抽象函数题型讲义-高三数学二轮复习

TOC\o"13"\h\u抽象函数 2求函数值 2赋值法 2抽象函数的轴对称性 3抽象函数的中心对称性 5抽象函数的奇偶性 7抽象函数的周期性 8抽象函数的导数 12抽象函数的单调性 13抽象函数的压缩变换 14抽象函数性质 14抽象函数的定义域与值域 15填□法求抽象函数的解析式 15假填□法求抽象函数的解析式 17抽象函数的具体模型 17抽象不等式 19商分思想证明抽象不等式 24夹逼法 24反证法 25极值点偏移问题 25拐点偏移问题 29小题巧解 30其它 31抽象函数求函数值例1：已知对任意的实数都满足，则_________。解：与代入后可求得。KEY：赋值法例1：已知函数满足，且，则_________。解：因为，所以，。代入得。KEY：练习1（22年全国高考2卷最后1道单选题）：若函数的定义域为，，且。则（）A．−3 B．−2 C．0 D．1解：令，。则。令得。故，，，，，，。所以周期为。。KEY：A练习2（23年全国高考1卷倒数第2道多选题）：已知函数的定义域为，，则（）A．B．C．是偶函数D．为的极小值点解：A：令得。B：令得。C：令得，令得。D：因为前三个选项都正确，故不选D。大题解法：显然，常数函数符合题意，但是不满足选项D。故D错误。KEY：ABC例2（24年全国高考1卷最后1道单选题）：已知函数定义域为，且时，则下列结论中一定正确的是（）B．C．D．解：CD肯定错（题目没给出上限）。，，，，，，，，，，，，，是显然了。KEY：B抽象函数的轴对称性例1：根据函数满足的表达式填写函数具有的周期性或对称性。练习1：已知函数对任意实数都有，则函数_________________________________。KEY：有对称轴直线练习2：已知函数。且对任意实数都有，则函数_________________________________。KEY：有对称轴直线练习3：已知函数对任意实数都有，则函数_________________________________。KEY：有对称轴直线练习4：已知函数的定义域为。且对任意实数都有，则函数_________________________________。KEY：有对称轴直线例2：已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈R)，对任意实数x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，当x∈[－1,1]时，f(x)>0恒成立，则b的取值范围是__________。KEY：b<－1或b>2练习2.1：设函数f(x)定义在实数集上，f(2－x)＝f(x)，且当x≥1时，f(x)＝lnx，则有()A．f<f(2)<fB．f<f(2)<fC．f<f<f(2)D．f(2)<f<fKEY：C练习2.2（含导数）：已知函数满足，且当时，，则（）A.B.C.D.解：有对称轴，离对称轴越近越大。KEY：D练习3（17年全国1卷文科倒数4道单选题）：已知函数，则（）在内单调递增B.在内单调递减C.的图象关于直线对称D.的图象关于点对称解：。所以在↑，↓。。KEY：C练习4：已知函数的定义域为。若存在常数，对任意，有，则称函数具有性质。给定下列三个函数：①；②；③。其中，具有性质的函数的序号是（）A.①B.②C.③D.没有函数具有性质解：有对称轴的函数显然不符合，故①②不符合。求导知函数在递减，其余区间递增。由图我们只需取为较大正数（如）即可。KEY：C例3（对称轴的证明）：已知是定义在R上的奇函数满足。求的值。（2）求证：函数的图象关于直线对称。若在区间上是增函数，试比较，，的大小。解：（1）也可以理解为括号里面相差4，函数值就是相反数。∴周期为8KEY：（1）0；（2）略；（3）例4（两个函数的轴对称性）：函数与关于哪条直线对称？解：根据定理与关于直线对称得，KEY：y轴练习1：若函数的图象与函数的图像关于直线对称，则的解析式为________________。KEY：练习2：已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则当时，求函数的最大值。解：KEY：练习3：设是定义在上的偶函数，与的图象关于直线对称，且当时，。求函数的表达式。解：时，，时，。KEY：例5（类反函数）：设函数的图象与的图象关于直线对称，且，则（）A.1B.1C.2D.4解：的反函数为，再作关于原点对称变换，代入即得KEY：D抽象函数的中心对称性例1：已知函数满足，则的图象的对称中心为________。KEY：练习1.1：已知函数对任意实数都有，则函数_________________________________。KEY：有对称中心练习1.2（自行发现对称中心，较难）：已知函数，则______。解：。KEY：4.5练习1.3（倒序相加法）：已知函数，记，则______________。解：由所求可猜测为定值，验证发现。使用倒序相加法：。KEY：练习1.4：已知函数，则该函数图象的对称中心为______________。解：。KEY：练习1.5（24年全国高考1卷倒数第2题第2小题<共3小题>）：已知函数。证明：函数的图象是中心对称图形。证明：定义域为，故对称中心横坐标只能是。计算。对称中心为。证毕。练习1.6：已知函数在区间（）的值域为，则______________。解：。该函数图象的对称中心为。KEY：练习1.7：已知函数，则______________________。解：考察，通过暴力化简后（用了二项式定理中的3次幂）得两端向中间靠拢，共有2011个，中间还有一个。KEY：练习3.1（改编）：已知函数满足，。若函数与函数的图象交点恰有个，分别为，，…，则等于__________。KEY：练习3.2（16年全国2卷理科最后1道单选题）：已知函数满足，。若函数与图象的交点分别为，，…，则等于（）A.B.C.D.解：函数的图象关于点中心对称，∴，。KEY：B例2（反函数）：已知函数是奇函数，是的反函数，若，则___________。解：是奇函数得，即关于点对称，∴关于点对称。，∴4KEY：4例3（需代数运算）：定义在R上的函数的图象关于点成中心对称，且对任意实数都有，则____。解：，∴为偶函数。故。（也可以将1代入再结合图象）KEY：1例4（两个函数的中心对称性）：函数与的图象关于直线______对称。KEY：练习1：已知函数，函数g(x)＝b－f(2－x)，其中b∈R，若函数y＝f(x)－g(x)恰有4个零点，则b的取值范围是______________。解：与关于点对称。作图：当斜率为1的直线与相切时由对称性知，此时有两个公共点。再往上移动就有4个公共点。计算得此时。移动到2时有无数个公共点，再往上移动就只有两个了。KEY：抽象函数的奇偶性例1：已知是奇函数，，若，则______。KEY：练习1（多选题）：已知定义在上的奇函数和偶函数，下列函数中必为奇函数的是（）A．B．C．D．KEY：BD练习2（20年杭州一模）：若函数，定义域为，且都不恒为零，则（）A．若为周期函数，则为周期函数B．若为偶函数，则为偶函数C．若，均为单调递增函数，则为单调递增函数 D．若，均为奇函数，则为奇函数解：取，，排除A、B，取排除C。D容易证明是正确的。KEY：D例2：已知实数，满足，则______。KEY：例3（填框法，多选题）：已知定义在上的函数满足，，且为奇函数，则（）A．为奇函数B．为偶函数C．是一个周期为的周期函数D．解：。。故CD正确。接下来判断函数的奇偶性。为奇函数，。使用填框法得，。两式联立得。所以为偶函数。KEY：BCD抽象函数的周期性例1（简单型）：已知函数，若恒成立，则正实数的最小值为。解：，最小正周期。KEY：练习1.1：已知函数是定义在上的奇函数，，当时，。求的值。KEY：练习1.2：已知函数是定义在上的奇函数，，当时，。求的值。KEY：练习1.3：已知函数是定义在上的奇函数，，当时，。求的值。KEY：练习1.4：已知函数是定义在上的偶函数，，当时，。求的值。KEY：练习2：已知f(x)＝sin(ωx＋φ)（）满足f＝－f(x)，若其图象向左平移eq\f(π,6)个单位长度后得到的函数为奇函数。求f(x)的解析式。KEY：练习3：已知是定义在上的偶函数，并且，当时，，则__________。KEY：2.5练习4：已知是定义在上的偶函数，满足，求KEY：1练习5：已知是R上的奇函数，且，当时，，则函数在区间上的零点个数是（）A.3B.5C.7D.9解：因为奇函数，且周期为3，故0,3,6是零点；由时的表达式得1,4是零点；由奇函数1是零点，∴2,5是零点；又∵所以1.5，4.5是零点，共有9个零点。KEY：D练习6：已知是定义在上的奇函数，满足且。则在区间内的零点至少有几个？解：容易得到，又，故所有整点都是零点。又与既是相反数又相等，也是零。即。KEY：个例2：根据已知条件判断的性质。KEY：周期T=2KEY：对称轴x=4KEY：对称中心(4,0)KEY：周期T=4练习1：根据函数满足的表达式填写函数具有的周期性或对称性。（1）已知函数对任意实数都有，则函数_________________________________。KEY：有对称轴直线（2）已知函数。且对任意实数都有，则函数_________________________________。KEY：有对称轴直线（3）已知函数对任意实数都有，则函数_________________________________。KEY：有对称轴直线（4）已知函数的定义域为。且对任意实数都有，则函数_________________________________。KEY：有对称轴直线（5）已知函数对任意实数都有，则函数_________________________________。KEY：有对称中心（6）已知函数对任意实数都有，则函数_________________________________。KEY：有周期（7）已知函数对任意实数都有，则函数_________________________________。KEY：有周期（8）已知函数对任意实数都有，则函数_________________________________。KEY：有周期（9）已知函数为偶函数，则函数_________________________________。KEY：有对称轴直线（10）已知函数为奇函数，则函数________________________________。KEY：有对称中心练习2：设函数的定义域为，且的图象关于直线，对称（）。则是（）A.一个以为周期的函数B.一个以为周期的函数C.非周期函数D.以上都不对解：方法一（小题巧解）：取。方法二（大题解法）：。KEY：B练习3.1（类正弦函数，抽象函数的奇偶性，21年全国高考2卷最后1道单选题）：设函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，则（）A.B.C.D.解：关于对称。关于原点对称，所以关于对称。周期。所以。KEY：B练习3.2（图象交点法，已知部分解析式求另一部分解析式，24年9月成都开学考最后1道多选题）：已知函数是定义在上的偶函数，且对任意的，都有，当时，，则下列说法正确的是（）A.B.点是函数的一个对称中心C.当时，D.函数恰有个零点解：对称中心为，又对称轴为直线，故周期。，，故A正确。显然直线也是一条对称轴，由周期知直线也是对称轴，因为函数非常数函数，故不是函数的一个对称中心。故B错误。。当时，。函数关于对称，故故C正确。使用图象交点法。函数关于直线对称，且，作出图象发现有7个交点。KEY：AC例3：奇函数的定义域为，若为偶函数，且，则____。解：关于对称，向右移动两个单位变为关于对称。∴有对称中心，对称轴。∴。KEY：1练习1：设函数的定义域为，且满足，，对任意的，，当时，有。则下列命题中一定正确的是______________。①函数为偶函数；②直线是函数的一条对称轴；③函数在内单调递减；④函数的周期是解：函数为奇函数，在内单调递增。利用三角函数记忆即可。KEY：②④抽象函数的导数表示先求导再将填入框框，即对整体求导；表示先求出导函数，再将1代入；表示先将填入框框，再求导，即对求导。例1（抽象复合函数求导）：已知在上可导，且满足，设，则_________。解：①；②。KEY:9练习1：已知在内可导，且满足，设，则_________。KEY:例2（函数四则运算）：已知在上可导，且满足，设，则_________。KEY:9练习1：已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)等于_________。KEY:0例3：设函数在R上是可导的偶函数，且满足，则_____解：将两边同时对求导得，∴偶函数求导后变为奇函数，故为0KEY:0例4（导数与原函数的对称性，22年全国高考1卷最后1道多选题）：已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（）A.B.C.D.解：方法一（图象变换）：的图象关于直线对称，故的图象关于直线对称，故的图象关于直线对称，故的图象关于直线对称。又的图象关于直线对称，故的图象关于点中心对称。所以具有周期。也具有周期。的图象上下移动并不影响图象的对称性，故函数值不确定，A错。，故B正确。，故C正确。关于直线对称，关于点对称。故。故D错。方法二（抽象表达式）：KEY：BC例5（积分）：已知定义在上的函数满足，，则函数__________________。解：，两边积分得。又，∴。∴。KEY:抽象函数的单调性例1：已知函数对任意不相等的非零实数，，恒有。判断函数的单调性。KEY：减函数练习1：已知函数是偶函数，当时，恒成立。设，，。则（）A.B.C.D.解：在↑。关于轴对称，向右移动一个单位后的对称轴为故离对称轴越远越大。KEY：A练习2：已知函数是定义在上的奇函数，若对于任意给定的不等实数，，不等式恒成立，则不等式的解集为__________。解：移项后因式分解得。故函数递减。又∵是定义在上的奇函数，故过原点。KEY：例2：已知函数在上为单调函数，且，则____。解：是一个数，又函数单调，故是一个唯一确定的数。设已知。KEY：4抽象函数的压缩变换例1：对于函数，则（）A.（），对一切恒成立。B.（），对一切恒成立。C.（），对一切恒成立。D.（），对一切恒成立。解：显然。KEY：B抽象函数性质例1（15年浙江高考理科倒数第2道选择题）：存在函数满足，对任意都有（）A.B.C.D.解：方法一（函数概念）：ABC所对应的都不是函数。A：的最小正周期为，取，得或，不符合函数定义。B也一样。C：取得或，不符合函数定义。方法二（函数性质）：A：的最小正周期一定小于等于，排除A。同理B也被排除。C：必为偶函数，C排除。D：，。由填框法知。KEY：D例2：已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋xx≥0，,1－xx<0，))则下列命题正确的是()函数y＝f(sinx)是奇函数，也是周期函数B．函数y＝f(sinx)是偶函数，不是周期函数C．函数y＝是偶函数，但不是周期函数D．函数y＝是偶函数，也是周期函数解：，KEY:C例3：若定义在(0,1)上的函数f(x)满足：f(x)>0且对任意的x∈(0,1)，有＝，则()A．对任意的正数M，存在x∈(0,1)，使f(x)≥MB．存在正数M，对任意的x∈(0,1)，使f(x)≤MC．对任意的x1，x2∈(0,1)且x1<x2，有f(x1)<f(x2)D．对任意的x1，x2∈(0,1)且x1<x2，有f(x1)>f(x2)解：在上的值域也是，而且单调递增。给定一个数，如0.5，则，，故每次乘以2，。KEY：A例4：已知是定义在上的单调递增函数，则下列四个命题：①若，则；②若，则；③若是奇函数，则也是奇函数；④若是奇函数，则。其中正确的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个解：①显然对，②用反证法可证正确，③易证正确，④也对。KEY：D抽象函数的定义域与值域例1：已知的定义域为[1,1]，求的定义域。KEY：练习1：已知的定义域为[1,2]，值域为[3,4]，求的定义域与值域。KEY：定义域为，值域为[3,4]（左右平移值域不变）练习2：已知的定义域为[1,1]，求的定义域。KEY：练习3：已知函数的定义域为[0,2]，则函数的定义域是____。KEY：练习4：已知函数的定义域为(0,2]，值域为，且在定义域内单调递减，若，则的定义域为__________。KEY：练习5：已知，则的定义域为_________________________。解：中的取值范围为，故后面括号的范围为，即中的。KEY：练习6：已知函数，则函数的定义域为___________。KEY：填□法求抽象函数的解析式例1：（1）已知，求KEY：已知，求解：令∴KEY：，已知，求解：，与原式联立解二元一次方程组得，KEY：（4）已知，求解：，KEY：练习1：（1）已知，求KEY：，已知，求KEY：，已知，求KEY：，定义在内的函数满足，求KEY：（5）已知，求KEY：练习2：已知函数，则_______。解：。KEY：例2：已知，求解：令，则KEY：例3：已知，则______________________________。解：。KEY：练习1：已知，且，则___________________。解：，使用填框法可求得。KEY：假填□法求抽象函数的解析式例1：已知，则________。解：。KEY：抽象函数的具体模型例1（指数函数型）：定义在上的函数，对任意实数恒有，且当时，。求，并证明：当时，；求证：在R上为减函数；设集合，若，求实数的取值范围。解：（1）令，则证明：令，则，∵，∴即当时，；，由（1）知函数值恒大于0，可作商大，∴在R上为减函数；即直线与圆没有交点。KEY：（1），证明见解析；（2）证明见解析；（3）练习1：已知定义在R上的函数f(x)满足对于任意x1，x2R，都有f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)，对任意的xR，都有。且当时。（1）求证：恒成立；（2）判断并证明的单调性；（3）若f(x－1)<1，求x的取值范围。解：（1）令即可；（2）作商法即可。KEY：（1）（2）单调递减（3）练习2：定义在R上的非零函数，对任意实数恒有，且当时，。(1)求证：；（2）求证：在R上为减函数；（3）若，解不等式。解：（1）令，，又是非零函数，∴。（2），由（1）知函数值恒大于0，可作商大，∴在R上为减函数；（3）令得KEY：（1）（2）证明见解析（3）练习3：已知函数满足对任意的实数，都有，且，则_______________。解：原式。KEY：例2（对数函数型）：已知定义在上的函数对任意的都有，且当时，。（1）求；（2）求证：单调递增；（3）若，解不等式。解：（1）0（2），所以↑。（3）令，得。KEY：（1）0（2）证明见解析。（3）练习1：函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围。解：（1）0（2）f(x)为偶函数。令x1＝x2＝－1，则f(1)＝f(－1)＋f(－1)，∴f(－1)＝eq\f(1,2)f(1)＝0.令x1＝－1，x2＝x，则f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．KEY：（1）0（2）偶函数（3）{x|－15<x<17且x≠1}．练习2：已知定义在上的函数f(x)满足对于任意x1，x2，都有，且当时。（1）判断f(x)的单调性并证明你的结论；（2）如果f(3)＝－1，f(x－1)<－2，求x的取值范围。KEY：（1）单调递减（容易证明）；（2）例3（正比例函数型）：已知函数对于任意的总有，且当时，，；求证在R上为减函数；（2）求在上的最大值和最小值。解：（1）如例1（2）；（2）先证明函数是奇函数。KEY：（1）略（2）最大2，最小2例4（其它）：已知函数对任意的都有，且当时，。（1）求证：单调递增；（2）若，解不等式。解：（1）易证；（2）令得。KEY：（1）略（2）抽象不等式例1：已知是定义在上的增函数，解不等式解：KEY：练习1.1：已知函数是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x－1)<f(eq\f(1,3))的x的取值范围是（）A．(eq\f(1,3)，eq\f(2,3))B．[eq\f(1,3)，eq\f(2,3))C．(eq\f(1,2)，eq\f(2,3))D．[eq\f(1,2)，eq\f(2,3))KEY：D练习1.2：已知函数是定义域为的奇函数，而且是减函数，则不等式的解集为______________。解：且，。KEY：练习2：已知是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)<5的解集是______________。KEY：{x|－7<x<3}练习3：已知奇函数的定义域是，且在区间上递减，则满足的实数m的取值范围是_______。KEY：练习4.1（有具体表达式）：已知函数，则满足的的取值范围为________________。KEY：练习4.2（24年9月四川学考最后1道单选题）：已知函数，则满足不等式的的取值范围是______________。解：↑，。KEY：练习4.3：已知，则不等式的解集为______________。解：①。②。KEY：练习4.4（略难）：已知函数，则关于的不等式的解集为_______________。解：代入得，由函数↑得。KEY：练习4.5：已知，，若，求实数的取值范围。解：容易证明函数↑。KEY：练习4.6（含导数）：已知函数，则满足的的取值范围为________________。KEY：练习6：已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4x＋3，x≤0，,－x2－2x＋3，x>0，))不等式f(x＋a)>f(2a－x)在[a，a＋1]上恒成立，则实数a的取值范围是________。解：递减，∴x＋a<2a－x，即a>2x在[a，a＋1]上恒成立，a>2(a＋1)，KEY：a<－2练习7.1：已知定义在R上的偶函数f(x)在区间[0，+∞)上单调递增。若，则的取值范围是_________。KEY：练习7.2：已知定义在R上的偶函数f(x)在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a－1|)>f(－eq\r(2))，则a的取值范围是_________。KEY：eq\f(1,2)<a<eq\f(3,2)练习7.3：若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调递增函数．如果实数t满足f(lnt)＋f(lneq\f(1,t))≤2f(1)，那么t的取值范围是________。KEY：[eq\f(1,e)，e]练习8：已知函数，实数满足，则实数的取值范围是________。KEY：练习9：已知定义在R上的奇函数f(x)满足对任意的，当时，都有。若，则实数的取值范围为_________。解：方法一：任取，则↑。方法二：。KEY：练习10：已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为_______________。解：显然↑，恒成立。，又定义域不能为空，故。KEY：练习11.1（改编）：已知定义在上的函数满足，而且当时，。，。求实数的取值范围。解：对任意的，我们有。所以↓。而。故且。KEY：例2（含导有表达式）：已知函数f(x)＝x－1－(e－1)lnx，其中e为自然对数的底数，则满足f(ex)<0的x的取值范围为________。解：容易求得的解集为，故。KEY：练习1：已知是定义域为的奇函数，当时，，则______；若，则实数的取值范围是______________。解：。，↑，故。所以↑。所以。①满足不等式。②时，只需或。KEY：；练习2：已知，求满足的的取值范围。解：（基本不等式）。故↑。又为奇函数。故。KEY：例3（含导无表达式）：设函数是定义在R上的偶函数，它的图象是一条连续的曲线，且当时，。若，则的取值范围是_______________。解：只需。KEY：练习1.1：设函数是定义在R上的奇函数，且，当时，恒成立，则不等式的解集为_______________。解：构造函数，则，故↓。而，故时为正，即f(x)>0。由于是偶函数，故时为负，即f(x)>0。KEY:练习1.3：设函数是定义在上的奇函数。当时恒成立，则不等式的解集为__________。解：构造偶函数。在时递减，即，故。∵为偶函数，故解集对称。KEY:练习1.4（15年全国二理科压轴）：设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（）A．B．C．D．解：即，而为偶函数，∴时递减，又过点，故可画出的大致图像。结合图象可得答案。KEY:A练习1.5：设是定义在R上的奇函数，且，当时，有恒成立，则不等式的解集为_______________。解：，即当时，↓，当时，且是奇函数，∴是偶函数。其大致图象如右图。，即且。根据的草图可得答案。KEY：练习1.6：已知函数对任意的都有且成立。则（）B.C.D.无法确定与的大小解：。∴↑。KEY:A练习1.7：已知函数，是定义域为且函数值恒大于的函数，且。则当时（）A.B.C.D.解：构造函数↓。∴。KEY：C练习2.1：设函数是定义在R上的奇函数，当时，恒成立，则不等式的解集为_______________。解：构造偶函数，故先减后增。KEY：练习2.2：已知函数是定义在上的奇函数，且当时，。若，，，则，，的大小关系是（）A.B.C.D.解：构造偶函数，求导容易得在↓，↑。而，，。∴。KEY：C例4（构造函数）：已知是定义在上的函数，对任意的，恒有成立，且在上单调递增，且，则实数的取值范围为_________________。解：，记，则是奇函数。又因为函数在上单调递增，故在上单调递增。又因为是奇函数，故在上单调递增。，即。KEY：商分思想证明抽象不等式例1：已知，，且对任意的恒成立。求证：对任意的恒成立。证明：∴（令）。证毕。夹逼法例1（压轴）：定义在上的函数满足，对任意的都有，，且当时，。则_________。解：，，。又∵单调递增（不严格），∴恒有。再由，∵。KEY：练习1：定义在上的函数满足，对任意的都有，，且当时，。则_________。解：①令得。②令得。又∵单调递增（不严格），∴恒有。∴。KEY：反证法例1：是定义在上且满足如下条件的函数组成的集合：①对任意的，都有；②存在常数，使得对任意的，，都有。设，实数，且。求证：满足条件的是唯一的。证明：假设存在与不相等的，且。则，这与，矛盾。故假设不成立。∴是唯一的。证毕。极值点偏移问题定义：单极值函数，如二次函数的的极值点无偏移，函数（）的极值点左偏移，函数（）的极值点右偏移。记函数在区间中恰有一个极值点，平行于轴的直线与函数的图象交于两点与。①若极值点没偏移，则；②若极值点左偏移，则；③若极值点右偏移，则。例1（左偏移）：已知函数，若，，求证：。证明：构造（），，故↑，。∴（这里）（这里）。∵，不妨设。∴。，故在↑。故。证毕。（注：若构造函数，则定义域会发生变化，应该是。）练习1.1（改编）：已知函数，若，，求证：。证明：，，，故函数在↓，↑，且图象如图所示。构造（），∴（）。∴在↓。而，∴（），∴（）。不妨设∴，∵，，在↓，∴。证毕。练习1.2：若函数图象上存在两个不同的点，关于轴的对称点均在直线上，求证：。证明：，在直线上，∴，。消去得。构造，即存在，但，求证：。与练习1.1完全一样。证毕。练习2：已知函数有两个零点，（），若其导函数为，则下列四个结论中正确的为。（将所有正确结论的序号填入横线上）①②③④解：我们先来画函数的函数图象，求导，故在↓，↑。由洛必达法则。故函数图象如图。要想有两个零点，只需将图象向上移动一点即可。∴。①正确；由于极值点左偏移（），故向上移动一点后仍然保持（也可用极限法，向上移动一点点，非常小，接近零）故②正确；向上移动后，故③错误；由定比分点知识知的几何意义为靠近的三等分点，由于极值点左偏移，故中点都大于，更何况靠近的三等分点，∴，故此时递增，∴，④正确。KEY：①②④练习3（原创）：已知函数，实数满足。求证：。证明：方法一（构造函数）：构造，。（定义域是根据右图点运动的横向距离确定的）。∴代入展开化简得，∴，∴，，由图知，∴，∵，，在↑∴。方法二（死算）：由的图象易知，，。①，同理可得：②，③。②③得★★。②③得★★。∴，由得。方法三（零点式）：设三次函数的零点式为，展开后与原函数使用待定系数法得，而。∴。证毕。（由简到难：方法三、二、一。且方法三特别简单。且方法二与三给出了的精确范围。注：本题是“基本初等函数”版块“函数的零点式”例1的一部分）练习4（21年全国高考1卷最后1题第2小题，右边为类极值点偏移）：设，为两个不相等的正实数，且。求证：。证明：。构造函数，设，。已知，求证。。故在↑，↓。①构造函数，。求导，故在↑。，故恒成立。不妨设，（若，则显然）。故。②构造，。，，所以↓。又，。故存