高考数学解题方法探讨-数学破题36计

第1计芝麻开门点到成功

•计名释义

七品芝麻官，说的是这个官很小，就是芝麻那么小的一点.《阿里巴巴》用“芝麻开门”，讲的是“以

小见大”.就是那点芝麻，竟把那个庞然大门给“点”开了.

数学中，以点成线、以点带面、两线交点、三线共点、还有顶点、焦点、极限点等等，这些足以说明"点”

的重要性.因此，以点破题，点到成功就成了自然之中、情理之中的事了.

•典例示范

11

［例题］(2006年鄂卷第15题)将杨辉三角中的每一个数都22

12.1

换成分数一1—,就得到一个如下图所示的分数三角形，称来莱布尼363

1111

412124

茨三角形.从莱布尼茨三角形可以看出1

52030205

111

-------1-------=----其中x=.1工工11

(〃+l)C：(〃+l)C；呜T6306060306

1J_J1111

111111742105140105427

令%—I--1----1---F…H---；1--------则

3123060[5+1)。；

liman=

〃一＞8-------

［分析］一看此题，图文并举，篇幅很大，还有省略号省去的有无穷之多，真乃是个庞然大物.从何处

破门呢？我们仍然在“点”上打主意.

莱布三角形，它虽然没有底边，但有个顶点，我们就打这个顶点;的主意.

［解I］将等式一--+——=」一与右边的顶点三角形对应(图右)，自然有

S+DC：(〃+1)C：心

1111111

-------=-=-=-—

(〃+1)好2(〃+1)&211

11

对此，心算可以得到：n=1,r=0,x=122

对一般情况讲，就是x=r+1这就是本题第1空的答案.

［插语］本题是填空题，只要结果，不讲道理.因此没有必要就•般情况进行解析，而是以点带面,

点到成功.要点明的是，这个顶点也可以不选大三角形的顶点.因为三角形中任一

个数，都等于对应的“脚下”两数之和，所以选择任何-一个“一头两脚”式的小

三角形，都能解出乂="1.

第2道填空，仍考虑以点带面，先抓无穷数列的首项

I1111

［解n］在三角形中先找到了数列首项B并将和数列%二鼻+不+右+而+…中的各项依次“以

3J12Juoil

点连线”（图右实线），实线所串各数之和就是a..这个许，就等于首项g左上角的那个!.因为；在向下

一分为二进行依次列项时，我们总是“取右舍左”，而舍去的各项（虚线所串）所成数列的极限是0.

因此得到“见沏=-这就是本题第2空的答案.

［点评］解题的关键是“以点破门”，这里的点是一个具体的数;，采用的方法是以点串线——三角

形中的实线，实线上端折线所对的那个数;就是问题的答案.

事实上，三角形中的任何一个数（点）都有这个性质.例如从点这个数开始，向左下连线（无穷射线），

所连各数之和（的极限）就是!这个数的左上角的那个数A.用等式表示就是《+之+之+...=5

2012206014（）12

［链接］本题型为填空题，若改编成解答题，那就不是只有4分的小题，而是一个10分以上的大题.有

关解答附录如下.

［法们由---+——=可用合项的办法，将q,的和式逐步合项.

（〃+i）c：（〃+i）c,T仁T

11111

1—I-------1----------F•••4----------------1-------------------

31230〃C3(〃+l)C；

1111「11]1

二--H--------------F-----------!-•••+-------------F------------------H---------------------------------------------

3第4C；5C：+(«+l)C：J(〃+l)C：

111(11)1

4C；5C：NC；_J(〃+l)C：

'1I1]1=11」11

［法2］第二问实质上是求莱布尼茨三角形中从第三行起每一行的倒数的和，即

a„=工+」下+—1+…+—J+——一根据第一问所推出的结论只需在原式基础上增加

3C"4C；5C：〃C：二:（〃+1）。；2

一项——-—则由每•行中的任一数都等于其‘'脚下”两数的和，结合给出的数表可逐次向上求和为,,

故从而〃吧即="吧卜;

1

[法3](2)将》=r+1代入条件式，并变形得--------=--

(〃+l)C,丁心(〃+l)C：

取尸=1,令一2,3,…,"，…得

_]__J_____1_111_____1_

3(2+1)。2C；3C]12(3+l)ci3己4cj

1_］_J_____1_

30-(4+1)。厂4C；5C：

1____1________11_1________1

记"(“一1)03一五5+1)0；一五一(〃+1)。：

111

以上诸式两边分别相加，得与2〃(〃+1)t2

［说明1以上三法，都是对解答题而言.如果用在以上填空题中，则是杀鸡动用了牛刀.为此我们认识

到“芝麻开门，点到成功”在使用对象上的真正意义.

•对应训练

XV

1.如图把椭圆+\=1的长轴分成8份，过每个分点作x

轴的垂线交椭圆的上半部分于尸2,…，尸7七个点，尸是椭圆的一

个焦点，则|产田+|巳4+……+尸7目=.

2.如图所示，直三棱柱ABC—4&G中，P,Q分别是侧棱AA，

CG上的点，且4QCQ,则四棱锥Bi-4尸QG的体积与多面体ABC—P&Q

的体积比值为.

•参考解答

1.找“点”——椭圆的另一个焦点F2.

连接尸1F2、尸2巳、…、P7F2,由椭圆的定义尸尸5+尸5凡=2a=10

如此类推FPI+RF2=FP2+P2F2=…=FP7+P7F2=7X10=70

由椭圆的对称性可知，本题的答案是70的一半即35.

2.找“点”——动点P、。的极限点.

如图所示，令4Q=CQ=0.即动点P与4重合，动点Q

则多面体蜕变为四棱锥C-AA.B.B,四棱锥蜕化为三棱锥C—A&G.

“1

显然C—小8］。］一§V枝柱.

VV

AC—A}B}Cy:C—AAlBiB=^

于是奇兵天降——答案为1.

［点评］“点到成功”的点，都是非一般的特殊点，它能以点带面，揭示整体，制约全局.这些特殊点，

在没被认识之前，往往是人们的盲点，只是在经过点示之后成为亮点的.这个“点”字，既是名词，又是动

词，是“点亮”和“亮点”的合一.

第2计西瓜开门滚到成功

•计名释义

比起“芝麻”来，“西瓜”则不是一个“点”，而一个球.因为它能够“滚”，所以靠“滚到成功”.球能不断地变换

碰撞面，在滚动中能选出有效的“触面”.

数学命题是二维的.一是知识内容，二是思想方法.基本的数学思想并不多，只有五种：①函数方程思

想，②数形结合思想，③划分讨论思想，④等价交换思想，⑤特殊•般思想.数学破题，不妨将这五种思想“滚

动”一遍，总有一种思想方法能与题目对上号.

•典例示范

［题1］(2006年赣卷第5题)

对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x-1)f'(x)>0,则必有

A.f(0)+f(2)<2f(1)B.f(0)+f(2)<2/(1)

C.f(0)+f(2)>2f(1)D.f(0)+f(2)>2f(1)

［分析］用五种数学思想进行“滚动”，最容易找到感觉应是③：分类讨论思想.这点在已条件(x-1)

r(x)>o中暗示得极为显目.

其一，对尸(x)有大于、等于和小于o三种情况；

其二，对x-1,也有大于、等于、小于0三种情况.

因此，本题破门，首先想到的是划分讨论.

［解一］(i)若f'(x)三0时，则Kx)为常数：此时选项B、C符合条件.

(ii)若f'(x)不恒为。时.则(x)》0时有x21,f(x)在［1,8)上为增函数；〃(x)W0时xW1.即f

(x)在(-81］上为减函数.此时，选项c、D符合条件.

综合(i),(ii),本题的正确答案为C.

［插语］考场上多见的错误是选D.忽略了〃(x)三0的可能.以为(x-1)r(x)20中等号成立的

条件只是x-1=0,其实x-1=0与f，(x)=0的意义是不同的：前者只涉x的一个值，即41,而后是对x的所

有可取值，有〃(x)=0.

［再析］本题f(x)是种抽象函数，或者说是满足本题条件的一类函数的集合.而选择支中，又是一些

具体的函数值f(0),f(1),f(2).因此容易使人联想到数学⑤：一般特殊思想.

［解二］(i)若/(x)=0,可设f(x)=l.选项B、C符合条件.

(ii)r(x)#0.可设G)=(X-1)2又"(x)=2(x-1).

满足(x-1)〃(x)=2(x-1产NO,而对f(x)=(x⑴2.有f(0)=f(2)=1,f(1)=0

选项C,D符合条件.综合(i),(ii)答案为C.

［插语］在这类f(x)的函数中，我们找到了简单的特殊函数(x-俨.如果在同类中找到了(x-1)4，

自然要麻烦些.由此看到，特殊化就是简单化.

［再析］本题以函数(及导数)为载体.数学思想①——“函数方程(不等式)思想”.贯穿始终，如由f

'(x)=0找最值点x=0,由f'(x)>0(<0)找单调区间，最后的问题是函数比大小的问题.

由于函数与图象相联，因此数形结合思想也容易想到.

［解三］(i)若f(0)=f(1)=f(2),即选B,C,则常数f(x)=1符合条件.(右图水平直线)

(ii)若f(0)=f(2)<f(1)对应选项A.(右图上拱曲线)，但不满足条

件(x-1)f'(x)20

若f(0)=f(2)>f(1)对应选项C,D(右图下拱曲线).则满足条件(x-1)

r(x)>0.

［探索］本题涉及的抽象函数f(x),没有给出解析式，只给出了它

的一个性质：(x)>0,并由此可以判定f(0)+f(2)Nf(1).自然,

有这种性质的具体函

数是很多的，我们希望再找到•些这样的函数.

［变题］以下函数f(x),具有性质(x-1)f'(x)>0从而有f(0)+f(2)>2f(1)的函数是

£52006

A.f(x)=(x-1)3B.f(x)=(x-1)2c.f(X)=(x-1)3D.f(x)=(x-1)2005

［解析］对A,f(0)=-1,42)=1,f(1)=0,不符合要求；对B,f(0)无意义；

对C,f(0)=-1,42)=1,41)=0,不符合要求：

答案只能是D.对D,f(0)=1,f⑴=0,f(2)=1.

且f'(x)=券|住1)丽使得(x-1)f'(x)=(x-1)|^(x-1)薮20.

［说明］以x=1为对称轴I、开口向上的函数都属这类抽象函数.如，(x)=(x-1)票I,其中m,〃都

是正整数，且底帆

［点评］解决抽象函数的办法，切忌“一般解决”，只须按给定的具体性质“就事论事”，抽象函数具体化,

这是“一般特殊思想”在解题中具体应用.

［题2］已知实数x,y满足等式4x2+9y2=36,试求分式出的最值。

［分析］“最值”涉及函数，“等式”连接方程，函数方程思想最易想到.

［解一］(函数方程思想运用)

令三=左ny=k(x-5)与方程4/+9y2=36联立

x—5

消y,得:（4+9左2.2一90左2》+9.25左2-36=0

根据x的范围xw［-3,3］应用根的分布得不等式组：

A=(90左了-4(9左2+4)(9・25左2—36)20

/(3)=9(9r+4)-90•然2+925/-36>0

2

/(3)=9(9左2+4)+909左2+9-25^-36>0

_3〈二•沙二

<3

—2（泌2+4）

111y111

解得一不”《不即一彳忘一或彳即所求的最小值为-最大值为彳.

ZLZx-jLZZ

［插语］解出一jwTw：,谈何易！十人九错，早就应该“滚开”，用别的思想方法试试.

ZX—J2.

［解二］（数形结合思想运用）

由4/+9好=36得椭圆方程二+匕=1,

94

左=一'看成是过椭圆上的点（x,y）,（5,0）的直

X-J

线斜率（图右）.

4x2+9y2=36

联立得(4+9/)/一90公%+9.25左2-36=0

y=k(x-5)

令△=（）得八±;'故长的最小值为4‘最大值为1

［插语］这就是“滚动”的好处，解二比解-容易多了.因此，滚动开门，不仅要善于“滚到”，还要

善于“滚开”.

［点评］“西瓜开门”把运动学带进了考场解题.滚动能克服解题的思维定势.

解题时，要打破思维固化，在思想方法上要“滚动”，在知识链接上要“滚动”，在基本技能技巧上也

要“滚动”.总之，面对考题，在看法、想法和办法上要注意“滚动”.

•对应训练

1.若动点P的坐标为（x,y）,且Igy,lg|x|,lg匕二成等差数列，则动点P的轨迹应为图中的

2

()

D

A.y=-y]2x-x2(0<x<1)B.y=yllx-x2(0<x<1)

C.y=-(-1<x<0)D.y=42x-x2(-1<x<0)

3.设a,b,c£R,且4a・4b+c>0,a+2b+cv0,则下列结论中正确的是()

A.b2<acB.b2>acC.b2>ac且a>0D.b2>ac且a<0

•参考答案

1.【思考】利用题设的隐含条件,由条件知xH0,y>0且y>x,选项B中无xvO的图像，选项D中无x>0

的图像，均应否定；当*=丫^1?+时，二无意义，否定A,选C.

【点评】上面的解法中条件与选项一并使用，滚滚碰碰中终于找到了正确的选项.本题的常规解法是：

v—x

当xWO且y>x时，由lgy+lg'=2lg|x|,化简可得(x+y)(2x-y)=0".y=-x或y=2x(x#0,y>0).

2.【思考】分析各选项，仅解析式符号有区别.定义域中等号的位置有区别，所以拟从这两方面滚动着

手排除错误的选项.

原函数定义域为-1仝<0,...其反函数值域为-1功<0,排除B、D.

:原函数中f(-1)=1，，反函数中f1(1)=-1,BPx=1时F(x)有定义，排除C,.•.选A.

3.解析一分析四个选择支之间的逻辑关系知，若C真，则B也真;若D真，则B也真，故C、D皆假.

取符合条件4a-4b+c>0,a+2b+c<0的实数a=0,b=-1,c=0检验知选B.

解析二由选择支,联想到二次函数的判别式.

令f(x)=ax?+2bx+c,贝ijf(-2)=4a-4b+c>0,

f(1)=a+2b+c<0,故△=4b2-4ac>0,BPb2>ac,故选B.

【点评】在解题时易受题设条件的干扰，企图从已知不等式出发：

4b<4a+c,①

2b<-a-c,②

①X②不等号的方向无法确定，思维受阻.

用逻辑分析法和特殊值检验的方法两种方法滚动使用，简便明快，如解析一.用判别式法逻辑性强但思路

难寻，如解析二.一般在做题时,为了使选择题解题速度变快，推荐学生使用解析一.

第3计诸葛开门扇到成功

♦计名释义

诸葛亮既不会舞刀，也不会射箭，他的兵器就是他手中的那把扇子.草船借箭用扇子，借东风也是用扇

子.有人把“借东风”的意思弄肤浅了，以为东风就是东边来的风，其实，这里真正所指是“东吴”的风.在

赤壁大战中，刘备哪是曹操的对手，后来能把曹兵打败，借的就是东吴的力量.

数学解题的高手们，都会“借力打力”，这就是数学“化归转换思想”的典型应用.

•典例示范

1

［题1］已知f(x)=f+-后试求4-5)+44)+…+*0)+-+46)的值.

［分析］若分别求f(x)在x=-5,4…，0,…，6时的12个值然后相加.这不是不行，只是工作量

太大，有没有简单的办法？我们想“借用”等差数列求和时“倒序相加”的办法.于是，我们关心f(x)+f(1-x)

的结果.

11

[解析]因为f(x)+f(1-x)=2』+拒

12X11

------H-------------------H——------Tiz-

-2X+V22+V2»2x2X+V2V2(2X+V2)

4i+2x

~y[2(2x+y[2)2

所以f(-5)+^(-4)+•••+f(0)+•••+f(6)

=；L(f(-5)+f(6))+(f(4)+f(5))+•••+(f(6)+f(-5))]

=gU(1-x)+f(x)]X6=gx坐xl2=3>/I

[点评]这里，“借来”的不是等差数列本身的性质，而是等差数列求和时曾用过的办法——倒序相

加法.

•对应训练

1.已知sin2a+sin2P+sin2Y=1(a、B、y均为锐角),那么cosacosPcosY的最大值等于___________.

25

2.求已知离心率e=，过点(1,0)且与直线/:2x-y+3=0相切于点P(-15),长轴平行于y轴的椭圆方程.

3.若椭圆；+/=/但＞0)与连结A(1,2),B(3,4)两点的线段没有公共点，求a的取值范围.

•参考答案

2[2

1.—V6命5访2<1=5访26=$汨2丫=一,贝1)(；052€1=(；0$2|3=(；052丫=—.(1、B、Y为锐角时，COSa=COS

933

8

COSacos3COSY==题

27

(注：根据解题常识，最大值应在COSa=cos0=COSY时取得).

2.解析按常规，设椭圆中心为(x0,yo),并列出过已知点P的切线方程,联立消参可求得椭圆方程.

若借极限思想，将点椭圆视为椭圆的极限情况,则可简化运算过程.

22

，则a2=5b2设长轴平行于y轴且离心率的椭圆系为

已知e=忑

2,15,25

(x+-)2+-(^--)2=k,把点看做当k-0时的极限情形(点椭圆)，则与直线/:2x-y+3=0相切

于该点的椭圆系即为过直线/与“点椭圆”的公共点的椭圆系方程：

215o

(x+y)~o+^(2x-y+3)=0

2

又所求的椭圆过(1,0)点，代入求得入

3

2

因此所求椭圆方程为x2+=1.

点评将点椭圆视为椭圆的极限情况处理问题,减少了运算量，简化了运算过程.

3.解析若按常规,需分两种情况考虑：

①A,B两点都在椭圆外；

②A,B两点都在椭圆内.

若借用补集思想则避免了分情况讨论,使计算简洁.

设a的允许值的集合为全集匕{a|aeR,a>0},先求椭圆和线段AB有公共点时的取值范围.

易得线段AB的方程为y=x+1,xe[1,3],

X2_22

由方程组《2+3-“得/=，2+2x+],xe[1,3],

42

y=x+l

Q41941

a?的值在[1,3]内递增，且x=1和x=3时分别得a2=3或a2="■，故

2222

3V282

Va>0,.,.———.

22

故当椭圆与线段AB无公共点时,a的取值范围为0<a<乎或a>殍.

第4计关羽开门刀举成功

•计名释义

关羽不同于诸葛.诸葛是智星，靠着扇子；关羽是武士，用的大刀过关斩将”用这大刀，“水淹七

军”用这大刀.

数学上的“分析”、“分解”、“分割”等，讲的都是刀工.关羽的“切瓜分片”是什么意思？切者，

七刀也，分者，八刀也！再难的数学题，经过这七刀、八刀，最后不就粉碎了吗！

•典例示范

[例1](2006年四川卷第19题)

如图，在长方体ABCO_中，E、P分别是8C、

ADi的中点，M、N分别是AE.CD.的中点，AD=AA,=a,AB=2a.

(I)求证：M/V〃面人。。4；

H

（II）求二面角P—AE—D的大小;

（III）求三棱锥尸一DEN的体积.

［分析］这是个长方体，而“长”正好是“宽”和“高”的2倍，这正是“关羽开门”的对象：用刀

从中一劈，则分成2个相等的正方体.对于正方体，我们该多么熟悉啊！有关线段的长度，各线段间的位置

关系，我们都了如指掌.

［解I］取。iG的中点。，过Q和作平面QRST.显然，M、N都在这平面里.

易知Q/V和SM都平行于平面BCCiBi=>MN〃BCGBi=MN〃面ADD.A,（证毕）.

［插语］其所以这么简单-，是因为我们对正方体熟悉.正方体从何而来，感谢关羽的大刀之功.以后的

（H）和（川），都可转化到正方体里进行（从略）.

［例2］（04・重庆卷题21）设p>0是一常数，过点Q（2p,0）的直线与抛物线y2=2px交于相异两点A、

B,以线段AB为直径作圆H（H为圆心）.

（I）试证：抛物线顶点在圆H的圆周上；

（II）并求圆H的面积最小时直线AB的方程.

【分析】（I）AB是圆H的直径，欲证抛物线的顶点在圆上，有如下各种对策：（1）证|OH|=；|AB|.

(2)证|OA『+|OB|2=|AB|2

(3)证NAOB=90。,即OAJ_OB,等.

显然，利用向量知识证51•砺=0,当为明智之举.

222

【解答】(I)当AB1X轴时，直线AB的方程为x=2p,代入y=2px;y=4p,y=±2p,A|AB|=|yi-y2|=4p.

显然，满足|OQ|=」|AB|,此时Q、H重合,...点Q在。H上.以

如直线AB与x轴不垂直，设直线AB：y=tana(x-2p),

y2v2,；

x二J,代入：y=tana---2ptana.HPtana-y-2py-4ptana=0.y7

2P2P1三

此方程有不同二实根yiy2,

2

.•.yi+y2=2,yiy2=-4p.

tana

2

*/OA.OB=x1x2+yiy2=­•—+丫伙=—-4p=0.

2P2p4p-

OA±OB，故点O仍在以AB为直径的圆上.

【分析】（II）为使圆面积最小只须圆半径取到最小值，为此不可避免的要给出直径AB之长的函数表

达式，直观上我们已可推测到当AB，x轴时，弦AB之长最短（这就是论证方向），为此又有多种途径：

（1）用直线的点斜式与抛物线方程联立，得关于x（或y）的一元二次方程，利用韦达定理写出|AB『的函

数式，再用二次函数或均值不等式的知识求其最值.

（2）用直线的参数方程与抛物线方程联立，得关于参数t的一元二次方程，利用韦达定理写出|AB『=（t「t2）

2的函数表达式，再依正、余弦函数的有界性求其最值.

这两种方法各有优长，但都须牵涉到两个变量x,y,以下我们推荐，利用投影公式得出的|AB|函数式，只

牵涉一个变量.

2

【解答】(II)直线AB的倾角为a,当a=90°时，。H的半径为2p,S@H=4TTP.

当aW90°时，不妨设ae[0,-),贝ij

|=I/一-2|=|疗一於|=1(必+%)(乂-%)1

cosa2/?cosa2pcosa

-■—+歹2尸—4)112

2pcosatana

='JZ-+1602=+4

sinaVtanasina\tana

>2px2=4P

综上，|AB|min=4p,当且仅当a=90。时，(S°H)min=4up2相应的直线AB的方程为：x=2p.

别解：由(1)知恒有NAOB=90°.

A|AB|2=|OA|2+|函2

=x；+货+xl+yl

>2xiX2+2p(Xi+X2)

>2x1x2+4pA/xlx2.

22

wy2=*4p2,x[x2=?•詈=4?2

2p2p

2

于是|/l8|2216p2,|N8|min=4p.当且仅当Xi=X2=2p时，SaH=4iTp.

【点评】斧子开门，只要你说要进去，直接在墙上打洞最直接了.

•对应训练

2

1.已知函数f(x)=aix+a2x2+a3X，...+anx",neN+,且a1,a2l...lan构成,"个数列｛aQ,满足f(1)=n.

⑴求数列同｝的通项公式，并求lim区之值.

f册+i

(2)证明0<f]；卜I.

2.矩形ABCD中,AB=6,BC=2JJ,沿对角线BD将4ABD向上折起，使点A移到点P,并使点P在平面

BCD上的射影0在DC上(如图所示).

⑴求证沪DIPC；

(2)求二面角P—DB—C的大小.

•参考答案

1.分析：(1){an}的各项是f(x)展开式中各项的系数，故其各项和Sn=f(1).

(2)可以预见:展开式的各项是系数成等差，字母成等比的综合数列，这

种数列的求和方法是“错项相减”.

的解析式必含变量n,为判断其范围可考虑用求导法判断其单调性.

2

解答：(1)Vf(1)=a1+a2+...+an=n,

2

即Sn=n,

==

**-anSn-Sn.i2n-1,

2--

lim-^―=lim——-=lim---牛=1

>8182〃+1"T82_

n

(2)由(1)知an=2n-1.

..咽=T+3X@2+5x(卜+-Q-1)X,①

+…+(2〃-3)x+(2〃-1)(§)②

n

2»-1fl

1-----x

-r25

11

=—+—

23

\M-1

111_

-+-1-

2237

,2/7—1[〃+l

1+-----=1------

“X丁33〃

xxrl

设g(x)=,'：g'(x)=3-+(x+1)-3-ln3-(-1)=17'x+D<0

3X3X

2

；.g(x)是R+上的减函数，从而g(n)是N+上的减函数，[g(n)]max=g(1)=§,

〃+1efo,|，从而f

又当n—8时,g(n)-o,;.------

3"|4

2.分析:图形经过翻折（或平移、旋转），只是位置改变，而有关线段的长度、角度及原来的平行、垂直等

关系，在位置改变前后都没有改变，紧扣这一点，就能悟出解题门道.

⑴为证PD1.PC,须先证PD_L平面PBC,已有PDJ_PB（翻折前为ADLAB）,还须PD±BC.

（2）求二面角的要点是找出二面角的平面角，已有POJ_平面BCD于。，且OGCD，只须作OMJ_BD

即可.

解答:（1）由条件知POJ_平面BCD于0,且OGCD,BC_LCD,；.BC，PD（三垂线定理），但PD±PB,.\

PDL面PBC,从而PD±PC.

（2）作0MLBD于M,连接PM,则BDLPM（三垂线定理）,...ZPM0是二面角P—BD—C的平面角，

PB=6,

PD=2V3BD=4V3,PM=尸","=3,

BD

已证PD1PC,PC=^CD--PD1=736-12=2屈,

PD・PC

P0=

CD

2676

sinZPM0=------,ZPM0=arcsin-------

33

即所求二面角P—DB—C的大小为arcsin^-

3

第5计才子开门风情万种

•计名释义

所谓才子，就是才思繁捷的弟子.数学才子，也像画学才子一样，胡洒乱泼，墨皆成画.这里，人们看

到的“胡乱”只是外表.在里手看来，科学的规律，艺术的工夫，全藏肘后.别人肩上的重负，移到他的掌上，

都成了玩意儿.

•典例示范

［引例］试比较以下三数的大小：印，殍，军

［解一］建构函数法

InX1PIn2ln3In5

设f(x)=^=>f，(x)=wln-W0=>f(x)为减函数=>----->>

xXx2-----3-------5

［旁白］才子一看，发现是个错解，于是有以下的评语.

［评语］学了导数可糟糕，杀鸡到处用牛刀，单调区间不清楚，乱用函数比大小.

［解二］作差比较法

In2In331n2-21n3In8-ln9

In2In551n2-21n5In32-In25

［旁白］才子一看，答案虽是对的，但解题人有点过于得意，因此得到以下评语.

［评语］解题成本你不管，别人求近你走远，作差通分太费力，面对结果向回转.

［旁白］大家听才子这么说，纷纷要求才子本人拿出自己的解法来，于是有了以下的奇解.

「士左力~1In23ln8,In25In32/In3In2In5

LRE2ln3In92In5In25325

［旁白］大家一看，十分惊喜，但对解法的来历有点奇怪.于是才子有了如下的自评.

［自评］标新本来在立意，别人作商我作积，结果可由心算出，不用花费纸和笔.

［旁白］这时，上面那位提供解法一的人有点不服气：难道“求导法”就不能解出此题吗？

才子回答：当然能！不过需要“统一单调区间”，请看下解

［正解］f(x)=-=>r(x)=^-ln-<0(x>3)

xXx

ln3In2In5

［旁白］大家一看，齐声说妙，要求才子再评说一下.于是又有了下面的奇文.

［评语］因为数3比e大，单调区间从3戈I,数4也在本区间，故把数2搬个家.

【例1】已知向量a=(Ji,1),b是不平行于x轴的单位向量，且a・b=J^，则b=()

【特解】由|b|=1,排除C；又b与x轴不平行，排除D；易知b与a不平行，排除A.答案只能为

八1

【评说】本解看似简单，但想时不易，要看出向量b与