2025北京高三一模数学汇编：第三道解答题（第18题）

第1页/共1页2025北京高三一模数学汇编第三道解答题（第18题）一、解答题1．（2025北京海淀高三一模）某工厂有一组型号相同的设备，在日常维护中发现部分设备有发热的情况，经过查阅历史数据，发现设备是否发热与设备状态（完好或损坏）有较强的相关性．从发热和未发热情况的数据中各自随机抽取1000条数据，整理如下图所示：日常维护时，对单台设备有三种可能的操作：保留观察、停机更换或检查维修．对单台设备的不同状态，这三种操作给工厂带来的经济损失如下（单位：千元）：操作经济损失设备状态保留观察停机更换检查维修完好0105损坏1257假设用频率估计概率，且各设备之间的状态相互独立．(1)已知某设备未出现发热情况，试估计该设备损坏的概率；(2)该工厂现有2台设备出现发热情况，准备对这2台设备都进行检查维修．记检查维修这2台设备给工厂带来的总经济损失为千元，求的分布列和数学期望；(3)该工厂的某车间现有2台设备，维护时发现其中一台出现发热情况，另一台未出现发热情况．下面有三种维护这2台设备的操作方案：发热情况操作方案编号发热未发热①检查维修保留观察②停机更换检查维修③停机更换保留观察直接写出使得工厂总经济损失的期望最小的方案的编号．2．（2025北京东城高三一模）据国家相关部门统计，2023年华东地区、东北地区主要省份的水稻、小麦的播种面积和产量数据见下表：水稻小麦播种面积（千公顷）产量（万吨）播种面积（千公顷）产量（万吨）华东地区江苏省2221.02003.22389.51373.5浙江省649.0485.3152.666.4安徽省2500.71609.82862.71740.7福建省601.1394.60.10.0江西省3383.92070.711.33.5山东省101.086.14008.92673.8东北地区辽宁省500.5412.92.00.8吉林省828.8682.15.01.7黑龙江省3268.52110.019.37.5(1)从表1中的华东地区随机抽取1个省份，求该省水稻产量比小麦产量少的概率；(2)从表1的9个省份中随机抽取2个，设为水稻播种面积排在前5名且属于东北地区省份的个数.求的分布列与数学期望；(3)2023年华东地区、东北地区和华北地区主要粮食作物的播种面积及其采用新技术的播种面积占该作物总播种面积的比值（简称新技术占比率）数据见下表：粮食作物播种面积（千公顷）新技术占比率粮食作物播种面积（千公顷）新技术占比率华东地区水稻9456.70.70小麦9425.10.60东北地区水稻4597.80.55玉米13800.00.65华北地区.小麦3184.50.65玉米9564.70.60记华东地区和东北地区水稻播种总面积的新技术占比率、华东地区和华北地区小麦播种总面积的新技术占比率、东北地区和华北地区玉米播种总面积的新技术占比率分别为.依据表2中的数据比较的大小.（结论不要求证明）3．（2025北京西城高三一模）发展纯电动、插电式混合动力等新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路．为调查研究，某地统计了辖区内从年至年这年的新能源汽车和纯电动汽车的销量，得到如下折线图（单位：百辆）：在每一年中，记该年纯电动汽车销量占该年新能源汽车销量的比重为．(1)从年至年这年中随机抽取年，求该年值超过的概率；(2)现从年至年这年中依次随机抽取，每次抽取个年份，若该年的值超过，则停止抽取，否则继续从剩余的年份中抽取，直至抽到值超过的年份．记抽取的次数为，求的分布列和数学期望；(3)记年至年这年新能源汽车销量数据的方差为，且这年纯电动汽车销量数据的方差为，写出与的大小关系．（结论不要求证明）4．（2025北京房山高三一模）随着科技的飞速发展，人工智能已经逐渐融入人们的日常生活，在教育领域，赋能潜力巨大.为了解某校学生对某款学习软件的使用情况，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法随机抽取了90名学生，获得数据如下：是否使用该款学习软件男生女生使用40人30人不使用10人10人假设学生是否使用该款学习软件相互独立.用频率估计概率.(1)估计该校学生使用该款学习软件的概率；(2)从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，记这3人中使用该习软件的人数为，求的分布列和数学期望；(3)从该校所有学生中随机抽取1人，“”表示该生使用该款学习软件，“”表示该生不使用该款学习软件.假设该校一年级有200名男生和180名女生，从除一年级外其他年级学生中随机抽取1人，“”表示该生使用该款学习软件，“”表示该生不使用该款学习软件.的方差分别记为，试比较与的大小（结论不要求证明）.5．（2025北京门头沟高三一模）不同AI大模型各有千秋，适配领域也各有所长.为了解某高校甲、乙两个学院学生对两款不同AI大模型是否使用，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：甲学院乙学院使用不使用使用不使用款40人80人60人20人款70人50人30人50人假设所有学生对，两款大模型是否使用相互独立，用频率估计概率，(1)分别估计该校甲学院学生使用款大模型的概率、该校乙学院学生使用款大模型的概率；(2)从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，乙学院全体学生中随机抽取1人，记这3人中使用款大模型的人数为，估计的数学期望；(3)从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用款大模型的人数为，其方差估计值为，从该校乙学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用款大模型的人数为，其方差估计值为，比较与的大小，（结论不要求证明）.6．（2025北京石景山高三一模）如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，N为的中点．(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值；(3)点M在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点M到平面的距离．7．（2025北京顺义高三一模）AI智能阅卷是一种利用人工智能技术对试卷进行批改和评估的技米，它可以帮助教师提高阅卷效率，并为学生提供更快速更有针对性的反馈.某教师尝试使用AI系统进行阅卷，由甲、乙两种系统进行独立阅卷评分.如果两个系统评分相差2分及以下，则以两种系统评分的平均分作为最后得分；如果两个系统评分相差3分及以上，则人工进行复核阅卷并给出最后得分.从两种系统进行阅卷的试卷中随机抽取12份试卷作为样本，其评分情况如下表所示：试卷序号123456789101112系统甲评分828876928766756990588684系统乙评分808276908061716588548280最后得分818576918564746789568483(1)从这12份试卷中随机选取1份，求甲、乙两种系统评分之差的绝对值不超过2分的概率；(2)从这12份试卷中随机选取3份，甲、乙两种系统评分之差的绝对值不超过2分的份数记为X，求X的分布列和数学期望；(3)从上述的12份试卷中随机抽取1份，设甲系统对其评分为，乙系统对其评分为，最后得分为.令，，试比较方差和的大小.（结论不要求证明）8．（2025北京朝阳高三一模）某高中组织学生研学旅行．现有A，B两地可供选择，学生按照自愿的原则选择一地进行研学旅行．研学旅行结束后，学校从全体学生中随机抽取100名学生进行满意度调查，调查结果如下表：高一高二高三A地B地A地B地A地B地满意122183156一般226568不满意116232假设所有学生的研学旅行地点选择相互独立．用频率估计概率．(1)估计该校学生对本次研学旅行满意的概率；(2)分别从高一、高二、高三三个年级中随机抽取1人，估计这3人中至少有2人选择去B地的概率；(3)对于上述样本，在三个年级去A地研学旅行的学生中，调查结果为满意的学生人数的方差为，调查结果为不满意的学生人数的方差为，写出和的大小关系．`（结论不要求证明）9．（2025北京平谷高三一模）某科研团队研发了一款快速检测某种疾病的试剂盒.为了解该试剂盒检测的准确性，科研团队从某地区（人数众多）随机选取了40位患者和60位非患者，用该试剂盒分别对他们进行了一次检测，结果如下：抽样人群阳性人数阴性人数患者364非患者258(1)试估计使用该试剂盒进行一次检测结果正确的概率；(2)若从该地区的患者和非患者中分别抽取2人进行一次检测，求恰有一人检测结果错误的概率；(3)假设该地区有10万人，患病率为0.01.从该地区随机选取一人，用该试剂盒对其检测一次.若检测结果为阳性，能否判断此人患该疾病的概率超过0.2？并说明理由.10．（2025北京延庆高三一模）在北京延庆，源远流长的传统大集文化依旧焕发着生机.这是一种融合了传统文化与饮食娱乐的民间活动，人们在这里沉浸于这份朴素而直接的欢乐之中.2025年延庆大集的时间和地点信息汇总如下表，根据下表的统计结果，回答以下问题.时间地点周一周二周三周四周五周六周日康庄镇刁千营村√√康庄镇榆林堡村√√康庄镇小丰营村√√延庆镇付余屯村√√延庆镇东小河屯村√√√√√√√香营乡屈家窑村√旧县镇米粮屯村√√旧县镇东羊坊村√永宁镇古城北街√√√√√√√(1)若从周一和周四的大集中各随机选一个大集，求恰好选的都是延庆镇大集的概率；(2)若从周六和周日的大集中随机选3个大集，记X为选延庆镇东小河屯村大集的次数，求X的分布列及期望；(3)从周一到周四这四天的大集中任选2个大集，设为选永宁镇古城北街大集的个数，从周五到周日这三天的大集中任选2个大集，设为选永宁镇古城北街大集的个数，比较随机变量和随机变量的数学期望的大小.（结论不要求证明）11．（2025北京丰台高三一模）已知椭圆，以的两个焦点与短轴的一个端点为顶点的三角形是等腰直角三角形，且面积为.(1)求椭圆的方程；(2)过点的直线与椭圆交于不同的两点.过作直线的垂线，垂足为.求证：直线过定点.

参考答案1．(1)；(2)分布列见解析，；(3)①，理由见解析.【分析】（1）根据题意，直接写出即可；（2）求得的取值，进而计算出其对应概率，即可写出分布列，求得数学期望；（3）计算不同方案下总经济损失的数学期望，比较大小，即可判断.【详解】（1）设“一台设备未出现发热情况，设备损坏”为事件，则.（2）依题意，一台设备出现发热情况，设备损坏的概率为，设备正常的概率为；易知，，，，，故的分布列如下所示：10故.（3）使得工厂总经济损失的期望最小的方案的编号为①，理由如下：记采用不同方案，这2台设备给工厂带来的总经济损失为千元，采用方案①：的取值为：，,故采用方案①，总经济损失的期望；采用方案②：的取值为：，,故采用方案②，总经济损失的期望；采用方案③：的取值为：，，故采用方案③：总经济损失的期望.综上，，故采用方案①，可使得总经济损失的期望最小.2．(1)；(2)分布列见解析，；(3).【分析】（1）应用古典概型的概率求法求华东地区随机抽取1个省份，水稻产量比小麦产量少的概率；（2）由题意可能值为，应用超几何分布的概率求法求概率，即得分布列，进而求期望；（3）根据表格分别求出各地区作物新技术占比率，比较大小即可.【详解】（1）由表格，华东地区6省中只有安徽省、山东省的水稻产量比小麦产量少，所以华东地区随机抽取1个省份，水稻产量比小麦产量少的概率；（2）由表格，水稻播种面积最大的5个省依次为江西、黑龙江、安徽、江苏、吉林，其中华东地区有3个，东北地区有2个，若9个省份中随机抽取2个，水稻播种面积排在前5名且属于东北地区省份的个数可能值为，，，，分布列如下，012所以；（3）由表格知，，，所以.3．(1)(2)分布列见解析，(3)【分析】（1）求出各年的值，利用古典概型概率公式求结论；（2）确定随机变量的可能取值，再求取各值的概率，由此可得分布列，再由期望公式求期望；（3）先求新能源汽车销量数据的平均数，纯电动汽车销量数据的平均数，再求两组数据的方差，比较大小即可.【详解】（1）设从年至年这年中随机抽取1年，且该年的值超过为事件，由图表知，年的值为，年的值为，年的值为，年的值为，年的值为，年的值为，年的值为，年的值为，所以在年至年这年中，有且仅有年至年这年的值超过，所以．（2）由图表知，在年至年这年中，值超过的有年，所以随机变量的所有可能取值为，，．则，，．所以的分布列为：故的数学期望．（3）从年至年这年新能源汽车销量数据的平均数为，所以从年至年这年新能源汽车销量数据的方差，所以从年至年这年纯电动汽车销量数据的平均数为，从年至年这年纯电动汽车销量数据的方差，所以，所以.4．(1)(2)分布列见解析，(3)【分析】（1）根据题中数据，90名学生中使用学习软件的共人，即可求出；（2）随机变量的可能取值为，分别计算每个取值的概率，即可得到分布列和数学期望；（3）设从一年级学生中随机抽取1人，该生使用该款学习软件的方差记为，求出一年级学生和该校全体学生中使用该款学习软件的概率，由二项分布的方差计算公式求出，由的大小，即可比较的大小.【详解】（1）根据题中数据，90名学生中使用该款学习软件的共人，所以该校学生使用该款学习软件的概率可估计为.（2）从该校全体男生中随机抽取1人，“他使用该学习软件”记为事件A，从该校全体女生中随机抽取1人，“她使用该学习软件”记为事件，根据题中数据可知：.随机变量的可能取值为.则，，，.所以的分布列为：0123数学期望.（3）设从一年级学生中随机抽取1人，“”表示该生使用该款学习软件，“”表示该生不使用该款学习软件，的方差记为，一年级有200名男生和180名女生，一年级学生使用该学习软件的概率为，则，该校所有学生中使用该款学习的概率为，则，因为，即，所以除一年级外其他年级学生中使用该款学习软件的方差，即.5．(1)(2)(3)【分析】（1）利用古典概型结合表格计算即可；（2）利用离散型随机变量的分布列及期望公式计算即可；（3）利用二项分布的方差公式计算并比较大小即可.【详解】（1）由表格可知：该校甲学院学生使用款大模型的概率为，该校乙学院学生使用款大模型的概率为（2）由题意可知的可能取值为：，则，，，，所以；（3）同第一问，可知该校甲学院学生使用款大模型的概率为,该校乙学院学生使用款大模型的概率为，易知，由二项分布的方差公式可知，，则.6．(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）设的中点为，连接，（2）记的中点为，连结，易得，，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可；（3）设，利用空间向量结合直线与平面所成角的正弦值为求出的值，再利用空间向量求解即可.【详解】（1）设的中点为，连接，因为N为的中点，所以，且，又，且，所以，且，所以四边形为平行四边形，则，又平面，平面，所以平面.（2）记的中点为，连结，因为，，，所以四边形是矩形，则，，以为原点，以，，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，则，，，设平面的一个法向量为，所以，令，则，设平面的一个法向量为，所以，令，则，所以，由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.（3）依题意，设，则，又由（2）得平面的一个法向量为，记直线与平面所成角为，所以，解得（负值舍去），所以，则，而由（2）得平面的一个法向量为，所以点到平面的距离为.7．(1)(2)分布列见解析，1(3)【分析】（1）由古典概型概率公式即可求解；（2）确定的可能取值，求得对应概率即可求解；（3）由方差计算公式即可求解；【详解】（1）设事件为从这12篇份试卷中随机抽取1份，甲、乙两种系统评分之差的绝对值不超过2分，又在这12篇份试卷中，甲、乙两种系统评分之差的绝对值不超过2分的有篇，所以；（2）由已知的可能取值为，，，3，，所以的分布列为所以的数学期望为；（3），证明如下：的取值依次为：1，3，0，1，2，2，1，2，1，2，2，1，平均数为：，的取值依次为：1，3，0，1，5，3，3，2，1，2，2，3，平均数为：，所以.8．(1)(2)(3)【分析】（1）利用频率估计概率即可求解；（2）利用频率估计概率即可求解，结合相互独立事件的概率公式求解即可；（3）求出，，比较大小即可.【详解】（1）从表格数据可知，随机抽取的100名学生对本次研学旅行满意的人数为，因此该校学生对本次研学旅行满意的概率可估计为．（2）设事件：抽取的高一学生选择去B地，事件：抽取的高二学生选择去B地，事件：抽取的高三学生选择去B地，事件：抽取的3人中恰有人选择去B地，，事件：抽取的3人中至少有2人选择去B地．从数据表格可知，抽取的100名学生中高一年级学生总数为，选择去B地的总数为，所以可估计为；抽取的100名学生中高二年级学生总数为，选择去B地的总数为，所以可估计为；抽取的100名学生中高三年级学生总数为，选择去B地的总数为，所以可估计为；因为，所以．所以抽取的3人中至少有2人选择去地的概率可估计为．（3）在三个年级去A地研学旅行的学生中，调查结果为满意的学生人数的平均数为，则调查结果为满意的学生人数的方差为，调查结果为不满意的学生人数的平均数为，则调查结果为不满意的学生人数的方差为，则.9．(1)0.94(2)(3)超过，理由见解析【分析】（1）由古典概型概率计算公式求解即可；（2）设事件：患者检测结果正确，事件：非患者检测结果正确“，事件：该地区的患者和非患者中分别抽取2人进行一次检测，恰有一人检测结果错误，由求解即可；（3）求得检测一次结果为阳性的人数，确定其中患者人数，即可判断