安徽省合肥市五十中学东校2023-2024学年七年级下学期期中数学试题

-2024学年安徽省合肥市五十中学东校七年级（下）期中数学试卷一、选择题（每题3分，共10小题，满分30分）1.已知某新型感冒病毒的直径约为米，将用科学记数法表示为（

）A. B.C. D.2.下列各数是无理数的是（）A. B. C. D.3.下列各式计算正确的是（）A. B. C. D.4.如果，则下列不等式一定成立是（）A. B. C. D.5.下列运算正确的是（）A. B.C. D.6.若是完全平方式，则m的值是（）A.4 B.8 C. D.7.如果的积中不含x的一次项，那么a，b一定（）A.互为倒数 B.互为相反数 C.且 D.8.如图表示的是关于x的不等式的解集，则a的值是（）A.0 B. C. D.39.某超市以每千克4元的价格购进一批蔬菜，销售过程中有的蔬菜正常损耗，则超市售价定为不低于（）元才能避免亏本．A.4.5 B.4.8 C.5 D.610.如图所示，以长方形的各边为直径向外作半圆得到一个新的图形其周长为，同时此图形中四个半圆面积之和为，则长方形的面积为（）A.10 B.20 C.40 D.80二、填空题（每题3分，共5小题，满分15分）11.9的算术平方根是_____．12.数轴上点A表示，点B表示1，则线段长度是_________．13.如果，，那么_________．14若，则_________．15.在数学著作《算术研究》一书中，对于任意实数，通常用表示不超过x的最大整数，，，则对于任意的实数x，的值为_________．三、（本大题共两题，满分14分）16.（1）计算；（2）化简．17.解不等式组：，并把它的解集表示的数轴上．四．（本大题共两题，满分12分）18.先化简，再求值，其中．19.已知某正数的两个平方根分别是a﹣3和2a+15，b的立方根是﹣3，求a﹣b的值．五、（本大题共两题，满分17分）20.观察下列关于自然数等式：①②③…根据上述规律解决下列问题：（1）完成第四个等式：_____________；（2）请写出第个等式：___________；（3）写出第个等式（为正整数），并验证其正确性．21.某些等式可以根据几何图形面积关系进行解释，例如，等式就可以用图（1）的面积关系来解释：图（1）的面积为，各部分的面积之和为，故．（1）根据图（2）的面积关系可以解释的一个等式为________；（2）已知等式，请你画出一个相应的几何图形；（3）请你设计一个几何图形，并解释：．六、（本大题满分12分）22.“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”，为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具．已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元．（1）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？（2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又不超过12万元，设购进甲种农机具m件，最少资金是多少？（3）在（2）的方案下，由于国家对农业生产扶持力度加大，每件甲种农机具降价0.8万元，每件乙种农机具降价0.2万元，该粮食生产基地计划将节省的资金全部用于再次购买甲、乙两种农机具（可以只购买一种），请直接写出再次购买农机具的方案有哪几种．

2023-2024学年安徽省合肥市五十中学东校七年级（下）期中数学试卷一、选择题（每题3分，共10小题，满分30分）1.已知某新型感冒病毒的直径约为米，将用科学记数法表示为（

）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了科学记数．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．熟记相关结论即可．【详解】解：∵，故选：B2.下列各数是无理数的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查无理数的概念“无限不循环小数”，求一个数的算是平方根，常见的无理数有：含有的最简式子，开不尽方的数，特殊结果的数（如），由此即可求解，掌握常见的无理数的形式，无理数的概念是解题的关键．【详解】解：A、，是有理数，故该选项不符合题意；B、是分数，属于有理数，故该选项不符合题意；C、，是有理数，故该选项不符合题意；D、是无理数，故该选项符合题意．故选：D．3.下列各式计算正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查平方根和算术平方根，掌握平方根和算术平方根的定义是解题的关键．【详解】解：A.，原计算错误；B.，计算正确；C.，原计算错误；D.无意义，原计算错误；故选B．4.如果，则下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了不等式的性质，利用不等式的性质对各选项的不等式进行分析判断即可．【详解】解：A．∵，∴，∴，故本选项符合题意；B．∵，∴，故本选项不符合题意；C．不妨设，,∵，故本选项不符合题意；D．∵，∴，故本选项不符合题意．故选：A．5.下列运算正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂相乘，同底数幂相除，负整数指数幂，利用幂的乘方法则，同底数幂相乘法则，同底数幂相除法则，负整数指数幂意义逐项判断即可．【详解】解：A．，原计算错误，故该选项不符合题意；B．，原计算错误，故该选项不符合题意；C．，原计算错误，故该选项不符合题意；D．，原计算正确，故该选项符合题意；故选：D．6.若是完全平方式，则m的值是（）A.4 B.8 C. D.【答案】D【解析】【分析】此题考查了完全平方式．利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值．【详解】解：是完全平方式，．故选：D．7.如果的积中不含x的一次项，那么a，b一定（）A.互为倒数 B.互为相反数 C.且 D.【答案】B【解析】【分析】此题考查了多项式乘以多项式，利用多项式乘以多项式法则计算，根据结果中不含x的一次项求出a与b的值即可．【详解】解：原式，由结果中不含x的一次项，得到，则a，b一定互为相反数，故选B．8.如图表示的是关于x的不等式的解集，则a的值是（）A.0 B. C. D.3【答案】D【解析】【分析】本题考查含参数的不等式的解法，利用不等式的解集列方程，掌握相关的知识点是解题的关键．先解不等式，再由不等式的解集得到方程可得答案．【详解】解：∵，∴，则，由数轴知，∴，解得，故选：D．9.某超市以每千克4元的价格购进一批蔬菜，销售过程中有的蔬菜正常损耗，则超市售价定为不低于（）元才能避免亏本．A.4.5 B.4.8 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】设超市应把售价定为x元，由销售收入不低于成本，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．【详解】解：设超市应把售价定x元，依题意，得：（1-20%）x≥4，解得：x≥5．故选：C．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．10.如图所示，以长方形的各边为直径向外作半圆得到一个新的图形其周长为，同时此图形中四个半圆面积之和为，则长方形的面积为（）A.10 B.20 C.40 D.80【答案】C【解析】【分析】设AB=a，BC=b，再表示新图形周长与阴影部分面积，再利用完全平方公式的变形可得长方形面积．【详解】解：设AB=a，BC=b，由题意得：πa+πb=16π，π×()2+π×()2=44π．∴a+b=16，a2+b2=176．∵（a+b）2=a2+b2+2ab．∴256=176+2ab．∴ab=40．∴S长方形ABCD=40．故选：C．【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景和圆的面积公式，正确表示周长和面积是求解本题的关键．二、填空题（每题3分，共5小题，满分15分）11.9的算术平方根是_____．【答案】3【解析】【分析】根据一个正数的算术平方根就是其正的平方根即可得出．【详解】∵，∴9算术平方根为3．故答案为：3．【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键．12.数轴上点A表示，点B表示1，则线段的长度是_________．【答案】##【解析】【分析】本题主要考查数轴上两点之间距离的计算，掌握两点之间距离的计算方法是解题的关键．根据点对应的数字，用的方法计算即可求解．【详解】解：根据题意，线段的长度为：，故答案为：．13.如果，，那么_________．【答案】【解析】【分析】本题考查了同底数幂相除，幂的乘方等知识，逆用同底数幂相除、幂的乘方法则计算即可．【详解】解：∵，，∴．故答案为：．14.若，则_________．【答案】6【解析】【分析】本题考查了利用平方根解方程，平方差公式的应用．设，原方程化为，整理得，再平方根解方程，进一步计算即可求解．【详解】解：，设，则原方程化为：，∴，即，∴，∵不论a、b为何值，不能为负数，∴．故答案为：6．15.在数学著作《算术研究》一书中，对于任意实数，通常用表示不超过x的最大整数，，，则对于任意的实数x，的值为_________．【答案】2或3##3或2【解析】【分析】本题考查了新定义运算，灵活分类，依据新定义运算法则计算是解题的关键．设，分①当时，②当时两种情形计算即可．【详解】解：依题意得：设，①当时，x为整数，都是整数，∴，，∴，②当时，，，∴，，∴．综上所述：或3．故答案为：2或3．三、（本大题共两题，满分14分）16.（1）计算；（2）化简．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】本题考查了实数的运算，整式的运算，解题的关键是：（1）利用乘方的意义，零指数幂的意义，算术平方根的定义计算即可；（2）先利用同底数幂相乘法则、积的乘方法则、同底数幂相除法则计算，然后合并同类项即可．【详解】解：（1）原式；（2）原式．17.解不等式组：，并把它的解集表示的数轴上．【答案】，数轴见解析【解析】【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出不等式组中两不等式的解集，用“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小是无解”进行判断，再在数轴上表示出解集，即可求解；掌握不等式组的解法是解题的关键．【详解】解：解不等式①，得：，解不等式②，得：，原不等式组的解集为；不等式组的解集在数轴上表示如下：四．（本大题共两题，满分12分）18.先化简，再求值，其中．【答案】，21【解析】【分析】本题考查了整式化简求值，完全平方公式、平方差公式，先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．【详解】解：原式，当时，原式．19.已知某正数的两个平方根分别是a﹣3和2a+15，b的立方根是﹣3，求a﹣b的值．【答案】23【解析】【分析】根据一个数的平方根互为相反数，有（a﹣3）+（2a+15）＝0，可求出值，又的立方根是−3，可求出值，继而代入求出答案．【详解】解：∵正数的两个平方根分别是a﹣3和2a+15，∴（a﹣3）+（2a+15）＝0，解得：a＝﹣4，∵立方根是﹣3，∴＝﹣27，∴a﹣b＝﹣4﹣（﹣27）＝23．【点睛】本题考查了平方根和立方根的概念．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根，立方根的性质：一个正数的立方根是正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根是0．五、（本大题共两题，满分17分）20.观察下列关于自然数的等式：①②③…根据上述规律解决下列问题：（1）完成第四个等式：_____________；（2）请写出第个等式：___________；（3）写出第个等式（为正整数），并验证其正确性．【答案】（1）（2）（3）4（n+1）6﹣（2n+1）3＝4n+3（n为正整数），验证见解析．【解析】【分析】本题主要考查整式的混合运算，数字规律题型，理解数字规律计算方法，整式的混合运算即可求解．（1）根据材料提示，计算出数字规律，即第n个等式可表示为：（n为正整数），由此即可求解；（2）把代入代数式计算即可求解；（3）根据整式的运算法则，分别计算左边和右边的结果，进行比较即可求解．【小问1详解】解：已知①，②，③，…观察各部分的变化规律可知，第n个等式可表示为：（n为正整数），当时，，即第四个等式为：．故答案为：．【小问2详解】解：由（1）知，当时，，即第个等式为：，故答案为：．【小问3详解】解：由（1）知，第n个等式可表示为：（n为正整数）．证明如下：左边右边，故此等式成立．21.某些等式可以根据几何图形的面积关系进行解释，例如，等式就可以用图（1）的面积关系来解释：图（1）的面积为，各部分的面积之和为，故．（1）根据图（2）的面积关系可以解释的一个等式为________；（2）已知等式，请你画出一个相应的几何图形；（3）请你设计一个几何图形，并解释：．【答案】（1）；（2）见解析；（3）图见解析，解释见解析．【解析】【分析】本题主要考查完全平方公式及多项式乘以多项式与几何图形的关系；熟练掌握完全平方公式是解题的关键；（1）利用正方形的面积公式即可证明．（2）画一个长为，宽为的长方形即可；（3）把边长为a的正方形中减去一个边长为b的正方形后，拼成一个长为，宽为的长方形即可．【小问1详解】解：在图2中，大正方形边长为，组成大正方形的5个部分的面积和为，所以有，故答案为：；【小问2详解】解：如图3所示：整体大长方形的长为，宽为，组成长方形的4个部分的面积和为，因此有；【小问3详解】解：如图4，把边长为a的正方形中减去一个边长为b的正方形后，拼成一个长为，宽为的长方形，因此可以验证．六、（本大题满分12分）22.“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”，为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具．已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元．（1）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？（2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又不超过12万元，设购进甲种农机具m件，最少资金是多少？（3）在（2）的方案下，由于国家对农业生产扶持力度加大，每件甲种农机具降价0.8万元，每件乙种农机具降价0.2万元，该粮食生产基地计划将节省的资金全部用于再次购买甲、乙两种农机具（可以只购买一种），请直接写出再次购买农机具的方案有哪几种．【答案】（1）购进1件甲种农机具1.5万元，1件乙种农机具0.5万元；（2）方案一需要资金最少，最少资金是10万元；（3）方案有两种：方案一：购买甲种农机具2件，乙种农机具12件；方案二：购买甲种农机具5件，乙种农机具5件．【解析】【分析】（1