抛物线与x轴的交点问题综合题典型题型 归纳练 2025年中考数学二轮复习备考

抛物线与x轴的交点问题综合题典型题型归纳练2025年中考数学二轮复习备考一、解答题1．已知二次函数（c为常数）．(1)若该二次函数的图象与x轴有两个公共点，求c的取值范围；(2)若该二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，求一元二次方程的解：(3)在自变量x的值满足的情况下，与其对应的函数值y的最小值为，求c值．2．在平面直角坐标系中，已知抛物线．(1)当时，①求该抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）；②若为自然数，且该抛物线与轴有两个不同交点和，求的值．(2)若，直线与该抛物线有两个交点，其坐标分别为和．当时，求的最小值．3．已知二次函数（m是常数，且）的图象与x轴只有一个公共点．(1)求这个二次函数图象的对称轴；(2)将这个二次函数图象向左平移个单位长度，得到一个新的二次函数图象．若新的二次函数在的范围内有最小值，求t的值．4．如图，已知抛物线的图象与x轴交于A，B两点，点，与y轴交于点C．(1)求抛物线的顶点坐标；(2)若，是抛物线上的两点，且，求c的取值范围；(3)将直线向上平移m个单位，使平移后的直线与抛物线只有一个交点，求m的值．5．已知抛物线G：．(1)当时，求x的值；(2)点是抛物线上一点，若，且时，求m的值；(3)当时，把抛物线G向下平移个单位长度得到新抛物线H，设抛物线H与x轴的一个交点的坐标为，且，请求出n的取值范围．6．已知点、在二次函数的图像上，当时，．(1)①；②若抛物线与轴只有一个公共点，则的值为．(2)若是图像上的两点，且，求的取值范围．(3)若对于任意实数、都有，则的取值范围是．7．在平面直角坐标系中，设二次函数（是常数）．(1)若，当时，，求的函数表达式．(2)当时，判断函数与轴的交点个数，并说明理由．(3)当时，该函数图象顶点为，最大值与最小值差为5，求的值．8．在平面直角坐标系中，设二次函数（为常数，且）(1)若时，求该二次函数图像与轴的交点坐标；(2)若二次函数的图像与直线有且仅有一个交点，求代数式的值．9．已知抛物线(1)求证：抛物线与x轴有两个不同的交点；(2)当时，抛物线与x轴交于点A，B，求的长．10．如图，在平面直角坐标系中，点、在抛物线上，该抛物线的顶点为C，与x轴的另一个交点为D，点P为该抛物线上一点，其横坐标为m．(1)求该抛物线的解析式；(2)点M是抛物线上一点，且M在第二象限，使得，交y轴于点F，求点M的坐标；(3)当时，设该抛物线在点B与点P之间（包含点B和点P）的部分的最高点和最低点到x轴的距离分别为d、n，设．①直接写出F关于m的函数解析式，并注明自变量的取值范围；②当时，直接写出m的取值范围．11．抛物线，直线的解析式为．(1)若抛物线经过点，求抛物线的顶点坐标；(2)探究抛物线与直线的交点情况并说明理由；(3)若抛物线经过点，且对于任意实数满足两个条件：①不等式都成立；②当时，抛物线的最小值为，求直线的解析式．12．在平面直角坐标系中，已知抛物线、为常数，且经过点，且对称轴为直线．点、、是该抛物线上三个动点，其横坐标分别为，，．连结、，并以、为邻边构造平行四边形．(1)求抛物线的函数关系式；(2)当时，求的面积；(3)当时，求的取值范围；(4)当平行四边形的边与抛物线存在非平行四边形的顶点的其它交点时，记此交点为点，取的中点记为，当的面积是平行四边形面积的时，直接写出的值．

参考答案1．(1)(2)(3)本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；（1）根据二次函数与x轴的交点问题可进行求解；（2）把点代入二次函数解析式得出c的值，进而求解方程即可；（3）由函数解析式可得抛物线的对称轴为直线，开口向下，然后根据开口向下，离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越大可进行求解．（1）解：由题意得：，解得：；（2）解：把点代入二次函数得：，∴，∴一元二次方程为，解得：；（3）解：由可知：开口向下，对称轴为直线，∵，且，∴当时，函数取得最大值，当时，函数有最小值，∴，∴．2．(1)①顶点坐标为；②(2)当时，取最小值为；当时，取最小值为0；当时，取最小值为本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键：（1）①把代入解析式，化一般式为顶点式，即可得到顶点坐标；②根据抛物线与轴有两个不同交点，得到，进而求出的值，得到函数解析式，求出时的的值，即可得出结果；（2）把点坐标代入一次函数解析式求出的值，再代入二次函数解析式，得到的值，再将，分别代入两个解析式，求出的值，进而求出函数解析式，分3种情况，求出最值即可．（1）解：①当时，代入抛物线并化为顶点式得：，顶点坐标为．②为自然数，且该抛物线与轴有两个不同交点和，．，，抛物线为，当时，，解得：，．∴；（2）解：，直线与该抛物线有两个交点，其坐标分别为和，．解得：．∴，代入，得：．∴，，．．直线与该抛物线有交点，将点的坐标分别代入得：，解得：，抛物线为．的图象开口方向向上，对称轴为直线．①当，即时，，随的增大而减小，当时，取最小值为．②当，即时，，随的增大而减小，，随的增大而增大，当时，取最小值为．③当时，，随的增大而增大，当时，取最小值为．综上可知，当时，取最小值为；当时，取最小值为0；当时，取最小值为．3．(1)直线(2)或本题考查了二次函数与一元二次方程、二次函数的平移、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．（1）利用二次函数的对称轴公式即可求解；（2）根据二次函数的图象与x轴只有一个公共点，得出，解出，利用二次函数平移规律得到新的二次函数为，再分情况讨论二次函数取得最小值时的值，结合最小值即可求出t的值．（1）解：二次函数，二次函数图象的对称轴为直线，这个二次函数图象的对称轴为直线．（2）解：二次函数的图象与x轴只有一个公共点，，解得：，（舍去），二次函数，二次函数图象向左平移个单位长度，新的二次函数为，新的二次函数图象的对称轴为直线，，，二次函数的对称轴在的范围内，在取得最大值，在或取得最小值，①若，即时，在取得最小值，此时，解得：，（舍去），的值为；②若，即时，在取得最小值，此时，解得：，（舍去），的值为；综上所述，t的值为或．4．(1)(2)或(3)本题考查了二次函数的图象与性质，图象的平移，直线与抛物线的交点问题，熟练掌握知识点是解题的关键．（1）先求解析式，再配方即可求解顶点坐标；（2）可得，当，当时，，解得，，由图象法可得或；（3）先求出的函数表达式为设向上平移m个单位长度后函数表达式为，与抛物线联立得，根据平移后的直线与抛物线只有一个交点，得到，即可求解．（1）解：将点代入中，解得：，∴，整理得，则顶点坐标为；（2）解：将代入，解得∵，当时，解得，，∴或；（3）解：设直线的函数表达式为将，代入得，解得：∴直线的函数表达式为设向上平移m个单位长度后函数表达式为，由题意得即∵平移后的直线与抛物线只有一个交点，∴，∴．5．(1)或(2)m(3)本题主要考查二次函数的图象与性质．（1）依据题意，由，结合，从而可以判断得解；（2）依据题意，，又，从而当时，函数有最大值为，又此时点是抛物线上一点，时，都有，进而，故可以得解；（3）依据题意，当时，抛物线G为，从而表示出H为，抛物线H与x轴的一个交点的坐标为，且，从而若当时，，结合二次函数的性质，，又抛物线H与x轴有交点，故，进而可以得解．（1）解：由题意，，又∵，∴，∴，∴或；（2）解：由题意，，∵，∴当时，函数有最大值为，又此时点是抛物线上一点，时，都有，∴，∴；（3）解：由题意，当时，抛物线G为，∴把抛物线G向下平移个单位长度得到新抛物线H为，∵抛物线H与x轴的一个交点的坐标为，且，又若当时，，∴，∵开口向下，∴，又∵抛物线H与x轴有交点，∴，∴，∴．6．(1)①；②4(2)(3)本题考查二次函数图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与不等式得关系．（1）①根据题意可得对称轴为直线，继而列式解出的值；②利用即可求出的值；（2）根据抛物线对称性特点，点关于直线的对称点为，再根据二次函数增减性列出不等式即可求解；（3）根据题意可得二次函数最小值为，继而得到的取值范围．（1）解：①∵当时，，∴对称轴为：直线，∵点、在二次函数的图像上，∴，即：，故答案为：；②∵，∴，∵抛物线与轴只有一个公共点，∴，即：，故答案为：；（2）解：∵对称轴为：直线，∴点关于直线的对称点为，∵，∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，∵，∴，解得：；（3）解：∵，，∴，∴∵，，对于任意实数、都有，∴，∴，故答案为：．7．(1)(2)两个，理由见解析(3)本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数的图象与性质：（1）用待定系数法求解即可；（2）求出根的判别式即可判断；（3）分3种情况求解：当时；当时；当时.（1）解：把代入得，，当时，，，，二次函数的关系式为；（2）解：，∴函数的图象与轴有两个交点；（3）解：的对称轴为直线：，当时，函数最大值为：，函数最小值为，，即，解得：（舍去），；当时，函数最大值为：，函数最小值为，，不符合题意；当时，函数最大值为：，函数最小值为，，即，（两个都不符合题意，舍去）；的值为.8．(1)该二次函数图像与轴的交点坐标为或(2)本题考查抛物线与轴的交点，一次函数与二次函数的交点问题，代数式求值，解答本题的关键是掌握相关知识．（1）将的值代入题目中的函数解析式即可得到该函数的解析式为，然后令求得的值，从而可以得到二次函数图像与轴的交点；（2）根据二次函数图像抛物线与直线有且仅有一个交点列出等式，得到一元二次方程有且只有两个相等实根，由得到，即可求解．（1）解：当时，二次函数为，令，则，解得：，，该二次函数图像与轴的交点坐标为或；（2）二次函数的图像与直线有且仅有一个交点，有两个相等的实数根，，，即，为常数，且，等号两边同时除以得：，即，，，，．9．(1)见解析(2)6本题考查的是抛物线和x轴的交点问题，涉及一元二次方程解法与根的判别式．（1）证明，即可求解；（2）将代入抛物线表达式，令，求出点A，B的坐标，根据两点间距离公式进而求解．（1）证明：，故此抛物线与x轴有两个不同的交点；（2）解：当时，，令，则，解得：或，∴．10．(1)；(2)；(3)①；②或．（1）把点、代入，利用待定系数法求解；（2）先证，求出点F的坐标，用待定系数法求出直线的解析式，与抛物线解析式联立，解方程即可求出点M的坐标；（3）①分，，，四种情况，分别求解；②分，，三种情况，令，解方程即可．（1）解：把点、代入得：，解得：，∴该抛物线的解析式为；（2）解：当时，或3，∴D点坐标为，∴.又∵，，∴，∴，∴F点坐标为，设直线的解析式为，则，解得，，即，解方程组，得或，即M点坐标为．（3）解：由（1）知，，∴点C为．P点坐标为．过点B作轴交抛物线于点E，此时点E与点B关于对称轴对称，∴E点坐标为（2，3），如图所示：①（i）当点P在点B和点C之间时，即时，，，．（ii）②当点P在点C和点E之间时，即时，，，；（ⅲ）当点P在第一象限且在点E下方时，即时，，，．（iv）当点P在x轴及第四象限时，即时，，.．综合得：．②当时，，解得（舍去）；当时，都符合题意；当时，，解得（舍去）或（舍去）；当时，，解得（舍去）或．综上所述，m的取值范围为或．本题属于二次函数综合题，考查二次函数的图象和性质，二次函数与一次函数图象交点问题，全等三角形的判定和性质，解一元二次方程等知识点，注意数形结合及分类讨论是解题的关键．11．(1)(2)抛物线与直线必有两个交点，理由见解析(3)或本题考查二次函数的综合应用，（1）将代入求出的值，确定抛物线的解析式，即可得出结论；（2）联立抛物线方程与直线方程，确定判别式与零的大小关系；（3）由可得函数最小值为，由抛物线顶点公式可得的值，从而可得抛物线对称轴，分三种情况讨论：①当时，②当，③当；解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握函数与方程及不等式的关系．（1）解：∵抛物线经过点，∴，解得：，∴抛物线表达式为：，∴抛物线的顶点坐标为；（2）抛物线与直线必有两个交点．理由如下：联立方程组，∴，∴∵，∴，∴，∴，∴抛物线与直线必有两个交点；（3）∵对于任意实数，不等式都成立，∴的最小值为，∴，解得：或，∵，∴，∴，∴抛物线开口向上，顶点坐标为，①当时，当时，随增大而减小，∴时，函数最小值为，∴，解得：或（舍去），此时直线的解析式为；②当，即时，当时，函数最小值为，∴，解得：（舍去）；③当，即时，当时，随增大而增大，∴，函数最小值为，∴，解得：或（舍去），此时直线的解析式为；综上所述，直线的解析式为或．本题考查二次函数的综合应用，解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握函数与方程及不等式的关系．12．(1)抛物线的函数关系式为；(2)的面积为；(3)的取值范围为；(4)的值为或．根据抛物线的对称轴为可得，根据抛物线经过点可得，解方程组求出、的值即可得抛物线的解析式；分别求出当时点、、的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，根据解析式求出线段与轴的交点，根据求出结果；根据抛物线的解析式分别求出点、、的坐标，根据得到关于的不等式组，解不等式组确定的取值范围；当时，根据平行四边形的性质和点、、的坐标可以