福建省厦门一中中学2019-2020学年高三冲刺模拟数学试卷含解析加15套高考中考模拟卷

福建省厦门一中中学2019-2020学年高三冲刺模拟数学试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.^sinx=3sinlx-y^!)sinx・cos(»+x)=(

3_3_3_3

A.10B.10C.4D.4

2.执行如图所示的程序框图，如果输入n=3,中输入的5=（）

/输;〃

z=l,S=0

/箱出5/

6384

A.7B.7C.9D.9

3.已知命题P：\7xeR,2'+*?2,命题4：*）e（0,+x＞）,2%=-,则下列判断正确的是（）

A.PA4是真命题B.是真命题

C.PA（F）是真命题D.（用△“是真命题

4.在AA5C中，a,b,c分别为角A,B,。的对边，若A43C的面为S,且4Gs=（a+b/—c?,

则sin（c+?]=（）

y/2#-0指+&

A.1B.2C.4D.4

5.在AABC中，角A,B,C的对边长分别为a,b,c,满足/一2。卜in8+J5cos8）+4=0,

匕=2近，则AABC的面积为（）

A.五B.2及c.6D.2百

2

6.在各项不为零的等差数列｛4｝中，2«2017-«2（）18+2«2019=0,数列也｝是等比数列，且旬）18=%。18,

则bg2（%i7也019）的值为（）

A.1B.2C.4D.8

7.已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0,32）,从中随机取一件，其长度误差落在

区间（3,6）内的概率为（）

A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74%

8.已知A氏M是双曲线,--V=i上的三个动点，且。河4=—043+2。8（。为坐标原点）.设

455

A（%，X）,B（x,,y2）,且苞々-加）1%=0，则加的值为（）

」1

A.-4B.4c.4D.4

9.某地一企创电商最近两年的“双十一”当天的销售额连续增加，其中2016年的增长率为。，2017年的增

长率为匕，则该电商这两年的“双十一”当天销售额的平均增长率为（）

（。+1）（"1）-1n~~-r-r

c2D.JS+l）伍+1）T

10.在AA8C中，AB=3AC=9,ACAB^AC2>点P是ZVLBC所在平面内一点，则当

PA1+PB2+PC2取得最小值时，PABC=（）

9

A.-24B.6&c.2D.24

11.己知奇函数”x）的导函数为/（x）,xeR.当xc（0,+8）时，#U）+/U）>0.若

af（,a）>2/（2-a）+af（a-2）,则实数"的取值范围是（）

A.B.[-1,1]

cy,T]口收）D[i,+oo）

12.已知函数/（x）"11'2+3'_2<x：_l,且〃2a）—4（2a+2）2</（12_q）_'（14_q）2,则实

数。的取值范围为（）

A（2,4）B（414）c（244）D（4收）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知产为抛物线C：V=4x的焦点，点A在抛物线上，若点P是抛物线准线上的动点，。为坐标原

上口|A同=5+附息I梏心

点，且II，贝小"1I的最小值为__________.

/、（x-2）（x+a]

14.已知函数=——:——^为奇函数，贝!]。=.

,（3人吟一夜

sin—BH———

15.△A8C中，内角A、B、C所对的边分别为。、b、c,若（24J2,且。+。=2,则

"BC的周长的取值范围是.

16.已知两点"（I'G）,o为坐标原点，点C在第二象限，且44℃=120°,设

-2OA+WB=OCt,则实数丸=（用数字填写）

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）为评估M设备生产某种零件的性能，从该设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作

为样本，测量其直径后，整理得到下表：

直径/加加7879818283848586878889909193合计

件数11356193318442121100

经计算，样本的平均值〃=85,标准差b=2.2,以频率值作为概率的估计值.为评判一台设备的性能，从

该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X,并根据以下不等式进行评判表示相应事件的频

率）：

①P（〃一b<X<M+b）20.6826②P（"―2b<X<4+2b）20.9544

③P（〃—3b<X（M+3b）'0.9974,评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅

满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁.试判断例设

备的性能等级.将直径小于等于〃一2b的零件或直径大于等于〃+2b的零件认定为是“次品”，将直径小于

等于〃一3b的零件或直径大于等于〃+3b的零件认定为是，，突变品，，，从样本的“次品，，中随意抽取2件零

件，求“突变品”个数丫的数学期望.

is.（12分）已知/（*）=BT+k-N.解不等式“力已若”上-2*+加，求实数机的最大值.

19.（12分）有形状和大小完全相同的小球装在三个盒子里，每个盒子装10个.其中第一个盒子中有7个球

标有字母A,有3个球标有字母B；第二个盒子中有6个红球和4个白球;第三个盒子中有8个红球和2个

白球.现按如下规则进行试验:先在第一个盒子中随机抽取一个球，若取得字母A的球，则在第二个盒子中

任取一球;若取得字母3的球，则在第三个盒子中任取一球.若第二次取出的是红球，则称试验成功，求试

验成功的概率;若第二次在第二个盒子中取出红球，则得奖金1°元，取出白球则得奖金2（）元.若第二次在

第三个盒子中取出红球，则得奖金3°元，取出白球则得奖金4（）元.求某人在一次试验中，所得奖金的分布

列和期望.

20.（12分）某绿色有机水果店中一款有机草莓味道鲜甜，店家每天以每斤10元的价格从农场购进适量草

莓，然后以每斤20元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的草莓由果汁厂以每斤2元的价格回收.若水果

店一天购进17斤草莓，求当天的利润V（单位：元）关于当天需求量〃（单位：斤，的函数解

析式；水果店记录了10（）天草莓的日需求量（单位：斤），整理得下表：

日需求量〃14151617181920

频数1422141615136

①假设水果店在这10（）天内每天购进17斤草莓，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；

②若水果店一天购进17斤草莓，以10（）天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利

润不少于150元的概率.

（an

21.（12分）设数列｛%｝满足4+3%++（2〃-1）%=2〃.求｛%｝的通项公式；求数列⑵+了的前〃

项和.

22.（10分）2015年“双十一”当天，甲、乙两大电商进行了打折促销活动，某公司分别调查了当天在甲、

乙电商购物的1000名消费者的消费金额，得到了消费金额的频数分布表如下：

甲电商：

消费金额（单

[0,1)[1,2)[2,3)[3,4)[4,5]

位：千元）

频数50200350300100

乙电商:

消费金额（单

[0,1)[1,2)[2,3)[3,4)[4,5]

位：千元）

频数250300150100200

（I）根据频数分布表，完成下列频率分布直方图，并根据频率分布直方图比较消费者在甲、乙电商消费

金额的中位数的大小以及方差的大小（其中方差大小给出判断即可，不必说明理由）；

（单位:千元）（单位:千元）

（甲）（乙）（i）根据上述数

据，估计“双十一”当天在甲电商购物的大量的消费者中，消费金额小于3千元的概率；现从“双十一”当天

在甲电商购物的大量的消费者中任意调查5位，记消费金额小于3千元的人数为X,试求出X的期望和方

差.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1、A

2、B

3、C

4、D

5、D

6、C

7、B

8、D

9、D

10、D

11、D

12、B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2V13

13、

14、2

[3,4）

15、

16、

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）丙；（2）见解析

【解析】

【分析】

(1)由表中数据即可求得各段范围内的概率，利用题中评判规则即可得解。

(2)由题意可知，样本中次品个数为6,突变品个数为2,“突变品”个数y的可能取值为0,1,2.分别求

出y=O,y=i,y=2的概率，问题得解。

【详解】

(1)P(〃—cr<X<〃+b)=P(82.8<X<87.2)=0.8>0,6826,

P(〃一2cr<X<4+2b)=P(80.6<X<89.4)=0.94<0,9544,

P(〃-3cr<X<〃+)=P(78.4<X<91.6)=0.98<0,9974.

因为设备的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙.

(2)由题意可知，样本中次品个数为6,突变品个数为2,“突变品”个数y的可能取值为0,1,2.

21

叩=2）=与C

加。)哈总叩警哈1Y15

所以y分布列为

Y012

281

P

?1515

2Qj2

E（r）=0x-+lx—+2x—

V'515153

【点睛】

本题主要考查了统计图表知识，还考查了离散型随机变量分布列的求法及其期望公式，属于中档题。

18、(1)或(2)最大值为之

22J2

【解析】

【分析】

-lx+3,x<1,

(1)由题意可得/(x)=kT+k-2|=><1,1<X<2,,分类讨论求解不等式的解集即可；

2x-3,x>2,

(2)原问题等价于/(耳+2%22加恒成立，考查函数〃(x)=/")+2『的性质确定实数m的最大值即

可.

【详解】

-2x+3,x<1,

(1)/(x)=|x-l|+|x-2|1,1<x<2,

2x-3,x>2,

x<1,[1<x<2,[x>2,

或1或W

-2x+3>2[1>2[2x-3>2

得或无解或XN*.

22

所以不等式〃x)22的解集为<或XN|J.

(2)/(x)>-2x2+〃?恒成立恒成立<=>/(x)+2x2>m

2x2-2x+3,x<L

令/2(%)=/'(工)+2%2=<2x2+1,1<x<2,

2x2+2x-3,x>2,

结合二次函数的性质分析可知，〃(x)在上单调递减，在上单调递增.

A实数"，的最大值为3.

2

【点睛】

绝对值不等式的解法：

法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；

法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.

33

19、(I)石；(H)见解析

【解析】

【分析】

(I)试验成功包括两种情况，情况一：从第一个盒子抽到A，然后在第二个盒子抽到红球；情况二：从第

一个盒子抽到3,然后在第三个盒子抽到红球.

(II)一次试验的奖金J可能取值有10元、20元、30元、40元，然后根据规则，结合相互独立事件的概率

乘法公式即可求解，然后列出分布列，利用定义求解数学期望.

【详解】

⑴由题得,试验成功的概率呜啥+4Q急嗡

(H)由题得，「代=1。)=**高，

P^=20)=—x—=—,

、)1010100

p(^=30)=—X—=—,

,)1010100

P(自=40)=—x—=—^―,

\)1010100

所得奖金的分布列为：

10203040

4228246

P

TooToo100Too

故所得奖金的期望为：

4798746

E(^)=10x—+20x—+30x—+40x—=19.4(元)

',100100100100

【点睛】

主要考查了概率的求解、相互独立事件的概率乘法公式的应用、离散型随机变量的分布列以及数学期望的

求解，是中档题.求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为:

第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义;

第二步是“探求概率”，即求出随机变量取每个值时的概率;

第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意利用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的

概率是否正确；

第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，如果能够断定随机变量服

从某常见的典型分布，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式求得.

_18n_136,n<16

20、(1)(2)(Dy=152,(2)0.64

170,n>17

【解析】

【分析】

(D对需求量n进行分类，时，进货有剩余，利润y=10"-8(17-〃)；〃之17时，进货能全部

出清，利润y=170.

(2)根据不同的需求量，求出各自的利润，再求平均数.由利润不少于150元，求得需求量的范围，结合

频数可求概率.

【详解】

(1)当日需求量〃217时，利润y=17xl0=170；

当日需求量〃W16时，利润)=10〃-8(17-〃)=18〃一136.

18n-136,n<16,

所以当天的利润>关于当天需求量〃的函数解析式为y=\

170,n>17.

(2)①假设水果店在这100天内每天购进17斤草莓，贝!I：

日需求量为14斤时，利润116；日需求量为15斤时，利润134；

日需求量为16斤时，利润152；日需求量不小于17时，利润170.

故这100天的日利润（单位：元）的平均数为:

y=-^（14x116+22x134+14x152+16x170+15x170+13x170+6x170）,解得了=152（元）.

②利润不低于150元时，当日需求量当且仅当不少于16斤.以频率预估概率，

得当天的利润不少于150元的概率为=0.14+0.16+0.15+0.13+0.06=0.64.

【点睛】

本题主要考查概率统计的应用，分段函数的融入，丰富了考查的内容，仔细审题，就能轻松解决.

2,、2〃

21、(1)；(2)

2n—1------2/1+1

【解析】

【分析】

（1）令〃=1可求出q的值，再令〃N2,由4+34++（2〃-1）%=2”得出

4+34+L+（2〃—3）%_1=2（〃—1）,两式相减可得出%,再检验4是否满足4（〃22）的表达式，从

而可得出数列｛%｝的通项公式；

（2）将数列[善匕]的通项公式裂项为一二二―1---------,然后利用裂项求和法可求出数列

[2〃+lJ2n+\1n-\2〃+1

的前〃项和.

【详解】

（1）数列｛4｝满足4+34++（2〃-1）。“=2〃.

当〃=1时，q=2；

当”>2时,由q+34++(2〃-1)4=2〃得出4+34+L+(2〃—3)a“_i=2(〃—1),

2

上述两个等式相减得(2〃-1)%=2,.”“=五二/

4=2适合上式，所以，/=—

2n-lv7

a211(]

(2)Q7七=7^~7'设数列—a的前〃项和为S.，

2/2+1(2n-l)(2n+l)2n-l2〃+l+

【点睛】

S],〃=1

=<

本题考查利用前几项和公式来求数列通项，一般利用公式5“一2来计算，但同时要对《是

否满足4(〃22)进行检验，同时也考查了裂项求和法，考查运算求解能力，属于中等题.

QA

22、(I)见解析；(II)(i)—,(ii)E(X)=3,D(X)=-

【解析】

【分析】

(I)由频数分布表，能作出下列频率分布直方图，并根据频率分布直方图比较消费者在甲、乙电商消费

金额的中位数的大小以及方差的大小.

(II)(i)利用等可能事件概率计算公式求解.

(ii)利用二项分布的性质求解.

【详解】

(单位:千元)(单位：千元)

(甲)(乙)

甲的中位数在区间［2,3］内，乙的中位数在区间［1,2)内，所以甲的中位数大.

由频率分布图得甲的方差大.

3

(H)(i)估计在甲电商购物的消费者中，购物小于3千元的概率为巨；

3

(ii)由题可得购物金额小于3千元人数X〜B(5,-),

.,、u3/、326

AE(X)=5x-=3,D(X)=5x-x-=-.

5555

【点睛】

本题考查频率分布直方图的作法，考查中位数及方差的计算，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的

求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用.2019-2020高考

数学模拟试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.设S.为等比数列®｝的前n项和，若an>0,a1=；,Sn<2,则同｝的公比的取值范围是()

2.将函数/(切=8而2%-8521的图象向左平移(>0)个单位后，得到函数g(x)的图象，若

g(x)=g卷-］，则实数f的最小值为()

1127

5万7乃5乃74

A.24B.24C.D.-12

3.已知数列｛4｝满足=2,q=20,则%的最小值为()

nn

A.4小B.4布Tc.8D.9

3

4.设〃=-,/?=log23,c=2-°,则()

A.b>c>aB.a>b>c

C.b>a>cD.ci>c>b

5.设函数/(x)=e'+x-2,g(x)=lnx+f-3若实数满足f(a)=0,g(^)=0Jm|()

A.g(a)<0<f(b)B./S)<0<g(a)

CQ<g(a)<f(b)Df(b)<g(a)<0

6.已知抛物线C：V=4x的焦点E和准线/,过点尸的直线交/于点A,与抛物线的一个交点为3,且

FA=-3FB>贝!IIA6|=()

243216

A.3B.3c.3D.3

7.已知复数2=二二，则Z的虚部是()

1+i

A.2B.2C.2D.2

8.已知复数二满足(l+i)z=|百+i|,i为虚数单位，贝！|z等于()

11.11.

---------I—十—I

A.1一,B.1+iC.22D.22

9.执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（）

A.5B.12C.27D.58

10.已知函数4X）=；OX473+X+2019,r（x）是/（x）的导函数，若尸（X）存在有唯一的零点%,

且毛€（0,+8）,则实数。的取值范围是（）

A.（-oo,-2）B.（-oo,-l）

C.（L+00）D.（3）

x-y42,

11.设实数X,Y满足约束条件2y荔,，贝！lz=1x+y的最小值为（）

£5

A.-1B.~2C.0D.2

3

12.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是一，则正视图中的x的值是（）

2

正视图例视图

93

A.2B.2C.2D.3

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知他.是各项都为正数的等比数列，则前"项和为S",且$2=3,S4=15,则％=

l

14.在平面四边形ABCD中，若E为BC的中点，AE=2,DE=3,则1Ao•5-+DC）=-

15.在区间［°』］内任取一个实数x,在区间©3］内任取一个实数y，则点“，）'）位于曲线丁="的图像

上方的概率为.

16.如图，在AABC中，已知A6=3,AC=2,NA4C=120°,。为边8C的中点.若CE_LA£>,垂足为E，

则EBEC的值为•

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

X-COSZ

V

17.（12分）在直角坐标系x0y中，曲线G的参数方程为1y=l+sin'（t为参数）.在以坐标原点为极

点，X轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆02：P=4cas0的圆心为C"说明C是哪一种曲线，并将G的

x=2+fcosa

V

方程化为极坐标方程；过原点且与直线1y=3+/sina1为参数，（不）平行的直线g与孰的

交点为M,N,且4aMN的面积为2,求a的值.

18.（12分）选修4-5：不等式选讲

已知函数/（力=卜一2。卜卜+1|.当。=］时，求不等式的解集；若"》）一。一2'°恒成立，求

实数。的取值范围.

19.（12分）某大型工厂招聘到一大批新员工.为了解员工对工作的熟练程度，从中随机抽取100人组成样

本，统计他们每天加工的零件数，得到如下数据：

日加工零件数（个）[80,120)J20,160)(160.200)[200.240)：240.280)[280.320]

人数aabccc

将频率作为概率，解答下列问题：当。=154=25时，从全体新员工中抽取2名，求其中恰有1名日加

工零件数达到240及以上的概率；若根据上表得到以下频率分布直方图，估计全体新员工每天加工零件数

的平均数为222个，求a,的值（每组数据以中点值代替）；

（3）在（2）的条件下，工厂按工作熟练度将新员工分为三个等级：日加工零件数未达200的员工为C级；达

到200但未达280的员工为B级；其他员工为A级.工厂打算将样本中的员工编入三个培训班进行全员

培训：A,B,C三个等级的员工分别参加高级、中级、初级培训班，预计培训后高级、中级、初级培训

班的员工每人的日加工零件数分别可以增加20,30,50.现从样本中随机抽取1人，其培训后日加工零

件数增加量为X,求随机变量X的分布列和期望.

20.（12分）经过多年的努力，炎陵黄桃在国内乃至国际上逐渐打开了销路，成为炎陵部分农民脱贫致富

的好产品.为了更好地销售，现从某村的黄桃树上随机摘下了100个黄桃进行测重，其质量分布在区间

［200,500］内（单位：克），统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示:

频率/想花

0.0048

0.004按分层抽样的方法从质量落在［350,400）,［400,450）

00032

v/zoo250300350400450500―克

的黄桃中随机抽取5个，再从这5个黄桃中随机抽2个，求这2个黄桃质量至少有一个不小于400克的概

率；以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该村的黄桃树上大约还有

100000个黄桃待出售，某电商提出两种收购方案：

A.所有黄桃均以20元/千克收购；

B.低于350克的黄桃以5元/个收购，高于或等于350克的以9元/个收购.

请你通过计算为该村选择收益最好的方案.

21.（12分）在四棱锥S-ABC。中，底面ABC。为直角梯形，BCLCD,SC=SD=CD=DA=1,

27r

CB=2,ADIIBC,ZSCB=—,E为线段SB上的中点.

证明：A£//平面SCD；求直线AE与平面SBC所成角的余弦值.

22.（10分）已知函数/（%）=（尤.当k<0时，求函数/（X）在10,2］上的最大值和最小值

讨论函数y=/a）零点的个数.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1、A

2、B

3、C

4、C

5、A

6、C

7、A

8、A

9、C

10、A

11、B

12、C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、4

14、-5

4-e

15、3

_27

16、7

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)G是以(0,1)为圆心，1为半径的圆；极坐标方程为0=2sin。；(2)a=:或手

【解析】

【分析】

(1)消去参数f得到的普通方程；将x=〃cos6,y=「sin。代入C的普通方程中，得到和的极坐标

方程；(2)令C3为：6=a,代入J可求得交点坐标，利用AGMN的面积构造方程，可求得a.

【详解】

(1)消去参数f得到G的普通方程为：x2+(y-1)2=l

・•.C是以(0,1)为圆心，1为半径的圆

将x=/?cos6>,y=/sin。代入C的普通方程中

得到G的极坐标方程为：p=2sin〃

(2)直线G的极坐标方程为。=a，与C?的交点分别为M(4cosa,a),N(0,a)

：•SAGMN=gx4cosax2xsina=2,得卜in2H=1(()4a<万)

得：a=一或丁

44

【点睛】

本题考查参数方程化普通方程、极坐标与直角坐标的互化、极坐标的几何意义的应用，属于常规题型.

18、(1)(9,0]；(2)[-1,1].

【解析】

【分析】

(1)将a=l代入f(x)中去绝对值，然后分别解不等式；(2)f(x)-a-2so恒成立等价于f(x)maxSa+2,

求出f(x)的最大值后解不等式.

【详解】

—3,x>2

(1)当。=1时，=|x-2|—|x+1|="1—2x,—l<x<2,

3,x<—1

当x>2时，—321,无解；

当一14x42时，1—2x21,得所以—l<x40；

当xv—l时，321,符合.

综上，不等式/(x)21的解集为(-8,0].

(2)因为“X)-。一240恒成立等价于〃力2Wa+2,

因为k-2</|—|x+1||<|A--2a-(x+1)|=|2q+1|,

所以—[2a+"W|x—2tz|—|x+1|<12a+1|.

所以|2n+l|Wa+2,所以一a-2W2a+lWa+2,解得一iWaWl.

所以所求实数”的取值范围为[T』.

【点睛】

本题考查了绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，考查了转化思想，属基础题.

19、(1)0.42；(2)a=5,0=30,c=20；(3)EX=36

【解析】

【分析】

(1)先求得。的值，然后求得员工日加工零件数达到24()及以上的频率，根据二项分布概率计算公式，

计算出所求概率.(2)先求得。的值，然后根据平均数的估计值列方程，求得。的值，进而求得8的值.

(3)X的可能取值为20,30,50,列出分布列并求得数学期望.

【详解】

(1)依题意c=一一；一'=15,故员工日加工零件数达到240及以上的频率为a=0.3,所以相应

的概率可视为0.3,设抽取的2名员工中，加工零件数达到240及以上的人数为丫，则丫B(2,0.3),故

所求概率为C；x0.3x(l-0.3)=0.42.

(2)根据后三组数据对应频率分布直方图的纵坐标为0.()()5,可知100解得c=20,因此

-------—U.UUD

40

匕=100-2a-3x20,故根据频率分布直方图得到的样本平均数估计值为

100a+140a+180x(40-2«)+220x20+260x20+300x20»「、』，.乂

--------------------------------------------------------二222,解得a=5,进而8=30,故

100

a=5,〃=30,c=20.

⑶由已知可得X的可能取值为20,30,50,

且P(X=20)=0.2,P(X=30)=0.4,P(X=50)=0.4,所以X的分布列为

X203050

P020.40.4

所以EX=0.2x20+0.4x30+().4x50=36.

【点睛】

本小题主要考查频率分布直方图，考查离散型随机变量分布列和数学期望的求法，属于中档题.

7

20、(1)—(2)B

10

【解析】

【分析】

(1)由题得黄桃质量在［350,400)和［400,450)的比例为3:2,记抽取质量在［35(),4(X))的黄桃为A,

A,4,质量在［4(X),450)的黄桃为片，B2,列出取出2个的所有可能，找出其中质量至少有一个不

小于400克的事件个数，根据古典概型即可求解(2)分别计算两种方案的收益，比较收益大小即可确定

需选择的方案.

【详解】

(1)由题得黄桃质量在［350,400)和［400,450)的比例为3:2,

•••应分别在质量为［350,4(X))和［4(X),450)的黄桃中各抽取3个和2个.

记抽取质量在［350,4(X))的黄桃为A-4,A3,质量在［4(X),450)的黄桃为耳，与，

则从这5个黄桃中随机抽取2个的情况共有以下10种：

月，&旦，与，儿与，

A4，44，44，45，44A3B2,B}B2

7

其中质量至少有一个不小于400克的7种情况，故所求概率为—.

(2)方案8好，理由如下：

由频率分布直方图可知，黄桃质量在［200,250)的频率为50x0.001=0.05

同理，黄桃质量在[250,300),[300,350),[350,400),[400,450),[450,500)的频率依次为0.16,

0.24,0.3,0.2,0.05

若按方案3收购：

•••黄桃质量低于350克的个数为(0.05+0.16+0.24)x1(X)(XX)=45(XX)个

黄桃质量不低于350克的个数为55000个

•••收益为45000X5+55000x9=720000元

若按方案A收购：

根据题意各段黄桃个数依次为5000,16000,24000,30000,20000,5000,于是总收益为

(225x5000+275x16000+325x24000+375x30000

+425x20000+475x20000+475x5000)x20+1000=709000(元)

二方案B的收益比方案A的收益高，应该选择方案8.

【点睛】

本题主要考查了频率分布直方图，古典概型，分层抽样，属于中档题.

21、(1)见解析；(2)1

【解析】

【分析】

(D取SC的中点连接ER,DF,证明四边形ADEE是平行四边形得出他//。尸，故而AE//平

面SCD；

2乃

(2)取CD的中点。，以。为原点建立空间坐标系，根据NSCB=飞-得出二面角S-CD-4的大小，

得出S的坐标，求出平面SBC的法向量〃，计算AE和〃的夹角得出结论.

【详解】

(1)取SC的中点尸，连接石尸，DF.•:E,F是SB,SC的中点，...斯//BC,EF=-BC,

2

又AD//BC,AD=-BC,J.EF//AD,EF=AD,

2

•••四边形AT万石是平行四边形，,AE//DF,

又DEu平面SCD,4£</平面58,二4£//平面5。.

(2)取CD的中点。，连接SO,过。作BC的平行线OM,

以。为原点，以OD,OA7和平面ABCD过点。的垂线为坐标轴建立空间坐标系。-孙z,

'：SC=CD=SD=\,；.SO=—，设二面角S-CD-A的大小为a,

2

则S(0,走cosa,巫sina),A(^,l,0),3(-《,2,0),C(-^-,0,0),AE(-—,1+—cosa,—sina)>

22222444

•*-CB=(0,2,0),CS-(—,—cosa,sina),,:/SCB=,

222J

•.cos<CB,CS>=F；CS=6cosaG1

——COSOf=——

"|CB||C5|-2x122

/.cosa=--,sina=—.AS(0,，

3322444

444222

'2y=0

n-CB=0

设平面SCD的法向量为刃=(x,y,z),则,,即,1一夜,J

n・CS=0—x——y+—z=0

1222

n-AE2V2

令x=a可得"=(V2,o,-1)，：.cos<n,AE>=HM昂日3，

r\]

设直线A£与平面所成角为。，贝！Isin。=|cos<KI,AE>|————9••cos。=~

:.直线AE与平面所成角的余弦值为；.

【点睛】

本题考查了线面平行的判定，考查空间向量与空间角的计算，用向量法求线面角，属于中档题.

22、(1)f(x)nm=-k,/(尤)mm=-e；(2)见解析

【解析】

【分析】

⑴对函数f(x)求导，写出函数的单调区间，由单调性可得函数的最值；(2)令/(x)=0则

(x—2)e*=Mx—I),变量分离得火3，构造函数g(x)=\~如，对函数g(x)求导，判断函

7(x-1)(x-1)

数单调性，画出函数的图像，由图像可得结果.

【详解】

由题设,f(x)=(x-l)(ex-2k)

(1)当k<0时，显然e'-2攵>0

令r