高二数学选修2-2讲义(27份有答案)

第❶部分

教材同步导学

基础知识系统整合

重点难点释疑解惑

规律方法归类点拨

热点命题权威解读

知能训练踊踪落实

编排设计按能力层级布局

理解把握应用归纳一认知步步高

让你在学通学精教材的同时

紧紧把握高考的脉动

第1章/导数及其座用

DI1ZHANG7A

1.1导数的概念

1.1.1平均变化率

/〃〃/g门备料"/

假设下图是一座山的剖面示意图，并在上面建立平面直角坐标系.A是出发点，〃是山顶.爬山路线用

函数y=/U）表示・

OXoXiX2Xk卬1X

自变量X表示某旅游者的水平位置，函数值y=/5）表示此时旅游者所在的高度.设点A的坐标为（X0,

比），点B的坐标为（为,>'］）.

问题1：若旅游者从A点爬到8点，则自变量x和函数值y的改变量Ar,Ay分别是多少？

提示：Ax=xi—xo,Ay=>|一则.

问题2：如何用A.r和Ay来刻画山路的陡峭程度？

Av

提示：对于山坡AB,可用求来近似刻画山路的陡峭程度.

问题3：试想第=上二血的几何意义是什么？

Axx\~xo

提示：2="二血表示直线48的斜率.

AtX\~XQ

问题4：从A到&从A到C,两者的言相同吗？言的值与山路的陡峭程度有什么关系？

提示：不相同.那的值越大，山路越陡峭.

//////a*/〃〃

1.一般地，函数ZW在区间区，X2］上的平均变化率为3

X2-X\

2.平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”,或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”.

［归纳.升华.领悟］----------------------------、

在函数平均变化率的定义中，应注意以下几点：

(1)函数在［X］,X2］上有意义；

(2)在式子'।)中,X2-Xl>0,而/(X2)—y(Xl)的值可正、可负、可为0.

X2-X\

(3)在平均变化率中，当力取定值后，X2取不同的数值时，函数的平均变化率不一定相同；同样的，当

X2取定值后，占取不同的数值时，函数的平均变化率也不一定相同.

高频考点题组化，名师一点就通［对应学生用书P3］

求函数在某区间的平均变化率

［例1］(1)求函数,/(；0=3/+2在区间［2,2.1］上的平均变化率；

(2)求函数g(x)=3尤一2在区间［-2,—1］上的平均变化率.

［思路点拨］求出所给区间内自变量的改变量及函数值的改变量，从而求出平均变化率.

［精解详析］(1)函数火x)=31+2在区间［2,2.1］上的平均变化率为：

/21)一/(2)_(3X2.12+2)―(3X22+2)_

2.1-2-0.1—123

]3X(-l)—2]—[3X(-2)-2]

(2)函数g(x)=3x-2在区间［-2,一1］上的平均变化率为

3二R二巴：)(-1)-(-2)

(-5)-(-8)

-1+2

［一点通］求函数平均变化率的步骤为：

第一步：求自变量的改变量X2—为；

第二步：求函数值的改变量"⑵一/(X1)；

第三步：求平均变化吟吟.

•做条钝,〃〃/

1.函数g(x)=-3x在［2,4］上的平均变化率是

解析：函数g(x)=—3x在［2,4］上的平均变化率为唱@=三空严=二^=一3.

答案：一3

2.如图是函数y=/(x)的图象，则：

(1)函数/U)在区间［-1,1］上的平均变化率为;

(2)函数人x)在区间［0,2］上的平均变化率为.

解析：(1)函数/U)在区间L1,1］上的平均变化率为半否表

x+3

—1WxWl,

⑵由函数的图象知，於)=<2'

x+l,

所以，函数4x)在区间［0,2］上的平均变化率为吟三臀=——=*

ZUN4+

答案:：⑴3(2)1

3.本例条件不变，分别计算/U)与g(x)在区间［1,2］上的平均变化率，并比较变化率的大小.

解.\［42)-Al)3)<22+2(3XP+2)9

「、,g(2)_g(l)_3X2_2_(3X1_2)_

(2)o—i-o—1-'

“X)比g(x)在［1,2］上的平均变化率大.

EEB实际问题中的平均变化率

［例2］物体的运动方程为S=［币(位移单位：m；时间单位：s),求物体在t=1s到f=(l+Af)s这段

时间内的平均速度.

［思路点拨］求物体在某段时间内的平均速度，就是求位移的改变量与时间的改变量的比值.

I精解详析I物体在［1』+加］内的平均速度为

5(1+Ar)~5(l)J(l+Ar)+1-^1+1

(1+加)-1—Ar

(12+Af-*7^)N2+A\+^^)

△t—A^2+Af+V2)

-^/2+Ar+V2(m/S)'

即物体在f=ls到f=(l+Af)s这段时间内的平均速度为m/s.

■^2+Az4—\/2

［一点通］平均变化率问题在生活中随处可见，常见的有求某段时间内的平均速度、加速度、膨胀率、

经济效益等.分清自变量和因变量是解决此类问题的关键.

〃〃.题轨:|■钝

4.圆的半径r从0.1变化到0.3时，圆的面积S的平均变化率为.

解析：：5=兀，，.,.圆的半径r从0.1变化到0.3时，

圆的面积S的平均变化率为

S(0.3)-S(0.1)兀XO.32—兀X0/2

0.3-0.1=02=0-4兀

答案:0.4TC

5.在Fi赛车中，赛车位移(单位：m)与比赛时间《单位：s)存在函数关系5=10-5产，则赛车在［20,20.1］

上的平均速度是多少？

22

皿T,5(20.1)-5(20)(10X20.1+5X20.1)-(10X20+5X20)21.05

解：赛车在［20,20.1］上的平均速度为='--------------7ni_9)--------------=-5V=

210.5(m/s).

函数平均变化率的应用

［例3］甲、乙两人走过的路程$i(r),S2⑺与时间［的关系如图所示,试比较两人

的速度哪个大？

［思路点拨］要比较两人的速度，其实就是比较两人走过的路程对时间的平均

变化率，通过平均变化率的大小关系得出结论.

［精解详析I在而处S|(")=S200)，

Sl（fo）-S2（fo-△/）

但

AtZT

所以在单位时间内乙的速度比甲的速度大，因此，在如图所示的整个运动状态中乙的速度比甲的速度

大.

［一点通］平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在

区间上的变化率越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化率越慢.

•靠钝

6.汽车行驶的路程s和时间，之间的函数图象如图所示.在时间段上o,力］,Z，亥］，［力2,

卬上的平均速度分别为石，记，石，则三者的大小关系是.

解析：.=吗―黑=人,

—S⑹一则）

02=――1；=kAB,

攵一力

—S（t3）~S（t2）

V3=-；；=kBC,

£31亥

由图象知：koA<kAH<kl；C>

所以。3>02>01.

答案：V3>V2>V\

7.A、8两机关开展节能活动，活动开始后，两机关每天的用电情况如图所示，其中牝⑺、电⑺分别

表示A、B两机关的用电量与时间第，天的关系，则下列说法一定正确的是.(填序号)

①两机关节能效果一样好；

②A机关比B机关节能效果好；

③A机关在［0,加］上的用电平均变化率比B机关在［0，上的用电平均变化率大;

④4机关与8机关自节能以来用电量总是一样大.

解析：由图可知，在f=0时，Wi(0)>卬2(0),

当f=fo时，Wl(/o)=卬2(")，

「…，用㈣一四⑼W2⑻一卬2(0)

所以------：------<------；------,

to10

且M(/o)-Wi(O)>W2(fo)一卬2(0)

故只有②正确.

答案：②

［方法•规律•小结］

1.求函数在指定区间上的平均变化率应注意的问题

(1)平均变化率的公式中，分子是区间两端点间的函数值的差，分母是区间两端点间的自变量的差.

(2)平均变化率公式中，分子、分母中被减数同时为右端点，减数同为左端点.

2.一次函数的平均变化率

一次函数y=履+双女#0)在区间［，〃，〃］上的平均变化率为二%)=(""+?二，"+")=&.由上述计算可

知，一次函数在区间依，网上的变化率与机，"的值无关，只与一次项系数有关，且其平均变化

率等于一次项的系数.

3.平均变化率的几何意义

⑴平均变化率""二的’表示点3,1为))，(及，火松))连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”.

X-211

(2)平均变化率的大小类似函数的单调性，可说明函数图象的陡峭程度.

3课下训练经典化,贵在触类旁通

［对应课时跟踪训练(一)］

一、填空题

1.函数兀0=f—1在区间［1,1.1］上的平均变化率为

川.1)—川)_(1.1J)一(12_1)_O21

解析:1.1-1-1.1-1-0.1~ZA-

答案：2.1

2.函数式x)=2x+4在区间口，切上的平均变化率为

』6)-A“)(25+4)—(2〃+4)2(6一〃)?

解析:

b-ab-ab-a*

答案：2

3.某人服药后，人吸收药物的情况可以用血液中药物的浓度c(单位：mg/mL)来表示，它是时间r(单位:

min)的函数，表示为c=c(f),下表给出了c⑺的一些函数值：

r/min0102030405060708090

c(f)/

0.840.890.940.981.001.000.970.900.790.63

(mg/mL)

服药后30-70min这段时间内，药物浓度的平均变化率为

-c(70)-c(30)0.90-0.98

解析：“1、=一行-=-0.002.

答案：一0.002

4.如图所示物体甲、乙在时间0到台范围内路程的变化情况，则在0叶到“范围内

甲的平均速度_______乙的平均速度，在“到h范围内甲的平均速度：卜方/乙乙

的平均速度(填“等于"、“大于”或“小于”).一

解析：由图可知，在［0,上，甲的平均速度与乙的平均速度相同；在伉，川上，

甲的平均速度大于乙的平均速度.

答案：等于大于

5.函数y=V+2在区间［1,0上的平均变化率为21,则。=.

(〃+2)一(r+2)a3-\,,

解析：।=r-=a~+a+1=21.

a—1a—1

解之得a=4或a=—5

又：.a=4.

答案：4

二、解答题

6.已知函数人力=*+1.求函数/(x)在区间［2,2.01］上的平均变化率.

2X2.012+l-2X22-l

解：函数7U)在区间［2,2.01］上的平均变化率为=8.02.

2.01-2

7.求函数尸sinx在。至哈之间和争段之间的平均变化率，并比较它们的大小.

.兀.八

sinT-sin0a

解：在0到]之间的平均变化率为---------=-；

6号°兀

O

.兀.兀

sin^-sin^份、

在黑吟之间的平均变化率为--------=-----

327171n

2-3

；2—色，.小吟鱼，

函数产sin》在0到耒之间的平均变化率为点在翔驻间的平均变化率为'2；小),故在0到季之间

的平均变化率较大.

8.已知气球的表面积S(单位：cn?)与半径7■(单位：cm)之间的函数关系是S(r)=4兀产.求：

(1)气球表面积S由10cn?膨胀到20cm2时的平均膨胀率即气球膨胀过程中半径的增量与表面积增量的

比值；

(2)气球表面积S由30cn?膨胀到40cn?时的平均膨胀率.

解：根据函数的增量来证明.

由S(r)=4兀r2,r>0,把厂表示成表面积S的函数：

r(S)=^VrtS.

⑴当S由10cn?膨胀到20cm2时，气球表面积的增量AS=20—10=10(cm2),气球半径的增量Ar=/<20)

一r(10)20兀-d10兀)20.37(cm).

所以气球的平均膨胀率为裂七喘=0.037.

ZAO1v

⑵当S由30cm2膨胀至u40cm2时，气球表面积的增量AS=*(W^—福)70.239(cm2).所以气球的

平均膨胀Ar率0为2392nO.OZS9.

I.1.2瞬时变化率——导数

EEEH曲线上一点处的切线

//////7^f]〃/

如图P”的坐标为(即，y(X"))(〃=l,2,34“)，P的坐标为(沏，%).

问题1:当点P,L点P时，试想割线如何变化？

提示：当点尸"趋近于点尸时，割线PP”趋近于确定的位置.

问题2：割线PH,斜率是什么？

提示：割线PP„的斜率是乂=&让二风脸.

xn-xo

问题3：割线的斜率与过点P的切线PT的斜率A有什么关系呢？

提示：当点P”无限趋近于点P时，无限趋近于切线PT的斜率.

问题4：能否求得过点尸的切线PT的斜率？

提示：能.

/////if\ia豫“〃/

1.割线

设Q为曲线C上不同于尸的一点，这时，直线P。称为曲线的割线.

2.切线

随着点。沿曲线C向点P运动，割线P。在点P附近越来越逼近曲线C.当点。无限逼近点P时,直

线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线/,这条直线/也称为曲线在点P处的切线.

FTTW瞬时速度与瞬时加速度

//////7^fj答稗'〃〃

一质点的运动方程为5=8-3凡其中S表示位移，f表示时间.

问题1：该质点在［1,1+。］这段时间内的平均速度是多少？

提示：该质点在［1,1+△力这段时间内的平均速度为8-3（1+A哈-8+3X1］=_6_3Af

问题2：。的变化对所求平均速度有何影响？

提示：加越小，平均速度越接近常数一6.

/////育解'//〃

1.平均速度

运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度.

2.瞬时速度

一般地，如果当加无限趋近于0时，运动物体位移SQ）的平均变化率（助无限趋近于一个常

数，那么这个常数称为物体在f=fo时的瞬时速度,也就是位移对于时间的瞬时变化率.

3.瞬时加速度

一般地，如果当。无限趋近于0时，运动物体速度。⑺的平均变化率也增二皿无限趋近于一个常

数，那么这个常数称为物体在r=/o时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率.

CTim导数

小"新知a*，〃〃

1.导数

设函数y=/(x)在区间(m勿上有定义，xoe(mb),若一无限趋近于0时,比值卷=思吐誓皿无

限趋近于一个常数A,则称,/U)在X=M处亘壁，并称该常数A为函数兀0在x=xo处的导数，记作£(xo).

2.导数的几何意义

导数/(xo)的几何意义是曲线y=/(x)在点P(xo,"o))处的切线的斜率.

3.导函数

(1)若兀0对于区间(“，b)内任一点都可导,则y(x)在各点的导数也随自变量x的变化而变化，因而也是

自变量。的函数,该函数称为犬x)的导函数，记作尸'(x),在不引起混淆时，导函数/(》)也简称而)的导数.

(2加》在工=初处的导数，(X0)就是导函数r(x)在X=xo处的函数值.

［归纳.升华.领悟］-------------------------<

1.利用导数的几何意义，可求曲线上在某点处的切线的斜率，然后由点斜式写出直线方程.

2.函数y=/(x)在点羽处的导数/'(为)就是导函数/'(x)在x=xo处的函数值，所以求函数在一点处的

导数，一般先求出函数的导函数，再计算这点的导函数值.

高频考点题组化，名师一点就通［对应学生用书P5］

求曲线上某一点处的切线

［例1］已知曲线y=x+：上的一点A(2,|),用切线斜率定义求：

(1)点4处的切线的斜率；

(2)点A处的切线方程.

［思路点拨］先计算八2+黑一42),再求其在心趋近于o时无限逼近的值.

［精解详析］(l)：Ay=/(2+Ax)-/(2)=2+Ax+天基一(2+引=旗不而+©，

.Ay-z工—一］』

.♦益=2Ax2+醺)+±=2(2+Ax)十,

Ay3

当Ar无限趋近于零时，言无限趋近于;，

3

-

4

53

(2)切线方程为y—］=水》—2),

即3x-4y+4=0.

I一点通］根据曲线上一点处的切线的定义，要求曲线过某点的切线方程，只需求出切线的斜率，即在

该点处，Ar无限趋近于。时，言无限趋近的常数.

〃〃/罪做i:制〃Z”

1.曲线丫=一*一2在点［1,一|)处的切线的斜率为.

5

-/1\一］(1+1)2-2+1

2

解析：设2d1+Ax,-2(1+AX)-2),则割线PQ的斜率为kPQ=-------晨-------

zu—1.

当At无限趋近于0时，心°无限趋近于一1,所以曲线)，二一%2一2在点《1,一()处的切线的斜率为

-1.

答案：一1

2.已知曲线y=2f+4x在点P处的切线的斜率为16,则P点坐标为.

心工厂,,/(XO+AJV)—/(xo)2(Ax)2+4xoAx+4Ax

斛析：设P点坐标为(xo,yo),财(m+At)_xo=Xx=4xo+4+2Ax.

当Ax无限趋近于0时，4xo+4+2Ax无限趋近于4xo+4,

因此4即+4=16,即xo=3,

所以yo=2X32+4X3=18+12=3O.

即P点坐标为(3,30).

答案:(3,30)

3.已知曲线yuBx2—》，求曲线上一点A(l,2)处的切线的斜率及切线方程.

解：设A(l,2),B(1+AX,3(1+AX)2-(1+AX)),

3(1+Z^)2-(1+A^)-(3X12-1)

则kAB=-------------晨-------------=5+3Ax,

当Ar无限趋近于0时，5+3Ar无限趋近于5,所以曲线y=3*-x在点4(1,2)处的切线斜率是5.

切线方程为y-2=5(x-l),即5x-y—3=0.

m瞬时速度

I例2］一质点按规律S⑺=aP+l做直线运动(位移单位：m,时间单位：s),若该质点在Z=2s时的瞬

时速度为8m/s,求常数”的值.

［思路点拨］先求出质点在f=2s时的平均速度，再根据瞬时速度的概念列方程求解.

［精解详析］因为A5=5(2+Ar)-5(2)=a(2+Ar)2+1-a-22-1=4aAr+(z(Ar)2,所以等=4a+“心

当4无限趋近于0时，岩无限趋近于4a

所以t=2s时的瞬时速度为4am/s.

故4〃=8,即0=2.

［一点通］要计算物体的瞬时速度，只要给时间一个改变量加，求出相应的位移的改变量AS,再求出

平均速度石=管，最后计算当。无限趋近于。时，萼无限趋近常数，就是该物体在该时刻的瞬时速度.

〃〃，"〃/

4.一做直线运动的物体，其位移S与时间t的关系是5=3f-/2,则此物体在t=2时的瞬时速度为

解析：由于△5=3(2+&。-(2+加)2—(3*2—22)=3加一4。一(加)2=一。一(加)2,

A5—A/一。。2

所以•1-A/.

A?Ar

当Af无限趋近于0时，江无限趋近于常数一1.

故物体在t—2时的瞬时速度为-1.

答案：一1

d+2,0Wf<3,

5.如果一个物体的运动方程S⑺试求该物体在f=l和f=4时的瞬时速度.

〔29+3。-3)2,f23,

解：当t=\时，5(。=尸+2,

而AS5(1+Af)-5(1)(l+Ar)2+2-32A

则后=K=Kt=2+加，

当Af无限趋近于0时，2+加无限趋近于2,

所以。(1)=2;

Vr=4G[3,+8),

，S(f)=29+3(f—3)2=3»-18/+56,

.AS3(4+加另一i8(4+Af)+56—3义42+18义4-56

AAr=Af

3加

—3,A?+6,

AZ

.•.当加无限趋近于0时，3・Af+6f6,即不•一6,

所以。(4)=6.

一导数及其应用

［例3］已知/OOUX2-3.

(1)求./U)在x=2处的导数：

(2)求兀r)在X="处的导数.

［思路点拨］根据导数的定义进行求解.深刻理解概念是正确解题的关键.

.法物、王土二［/［、国、/A)'火2+Ax)—42)

［精解详析］⑴因为以-

X

(2+Ax)2_3_Q2_3)

=Ax

=4+Ax,

当Ar无限趋近于0时，4+Ax无限趋近于4,

所以«r)在x=2处的导数等于4.

人"+Ax)—y(")

(2)因为言

Ax

伍+Ax)2-3—伍2—3)

=Kr

=2〃+Ax,

当Ax无限趋近于。时，2a+Ax无限趋近于2a,

所以人1)在处的导数等于2a

［一点通］由导数的定义知，求一个函数y=/U)在x=xo处的导数的步骤如下:

⑴求函数值的改变量△)，=/口()+1)一於0)；

⑵求平均变化率烂皿梦幽

(3)令Ax无限趋近于0,求得导数.

獗做杂钝%”

6.函数y=x+：在x=l处的导数是

解析：,函数y=/(x)=x+；,

/.Ay=Xl+^)-XD

=1+、+七-1=铸,

•取=q_当心_0时叔-0

即y=x++在x=l处的导数为0.

答案：0

7.设/(x)=<7x+4,若/'(1)=2,则a=.

缸诉."(l+Ar)+4-a-4

解析：•Ax=瓦=小

:.f(l)=a,即a=2.

答案：2

8.将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh时，原

油的温度(单位：。C)为负x)=r—7x+15(0WxW8).求函数y=/(x)在x=6处的导数/(6),并解释它的实际

意义.

解：当x从6变到6+Ar时，函数值从火6）变到犬6+Ax）,函数值），关于x的平均变化率为：

.6+AA）-/（6）

Ax

（6+AX）2—7（6+©）+15—（62—7义6+15）

△x

5Ax+（Ax）2

=­AT^=5+AX-

当x-6时，即AxfO,平均变化率趋近于5,

所以（6）=5,导数/'（6）=5表示当x=6h时原油温度的瞬时变化率即原油温度的瞬时变化速度.也

就是说，如果保持6h时温度的变化速度，每经过Ih时间，原油温度将升高5℃.

［方法•规律•小结］'

1.利用导数的几何意义求过某点的切线方程

（1）若已知点（xo,州）在已知曲线上，则先求出函数y=/U）在点xo处的导数，然后根据直线的点斜式方程,

得切线方程y—州=/'（粉）（工一知）.

（2）若题中所给的点5）,加）不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求

出切点坐标，进而求出切线方程.

2.（Xo）与尸（x）的异同

区别联系

f（XO）/'（XO）是具体的值，是数值在X=Xo处的导数，（xo）是导函数（X）

/'（X）是/U）在某区间/上每一点在x=xo处的函数值，因此求函数在某

/W都存在导数而定义的一个新函一点处的导数，一般先求导函数，再计

数，是函数算导函数在这点的函数值

课下训练经典化,贵在触类旁通［对应课时跟踪训练（二）］

一、填空题

1.一质点运动的方程为s=5-3尸，若该质点在时间段［1,1+△力内相应的平均速度为一3加一6,则该质

点在r=l时的瞬时速度为.

解析：：当加无限趋近于0时，一3。一6无限趋近于常数-6,.•.该质点在f=l时的瞬时速度为-6.

答案：一6

2.函数八尤）=1-3彳在》=2处的导数为.

解析：Ay=/（2+AJ:）—ft2）=-3AJC,^=—3,

则Ar趋于0时，党=—3.

故/（x）在x=2处的导数为一3.

答案：一3

3.已知函数y=/(x)的图象在点M(l,川))处的切线方程是y=5+2,则7(1)+/(1)=

解析：由题意知/(i)=g,式i)=.+2=|,

所以犯）+,⑴=|+'=3.

答案：3

4.曲线/)=*—2在点(1,一号处的切线的倾斜角为

..4+右)一川)；(1+A$2Q2)

解析:

AxAx

2（AX）2+AX]

=-&-=/+1.

当Ax无限趋近于0时，里士誓她无限趋近于常数1,即切线的斜率为1.

.•.切线的倾斜南为:.

较案.-

口禾•4

5.已知曲线y=2af+l过点P(g,3),则该曲线在P点处的切线方程为.

解析：・・3=2加+1过点P(g,3),

2

：.3=2a+\t即〃=i.

又・・Z20,・・・4=1,即)，=2?+1.

."(1,3).

以川+a)一川)2(1+AX)2+1-2X12-1

又工=—直—=晨=4+2醺.

.•.当Ax无限趋近于0时，需无限趋近于常数4,

：.f(1)=4,即切线的斜率为4.

由点斜式可得切线方程为y—3=4。-1),

即4x~y—1=0.

答案：4x—y—l—0

二、解答题

6.已知质点运动方程是5(。=；8尸+21—1(8是重力加速度，常量)，求质点在t=4s时的瞬时速度(其中

s的单位是m,1的单位是s).

副A5S(4+△。-S(4)

解：A7=-----K-----

*22

|^(4+Ar)+2(4+Ar)-l-(1<?-4+2X4-l)

△t

；g(Af)2+4gZf+2-Af

-Ar

=]g0+4g+2.

*/当Ar-O时，萼f4g+2,

.•.S'(4)=4g+2,即。(4)=4g+2,

所以，质点在r=4s时的瞬时速度为(4g+2)m/s.

7.求过点尸(一1,2)且与曲线y=3f-4x+2在点”(1,1)处的切线平行的直线方程.

..3(1+AX)2-4(1+AX)+2-(3><12-4X1+2)

解：'''Xx

2AA+3(AJC)2

=心=2+3",

，当AJV-0时，2+3-Axf2,：.f(1)=2,

所以直线的斜率为2,

所以直线方程为y—2=2(x+l),

即2x—y+4=0.

8.已知直线/：y=4x+a和曲线Cy=R—2/+3相切.求。的值及切点的坐标.

解：设直线/与曲线C相切于点尸(沏，y0),

..Ay(必+以)3-2(必+醺)2+3-(焉-2焉+3)

,Ax-Ax

=(Ax)2+(3%o—2)Ar+3焉一4xo.

Ay、

当Ax—0时，不丁-3焉一4xo,

即/'(为)=3需一4xo,

由导数的几何意义，得3意一4xo=4,

2.

解得xo=—W或xo=2.

，切点的坐标为(一,，笥或(2,3),

当切点为(-1,韵时,

有瑞=4X(-§+a,："=端,

当切点为(2,3)时，有3=4X2+“，：.a=~5,

当。=詈时，切点为(一本27)：

°=一5时，切点为(2,3).

1.2导数的运算

1.2.1常见函数的导数

几个常见函数的导数

//////7^n〃/

已知函数

(1V(X)=C,(2〃x)=x,(3如)=/,

(4)穴》)=匕(5)穴》)=港.

问题1：函数式》)=》的导数是什么？

xB-..△、y(x+At)-/(x)r+At-x।

FE7F：,AA-AA-一zkr一1'

.•.当Ar—O时，1,即x'=1.

问题2：函数/U)=5勺导数是什么？

11

fS-..AyAx+Ax)~/(x)-X

拄不：•Ax-AA--AA

X—(X+AJV)]

x(x+Ax)Axf+xAjc'

.•.当AxT)时，言——点即日=一点

//////if\ia|解-〃〃/

1.(kx+b)'=k(k,b为常数);

2.C'=。((7为常数)；

3.⑹=1；

4.(/)，=2xj

5.(x3)'=笠；

7-g,=2'

nrm基本初等函数的导数公式

//////|解〃〃/

1.(K)'=欧口®为常数)；

2.⑷)'=cf]na(a>0,且〃#1)；

3.(log,㈤'=71oge=­r—(a>0,且aWl)；

人d人111V*

4.(e)=贮；

5.(ln»=p

6.(sinx)'=cosx；

7.(cosx)'=-sinx.

［归纳■升华,领悟］-------------------------

函数於)=lo助X的导数公式为/'(x)=(logM)'=］,当4=e时，上述公式就变形为(InX)'=?，即

人111Cl人

/(x)=lnx是函数70)=1080%当a=e时的特殊情况.类似地，还有兀v)=〃与火x)=e*.

高频考点题组化，名师一点就通［对应学生用书P7］

QS求函数的导数

［例1］求下列函数的导数.

(l)y=f；

(2)y=［；

⑶「/；

(4)y=log2X.

［思路点拨］解答本题可先将解析式化为基本初等函数，再利用公式求导.

［精解详析J(1)<=。8)'=8x7；

⑵<=6)'=_3.尸=一去

(3)<=(xx/x)/=u|y=|-A|=2;

(4)y,=(log")'

［一点通］用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度.解题时应根据所给函数的特征，恰当

地选择求导公式，有时需将题中函数的结构进行调整，如根式、分式转化为指数式，利用薪函数的求导公

式求导.

〃〃，题做杂钝'〃〃

解析：y=sin(，一元)=cosx,所以y'=-sinx.

/r/rrj-y

合条：—sinx

2.下列结论中不正确的是.

①若y=3,则y'=0；

③（嗑，=备；

④若y=x，则＞'=1.

解析：①正确：②sin|=2＞而（乎）'=°，不正确；对于③，（一古）'=（—x—

正确；④正确.

答案:②

3.求下列函数的导函数.

⑴y=l（T；（2）y=log|x；

⑶尸编;

解：(l)y'=(1OV)/=l(>'ln10：

(2)y，=(1超)，=」y=一焉:

rln2

⑶：）'=依=',

vy

(4)Vy=(sin^+cos^)2~1

=sin^+2sin^cos^+cos2^-1=sinx,

=(sinx)/=cosx.

“0求函数在某一点处的导数

［例2］求函数yu）='一在x=i处的导数.

I思路点拨］先求导函数，再求导数值.

［精解详析］:Ax）=」一=x—焉，

（犬）=（尤-款=（一»/

.•/（1）=-亲

［一点通］求函数在某点处的导数需要先对原函数进行化简，然后求导，最后将变量的值代入导函数便

可求解.

〃〃，题做靠钝“〃/

4.若函数y(x)=/，则(1)=.

12

z-

解析：•./a)=(/)=(汨y?-3

v(i)=|

答案：|

5.若函数y(x)=sinx,则f(671)=.

解析：•./(x)=(sinx)f=cosx.

:.f(6兀)=cos6兀=1.

答案：1

6.已知人工)=」一且/(1)=一孑，求机

缶

解：f(x)=~'=(x-$，=H=—-，

"(iT

由/'(1)=T得_［=_:,得“=2.

ET0求切线方程

［例3］已知曲线方程>=*,求：

(1)曲线在点41,1)处的切线方程；

(2)过点8(3,5)且与曲线相切的直线方程.

［思路点拨］(1)点A在曲线上，故直接求导数，再求直线方程；(2)8点不在曲线上，故解答本题需先

设出切点坐标，再利用导数的几何意义求出斜率，进而求出切点坐标，得到切线的方程.

［精解详析J(1)>'=2%,当x=l时，y'=2,故过点A(l,l)的切线方程为y—l=2(x—1),即2r—y—l

=0.

(2)VB(3,5)不在曲线y=/上，

二可设过B(3,5)与曲线相切的直线与曲线的切点为(xo,y0).

\y'=2x,

当x=xo时，y'=2xo.

故切线方程为y—x6—2xo(x-xo).

又；直线过B(3,5)点，

；♦5—XQ—2xo(3—xo).

即6AO+5=O.

解得xa—1或xo=5.

故切线方程为2x-y—1=0或lOx-y—25=0.

［一点通］

(1)求切线方程是导数的应用之一，有两种情况：

①求曲线在点尸处的切线方程，尸为切点，在曲线上；

②求过点P与曲线相切的直线方程，P不一定为切点，不一定在曲线上.

(2)求曲线上某点(M，然)处的切线方程的步骤：

①求出(xo),即切线斜率；

②写出切线的点斜式方程；