可.【详解】，，，.故选：C3.抛物线的准线方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】化为标准方程：，根据准线方程的定义求解．【详解】抛物线的方程为：，则其焦点坐标为：，准线方程为：．故选：D4.已知的一个极值点为2，则实数（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】求导，令，利用只有一个极值点，可得，求解即可.【详解】，令0，得或，又的一个极值点为2，则，解得，经检验满足题意.故选：B.5.已知函数的图象在点处的切线方程为，则（）A.8 B.3 C.4 D.-4【答案】C【解析】【分析】根据题意结合导数的几何意义分析求解即可.【详解】因为切线方程为，可知当时，，且切线斜率为3，即，，所以.故选：C.6.已知函数的图象如图所示，函数的导数为，则（）A B.C. D.【答案】D【解析】【分析】结合图象以及导数的知识求得正确答案.【详解】由图象可知，即.故选：D7.如图，湖北省分别与湖南､安徽､陕西､江西四省交界，且湘､皖､陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有5种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为（）A.540 B.600 C.660 D.720【答案】D【解析】【分析】由分步乘法计数原理按步骤去涂色即可.【详解】第一步涂陕西有5种选择，第二步涂湖北有4种选择，第三步涂安徽有4种选择，第四步涂江西有3种选择，第五步涂湖南有3种选择,即共有种涂色方案.故选：D8.有四对双胞胎共8人，从中随机选出4人，则其中恰有一对双胞胎的选法种数为（）A.40 B.48 C.52 D.60【答案】B【解析】【分析】由题意，根据分步乘法原理，可得答案.【详解】先从四对双胞胎中选出一对，有种选择；然后从剩下的六个人中选出两个人，且不能是同一对双胞胎，这相当于从三对双胞胎中选出两对，再从每对中选出一个人，共有种选择.根据乘法原理，总共有种选法.故选：B.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，，成等比数列，则的值可以是（）A.0 B.1 C. D.【答案】BD【解析】【分析】根据等比中项建立等式求解即可．【详解】根据题意可知：，所以，故选：BD．10.某校的高一和高二年级各10个班级，从中选出五个班级参加活动，下列结论正确的是（）A.高二六班一定参加的选法有种B.高一年级恰有2个班级的选法有种C.高一年级最多有2个班级的选法为种D.高一年级最多有2个班级的选法为种【答案】BCD【解析】【分析】对于AB根据组合知识即可验证，对于CD先用组合知识求出从两个年级中选出五个班级参加活动共有种，再根据分类加法原则得出从两个年级中选出五个班级参加活动共有种，两者相等得出，再得出高一年级最多有2个班级的选法即可验证.【详解】对于A：高二六班一定参加的选法有种，故A错误；对于B：高一年级恰有2个班级的选法有种，故B正确；对于C与D：从两个年级中选出五个班级参加活动共有种，其中若高一年级0个，高二年级5个，有种，其中若高一年级1个，高二年级4个，有种，其中若高一年级2个，高二年级3个，有种，其中若高一年级3个，高二年级2个，有种，其中若高一年级4个，高二年级1个，有种，其中若高一年级5个，高二年级0个，有种，则，则，而高一年级最多有2个班级的选法为种，故C与D都正确；故选：BCD11.设函数，则（）A.是的极小值点 B.当时，C.当时， D.当时，【答案】ACD【解析】【分析】求出函数的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数在上的值域即可判断C；直接作差可判断D.【详解】对A，因为函数的定义域为R，而，易知当时，，当或时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确；对B，当时，，所以，而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误；对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减，所以，即，正确；对D，当时，，所以，正确；故选：ACD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知椭圆C：的离心率为，则椭圆的短轴长为_____.【答案】【解析】【分析】根据椭圆的离心率公式可得，求得，进而可求解.【详解】根据题意可得离心率，解得，所以椭圆的短轴长为.故答案为：.13.曲线在点处的切线的斜率为，则________．【答案】【解析】【分析】求导，利用导数的几何意义计算即可．【详解】解：则所以故答案为-3.【点睛】本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，属于基础题．14.有位大学生要分配到三个单位实习，每位学生只能到一个单位实习，每个单位至少要接收一位学生实习，已知这位学生中的甲同学分配在单位实习，则这位学生实习的不同分配方案有__________种．（用数字作答）【答案】【解析】【分析】根据特殊元素进行分类计数，具体分类下是不相同元素分配问题，先分堆再配送，注意平均分堆的要除以顺序.【详解】根据特殊元素“甲同学”分类讨论，当单位只有甲时，其余四人分配到，不同分配方案有种；当单位不只有甲时，其余四人分配到，不同分配方案有种；合计有种不同分配方案，故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知函数，且.（1）求的解析式；（2）求曲线在处的切线方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求导数，根据可求，进而可得答案；（2）先求导数得到切线斜率，再求出切点，利用点斜式可求切线方程.【小问1详解】因为，且，所以，解得，所以函数的解析式为.【小问2详解】由（1）可知，；又，所以曲线在处的切线方程为，即.16.甲乙丙丁戊五个同学（1）排成一排，共有多少种不同的排列方法？（2）排成一排，甲乙不相邻，共有多少种不同排列方法？（3）排成一排，甲乙相邻，共有多少种不同排列方法？（4）去三个城市游览，每人只能去一个城市，可以有城市没人去，共有多少种不同游览方法？（5）分配到三个城市参加活动，每个城市至少去一人，共有多少种不同分配方法？【答案】（1）120（2）72（3）48（4）243（5）150【解析】【分析】（1）根据全排列公式求解即可；（2）根据给定条件，利用不相邻问题插空法列式计算即得；（3）利用捆绑法求解即可；（4）根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式计算即得.（5）把5人按或分组，再把每一种分组方法安排到三个城市即可得解.【小问1详解】甲乙丙丁戊五个同学排成一排，共有种不同的排列方法；小问2详解】甲乙丙丁戊排成一排，甲乙不相邻，先将丙丁戊排成一列有种方法，再将甲乙插空隙中，有种方法，所以共有不同排法数为（种）【小问3详解】甲乙丙丁戊排成一排，甲乙相邻，先将甲乙排在一起，有种排法，再与其他同学全排列有种排法，共有种排法；【小问4详解】去三个城市游览，每人只能去一个城市，可以有城市没人去，因此每个人都有3种选择，所以不同游览方法有（种）.【小问5详解】分配到三个城市参加活动，每个城市至少去一人，则先把5人按分组，有种分组方法，按分组，有种分组方法，因此不同分组方法数为，再把每一种分组安排到三个城市，有种方法，所以不同分配方法种数是.17.已知是各项均为正数的等比数列，.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)本题首先可以根据数列是等比数列将转化为，转化为，再然后将其带入中，并根据数列是各项均为正数以及即可通过运算得出结果；(2)本题可以通过数列的通项公式以及对数的相关性质计算出数列的通项公式，再通过数列的通项公式得知数列是等差数列，最后通过等差数列求和公式即可得出结果．【详解】(1)因为数列是各项均为正数的等比数列，，，所以令数列的公比为，，，所以，解得(舍去)或，所以数列是首项为、公比为的等比数列，．(2)因为，所以，，，所以数列是首项为、公差为的等差数列，．【点睛】本题考查数列相关性质，主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法，考查等差数列求和公式的使用，考查化归与转化思想，考查计算能力，是简单题．18.已知函数在处取得极小值5．（1）求实数a，b值；（2）当时，求函数的最小值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由题意得到，，求出，，检验后得到答案；（2）求导，得到函数单调性，进而得到极值和最值情况，得到答案.【小问1详解】，因为在处取极小值5，所以，得，此时所以在上单调递减，在上单调递增所以在时取极小值，符合题意所以，．又，所以．【小问2详解】，所以列表如下：0123

00

1↗极大值6↘极小值5↗10由于，故时，．19.已知函数．（1）求的单调区间；（2）当时，证明：当时，恒成立．【答案】（