高二数学必修4课时提升习题

高二数学必修4课时提升习题

任意角

一、选择题（每小题4分，共12分）

1.在①160°；②480°；③-960°；@15300这四个角中，属于第二象限角的

是（）

A.①B,①②C.①②③D.①②③④

【解析】选C.①160°角是第二象限角；

②480°=360°+120°,其终边与120°角终边相同，是第二象限角；③-960°

=-3X360°+120°,其终边与120°角终边相同，是第二象限角.④1530°=4义

360°+90°,其终边与90°角终边相同，不是第二象限角，故属于第二象限角

的是①②③.

2.与-457°角终边相同的角的集合是（）

A.{a|a=k•360°+457°,kez}

B.{a|a=k•360°+97°,kez}

C.{a|a=k•360°+263°,kez}

D.{a|a=k•360°-263°,kez}

【解析】选C.与-457°角终边相同的角是a=k•360°-457°,kez,而a=

k•360°+263°=（k+2）•360°+263°-720°=（k+2）•360°-457°,k£乙所以

与-457°角终边相同的角的集合是选项C.

3.手表时针走过2小时，时针转过的度数为（）

A.60°B.-60°C.30°D.-30°

【解析】选B.手表的指针是顺时针旋转的，所以形成负角，当时针走过2小时

时，时针转过的度数为-60°.

二、填空题(每小题4分，共8分)

4.与角-1560°终边相同的角的集合中，最小正角是,最大负角是

【解析】与角T560°终边相同的角的集合可表示为{a|a=240°+k•360°,k

eZ},令k=0得最小正角为240°,令k=T,得最大负角为-120°.

答案：240°-120°

5.若角a是第三象限角，则角180°-a是第象限角.

【解析】因为角a是第三象限角，所以180°+k•360°<a<270°+k•360°(k

所以一90°-k•360°<180°-a<-k•360°(keZ),

所以角180°-a为第四象限角.

答案：四

【补偿训练】若a是第二象限角，则90°-&是()

A.第一象限角B,第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

【解析】选D,因为a是第二象限角，所以k•360°+90°<a<k•360°+180°

(kGZ),所以—k・360°-90°<90°-a<-k•360°(k£Z).所以90°-a为第四

象限角.

三、解答题

6.(10分)在与角10030°终边相同的角中，求满足下列条件的角.

⑴最大的负角.(2)最小的正角.

(3)360°〜720。的角.

【解析】(1)与10030°终边相同的角的一般形式为B=k・360°+10030°(keZ),

由-360°<k•360°+10030°<0°(kGZ),得一10390°<k•360°<-10030°(ke

Z),解得k=-28,故所求的最大负角8=-50°.

(2)由0°<k•360°+10030°<360°(keZ),得一10030°<k•360°<-9670°(k

eZ),解得k=-27,故所求的最小正角B=310°.

⑶由360°Wk•360°+10030°<720°(keZ),得一9670°Wk・360°<-

9310°(kEZ),解得k=-26,故所求的角B=670°.

一、选择题(每小题5分，共10分)

1.下列说法中，正确的是()

A.钝角必是第二象限角，第二象限角必是钝角

B.第三象限的角必大于第二象限的角

C.小于90°的角是锐角

D.-95°20',984°40',264°40'是终边相同的角

【解析】选D.A错误.钝角必是第二象限角，但是第二象限角不一定是钝角.例

如：-181°是第二象限角但不是钝角.

B错误.例如：-120°是第三象限的角，120°是第二象限的角，但是720°<

120°.

C错误.例如：70°小于90°,但不是锐角.

D正确.984°40'=-95°207+3X360°,

264°40'=-95°20'+360°,所以

-95°20',984°40',264°40'是终边相同的角.

2.若A={a|a=k•360°,keZ},B={a|a=k•180°,keZ},C={a|a=

k-90°,kez},则下列关系中正确的是（）

A.A=B=CB.A=BnC

C.AUB=CD.AGBGC

【解析】选D.因为90°GC,90°邨，90°新，所以选项A,C错误；又因为

180°ec,180°eB,180°4A,所以选项B错误.

二、填空题（每小题5分，共10分）

3.若a,B两角的终边互为反向延长线，且a=T20°,贝ljB.

【解析】先求出B的一个角，0=a+18O°=60°.

再由终边相同角的概念知：0=k•360°+60°,女金乙

答案：k•360°+60°,keZ

4.若角e的终边与60°角的终边相同，则在0°〜360°内终边与上角的终边相

3

同的角为.

0

【解析】0=k•360°+60°（k£Z）,所以二二k•120°+20°（keZ）,由0°W

2

k•120°+20°<360°,得」Wk<E,又k£Z,所以k=0或1或2.所以在0°〜

66

360°内终边与-角的终边相同的角为20°,140°,260°.

3

答案：20°,140°,260°

三、解答题

5.（10分）如图，已知直线东y='x及直线人：y=-V3x,请表示出终边落在直线

或上的角.

【解析】由题意知，终边落在直线上的角的集合为M尸{aIa=30°+k,*360°,

k,eZ}U(a|a=210°+k2-360°,k2GZ}={a|a=30°+k•180°,keZ}.

终边落在直线4上的角的集合为M2={a|a=120°+k1•360°,k,eZ}U{a|a

=300°+k2•360°,k2eZ}={a|a=120°+k•180°,kez}.

所以终边落在直线人或人上的角的集合为M=MUM2={a|a=30°+k•180°,k£

Z}U{a|a=120°+k•180°,k£Z}={a|a=30°+2k•90°,keZ}U{a|a

=30°+(2k+1)•90°,k£Z}={a|a=30°+n-90°,nGZ}.

弧度制

一、选择题(每小题4分，共12分)

1.将-1485°化成a+2kn(0Wa〈2n,k£Z)的形式是

()

A.---8B.二加-8n

44.

7

C.—10JiD.-31-10Ji

44

【解题指南】将T485°化成-5X360°+315°,再利用弧度与角度之间的换算

将角度化为弧度.

【解析】选D.因为7485°=-5X360°+315°,

又2nrad=360°,315°二nrad.故将-1485°化成a+2kn(0Wa<2n,k£Z)

的形式是二n-10n.

4.

2.设角a=-2弧度，则a所在的象限是（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【解题指南】解答本题有以下两种方法：（1）先将弧度化为角度，再判断角所在

象限；（2）分析角的大小.

【解析】选C.方法一：-2^-114.6°,故为第三象限角.

方法二：由-得-2为第三象限角.

2

3.已知扇形的圆心角的弧度数为2,其弧长也是2,则该扇形的面积为（）

A.1B.2

C.sinlD.2sinl

【解析】选A.设扇形的半径为R,则±2=2,所以R=1.故该扇形的面积S，1/1R/X2

R22

X1=1.

【补偿训练】如图，已知圆的半径为5,圆内阴影部分的面积是（）

175n口125Tt

3618

、25nn34n

，・----l).------

69

【解析】选A.因为40°=40X^-=-,30°=30X二=二所以S」一•空•匚

180918062926

二、填空题(每小题4分，共8分)

4.若a£(0,n),且a与角-弓终边相同，则。=.

【解析】由题意得a=2kn-三(k£Z),

当k=0时，a=-^,

当k=1时，a=2n

32

当k=2时，a=4TT-三二三.

33

又因为Q£(0,n),所以a』.

3

答案：-

3

【延伸探究】将本题中“(0,6”改为“[0,2汨"，“-史”改为“-二”，结果

33

又如何？

【解析】由题意得a=2kn3(k£Z),

3

当k=0时，a

3

当k=1时，Q=2n一工吧，

33

当k=2时，a=4n,

33

又因为a£[0,2n],所以a二三.

3

%5TT

合案：一

3

5.已知扇形的周长是6cm,面积为2cm之，则扇形的圆心角的弧度数是.

【解析】设圆心角为a,半径为r,弧长为/,

Z/+2r=6,

则j1_，,

此”=2。解得,1=4或r=2,1=2,

所以a=—二1或4.

r

答案：1或4

三、解答题

6.（10分）如图所示，用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴,

终边落在阴影部分的角的集合.

【解析】（1）将阴影部分看成是由0A逆时针旋转到0B所形成.故满足条件的角

的集合为｛a+2kn<a<^-+2kn,kEzj.

⑵若将终边为0A的一个角改写为此时阴影部分可以看成是0A逆时针旋转

6

到0B所形成，故满足条件的角的集合为1a--+2kir<a<-+2kn,kGZ）.

IA17J

⑶将题干图中x轴下方的阴影部分看成是由x轴上方的阴影部分旋转nrad而

得到，所以满足条件的角的集合为｛a|krr<a<^+krr,kezj.

⑷与第⑶小题的解法类似，将第二象限阴影部分旋转nrad后可得到第四象限

的阴影部分.所以满足条件的角的集合为｛a件+knVaV*+kn,k£Z>

一、选择题(每小题5分，共10分)

1.集合P={a|2kJiWaW(2k+1)Ji,kGZ},Q={a|-4WaW4},则PGQ=()

A.0

B.{a|-4Wan或0WaW耳}

C.{a|-4WaW4}

D.{aOWQW弘}

【解析】选B.如图.

-2兀-4-7T0兀4

PClQ={a|-4WaW-n或OWaWn}.

A=AnH--^VzV/n-l—Gz|.

【补偿训练】集(42'集合B={x[6+x-x220},则AG

B=.

【解析】B={x|6+x-x2》0}={x12WxW3},

又因为A=|xkir+三VxVkrr+y,k€z},

所以当k=O时，AC1B={xg<xV；},

当k=1,2,3,…时AAB=0,

当k=T时，AnB=(x|-2<x<-^},

当k=-2,-3,-4,…时AAB=0,

综上可知，

AflB={x—2<x<-?或E<xV?}.

答案：{x—2<x<—：或？<x<

2.已知圆。与直线/相切于点A,点P,Q同时从A点出发，P沿着直线/向右、

Q沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q运动到点A时，点P也停止运动,

连接OQ,OP（如图），则阴影部分面积S”S2的大小关系是（）

A.Si-S2

B.SWS2

C.SR

D.先SKS2,再S1=S2,最后S〉S2

【解析】选A.如图所示，因为直经/与圆0相切，所以OAJ_AP,所以S扇形AOQ=

7

1,AQ•r=1•AQ•OA,SA,W=7•OA•AP,因为瓶=AP,所以S扇形AOQ=SZKAOP,Rj

222

S扇形AOQ—S扇般AOB=Sz\AOp—S扇形AOB,所以SFS2.

【补偿训练】如图是一个半径为R的扇形，它的周长为4R,则这个扇形所含弓

形（阴影区域）的面积是（）

A.-(2-sinlcosl)R2

2

B.-R2sinlcosl

2

C.-R2

2

D.(1-sinlcosl)R"

【解析】选D.设扇形的弧长为/,圆心角为a,

=_L=2R=o

/=4R-2R=2R,&RR-

S扇形=1/R=LX2RXR=R2,

22

S二南彭/XZRsinIXRcosl=sin1cos1R*2,3

2

S弓产S扇形—S三角形二R?一sin1cos1R2

=(1-sin1cos1)R2.

二、填空题(每小题5分，共10分)

3.下列命题中，正确的命题是(填序号).

①1°的角是周角的」Irad的角是周角的,；

3602n

②Irad的角等于1度的角；

③180°的角一定等于nrad的角；

④“度”和“弧度”是度量角的两种单位.

【解析】对于①，因为1°,1=—,所以①正确；对于③，由弧度制规定知

3602TT

nrad=180°,故③正确；对于④，“度”与“弧度”是度量角的两种不同单位，

故④正确.

答案：①③④

4.若角a的终边与角三的终边关于直线y=x对称，且a£(-4R,4冗)，则a

6

【解析】由题意可得与a终边相同的角的集合为{a|a=2kn+；,kGz}.因为a

e(-4n,4n),

所以一4n<2kn+-<4n(k£Z),

2

化简得：-丑

66

因为kez,所以k二一2,-1,0,1,

所以Q=_UTI,--n,-n.

3333

答案：一U11,--n,-n

3333

三、解答题

5.（1。分）如图所示的圆中,已知圆心角NAOB=g,半径℃与弦AB垂直,垂足

为点D.若CD的长为a,求。的长及其与弦AB所围成的弓形ACB的面积.

【解析】设圆半径为r,而由的长为m,由题意，得吗空而NAOD』,所以OD=OA=L

r3327

所以CD』OC二二a.所以r=2a.

27

d乙八,4ira「14na2

所以m二——,S扇彩OACB二一r•m=---.

323

又AB=2AD=2\3a,

S-AB=4D•AB=1・a•2\曰a=\3a：

22

所以S弓形ACB=(9-V3ja2.

任意角的三角函数(一)

一、选择题(每小题4分，共12分)

l.coslllO0的值为()

A」B.-C.--D.-火

2222

【解析】选B.coslllO。=cos(1080°+30°)=cos(3X360°+30°)=cos30°=—.

2

2.已知点A(4\01),将0A绕坐标原点。逆时针旋转三至0B,设C(l,0),Z

6

COB=a,贝ljtana=()

A.—B.—C.—D.朝

1221111

【解析】选D.由题意，设直线°A的倾斜角为9,则

_TT.-

(Arr\tan0+tan-5.3

tana=tan9+-)=-------

V6/l-tan0tan—11

【补偿训练】若角。的终边与单位圆相交于点—则sina的值为（)

A.三B.-必C.-D.-1

92

【解析】选B.x二,y=-—,贝"sina=y=--.

297

3.已矢口sin9<0,且tan9<0,则。为()

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角.

【解析】选D.设角e终边上一点p的坐标为（x,y）,点P到坐标原点0的距离

|0P|二r,

因为sinQ比0,所以y<0,

r

因为tane=、0,所以x>0,

y

故角e为第四象限角.

二、填空题（每小题4分，共8分）

4.求值：cos^^+tan（-/）=

【解析】原式二COS（2TT+二）+tan（一2冗+；

TTTT

=cos-+tan-

63

=-+V,3=^.

27

答案：—

5.如果角a的终边经过点(2sin30°,-2cos30°),则sina=

【解析】因为2sin30°=2X^1,-2cos30°=-2X芋二-所以角a的终边经过

点(1,-\3),

所以sina=，一'♦

-一”2.

卜+(一、到

答案：-4

2

【补偿训I练】已知角a的终边经过点M(*、②，贝I」sin2a+cos2a=.

【解析】X=TT,y=~\2,r=(TT+2,

所以sin2a+cos2a=(，+g)

2

=--2-+--TT-=1..

2

n+2TT2+2

答案：1

三、解答题

6.(10分)在平面直角坐标系中，角a的终边在直线3x+4y=0上，求sina-

3cosa+tana的值.

【解析】当角a的终边在射线y=工x(x>0)上时，取终边上一点P(4,-3),所以

4

点P到坐标原点的距离r=|0P|=5,

所以sina—^=--,

r55

cosa二X々一4,

r5

t,ana二。y一3・

x4

一一

所以sina-3ncosa+tana二_一一3—12一3-=一1一5.

5544

当角a的终边在射线y=工x(x<0)上时，取终边上一点P'(-4,3),

4

所以点P'到坐标原点的距离r=|OP'|=5,

所以sina=一，cosa

r5r5

t」ana=。y一3^一一3.

x—44

所以sina-3cosa+tana=三一3X(-一二

5544

一、选择题(每小题5分，共10分)

1.已知角a的终边经过点P(m,-3),且cosa=-±,则m等于()

5

A.--B.-C.-4D.4

44

【解析】选C.由三角函数定义可得r=\'m2+9,

所以cosa..m

Vm2+95

解得m二一4.

【补偿训练】若角a的终边在直线y=3x上且sina<0,又P(m,n)是a终边上

一点，且|OP|=«而，则m-n=()

A.2B.-2C.4D.-4

【解析】选A.因为P(m,n)在直线y=3x上，

且sina<0,所以P位于第三象限，所以m<0,n<0.

IOP|=\：m2+(3m)2=、’而萨'寺,

所以m2=1,所以m=-1,n=-3,

所以m-n=2.

2.设角a是第二象限角，且卜8个-cos；,则角三是()

A.第一象限角B,第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

【解析】选C.因为角a是第二象限角，

所以2kn+l<a<2kn+n(keZ),

2

所以kn+2%kn+?(k£Z),

422

当k=2n(n£Z)时,-是第一象限角,

2

当k=2n+1(n£Z)时，三是第三象限角，

2

匚a_0

而cos-=_COS-,

72

所以cos-<0,

2

所以士是第三象限角.

【延伸探究】将本题中“二”改为“三”，“cos巴"改为"sin-",其他条件不变,

22

结果又如何？

【解析】选D.因为角a是第三象限角，

所以2kn+n<a<2kn+—(k£Z),

2

所以kn+-<-<kn+t(k£Z),

224

当k=2n(n£Z)时,士是第二象限角，

2

当k=2n+1(n£Z)时,2是第四象限角,

2

又因为sin±<0,所以+是第四象限角.

22

二、填空题(每小题5分，共10分)

3.已知角a的终边经过点P(3,-4t),且sin(2kn+a)=-三，其中k£Z,贝It的

5

值为.

【解析】因为sin(2kIT+a)=-3所以sina

又角a的终边经过点P(3,-4t),

故sina=-^^=-m,解得t二老.

V9+16t2516

答案：-

16

4.如果cosx=|cosx|,那么角x的取值范围是.

【解析】因为cosx=|cosx|,所以cosx2O,所以角x的终边落在y轴或其右侧,

从而角x的取值范围是,kn—三2kn+m(k£Z).

答案：［2kn—5,2kn+E|(k£Z)

三、解答题

5.(10分)已知一-~~=二-,且lgcosa有意义.

sinasina

⑴试判断角a所在的象限.

(2)若角a的终边上一点是且10M|=1(0为坐标原点)，求m的值及

sina的值.

【解析】⑴由一‘-」一可知sina<0,

sinasina

所以a是第三或第四象限角或终边在y轴的负半轴上的角.

由Igcosa有意义可知cosa>0,

所以a是第一或第四象限角或终边在x轴的正半轴上的角.

综上可知角a是第四象限的角.

⑵因为|0M|=1,

2

所以(T)+m2=1,解得m=±7-

A

又a是第四象限角，故m<0,从而m二-三

由正弦函数的定义可知

,ym一二4

Sina=-.........

rOM15

任意角的三角函数（二）

一、选择题（每小题4分，共12分）

1.sin1°,sin1,sinJi°的大小顺序是（）

A.sin10<sinKsin°B.sin10〈sin冗°<sin1

C.sinn°<sin10<sin1D.sinKsin1°〈sinn

【解析】选B.因为1弧度757.3°,1°<1,观察三角

正弦线方向始终向上，且角越大正弦线越长，所以sin10<sinn°<sin1.

2.使sinxWcosx成立的x的一个变化区间是（）

MHB.卜羽

C.D.[0,JI

I4.4.]

【解析】选A.如图，画出三角函数线sinx二MP,cosx=0M,

由于sin（-1卜。s（一力,

为使sinxWcosx成立，则由图可得可0<£

【补偿训练】已知sina>sinB,那么下列命题成立的是（）

A.若a,B是第一象限角,则cosa>cosB

B.若a,B是第二象限角,则tana>tanB

C.若a,B是第三象限角,则cosa>cosB

D.若a,B是第四象限角,贝tana>tan6

【解析】选D如图（1）,a,B的终边分别为OP,OQ,sina=MP>NQ=sinP,此

时OM<ON,

所以cosa<cos3,故A错;

如图⑵，OP,0Q分别为角a,B的终边，MP>NQ,即sina>sinB,

所以AC<AB,即tana<tan3,故B错;

如图⑶，角a,B的终边分别为OP,0Q,MP>NQ即sina>sinB,所以ON>OM,

即cos3>cosa,故C错，所以选D.

nn

3.已知函数f(x)=sinx——<X<-,则满足f（x）《的x的取值范围是（）

22.

，

A.B.nn\

(-分)k2,6/

C.D.吗

(-M)k393)

【解析】选B.作上角的正弦线MP,如图所示，为使x满足-2x〈二且f（x）＜」，x

6222

的终边所在区域如图阴影所示（不包含边界），

故力（一9一5

二、填空题（每小题4分，共8分）

4.若9陪，于》则9的取值范围是.

【解题指南】观察e在区间（三乎）上变化时，角6的正弦线的变化情况.

【解析】sin/sin詈喀

观察角的正弦线的变化可知:

sin。的取值范围是（一¥，i

答案：（.*1）

5.若x£［0,2H），且-三WcosxWL则x的取值范围是

92

【解析】在单位圆中画出余弦线0M和0M',其中0M=-—,0Mz

7

=-,它们在［0,2n）内所对应的角分别为二n,-n-n,则满

24433

足-gWcosxW」的区域是图中阴影部分，则在［0,2n）内所求x

72

的取值范围是？；nUpn,-ir'.

34]U5

答案：-,-TTU-IT,-IT

34A'a

三、解答题

6.（10分）利用三角函数线，求满足下列条件的角a的集合：

⑴tana=T.⑵sina

2

【解析】（1）如图①所示，过点（1,T）和原点作直线交单位圆于点P和P',则

0P和。P'就是角a的终边，所以40P夸nfNxOP,/

所以满足条件的所有角a的集合是

{aa=-：+kn,k6z}.

⑵如图②所示，过点（0,-力作x轴的平行线，交单位圆于点P和P，,

则sinZxOP=sinZxOP7

2

所以NxOP二=\NxOP，,

66

所以满足条件的所有角Q的集合是

|Q|--+2kirVaV——+2kir,kGz}.

一、选择题(每小题5分，共10分)

1.记a=sin(cos2016°),b=sin(sin2016°),c=cos(sin2016°),

d=cos(cos2016°)，则()

A.d>c>b>aB.d>c>a>b

C.c>d>b>aD.a>b>d>c

【解析】选C.因为2016°=360°X5+180°+36°,

所以cos2016°=-cos36°,sin2016°=-sin36°,

因为1>cos36°>sin36°>0,

所以a=sin(cos2016°)=-sin(cos36°),

b=sin(sin2016°)=-sin(sin36°),

c=cos(sin2016°)=cos(sin360),

d=cos(cos2016°)=cos(cos36°),

即cos(sin36°)>cos(cos36°)>0,sin(cos36°)>sin(sin36°),

-sin(cos36°)<-sin(sin36°)<0,

所以c>d>b>a.

【补偿训练】已知出的正弦线为MP,正切线为AT,则有()

6

A.MP与AT的方向相同

B.|MP|=|AT|

C.MP>0,AT<0

D.MPCO,AT>0

【解析】选A.三角函数线的方向和三角函数值的符号是一致的.MP=sir)U^<0,

6

AT=tan—<0.

6

2.已知函数f(x)=2asin(2x+］)+b的定义域为［o,；］,值域为［-5,1］,则函数

8&)=@"7在壮,a］±()

A.有最大值2B.有最小值2

C.有最大值1D.有最小值1

【解析】选B.因为已知函数£&)=225皿2*+3)+1)的定义域为［0,；］,值域为［-5,

1］,

所以不妨设t=2x+:xe［o,y］,

那么二三，

66

所以h(t)=f(x)=2asint+b,a>b,

:::=

所以f(x)maxh^—^2asin—+b—1,①

f(x)min=h(—^)=2asin—+b=-5,②

由①②解得，

a—2,b——3.

又因为g(x)=2*7在［—3,2］上单调递减，

所以g(X)min=g(2)=2.

即函数g(x)=a""在［b,a］上有最小值2.

二、填空题(每小题5分，共10分)

3.sinl,cosl,tanl的大小关系是.

【解析】作出1弧度角的正弦线、余弦线和正切线如图所示:

观察图可知：cos1<sin1<tan1.

答案：cos1<sin1<tan1

【延伸探究】将本题中的“1”改为“-1”，结果又如何?

【解析】作出T弧度角的正弦线、余弦线和正切线如图所示:

观察图可知：tan(-1)<sin(-1)<cos(-1).

答案：tan(T)<sin(7)<cos(T)

4.设0Wa<2n,若sina>\'3cosci,则a的取值范围是

【解题指南】可分以下三种情况讨论：(1)cosa=0.

(2)cosa>0.(3)cosa<0.

【解析】(1)当cosa=0时，sina=±1,为使sina>\3cosa,须有sina=1,

又0Wa<2n,所以a』.

2

⑵当cosa>0时，原不等式可化为tana>\3

解得Y32a

⑶当cosa<0时，原不等式可化为tana<\3,

解得Ya.

23

综上可知，a的取值范围是

答案:

三、解答题

5.（10分）利用三角函数线证明：若0〈a〈B〈二，则有B-a>sinB-sina.

2

【证明】如图，单位圆0与X轴正半轴交于点A,与角a,B的终边分别交于点

Q,P,过P,Q分别作0A的垂线，设垂足分别为点M,N,则由三角函数线定义

可知:

sina=NQ,sinB=MP,过点Q作QH_LMP于点H,于是MH二NQ,则HP二MP-MH二

sin3-sina.

由图可知HP<PQ=AP-AQ=3-a,

即B-a>sinB-sina.

同角三角函数的基本关系

一、选择题（每小题5分，共25分）

1.sina=—,则sir?a-cos2a的值为（）

【解析】选B.因为sina=工所以cos2ci=l-sin2a=),则原式三■土=、.

55555

【延伸探究】本题条件下，求sin%-cos"a的值.

【解析】由sir?a-cos4a

=(sin2a+cos2a)(sin2a-cos2a)=sin2a-cos2a

__3

2.已知a是第二象限角，sina=—,则cosa=()

13

A.--B.--C.—D.-

13131313

【解析】选A.因为a是第二象限角，所以cosa<0,又因为sina=£,所以

3.已矢口sina—cosa=—三，贝！Jsina,cosa等于()

4.

A.—B.--C.--D.-

4163232

【解析】选C.将所给等式两边平方，得l-2sinacosQ二空，故sinacosa=一2

1632

.-4-i-sin0+2cos0cniti.八n/\

4.右------=2,贝!！sm9•cos9=()

sin9-cos9

A.--B.-C.±-D.-

1751717

ri<.i'且nLsin0+2cos9Sin0cos9tan04

L解析】选D.由--------二2o,得tann9=4,smn0cos9n=--------=--——.

sin0-cos0sin20+cos20tan20+117

5.若冗<a〈史，乒E+近后的化简结果为()

2yj1+cosa、1-cosa

A.—2B.--2C.—2D.--2

tanatanasinasina

【解题指南】将根号里面的式子化成含有平方的形式，再根据n〈a〈四进行开方

2

运算，得出结论.

【解析】选D.原式=过+但金叱

1—cos2a1-cos2a

_1-cosa1+cosa2

sinasinasina

因为n<a<生，所以原式:—

2sina

二、填空题(每小题5分，共15分)

6.15AABC中，若tanA=—,贝!jsinA=

a

sin2A+cos2A=L

【解析】因为tanA;上>0,则NA是锐角，则sinA>0,解方程组sinA\'r2

2

9

krnsA2

得sinA*.

11

答案:V22

TT

7.已知A为锐角，lg(l+cosA)=m,Ig——=n,则IgsinA的值为_______

1-cosA

【解题指南】求m-n,并将其变形为lg(l+cosA)+lg(l-cosA),利用对数的运算

进行求解.

【解析】因为m-n=Ig(1+cosA)+1g(1-cosA)

=lg(1-cos2A)=Igsin2A=21gsinA,

所以IgsinA=-(m-n).

2

答案:-2(m-n)

8.已知sinx=3cosx,则sinxcosx的值是.

【解析】将sinx=3cosx代入析Ix+cos'n中得

9COS2X+COS2X=1,即cos2x=—,

io

所以sin2x=1-cos2x=—,

io

因为sinx与cosx同号，所以sinxcosx>0,

贝sinxcosx=\sin2xcos2X=^.

答案：-

10

三、解答题(每小题10分，共20分)

9.已知tana=3.

(1)求sina和cosa的值.

(2)求竺必3的值.

2cosa+sina

(3)求sin」a-3sinacosa+1的值.

【解析】(1)tana=3=—>0,

cosa

所以a是第一或第三象限角.

当a是第一象限角时,结合sir?a+cos?a=1,有

3V10

sma=——

10

V10

cosa=——;

10

当a是第三象限角时，结合sinZ+cos2a=1,有

3V10

sma=————■

10

V10

cosa=-------.

10

»,»3sina-cosa3tana-18

⑵因为tana=3,所以-----------=--------二一.

2cosa+sina2+tana5

(3)因为tana=3,sin2a+cos2a=1,

所以原式二Sin%-3sinacosa+l

_2sin2a-3sinacosa+cos2a

sin2a+cos2a

=2tan2a-3tana+l=2x323x3+l=i

tan2a+l32+l

【补偿训练】已知2cos,a+3cosasina-3sin2a=1.

求：⑴tana.

(2)2sina-3cosa

4sina-9cosa

【解析】(1)2cos2a+3cosasina-3sin2a

_2cos2a+3cosasina-3sin2a

sin2a+cos2a

_2+3tana-3tan2a

tan2a+l

贝1]2+3tana-3tan2

tan2a+l

即4tan2a-3tana-1=0.

解得tana二」或tana=1.

4

2sina_3cosac

(?)盾犬—cosacosa_2tana-3

\")/小八一ssina-cosa2日，

-------------------4tana-9

cosacosa

当tana=」时，原式二工；

420

当tana=1时,原式」.

5

10.化简下列各式：

(])V1-2sinl30:cosl30:

sinl303+v1-sin21302

(2)Il-2sin-cos-+Il+2sin-cos-

722、22

(°<a<3

【解析】（1）原式

Sin2130=-2sinl30:cosl30:+cos2130:

sinl30=+xcos2130:

_sinl30：-cosl30l_Sini30：-cosl30：T

------------------------------------------------------------------|

sinl30=+|cosl30=sinl30=-cosl30:

(cos三+sin?

a,.a

-cos-sin|+cos-4-sin-

777?

因为a£（05）,所以:

所以cos-sin=>0,sin-+cos->0,

2222

a.a

i—-2cos-.

22

一、选择题(每小题5分，共10分)

［化简sin2a+cos4a+sin2acos2a的结果是()

［解析］选C.原式=$111'a+cos2a(cos-a+sin2a)

=si•n2a+.cos2a=1l.

【补偿训练】若sina+sin2a=1,则cos2a+cos'a等于.

【解析］因为sina+为n2a=1,sin2a+cos2a=1,

所以sina=cos2a,

所以cos2a+cos4a=sina+sin2a=1.

答案：1

2.已知tana=-2,则2sinQcosa的值是()

A.-B.3C.--D.-3

2sinacosa2tana2x(-2)4

【解析】选c.原式

sin2a+cos2atan2a+l(-2)2+l5

二、填空题(每小题5分，共10分)

3.