数列等差数列与等比数列高三三轮冲刺高频考点复习讲义（原卷版）

数列：等差数列与等比数列高频考点分析高频考点分析1.等差数列的定义：；；.2.等差数列的通项：.3.等差数列前项和.4.等差数列通项公式的性质（1）若，则.（2）若，则.（3）若、、为等差数列，则，为、的等差中项.（4）若为等差数列，则、、…依旧是等差数列.（5）当时，数列单调递增；当时，数列单调递减.5.等差数列前项和的性质（1）且；（2）且为等差数列；（3）等差数列的前项和是一个二次函数，当时，有最小值,当时，有最大值；其中：=1\*GB3①若已知和，则当且仅当取最接近对称轴的正整数时，有最值；=2\*GB3②若未知和，则需找出的正负交界值；（4）、、依旧是一个等差数列.6.含有绝对值的求和方法：（1）找到的临界值；（2）若，；若，.7.等比数列的证明：(1)(2)(3).8.等比数列的通项公式：.9.等比数列的前项和公式：.10.等比数列通项公式的性质=1\*GB3①若，则.=2\*GB3②若，则.=3\*GB3③若、、为等比数列，则，为、的等比中项.=4\*GB3④若为等比数列，则、、…依旧是等比数列.=5\*GB3⑤当且时，数列单调递增；当且时，数列单调递减.11.等比数列前项和的性质=1\*GB3①、、依旧是一个等比数列

真题真题速递1．（2024·全国甲卷（文）·高考真题）已知等差数列的前项和为，若，则（

）A． B． C．1 D．2．（2024·全国甲卷（理）·高考真题）记为等差数列的前项和，已知，，则（

）A． B． C． D．3．（2023·全国甲卷·高考真题）记为等差数列的前项和．若，则（

）A．25 B．22 C．20 D．154．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（

）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件5．（2023·全国甲卷（理）·高考真题）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（

）A． B． C．15 D．406．（2023·天津·高考真题）已知数列的前n项和为，若，则（

）A．16 B．32 C．54 D．1627．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记为等比数列的前n项和，若，，则（

）．A．120 B．85 C． D．8．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记为等差数列的前n项和，若，，则.9．（2023·北京·高考真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则；数列所有项的和为．10．（2023·全国甲卷（文）·高考真题）记为等比数列的前项和．若，则的公比为．11．（2023·全国乙卷（理）·高考真题）已知为等比数列，，，则.12．（2023·全国乙卷·高考真题）记为等差数列的前项和，已知．(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和．13．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．(1)求的通项公式；(2)证明：当时，．

实战演练实战演练一：等差数列与等比数列基本量的计算1．（2025·重庆·模拟预测）已知等差数列中，，则数列的通项公式为（

）A． B．C． D．2．（2425高二下·山东德州·阶段练习）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为33尺，前九个节气日影长之和为108尺，则谷雨日影长为（

）.A．14 B．15 C．16 D．173．（2025·山东潍坊·一模）已知等差数列的前项和为，若，，则（

）A．12 B．14 C．42 D．844．（2425高二下·广东佛山·阶段练习）已知等差数列的前项和为，则数列的公差是（

）A．1 B．2 C．3 D．45．（2025·江苏南京·一模）已知数列为等比数列，公比为2，且.若，则正整数的值是（

）A．4 B．5 C．6 D．7

6．（2025·天津·一模）已知是各项均为正数的等比数列，且，，成等差数列，则的值是（

）A． B． C．9 D．167．（2025·江苏·一模）已知为等比数列的前项和，若，则（

）A．5 B．9 C． D．8．（2425高二上·新疆昌吉·期末）在等比数列中，若，则（

）A．16 B．64 C．256 D．3409．（2425高三下·北京·阶段练习）生命在于运动，某健身房为吸引会员来健身，推出打卡送积分活动（积分可兑换礼品），第一天打卡得1积分，以后只要连续打卡，每天所得积分都会比前一天多2积分．若某天未打卡，则当天没有积分，且第二天打卡需从1积分重新开始．某会员参与打卡活动，若连续打卡5天，则共获得积分为；若该会员从3月1日开始到3月20日，他共得193积分，中途有一天未打卡，则他未打卡的那天可以是3月日．10．（2025·四川攀枝花·模拟预测）等差数列的前n项和为，，则.11．（2025·广东汕头·模拟预测）已知等差数列的公差为，记是数列的前项和，若，，则的通项公式为.

12．（2425高二下·福建莆田·阶段练习）同学为参加《古诗词大赛》进行古诗词巩固训练，她第天复习首古诗词，从第天起，每一天复习的古诗词数量比前一天多首，每首古诗词只复习一天，则天后同学复习的古诗词总数量为.13．（2025·河北保定·一模）已知正项等比数列的前项和为，且，则.14．（2425高二下·广东·阶段练习）已知正项等比数列满足，，则．15．（2025·北京门头沟·一模）某城市为推动新能源汽车普及，第1年在市区公共区域建设了2万个新能源汽车充电桩，随着新能源汽车保有量快速增长，以及城市对绿色出行基础设施建设的持续投入，每年新建设的充电桩数量比上一年增加20%，按照这样的发展趋势，那么该城市第3年在市区公共区域新建设了万个充电桩；从第1年起，约年内，可使该城市市区公共区域的充电桩总量达到30万个（结果保留到个位）.（参考数据：，）16．（2025·福建泉州·一模）等比数列中，，则的前4项和等于．17．（2425高二下·河南·阶段练习）已知为公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列.(1)求的通项公式；(2)若，求的前项和.18．（2425高二下·广东湛江·阶段练习）设数列的前n项和为(1)若数列是公比为2的等比数列，且是与的等差中项，求的通项公式及；(2)若.求数列的通项公式；

实战演练实战演练二：等差数列的性质1．（2025·宁夏银川·二模）已知等差数列的前n项和为，且，则（

）A．0 B．10 C．15 D．302．（2425高二下·安徽·阶段练习）设等比数列的前项和为，且恰为和的等差中项，则（

）A．4 B．5 C．16 D．173．（2025·北京·模拟预测）今年高三的“节”活动引用了漫画《龙珠》.在原著中卡林塔上的猫仙人种植了一种仙豆，可以帮助主角疗伤和增长战斗力.仙豆共有7颗，从小到大可以增加的战斗力构成一个递增的等差数列.在下一场挑战前，主角将7颗仙豆全部吃掉，增加21000的战斗力，击败了“比克大魔王”.如果第3小的仙豆可以增加2700的战斗力，那么最小的仙豆可以增加的战斗力为（

）A．1800 B．2100 C．3600 D．39004．（2025·辽宁·一模）已知等差数列的前项和为，若，则（

）A．4 B．60 C．68 D．525．（2425高三下·广东梅州·阶段练习）已知等差数列的前项和为，若，则一定正确的是（

）A． B． C． D．6．（2425高二下·江西宜春·阶段练习）在等差数列中，前项之和为，最后项之和为，前项之和是，则项数为（

）A． B． C． D．7．（2324高二下·安徽宿州·开学考试）已知等差数列，则“单调递增”是“”的（

）条件A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件8．（2122高二下·河北保定·期中）已知是等差数列的前项和，且，，则（

）A．数列为递增数列 B．C．的最大值为 D．9．（2425高二下·浙江·开学考试·多选）已知等差数列，的前项和分别为，，则下列结论正确的有（

）A．若，则为常数列 B．若，则为常数列C．若，则 D．若，则是递增数列10．（2425高一上·重庆·期末·多选）设数列的前项和为，，，则下列说法正确的是（

）A．是等差数列B．当或时，取得最大值C．数列的前项和是D．，，成等差数列，公差为11．（2425高二下·湖北孝感·期中）已知两个等差数列与的前项和分别是和，其中，则.

12．（2425高二下·四川绵阳·阶段练习）已知数列和都是等差数列，且前n项和分别为，，若，则.13．（2425高二下·安徽安庆·阶段练习）已知是等差数列的前项和，若，则．14．（2425高二上·湖北咸宁·期末）在前n项和为的等差数列中，，，则.

实战演练实战演练三：等比数列的性质1．（2025·福建厦门·三模）已知数列是首项和公比均大于0的无穷等比数列，设甲：为递增数列；乙：存在正整数，当时，，则（

）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件2．（2025·北京顺义·一模）设为等比数列，则“存在，使得”是“为递减数列”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．（2425高二上·甘肃金昌·期中）已知等比数列的前项和为，若，则的最小值为（

）A．6 B．5 C．4 D．34．（2025·江西·二模）记为等比数列的前项和，若，则（

）A．81 B．71 C．61 D．515．（2025·黑龙江·一模）已知等比数列的前项和为，若公比，，则（

）A．49 B．56 C．63 D．1126．（2425高二下·广东佛山·阶段练习）已知等比数列前20项和是21，前30项和是49，则前10项和是（

）A．6 B．7 C．8 D．9

7．（2425高二下·广东广州·阶段练习）记等比数列的前n项和为，若，，则（

）A．24 B．28 C．48 D．848．（2425高二下·辽宁辽阳·阶段练习·多选）公比为的等比数列的前项和为，若，，则（

）A． B． C． D．9．（2025·云南·一模·多选）已知数列的前项和为，，，则（

）A．数列是等比数列B．C．