高考数学典型易错题会诊(上)

高考数学

典型易错题会诊

(±)

目录

考点1集合与简易逻辑

典型易错题会诊

命题角度1集合的概念与性质

命题角度2集合与不等式

命题角度3集合的应用

命题角度4简易逻辑

命题角度5充要条件

探究开放题预测

预测角度1集合的运算

预测角度2逻辑在集合中的运用

预测角度3集合的工具性

预测角度4真假命题的判断

预测角度5充要条件的应用

考点2函数（一）典型易错题会诊

命题角度1函数的定义域和值域

命题角度2函数单调性的应用

命题角度3函数的奇偶性和周期性的应用

命题角度4反函数的概念和性质的应用

探究开放题预测

预测角度1借助函数单调性求函数最值或证明不等式

预测角度2综合运用函数奇偶性、周期性、单调进行命题

预测角度3反函数与函数性质的综合

考点3函数（二）

典型易错题会诊

命题角度1二次函数的图象和性质的应用

命题角度2指数函数与对数函数的图象和性质的应用

命题角度3函数的应用

探究开放题预测

预测角度1二次函数闭区间上的最值的问题

预测角度2三个“二次”的综合问题

预测角度3含参数的对数函数与不等式的综合问题

考点4数列

典型易错题会诊

命题角度1数列的概念

命题角度2等差数列

命题角度3等比数列

命题角度4等差与等比数列的综合

命题角度5数列与解析几何、函数、不等式的综合

命题角度6数列的应用

探究开放题预测

预测角度1数列的概念

预测角度2等差数列与等比数列

预测角度3数列的通项与前n项和

预测角度4递推数列与不等式的证明

预测角度5有关数列的综合性问题

预测角度6数列的实际应用

预测角度7数列与图形

考点5三角函数

典型易错题会诊

命题角度1三角函数的图象和性质

命题角度2三角函数的恒等变形

命题角度3三角函数的综合应用探究开放题预测

预测角度1三角函数的图象和性质

预测角度2运用三角恒等变形求值

预测角度3向量与三角函数的综合

考点6平面向量

典型易错题会诊

命题角度1向量及其运算

命题角度2平面向量与三角、数列

命题角度3平面向量与平面解析儿何

命题角度4解斜三角形

探究开放题预测

预测角度1向量与轨迹、直线、圆锥曲线等知识点结合

预测角度2平面向量为背景的综合题

考点7不等式

典型易错题会诊

命题角度1不等式的概念与性质

命题角度2均值不等式的应用

命题角度3不等式的证明

命题角度4不等式的解法

命题角度5不等式的综合应用

探究开放题预测

预测角度1不等式的概念与性质

预测角度2不等式的解法

预测角度3不等式的证明

预测角度4不等式的工具性

预测角度5不等式的实际应用

考点8直线和圆

典型易错题会诊

命题角度1直线的方程

命题角度2两直线的位置关系

命题角度3简单线性规划

命题角度4圆的方程

命题角度5直线与圆

探究开放题预测

预测角度1直线的方程

预测角度2两直线的位置关系

预测角度3线性规划

预测角度4直线与圆

预测角度5有关圆的综合问题

考点9圆锥曲线

典型易错题会诊

命题角度1对椭圆相关知识的考查

命题角度2对双曲线相关知识的考查

命题角度3对抛物线相关知识的考查

命题角度4对直线与圆锥曲线相关知识的考查

命题角度5对轨迹问题的考查

命题角度6考察圆锥曲线中的定值与最值问题

探究开放题预测

预测角度1椭圆

预测角度2双曲线

预测角度3抛物线

预测角度4直线与圆锥曲线

预测角度5轨迹问题

预测角度6圆锥曲线中的定值与最值问题

考点10空间直线与平面

典型易错题会诊

命题角度1空间直线与平面的位置关系

命题角度2空间角

命题角度3空间距离

命题角度4简单儿何体

探究开放题预测

预测角度1利用三垂线定理作二面角的平面角

预测角度2求点到面的距离

预测角度3折叠问题

考点11空间向量

典型易错题会诊

命题角度1求异面直线所成的角

命题角度2求直线与平面所成的角

命题角度3求二面角的大小

命题角度4求距离

探究开放题预测

预测角度1利用空间向量解立体几何中的探索问题

预测角度2利用空间向量求角和距离

考点12排列、组合、二项式定理典型易错题会诊

命题角度1正确运用两个基木原理

命题角度2排列组合

命题角度3二项式定理

探究开放题预测

预测角度1在等可能性事件的概率中考查排列、组合

预测角度2利用二项式定理解决三项以上的展开式问题

预测角度3利用二项式定理证明不等式

考点13概率与统计

典型易错题会诊

命题角度1求某事件的概率

命题角度2离散型随机变量的分布列、期望与方差

命题角度3统计探究开放题预测

预测角度1与比赛有关的概率问题

预测角度2以概率与统计为背景的数列题

预测角度3利用期望与方差解决实际问题

考点14极限

典型易错题会诊

命题角度1数学归纳法

命题角度2数列的极限

命题角度3函数的极限

命题角度4函数的连续性

探究开放题预测

预测角度1数学归纳法在数列中的应用

预测角度2数列的极限

预测角度3函数的极限

预测角度4函数的连续性

考点15导数及其应用

典型易错题会诊

命题角度1导数的概念与运算

命题角度2导数几何意义的运用

命题角度3导数的应用

探究开放题预测

预测角度1利用导数的儿何意义

预测角度2利用导数探讨函数的单调性

预测角度3利用导数求函数的极值和最

考点16复数

典型易错题会诊

命题角度1复数的概念

命题角度2复数的代数形式及运算

探究开放题预测

预测角度1复数概念的应用

预测角度2复数的代数形式及运算

答案与解析

考点-1

集合与简易逻辑

集合的概念与性质集合与不等式

集合的应用简易逻辑

充要条件集合的运算

逻辑在集合中的运用集合的工具性

真假命题的判断充要条件的应用

典型易错题会诊

命题角度1集合的概念与性质

1.（典型例题）设全集U=R，集合M={x|x>l},P=则下列关系中正确的是（）

A.M=PB.PuM

C.MuPD.GMnP=0

［考场错解］D

［专家把脉］忽视集合P中，X<-1部分.

［对症下药］CVx2>l或x<T.故MuP.

2.（典型例题）设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q={a+b|aeP,beQ},若P{0,2,5）,Q=

{1,2,6},则P+Q中元素的个数是（）

A.9B.8

C.7D.6

［考场错解］AP中元素与Q中元素之和共有9个.

［专家把脉］忽视元素的互异性，即和相等的只能算一个.

［对症下药］BP中元素分别与Q中元素相加和分别为1,2,3,4,6,7,8,11共8个.

3.（典型例题）设f（n）=2n+l（neN）,P={1,2,3,4,5},Q={3,4,5,6,7},记户={neN|f（n）eP},

Q={neN|f(n)e

则(户nc、。)u(@ncj)等于()

A.{0,3}B.{1,7}

C.{3,4,5}D.{1,2,6,7)

［考场错解］DPDC'Q={6,7}.Qnc、p={1,2}.故选D.

［专家把脉］未理解集合P的意义.

［对症下药］B'：P={1,3,5}.Q={3,5,7}..n(：出={1}.PfyC.Q={7}.故选B.

4.（典型例题）设A、B为两个集合，下列四个命题：

①ABo对任意xwA,有x史B；②ABoADB=0；③AB=AB;④人8。存在会人，使得x纪B.其

中真命题的序号是.

［考场错解］B,即A不是B的子集，对于xeA,有x宏B;ADB=0,故①②④正确.

［专家把脉］对集合的概念理解不清.B,即A不是B的子集，但是A,B可以有公共部分，即存

在xeA,使得xwB.不是对任意xeA,有x史B,故④正确.“AB”是“任意xeA,有XEB”的必要

非充分条件.②同①.

［对症下药］画出集合A,B的文氏图或举例八={1,2},B={2,3,4},故①、②

图I-I

均不成立，③A(1,2,3),B={1,2},AAB但BuA,故也错.只有④正确，符合集合定义.故填④

5.(典型例题I)设A、B、I均为非空集合，且满足AuBuI,则下列各式中错误的是()

A.(CiA)UB=I

B.(C,A)U(CiB)=I

C.Afi(CiB)=0

D.(GA)n(CB)=GB

［考场错解］因为集合A与B的补集的交集为A,B的交集的补集.故选D.

［专家把脉］对集合A,B,1满足AuBuI的条件，即集合之间包含关系理解不清.

［对症下药］如图是符合题意的韦恩图.

从图中可观察A、C、D均正确，只有B不成立.或运用特例法，如人={1,2,3},B={1,2,3.4},1=

{1,2,3,4,5).逐个检验只有B错误.

专家会诊

1.解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的

集合{x|xeP},要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P；要重视发挥图示法的作用，充

分运用数形结合(数轴，坐标系，文氏图)或特例法解集合与集合的包含关系以及集合的运算问题，直观地

解决问题.

2.注意空集。的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如AaB,则

有A=0或Aw。两种可能，此时应分类讨论.

考场思维训练

1全集U=R,集合M={1,2,3,4},集合N=则Mn(GN)等于()

V2-1J

A.{4}B.{3,4}

C.{2,3,4}D.{1,2,3,4}

答案：B解析：由得N=五}+l,CiN=(dxA6+1卜.Mc(CuN)={3,4}

2设集合M={x|x=3m+l,mGZ),N=y|y{=3n+2,neZ),若xo^M,y()wN,则x()yo与集合M,N的关系是

()

A.XOYO^MB.XOYO^MMM

C.xoyo^ND.xoyo^N

答案：C解析：：

X。GMxo=3m+\,yoGNyo=3〃+2,/.x^yo=(3m+1)(3〃+2)=9mn+6m+3〃+2=3(3mn+2m+〃)+2£N.故选C.

3设2{x|x4a,aER},N={y|y=3x,x£R},则()

A.MDN=0B.M=N

C.Mz>ND.MuN

答案：B解析：M二卜Ix=4",Qe/?)=M={xIx>0}={yIy>()}=N.选B

4已知集合A二{0,2,3},B={x|x二ab,a、b《A且aWb},则B的子集的个数是()

A.4B.8C.16D.15

答案：解析：・.•8={0,6},它的子集的个数为22=4。

5设集合M={(x,y)|x=(y+3)•y-l|+(y+3),->WyW3},若(a,b)£M,且对M中的其他元素(c,

2

d),总有c2a,则a=.

答案：解析：依题可知，本题等价于求函数不胜数x=f(y)=(y+3).|y-l|+(y+3)在时的最小值.

(1)当一1VyVI时,8=(丫+3)(1_丫)+(丫+3)=_丫2_丫_6=_(了+3)2+弓,所以},=_1,时,*111"=:.

1wy3时

x=(y+3)(y-l)+(y+3)=y2+3y=(y+-|)所以当)，=1时,小2=4.而4”，因此当)，=■时,x有最小值、，即a=*

命题角度2集合与不等式

1.(典型例题)集合A={xl缶YO卜B={xk-b|<a=,若“a=l”是“AABW0”的充分条件，则b

的取值范围是()

A.-2Wb<2B.-2(bW2

C.-3<b<-lD.-2<b<2

［考场错解］A当a=l时,人=以|-1<*<1=且B={x|bT<x<b+l=.AABW0.bTVI且b+12T.

故-2Wb<2....只有A符合.

［专家把脉］AABW0时，在点T和1处是空心点，故不含等于.

［对症下药］D当a=l时，A={x|-l<x<l=.B={xb-l<x<b+l=.此时ACBA。的充要条件是b-1

<1且b+l>T.B|J-2<b<2.故只有D符合.

2.(典型例题)⑴设集合A山由T》9,xGR},B/%。,x《R},则AAB=

［考场错解］以鼠辽-3或;(2表―

［专家把脉］V—>0/.x(x+3)^0.而此忖x+3W0.故不含x=-3.

x+3

［对症下药］A={x|xW-3或x》』}.B={x|x-3或xMO}..，/恤。3或x/}.

22

3.(典型例题)已知f(x)==*(xGR)在区间［T,1］上为增函数.

?+2

(1)求实数a的值所组成的集合A；

(2)设关于x的方程f(x)=’的两根为xaxz,试问：是否存在实数m,使得不等式m'+tm+l)IxLx/对任

X

意aGA及tG［T,1］恒成立?若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.

［考场错解］(1)因为f(x)=4(xGR),所以f(x)=-21+2”：+4,依题意f(x)20在［T,1］上恒

成立，即2x?-2ax-4W0在［T,1］上恒成立.

当x=0时,aWR;当OVxWl时,aex-2恒成立,又y=x-2在(0,1)上单调递增,所以y=x-2的最

XXX

大值为T，得a2-l,当-lWx<0时x-2恒成立，由上知aWl.综上：adR(注意应对所求出的a的范围求

X

交集).

(2)方程f(x)=’变形为x2-ax-2=0,凤』|=庐？,又TWaWl,所以|x「X2|=《^的取大值为3,

X

n?+tni+lN|x「X21对任意a《A及te［-1,1］恒成立等价于疗+5+1》3在［T,1］恒成立，当m=0时,

222

显然不成立，当m>0时，t2互。恒成立，所以-12三竺-，解得m22；当m<0时，恒成立，所

inmin

2

以1W20/，解得mW-2.

m

综上：故不存在实数m,使得不等式而+tm+ie|x「X2|对任意a£A及［T,1］恒成立.

［专家把脉］(1)讨论x求参数的范围，最后应求参数的交集而不是并集.因为xe［-l,l］0j,f(x)

20恒成立.(2)注意对求出的m的值范围求并集而不是交集.

［对症下药］(1)因为f(x)="(xGR),所以#&)=--2总+2号+4,依题意*(X)》。在［-1,1］

上恒成立，即2xJ2ax-4W0在［T,1］上恒成立.

当x=0时，a£R；当0<xWl时，a2x-2恒成立，又y=x-2在(0,1)上单调递增，所以y=x-2的最

XXX

大值为T，得a》T;当TWx〈O时aWx-2恒成立，由上知aWl.综上WaWl(注意应对所求出的a的范

X

围求交集).

(2)方法1：方程f(x)=’变形为x?-ax-2=0,|XLX21二J/+8,又-IWaWl,所以|xi-X21二J/+8的最

X

大值为3m'+tm+ie|x「X21对任意a£A及［T,1］恒成立等价于82+面+123在［-1,1］恒成立,

222

当m=0时，显然不成立，当m>0时，?_"?.恒成立,所以-122一,解得田22；当m<0时，tW之二〃L

mmin

恒成立，所以1〈三oL2,解得mW-2.

in

综上：存在实数nb使得不等式n?+tm+12|x「X21对任意a£A及te［T,1］恒成立，m的取值范围是

{m|m22或m<-}2(注意对求出的m的取值范围求并集).

方法2：方程f(x)=,变形为x'-ax-2=0,|X「X2|=J/+8,又-IWaWl,所以|x「X21=+8的最大值

X

为3,m2+tm+l》IXLXJ对任意aGA及te［T,1］恒成立等价于m'+tm+l23在te［T,1］恒成立，令

g(t)=tm+m2-2,有g(T)=m'+m-220,gW-m-m-2^0,解得{m|m22或mW-2}.(注意对求出的m的取值

范围求交集).

专家会诊

讨论参数a的范围时，对各种情况得出的参数a的范围，要分清是“或”还是“且”的关系，是“或”

只能求并集，是“且”则求交集.

考场思维训练

1设［x］表示不超过x的最大整数，则不等式［x］2-5［x］+6W0的解集为()

A.(2,3)B.［2,3］

C.［2,4］D.⑵4］

答案：C解析：由［x］2-5［x］+6W0,解得2<［x］W3,由［x］的定义知2<x<4所选C.

2已知不等式成立的充分非必要条件是IYXYL,则实数m的取值范围是()

32

C.（一8,一小D.*+oo

m-\<

|4

答案：B解析：因不等式|x-m|G等价于m-kx<m+l,依题意有3——<m<—,所以选及

23

m+l>

2

3设A、B是两个集合，定义A-B={x|x£A,且x〉B}.若M={x|x+lW2},N={x|x=sin。|a£等R},则

M-N等于（）

A.[-3,1]B.[-3,0]

C.[0,1]D.[-3,0]

答案：B

4已知集合人=巳|(x-2)[x-(3a+l)]<0=,B={x|尸孑y。}.

x-(a-+l)

⑴当a=2时,求ACB；

(2)求使B=A的实数a的取值范围.

解析：(1)当a=2时，A=(2,7),B=(4,5)AAnB=(4,5).

(2),/B=(2a,a2+l),当a〈[时A=(3a+1,2)要使Bu4,必须产：-%)此时&=_]；当&=_1时*=0,使

3一«2+1<23

Ih\2a>2»)

8勺4的61不存在;当。>一时,/1=(2,3。+1)要使8勺4必须《,，此时lWaW3.

3-［a2+1<3a+1

综上可知，使BgA的实数a的取值范围为［1,3］ul-ll

命题角度3集合的应用

1.(典型例题)3是正实数，设S“={。|/6)=<：05［36+。)］是奇函数},若对每个实数a,S“n(a,a+l)

的元素不超过2个，且有a使S“C(a,a+1)含2个元素，则3的取值范围是____.

［考场错解］(n,2JT)

［专家把脉］；a使S“n(a,a+1)含两个元素，如果会>1时，则超过2个元素，注意区间端点.

(D

［对症下药］由S“n(a,a+1)的元素不超过两个，...周期生X，〈l.又•.•有a使S3n(a,

co2

a+1)含两个元素，,女周期21.I.3W2兀.故3e(兀，2n).

CD

2.(典型例题)设函数f(数=--^(xWR),区间M=［a,b］(a<b),集合N={y|y=f(x),x6M},则使M=N

1+IXI

成立的实数对(a,b)有()

A.0个B.1个

C.2个D.无数多个

［考场错解］D•••y=f(x)是奇函数，不妨设x>0.f(x)=T+—L,，f(x)在(0,+8)上为减函数，即

X+1

y=f(x)在［a,b］上为减函数，；.y=f(x)的值域为［―工NG

l+\b\14-1al

-b-a

l+IZ?ri+l«l_

•；M=N,...MuN...a2上L,且bW」一,故有无数组解.

一l+\h\1+lal

［专家把脉］错误地理解了M=N,只是MgN,忽视了M=N,包含McN和NcM

两层含义.

—1H------(xN0)

［对症下药］・・・f(x)=X：，丁尸f(x)在［a,b］上为减函数・・・y=f(x)的值域为

VN={y|y=f(X)},AN表示f(x)的值域-b

-b

a=--------

，M=N,，"""nan/,,而已知a〈b,...满足题意的a、b不存在，故选A.

,-a

b=--------

1+1aI

3.(典型例题)记函数f(x)=J-当的定义域为A,g(x)=lg［(x-aT)(2a-x)］(a<l)的定义域为B.

⑴求A；

(2)若BuA,求实数a的取值范围.

［考场错解］(1)由2-320,得x<T或xel..•.A={x［x<-1或xel}

x+\

(2)由(x-a-1)(2a-x)>0,得(x-a-1)(x-2a)<0.Va<l,.,.a+l>2a,：.B=(2a,a+1)

VBcA，2a>l或a+lWTAa>-!-gKa^-2XVa<l/.a<-2^l<a<l

22

［专家把脉］利用集合的包含关系时，忽视了端点的讨论.

［对症下药］(1)由2-g\0,得x〈T或xel.

X+1

(2)由(x-aT)(2a-x)>0,得(x-aT)(x-2a)<0.Va<l,a+l>2a,B=(2a,a+1)

：BuA,，2a2l或a+lWT,即a2/或aW-2,而a<l,Wa〈l或aW-2,故当BuA时,实数a

22

的范围是(-8,-2)U［l,1］.

2

专家会诊

集合与不等式、集合与函数、集合与方程等，都有紧密联系.因为集合是一种数学工具.在运用时注意

知识的融会贯通.有时要用到分类讨论，数形结合的思想.

考场思维训练

1已知集合A={xI(a?-a)x+l=0,xGR},B={x|ax2-x+l=0,xGR},若AUB=0,则a的值为()

A.0B.1C.0或1D.0或4

答案：B解析：AUB=0,/.A=0且B=。，由A=。得a=0或1；由B=。得a>0且△<(),解得a=1.

4

2设集合P={3,4,5},Q={4,5,6,7}定义PXQ={(a,b)|aeP,beQ,则PXQ中元素的个数为

()

A.3B.4C.7D.12

答案：D

3已知关于x的不等式铲Y0的解集为M.

(l)a=4时，求集合M；

答案：⑴当a=4时，原不等式可化为牛^<0,即4*-9)(8-2)<0,.»€(—1,-2)5*.2),故“为(-00,-2)5』,2).

X2-4444

(2)若3WM且5任M,求实数a的取值范围.

答案：由3€4/得当二^<0,，。>9或°<2,①

32-a3

由5SEM得竽，W0,.1lVa<25,②

52-a

由①、②得1Va<*或9<a<25.因此a的取值范围是［1,$u(9,25).

命题角度4简易逻辑

1.（典型例题）对任意实数a、b、c,给出下列命题：

①“a=b”是"ac=bc”的充要条件;②“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件;③“a>b”是

“a2>b2”的充分条件;④“a<5”是“a<3”的必要条件.

其中真命题的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

［考场错解］D

［专家把脉］忽视①中c=0的情况，③中a,b小于0的情况.

［对症下药］B①中c=0时，非必要条件；③中0>a>b时，非充分条件，②④正确.

2.（典型例题）给出下列三个命题

①若a》b>T,贝

\+a1+/;

②若正整数m和n满足mWn,则向二荷V、

③设P（x“yj为圆OKx?+y2=9上任一点，圆”以Q（a,b）为圆心且半径为1.当（a-xM+（b-yM=l时,

圆Ch与圆相切

其中假命题的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

［考场错解］A

［专家把脉］③中（a-xM+（b-yM=l时，即圆与Oi上任•点距离为1,并不••定相切.

［对症下药］B

3.（典型例题）设原命题是“已知a,b,c,d是实数，若2巾，c=d,则a+c=b+d”，则它的逆否命题

是（）

A.已知a,b,c,d是实数，若a+c#b+d,则a#b月一cWd

B.已知a,b,c,d是实数，若a+c¥b+d,则aWb或cWd

C.若a+cWb+d,则a,b,c,d不是实数，且aWb,cWd

D.以上全不对

［考场错解］A

［专家把脉］没有分清"且”的否定是“或"，''或"的否定是“且”.

［对症下药］B逆否命题是''已知a,b,c,d是实数，若a+cWb+d,则aWb或cWd”.

4.（典型例题）已知c>0,设P：函数y=c”在R上单调递减;Q：不等式x+|x-2c|>1的解集为R,如果

P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围.

［考场错解］由函数y=c*在R上单调递减，得0Vc<1;•••x+1x-2c|-'2；所以函数y=x+|x_2c|

［2c,xY2c

在R上的最小值为2c,因为不等式x+|x-2c|>l的解集为R,所以2c>1,得c>；.

如果P真，得0<c<l,如果Q真，则c>L

2

所以c的取值范围是（0,+8）.

［专家把脉］将P和Q有且仅有…个正确，错误理解成P正确或Q正确.

［对症下药］由函数y=c”在R上单调递减，得0<c<l；♦••x+|x-2c|=fx-2cr'2c,所以函数y=x+|x_2c|

|2c,xY2c

在R上的最小值为2c,因为不等式x+|x-2c|>l的解集为R,所以2c>1,得c>L

2

如果P真Q假，则OVcWL；如果Q真P假，贝Uc》l.

2

所以c的取值范围是(0,L)U［l,+8］

2

专家会诊

1.在判断一个结论是否正确时，若正面不好判断，可以先假设它不成立，再推出矛盾，这就是正难则

反.

2.求解范围的题目，要正确使用逻辑连结词，“且”对应的是集合的交集，“或”对应的是集合的并集.

考场思维训练

1已知条件P：|x+11>2,条件q：5x-6>x\则>是飞的()

A.充要条件B.充分但不必要条件

C.必要但不充分条件D.既非充分也非必要条件

答案：B解析：p:x〈-3或x>l,q:2<x<3,则q是p的充分但不必要条件，故'p是飞的充分但不必要条件。

2已知命题p：函数log。.5(x、2x+a)的值域为R,命题q：函数y=-(5-2a)”是减函数.若p或q为真命

题，P且q为假命题，则实数a的取值范围是()

A.aWlB.a<2

C.l<a<2D.aWl或a22

1.答案：解析：命题p为真时，即真数部分能够取到大于零的所有实数，故二次函数x?+2x+a的判别式

△=4-4a20,从而aWl;命题q为真时，5-2a>l今a<2.

若P为真，q为假时，无解；若P为假，q为真时，结果为l〈a<2,故选C.

3如果命题P：0G{0},命题Q：0u{0},那么下列结论不正确的是()

A."P或Q”为真B.“P且Q”为假

C.“非P”为假D.“非Q”为假

答案：B

4已知在x的不等式0<x2-4<6x-13a的解集中，有且只有两个整数，求实数a的取值范围.

答案：解析：原不等式等价于

x>2或x>-2。aio

,,4/(%)=x2-6x+13a,画町(x)的函数图象，由已知可在/'(4)<0/⑸>0,解得一<a<—.

A-2-6X-4+13O<01313

5已知命题p：方程aV+ax-2=0在［-1,1］上有解；命题q：只有一个实数x满足不等式d+2ax+2aW0,

若命题“P或q是假命题，求a的取值范围.

答案：解析：由a2x2+ax-2=0,得(ax+2)(ax-1)=0,显然aW0x=--^x=-'：

21

X€［一1』,故I一&1或I-Ka\>1“只有一个实数满足x、2ax+2aW0”.即抛物线y=x'+2ax+2a与x轴只有一

aa

个交点，

4a2-8a=0,.,.a=0或2,，命题“p或q为真命题”时"|a|21或a=0"1•命题“p或q”为假命

题.,.a的取值范围为{aI-1<a<0或0<a<l}

命题角度5充要条件

1.(典型例题)“m=1"是''直线(m+2)x+3my+l=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直''的()

2

A.充分必要条件B.充分而不必要条件

C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件

［考场错解］A

［专家把脉］当两直线垂直时，AIA+BIB2=0,m2-4+3m(m+2)=0,即或8=-2；故不是充分必要条件.

22

［对症下药］B当时两直线垂直.两直线垂直时呼3或m~2,故选B.

2.(典型例题)设定义域为R的函数f(x)=『gUT"'"!,则关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有7个

［O,x=l

不同实数解的充要条件是()

A.b<0且c>0B.b>0且c<0

C.b〈0且c=0D.b20且c=0

［考场错解］B△=F-4ac.当c<0时，△>().故f(x)有两个不同实根，；.x有7个不同根.

［专家把脉］•••f(x)的根为正时，x有4个不同实根.应考虑f(x)的根的正负.

［对症下药］C当x=l时f(x)=O,.k=0.

当xWl时,f(x)=|lg|x-lI|,/.f2(x)+bf(x)+c=lg21x-l|+blg|x-11=0.即，11g|x-11(lgIx-1|+b)=0,

lg|xTI=0或lg|x-l|=-b,x-2或x=0或Iglx-1|=-b®/.b<0.①式有4个不同实根故c=0且b<0,

恰有7个不同实根

3.(典型例题)若非空集合MuN,贝iJaGM或aWN是ae(MCN)的()

A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

［考场错解］aC(MC1N)的意思是a《M且aWN,所以a《M或a《N不能推出ad(MAN),同样ae(M

PIN)也不能推出adM或aWN,所以aGM或aGN是aW(MCN)的既不充分也不必要条件，所以选D.

［专家把脉］“或”与“且”理解错误，逻辑中的“或”与生活中的“或”有区别，aWM或aGN包

括三种：aWM但a纪N；aGN但a«EM；adM且aGN.所以ae(MAN)可以推得aGM或aGN.

［对症下药］ae(MAN)的意思是aGM且aGN,而aGM或aGN包括三种：aGM但a/N；aWN但a任M；

aGM且aWN,所以a^M或aWN不能推出aS(MCN)；aS(MCN)可以推得a^M或aGN.所以选B.

2

4.(典型例题)设命题p：关于x的不等式aix'+bix+ci>0与a2x+b2x+c2>0的解集相同；命题q：

生="=幺，则命题p是命题g的()

。2团会

A.充分但不必要条件

B.必要但不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

2

［考场错解］因为"=久=幺，所以不等式aN+bix+cOO与a2x+b2x+c2>0是等价的不等式，解集相同，

。2b?。2

2

所以q能推出p而不等式aV+bix+cDO与a2x+b2x+c2>0的解集相同不能得出"=h=£L,所以选B.

"2"2。2

22

［专家把脉］因为"=久=幺若ai与a2的符号不同，这时aiX+bix+ci>0与a2x+b2x+c2>0的解集不相

b2。2

同，如-X2+3X-2>0与X2-3X+2〉0,尽管d=.=曳=-1,但它们的解集不相同,所以q不能推出P.

b2C2

［对症下药］因为"=久=幺，若ai与a2的符号不同，这时aix'bix+cDO与azx,bzx+czX)的解集不

02。2

相同，所以q不能推出P；不等式X、x+3〉0与/+1>0的解集相同，但"所以p不能推出q,

b?6?2

所以选D.

专家会诊

(1)要理解“充分条件”“必要条件”的概念：当“若P则q”形式的命题为真时，就记作pnq称P是

q的充分条件，同时称q是P的必要条件,因此判断充分条件或必要条件就归结为判断命题的真假.

(2)要理解“充要条件”的概念，对于符号“=”要熟悉它的各种同义词语：“等价于”，“当且仅当”,

“必须并且只需”，“……，反之也真”等.

(3)数学概念的定义具有相称性，即数学概念的定义都可以看成是充要条件，既是概念的判断依据，又

是概念所具有的性质.

(4)从集合观点看，若AaB,则A是B的充分条件，B是A的必要条件；若A=B,则A、B互为充要条依.

(5)证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充分性)，又要证明它的逆命题成立(即

条件的必要性).

考场思维训练

1设ab、是非零向量，则使a・b=|a||b|成立的一个必要非充分条件是()

A.a=bB.a_Lb

C.a//bD.a=Xb(>0)

答案：C解析：由a，b=|a|b|可得2〃13；但a〃b,a-b=±|a|b,,故使a，b=|a||b|成立的—•个必

要充分条件是：a〃b.故选C.

2若条件甲：平面a内任一直线平行于平面B,条件乙：平面a〃平面6,则条件甲是条件乙的

()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

答案：C解析：甲乙可以互推。选C.

3.已知函数f(x)=ax+b(OWx<l),则a+2b>0是f(x)>0在［0,1］上恒成立的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既非充分又非必要条件

答案：B解析：•.•f(x)>0在［0,1］上恒成立=a+2b>0,但a+2b>0推不出f(x)〉0在［0,1］上恒

成立。

4命题A：|x-l|<3,命题B：(x+2)(x+a)<0,若A是B的充分不必要条件，则a的取值范围是()

A.(4,+8)B.［4,+°°］

C.(-8,-4)D.(-8,-4)

答案：C

探究开放题预测

预测角度1集合的运算

1.设I是全集，非空集合P、Q满足PuQuI,若含P、Q的一个运算表达式，使运算结果为空集，则

这个运算表达式可以是;如果推广到三个，即PcQcRcI,使运算结果为空集，则这个运算表达

式可以是.(只要求写出一个表达式).

［解题思路］画出集合P、Q、I的文氏图就可以看出三个集合之间的关系，从它们的关系中构造集合

表达式，使之运算结果为空集.

［解答］画出集合P、Q、I的文氏图，可得满足PaQaL含P、Q的一个运算表达式，使运算结果为

空集的表达式可以是PC(CQ)；同理满足PuQuRuL使运算结果为空集的表达式可以是(PCQ)C(CR),

或(PAQ)n(CiR).答案不唯一.

2.设人={6,y)|y2-x-l=O},B={(x,y)14x2+2x-2y+5=0},C={(x,