高中数学题库

第1章集合与简易逻辑

§1-1集合

一、集合的概念

1.1.1在“①难解的题目；②方程—+1=0在实数集内的解：③直角坐标平面上第

四象限内的所有点；④很多多项式”中，能够组成集合的是().

(A)②③(B)①③(C)②④(D)①②④

解析由集合中元素的确定性可知只有②和③能组成集合，答案为A.

1.1.2下列集合中，有限集是().

(A){x|x<10,xGN}(B){小<10,xGZ}

(C){xF<10,xGQ}(D){小=y+10,yGR}

解析由N表示自然数集得{x^vlO,xWN}={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}是有

限集，答案为A.

1.1.3若集合A/={x|烂6},。=遥，则下列结论中正确的是().

(A){a}CM(B)aC.M(C){a}^M(D)aiM

解析因为遍<6,则遍WM,{a}^M,所以，答案为A.

1.1.4已知集合/={0,1},8=W”=i-f,xe/},则4与2的关系是().

(A)4=8(B)/£8(C)/e8

解析由已知得集合8={-1,0,1},所以，A^B,答案为B.

1.1.5下列四个关系中，正确的是().

(A)0S{O}(B)0«{0}(C){0}G{0,1}(D)0e{0,1}

解析。与{0},{0}与{0,1}是两个集合间的关系，这种关系不应用表达元素与集合

间关系的“G”来表达；而06{0},又0是集合{0,1}中的元素，所以，0d{0,1}是正

确的，答案为D.

1.1.6设°,bGR,集合{1,a+b,〃}={(),，，b},则b-q=().

(A)l(B)-l(C)2(D)-2

解析由已知得OC{1,a+b,a},而存0,于是，只能。+6=0,贝哈=-1,又

—1G{1,«+/>,a},所以，<7=—1,b—1,b—<7=2,答案为C.

1.1.7用适当的方式写出下列集合：

(1)组成中国国旗的颜色名称的集合;

(2)不大于6的非负整数所组成的集合；

(3)所有正奇数组成的集合；

(4)方程乂3+6=0的实数解构成的集合；

(5)不等式X2-5X+4<0的解第；

(6)直角坐标平面中，第像限内的所有点组成的集合；

(7)直角坐标平面中，直线y=2x—1上的所有点组成的集合.

解析(1)组成中国国旗的颜色名称的集合是{红，黄}.

(2)不大于6的非负整数所组成的集合是{0,1,2,3,4,5,6).

(3)所有正奇数组成的集合是{x,=2%+l,ArSN}.

(4)方程X3+6=0的实数解构成的集合是{X*+6=0,R}.

(5)不等式X2—5X+4<0的解集{XM-5X+4<0}或写成{X[1<X<4}.

⑹直角坐标平面中，第一象限内的所有点组成的集合是{(x,历,>0且k0}.

(7)直角坐标平面中，直线y=2x—1上的所有点组成的集合是{(x,y)/=2x—1}.

1.1.8已知集合/={1,3,x},集合8={1,x2},若有8日且则1=.

解析由工26/及泊8得』=3,解得x=W^,经检验此x的值符合集合中元素的互

异性，所以，集合4={1,3,M}或{1,3,-V3}.

1.1.9集合/={x|-3SE2},8={X|2〃?一1SE2M+1},若BUA,则根的取值范围

是.

解析由已知可得产一1'—3,解得一上焉.

(2m+l<2,Z

1.1.10若集合M={0,1,2},N={(x,y)|x-2y+G0且x,y^M},则

N中元素的个数为().

(A)9(B)6(C)4(D)2

解析将点(0,0),(1,1),(2,2),(0,1),(1,0),(0,2),(2,0),(1,2),(2,1)

的坐标代入不等式组2'+120,可知只有点(0,0),(1,1),(1,0),Q,1)四个点在

lx—2y—1<0,

集合N内，所以，答案为C.

1.1.11定义集合运算:AoB={z\z=xy(x+y),x^A,y^B},设集合/={0,I},B

={2,3},则集合的所有元素之和为().

(A)0(B)6(C)12(D)18

解析由已知可得/。8={0,6,12},所以，中所有元素之和为18,答案为D.

1.1.12设。是R上的一个运算，/是R的非空子集，若对任意a,bWA,有

则称/对运算©封闭.下列数集对加法，减法，乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封

闭的是().

(A)自然数集(B)整数集(C)有理数集(D)无理数集

解析任意两个自然数或整数的商不一定是自然数或整数，任意两个无理数的积不一

定是无理数，而任意两个有理数的和、差、积、商一定都是有理数，所以，有理数集对加

法，减法，乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的，答案为C.

1.1.13集合M={x|mx>6i},{X\a2x>b2},其中常数卬仇④历知，则“£=*”是

“M=N"的().

(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件

(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件

解析若。］=仇=1,效=历=—1，则有❷=，，此时，M=｛x|x>l｝,N=｛x|x<l｝,

a2D2

M丰N；

若M=N,则必有4］。2>0，于是，M=卜卜>豺,N=｛x|x>

或者,卜嘲,"=卜卜<鬻于是,♦去即卷日,

所以，*=患”是“〃=N”的必要不充分条件，答案为B.

1.1.14已知集合”=｛珅区/+/｝,其中a,6是常数.给出下列四个命题：

①2ab一定属于M②lab一定不属于M

③—2ab一定属于M④~2ab一定不属于M

其中正确命题的序号是(写出所有正确命题的序号).

解析由(。一6)50利(4+6)220对任意外方£R恒成立可得2abM—2ab<cr~［-b2,

所以，2abGM,—2abGM,在上述四个命题中，①和③是正确的.

1.1.15已知集合4是非零实数集的子集，并且有如下性质：对任意必有3—

亍£4问：

(1)集合/可否有且仅有一个元素?如果可以，求出所有满足要求的集合4若不可以,

则说明理由；

(2)集合A可否有且仅有两个元素?如果可以，求出所有满足要求的集合A；若不可以,

则说明理由.

解析(1)若集合N中有且仅有一个元素X,贝|J3-9X,即f-3x+2=0,解得x=l

或x=2,所以，集合｛1｝和｛2｝是两个满足要求的单元集.

(2)集合｛1,2｝是满足要求的二元集.若集合力=｛°,处是满足要求的二元集，并且

r_2/

I3Q---b»(—2=.

\即'则。=6,矛盾，所以，满足要求的二元集只能是｛1,2｝.

3-4=a,(3b-2=ab,

Ib

1.1.16同时满足｛1｝3二｛1,2,3,4,5｝,且Z中所有元素之和为奇数的集合/的

个数是().区听丽)

(A)5(B)6(C)7(D)8

解析若/为二元集，则4可为｛1,2｝、｛1,4｝；若4为三元集，则/可为｛1,2,

4｝、(1,3,5｝；若/为四元集，则Z可为｛1,2,3,5｝、｛1,3,4,5｝；若力为五元集,

则4可为｛1,2,3,4,5｝,所以，共有7个符合条件的集合，答案为C.

1.1.17对于集合4和8,当力工8时，下列集合之间的关系一定不能成立的是().

(A)0QA(B)0C5(C)8=0①)4=0

解析由于不存在集合是空集的真子集，所以，由可得所以，答案为C.

1.1.18下列各组集合中，M与尸表示同一个集合的是().

(A)M={(1,-3)},P={(-3,1)}

(B)M=0,尸={0}

©/=岫=，+1,xGR},P={(x,y)\y^x+\,xCR}

(D)M={yly=x2+l,xSR},P={/|/=(y-1)2+1,yCR}

解析(1,一3)与(一3,1)是平面直角坐标系中两个不相同的点；集合{0}中有一个元

素，它不是空集.

集合M={J4V=X2+1,XGR}是二次函数y=x2+l的因变量的集合，它是一个数集，

而集合P={(x,.位=产+1,xGR}表示平面直角坐标系中的一条抛物线，它是点的集合.

集合A7=04r=x2+1,xGR}={巾=3-1)2+],yeR}=^[y>i},所以，答案为D.

1.1.19写出集合/={(x,则？+/=2且x+y=0}的所有子集：.叵而1剧

解析集合4={(1，—1),(—1,1)},所以，A的所有子集是0,{(1,-1)},{(-1,

1)},{(1,-1),(-1,1)}.

1.1.20用适当的方式写出下列集合并化简：

(1)方程X2+2=0的全体实数解组成的集合：：

(2)函数y=3x+2,1/3的所有因变量组成的集合：；

(3)函数y=-x2+4x+3,xCR的所有因变量组成的集合：.叵所饼解।

解析⑴方程x?+2=0的全体实数解组成的集合是*2+2=0,x6R}=0；

(2)函数夕=3x+2,的所有因变量组成的集合是[y[y=3x+2,1姿3}=

3521}；

(3)函数y=-x?+4x+3,xCR的所有因变量组成的集合是3y=-f+4x+3,xCR}

=亚归}.

1.1.21已知集合{x|o?+2x+l=0,°GR,xGR}中有且仅有一个元素，贝Ua的值

是.

解析要使得集合3公2+入+1=0,“GR,xGR}中有且仅有一个元素，则a=0或△

—22—4a—0,所以，a=0或a=l.

22

1.1.22关于x的不等式X一书4-W《尹的解集是4关于x的不等式》2—3(。+

l)x+2(3q+l)V0(其中〃GR)的解集是8,求使/UB的〃的取值范围.叵听讲解

22

解析不等式x-咛L券的解集/=[2a,a2+\].

不等式尢2—3(a+l)x+2(3o+1)<0即为(x—2)(x—3〃-1)30.

若介I，则8=23a+l]；若舄,则8=[30+1,2].

由“口得,2W2a,或{3a+lW2a,解得1丕3或。=—1.

.a2+l<3a+lla2+l<2,

所以,a的取值范围是。=-1或修把3.

1.1.23已知集合力="«2—3*+2=0},S={xlx2-ax+(a~l)=0},C={x\x2~bx+2

=0,xeR},若BEA,CQA,求实数a,b应满足的条件.

解析集合/={1,2},而x?—ar+(a—1)=0即为(x—l)(x—〃+1)=0,若a—"1=1,

即a=2,则8={1}满足；若。一原1,即W2,则8={1,a-l},由BC4知。-1=2,即

4=3.对于集合C,由CU/知，若C=0,贝I」△=(-6)2—8<0,解得一2夜<6<2企；若C

为单元集，则△=(—6)2—8=0,此时C={企}或c={-VI},与CG4矛盾；若C={1,

2},即C中方程两根为1和2,则b=3.所以，a,b应满足的条件是a=2或a=3而

一2口<6<2鱼或6=3.

1.1.24已知集合4={(x,y)\y=-x2+mx-l],B={(x,y)\x+y=3,0<x<3},若有且

仅有一个点同时属于集合4和2,求实数，〃的取值范围.

解析由已知得抛物线与线段有且仅有一个交点.由?=-得

1%+y=3,

X2-(1+W)X+4=0,该方程在区间[0,3]上只有一个解.

若△=(/%+l)2—16=0,则加=3或加=—5,如果〃?=3,解得x=2；如果m=-5,

解得x=-26[0,3],于是加=—5舍去.

若A>0,则记段)=/一(1+加我+4,此时,只需人3)<0,即9—3(加+1)+4<0,解得

10

r

所以，加的取值范围是心学或加=3.

1.1.25设集合"={1,2,3,4,5,6},S?,…,S*都是"的含两个元素的子集,

且满足:对任意的S尸{《，仇},Sj={aP瓦}(用,z,；G{1,2,3,…，k})9都有

min］佚，称卜min患，务min{x,y}表示两个数x,y中的较小者)，则%的最大值是().

(A)10(B)11

(C)12(D)13

解析集合M的所有两元子集是{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,6},{2,3},

{2,4},{2,5},{2,6},{3,4},{3,5},{3,6},{4,5},{4,6},{5,6},共计15

个，其中，不同普(i=l,2,…，15)有

LI，告,《共11个,所以，答案为B.

1.1.26设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a,bGP,都有a+b,a-b,

ab,gep(除数原0),则称P是一个数域.例如有理数集Q是数域；数集尸=｛〃+6内依，

bGQ｝也是数域.有下列命题：

①整数集是数域；②若有理数集QUM,则数集M必为数域；

③数域必为无限集；④存在无穷多个数域.

其中正确的命题的序号是(把你认为正确的命题的序号填上).

解析因为任意两个整数的商不•定是整数，故命题①不正确；当集合M=QU｛&｝

时，由于16Q,而专CM,故命题②不正确；山数域P的定义知，必有得=1GP,从而2

WP,则3WP,…，所以，整数集ZUP,故数域尸中必有无穷多个元素，命题③正确；由

于数集尸=｛。+6夜|。，6GQ｝是数域，则将其中的鱼换成百，花，…等仍为数域，所以

数域有无穷多个，命题④正确.

所以，在上述四个命题中，正确命题的序号是③，④.

1.1.27非空集合G关于运算8满足：(1)对任意a,b《G,都有a©6eG；(2)存在e

EG,使得对一切a£G,都有q6e=e6a=〃，则称G关于运算。为“融洽集”.现给出

下列集合和运算：

①G=｛非负整数｝,。为整数的加法；

②G=｛偶数｝,©为整数的乘法；

③仃M｛平面向量｝,©为平面向量的加法；

@G=｛二次三项式｝,©多项式的乘法；

⑤仃=｛虚数｝,©为复数的乘法.

其中G关于运算©为“融洽集”的是(写出所有“融洽集”的序号).

解析对于非负整数集以及加法运算，两个非负整数之和一定是非负整数，其中e=0；

对于偶数集和乘法运算，其中不存在满足要求的元素e；对于平面向量集合以及向量的加

法运算，任意两个平面向量之和仍为该平面内的向量，e=6；对于二次三项式集合以及多

项式的乘法，其中不存在满足要求的元素e；对于虚数集和复数的乘法运算，其中不存在

满足要求的元素e,所以，集合G关于运算©为“融洽集”的是①和③.

1.1,28已知集合5=｛小=,/+〃\,〃，〃GZ｝.求证：若a,bGS,则abGS.

解析由a,66S得存在整数p,q,r,s,使得a=p2+/,6=/+.*,则"二行+

^2)(r2+J2)—p2r2+qs'+p2s2+qr'=(pr+95)2+(ps-qr)2,其中pr+gs和ps—gr都是整数,

所以,ab《S.

1.1.29已知集合4={x|x=12a+86,a,h^Z},5={y»=20c+知d,c,t/eZ}.判

断集合“与集合8之间存在什么关系，并说明理由.叵我诩

解析若歹68,即y=20c+l6d=12c+8(c+2孙因为c,dCZ,则有c+2"CZ,得

yGA,于是53；若xG/,则x=12。+勖=60。-48。+406—326=20(3。+26)+16(—3。

-2b),因为a,b&Z,则有3〃+26,-3a-2hGZ,于是NUB.所以，A=B.

1.1.30若_Xx)=x2+av+/>,a,b&R,A={x\x=_f(x),x&R},B={x\x=J[f(x)],x6C}.

(1)写出集合N与8之间的关系，并证明；(2)当/={-1,3}时，用列举法表示集

合民听讲解I

解析⑴任取xG/,则大x)=x,于是，./U(x)]=/(x)=x,即有所以有

但由于x=/[/(x)]必为四次方程，在复数集C上有4个根，所以“£8.

(2)当/={-1,3}时，即方程/+办+6=*的两根为一1、3,于是-1+3=—(a—1),

(一1>3=6,所以°=-1,b=-3,即/)=/一》一3,此时，集合B中的方程为“一x-

3)2—(x2—x—3)—3—X,即(X*—x—3)2—丫2=0,(x2—3)(x2—2x—3)=0,所以，B—{—1,3,

V3,—/3).

1.1.31已知/={(x,回*+/+4》+4了+7=0,x,yGR},B={(x,y)|中=-10,x,

HR}.

(1)对于直线机和直线外的一点尸，用“加上的点与点P距离的最小值”定义点P到直

线，〃的距离与原有的点线距离概念是等价的.试以类似的方式给出•个点集1与8的“距

离’’的定义；

(2)依照(1)中的定义求出4与3的“距离”.叵耐跖

解析(1)定义：在点集48中分别任取一点，所取两点间的距离若有最小值，贝I」此

最小值称为点集月与8的“距离”.

(2)集合力中的点构成一个圆，其方程是(x+2)2+(y+2)2=l,圆心C(-2,-2),半径

为1,设P(x,y)为曲线9=-10上任意一点，则|PC|2=(x+2)2+&+2)2=f+y2+4(x+y)

+8=(x+y)2-2孙+4(x+y)+8=(x+y)2+4(x+y)+28=(x+y+2)2+24.

x+y+2=0,%=-i+VTT,一%=-1—Vil,

当且仅当即ny时，"I鼠值=24,

,xy=-10,,y=-l-Vn,y=-l+Vll

|PC|“小他=2巡，所以，4与8的"距离”为2乃一1.

二、集合的运算

1.1.32已知全集/={a”的，。4，死，拆}，集合/={。1，<?3，<?4>/}，B—{a[1

a4},则力n1/B=().

(A){a”a4}(B){a2,a6}

(C){43，%}(D){a2,a3,a5,a6}

解析[/B—{a2)的，as，%},所以，PIC/5—{a^,死},答案为C.

1.1.33若集合M={x||x|W2},N={XF-3X=0},则MnN=().

(A){3}(B){0}(C){0,2}(D){0,3}

解析M=[—2,2],N={0,3},所以MCN={0},答案为B.

1.1.34设4,8,/均为非空集合,且满足/£胆7,则下列各

式中错误的是().

(A)(O)U8=/

(B)([H)U([/3)=/

(C)/n©8)=0

(D)C=(1/B)

解析集合48,/的关系如图所示，可知((〃)U(C/8)=O»所以，答案为B.

1.1.35设全集/={2,3,5},A={\a-5\,2},[〃={5},则a的值为().

(A)2(B)8(C)2或8(D)—2或8

解析由得|a—5|=3,所以。=2或8,答案为C.

1.1.36设集合〃=+"X+Q=O},N={祢72冗2+人2%+《2=0},则方程(。丁+"工

+c\)(a2X2+bix+<?2)=0的解集是().

(A)MQN(B)MUN(C)N(D)M

解析由(。武2+63+。|)(。2了2+62%+。2)=0可得(4，+伍》+。1)=0或(。2工2+62%+。2)=0,

所以，该方程的解集是mUM答案为B.

1.1.37若集合/={(x,y)h+y=O},尸={(工，y)|x-y=2},则珈尸=().

(A)(l,-1)(B){x=l}U{y=-l}

(C){1,-1}(D){(1,-1)}

解析由「+尸°'得/=1'所以，必尸土"，-1)},答案为D.

lx-y=2,ly=-1,

1.1.38{a”3,1，M

满足岫/，的，.}，且珈a2,的}={。念}的集合的个数是

().

(A)l(B)2(C)3(D)4

解析由Mn{a”a2,a3}={at,色}知©、a2^M,a理M,的可以在集合A/也可以不

在集合M中，所以，满足要求的集合"的个数是2个.答案为B.

1.1.39若4,B,C为三个集合，/U8=8nC,则一定有().

(A)NUC(B)CQA

(C)A+C(D)J=0

解析任取xez,则xezu8=8nc,于是，XG5DC,则XGC,所以，AQC,答案

为A.

1.1.40已知/={x降7},8={x|x<2},C={x|x>5},则/C8=；AUC=

解析由已知得/n8={x,<2},/UC=R,AC\BC\C=0.

1.1.41若集合Z={x[—2<x〈l或x>l},8={x|o姿6}满足

/UB={x|x>—2},^nB={x|l<x<3},则a=；b=

解析在数轴上画出集合/U8和208可得a=l,6=3.题1.1.41

1.1.42全集。的子集Z、B、C的关系如图所示：其中三个圆分别

表示集合“、B、C,试用集合4、B、C的运算结果表述图中的阴影所

代表的集合：.

解析图中的阴影部分表示集合hMrwnc

题1.1.42

1.1.43已知。>6>0,全集/=R,集合A/={xb<x<-y-j-N—{x\>/ab<x<a},

P={x\b<x<y^b},则下列关系式中正确的是().।-----,

(A)P="nO(B)尸=C成fCNT表盎一i

(C)P=MUN(D)P=MCN卡]

解析由a乂＞0得X，而＜亨＜〃，将集合V,N表示在数轴上可知？=加十网，答

案为A.

1.1.44对于集合48,c,"，nc=Bnc"是'7=8"的().

(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件

(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件

解析若/=8,则显然有xnc=8nc；反之，若。={1},/={1,2},B={1,3},

此时/nc=8nc={i},但小弟，所以，"/nc=8nc”是“A=B”的必要不充分条件，

答案为B.

1.1.45设全集/={(x,y)\x,yWR},集合M=[(x,y)l£|=l}，N={(x,y)\y/x+

1),那么C/(MIJN)=().

(A)0(B){(2,3)}

(0(2,3)(D){(x,y)\y=x+\}

解析集合/表示平面上所有的点，集合M表示直线y=x+l上除(2,3)外的所有点,

集合N表示不在直线y=x+l上的所有点，所以MUN表示平面上除(2,3)外的所有点，

所以，［/(A/UN)是集合{(2,3)},答案为B.

1.1.46若全集/=R，义x),g(x)都是定义域为R的函数，P={x］/(x)vO}‘。="趴》巨0},

则不等式组］(幻＜°,的解集用P,。表示为

【g(x)＜0

解析由已知可得不等式g(x)＜0的解集是［应，所以，不等式组的解集是PnL0.

1.1.47设P表示△ABC所在平面上的点，则集合{P|P4=P8}n{P|PB=PC}=.

解析由已知得点P到△/8C三顶点等距，所以，{PF/=P8}n{PF8=PC}={4

4BC的外心}.

1.1.48集合N={(x,y)\ax+y=\},B={(x,y)\x+ay=\},C={(x,^)|x2+^2=l},

分别求使得集合(ZUB)CC为含有两个元素和三个元素的集合的a的值.

解析集合/、B分别表示过定点(0,1)和(1,0)的两条直线，集合C表示单位圆，且

(0,1),(1,0)CC,若(/U8)nC含有两个元素，则两直线重合或同时与圆相切，可得。=

1或。=o.若(zuB)nc含有三个元素，即表明两条直线与圆有且仅有三个公共点，由于两

直线或同时与圆相切，或同时与圆不相切，则必须有上述两条直线的交点在圆上，两直线

的交点是岛，士}则岛),(士)"所以，L5

1.1.49若集合/是一个有限集，我们以＜4)表示该集合中元素的个数.例如：/(0)=

0,。{。})=1等等.

(1)已知集合河={。，xGR},若集合N={(x,y)［y=b}，其中6是实常数，

求寅A/CN)的值；

(2)已知集合〃={(左y)\y^x2,xGZ},若集合P={(x,y)[y=x+p},其中p是实常数,

如果存在整数上使得伍，GMCP,求证：{MDP)=2.

解析(1)若6<0,则.MW)=O；若6=0,则-MrW)=l；若6>0,则/(MfW)=2.

(2)由已知可得关于x的方程f=x+p有一个根是A,则*=氏+°,即于是,

方程f=x+p即为才2一》一〃一14=0,即(x-%)(x+k-l)=0,解得x=左或x=l-k,所以,

MC\P={(k,扃，(1一k,(1-A:)2)},由上是整数得七1一晨则火A/nN)=2.

1.1.50设全集为R,A={X\X2-5X-6>0},8={xII》一5|<4}仅是常数)，且11GB,贝I」

().|0听饼解I

(A)[/UB=R(B)JUCRB=R

(C)[R/U[RB=R(D)/U8=R

解析集合[={小>6或》<一1},由1165得|11一5|<小即”>6,集合8=(5—a,5+

a),此时5—亦一1,5+a>6,所以，AUB=R,答案为D.

1.1.51已知P={j4y=f+1,xWR},Q=®[y=x+1,xGR},则PC0=().

(A){(0,1),(1,0)}(B){0,1}

(C){1，2}(D){y\y>\]

解析集合P，0分别是函数y=f+l,y=x+l的值域，于是尸=[1,+oo),Q=R,

所以PC0=[1,+8),答案为D.

1.1.52设/、8是两个非空集合，定义，与8的“差集”为/

-B={x\x^A,且娓团，则/一(/―8)=().

(A)8(B)/n8(C)/U8(D)Z

解析由“差集”的定义可知集合如图中阴影部分所示，

所以，4—(N—8)=NnB,答案为B.

1.1.53已知全集U=ZUB中有“个元素，([M)U(CuB)中有〃

个元素，若力C8非空，则NC8的元素个数为().

(A)mn(B)m+n(C)n—)n(D)m—n

解析山文氏图可得4nB的元素个数为加一%答案为D.

1.1.54设全集U=N*,集合工={x|x=2〃，〃GN*},B={x\x=3n,〃eN*},贝此认/U

8)=().

(A){x|x=6〃，«6N*}(B){x\x=6n±\,»GN*}

(C){x\x^6n±2,〃GN*}(D){小=6〃土3,w£N*}

解析对于x=2〃，〃6N*,若”=3%/£N*),则x=6/；若〃=3%—1(%6N*),贝Ux=

6k—2；若〃=3左一26eN*),则x=6%-4,对于x=3〃，若“=2%/GN*),则x=6后若〃

=2k-\(AGN*),则x=6A~3,所以，[u(4U8)={小=6nil,/CN*},答案为B.

1.1.55我们称(P,0)为“有序集合对”，其中P,。是集合，当;时，认为(尸，。)

与(。，P)是两个不同的“有序集合对”.那么，使得/U8={〃，6}成立的“有序集合对”

(A,8)共有()个.

(A)9(B)4(C)7(D)16

解析若/=0,则只能8={〃，妤；若/=缶},则8可以为{处或伍，b}；若4=

{b},则8可以为{a}或{a,b}；若/={a,b},则8可以是0,{a},出},{a,6}这四个集

合中的某一个，所以，使得/U8={m6}成立的“有序集合对"(4,8)共有9个，答案为A.

1.1.56有限集合S中元素的个数记做card(S).设48都为有

限集合，给出下列命题：

①4n8=0的充要条件是card(4U8)=card(/)+card(B)；

②/UB的必要条件是card(J)<card(S)；

③/28的充分条件是card(/4)<card(B)；

®A=B的充要条件是card(N)=card(8),

其中真命题的序号是().

(A)③，④(B)①，②(C)①，④(D)②，③

解析用文氏图可知，当/n8=0时，必有card(4U8)=card(/)+card(8).

反之，若card(/U8)=card(4)+card(8),也必有/Cl8=0.

于是，card(/UB)=card(4)+card(8)是的充要条件；

若4QB,则card(N)Wcard(8)；反之，当card(/)Scard(8)时，未必有/U8,于是，

card(/)Wcard⑻是力U8的必要条件；当card⑷Wcard(B)时，有可能有于是，

card(Z)Scard(B)是的既不充分，也不必要条件；card(/)=card(8)是4=8的必要不充

分条件，所以，答案为B.

1.1.57若非空集合4,B,C满足4U8=C,且8不是力的子集，则().

父)》6。是*6/的充分条件但不是必要条件

伊》6(7是工^/的必要条件但不是充分条件

(C)xGC是xe/的充要条件

(D)xGC既不是xG/的充分条件，也不是xG/的必要条件

解析若则一定有xGNU8=C,于是，xCC是xdN的必要条件；如果xWC

=/U8时必有xG/,则Ca，BPAUBQA,于是，y^BQAUBQA,则yd/,BQA,

矛盾，所以，xGC是xe/的必要条件但不是充分条件，答案为B.

1.1.58已知集合A/={2,3,m2+4m+2},P={0,1,m2+4m~2,2—加}满足A/ClP

={3,7},则实数m的值是.

解析由已知得76”,则〃/+4机+2=7,解得，〃=1或机=—5.若帆=1,则"，+

4加-2=3,2—w=l.若加=—5,2—加=7,与集合中元素的互异性矛盾，所以，用的值

是1.

1.1.59如果全集。={4,b,c,d,e,力，A={a,b,c,d},

ACiB={a},贝Ij8=.的

解析由表示集合U,A,8的图形可得只有ee([〃)n8,

所以，B={a,e}.

1.1.60如果全集U含有12个元素，P,。都是U的子集，PHQ

中含有2个元素，CuP/M含有4个元素，CuPA。含有3个元素，

则P含有个元素；。含有个元素.叵而

题1.1.60

解析由表示集合U,P,。的图形可得P,。中各有5个元素.

1.1.61集合/={小=5左+3,左GN},B={x\x=7k+2,MN},则ZCB中的最小元

素是•

解析由已知可得集合力={3,8,13,18,23,28,33,•••},8={2,9,16,23,

30,­••},所以，4nB中的最小元素是23.

1.1.62已知集合4={4-8球6},B^{x\x<m],若NU2翔且1I1一

-86工

ACyB^0,则m的取值范围是.题1.1.62

解析将集合48表示在数轴上可知机的取值范围是一89；<6.

1.1.63已知常数a是正整数，集合/={x<a+寺，xGzj,B-{xIIx|<2a,x

GZ},则集合/U8中所有元素之和为.

解析由|x—q|<a+4可得一2a+*,而xGZ,于是，/={0,1,2,3,…，2a—1,

2a},由|x|v2a得一2a<xv2a,又xRZ、则8={—(2。-1),—(2a—2),…，(2〃-2),(2a~

1)}・

于是,AUB={—(2a~1),—(2。-2),…，-1,0,1,…，(2a—2),(2a—1),2a},

其中所有元素之和为2a.

1.1.64我们将b-a称为集合的“长度”.若集合A/=(x|m<x<m+1},

7V-{x|n-1<x<n],且A/和N都是集合{x|0&Wl}的子集，则集合MCN的“长度”的最

小值是().

1125

(A)3⑻女(C)5(D)i2

解析集合M和N的“长度”分别是,和木又"和N都是集合{x|0WxW}的子集，于

是，当桃芸，〃=0时，集合MCIN的“长度”取得最小值，舞卷答案为B.

4,541Z

1.1.65已知集合/=3¥+(而+2我+1=0,x&R},且NCR+=0,求实数机的取值

范围.10座1

解析若/=0,则△=(,”+2)2—4<0,解得一4<%<0；

(m+2)2—4>0,

若/¥0,则由f+("?+2)x+l=0没有正数根得，一(m+2)W0,解得zn>0.所以，

、1>0,

m的取值范围是m>-4.

1.1.66若集合N={x|f—2ax+a=0,xCR},8={切/一以+。+5=0,xSR}.

(1)若4=8=0,求a的取值范围；

(2)若4和B中至少有一个是0,求a的取值范围；

(3)若“和B中有且仅有一个是0,求。的取值范围.叵丽施

解析(1)若/=0,贝I4a2-4a<0,解得O〈a<l.若8=0,则16—43+5)<0,解得a>

-1,所以，使4=8=0成立的。的取值范围是0々<1.

(2)设4=(0,1),5'=(-1,+8),则使4和5中至少有一个是0的实数aWHUE,

即使”和8中至少有一个是0的实数a的取值范围是a>-\.

(3)使4和8中有且仅有一个是0的ae[4n((RB)]U[([；R4)n®],所以，使4和8中有

且仅有一个是0的a的取值范围是一1<把0或a>\.

§1-2简易逻辑

一、命题

1.2.1如果一个命题的逆命题是真命题，那么这个命题的().

(A)否命题必是真命题(B)否命题必是假命题

(C)原命题必是假命题(D)逆否命题必是真命题

解析一个命题的逆命题与否命题真假相同，答案为A.

1.2.2命题''对任意的x£R,1-¥+10”的否定是().

(A)不存在xGR,x}-x2+1<0

(B)存在xGR,x3-x2+l<0

(C)存在xWR,x3-x2+l>0

(D)对任意的xGR,x3-x2+1>0

解析“对任意的xGR,%3-%2+1<0"的否定是“存在xWR,使得x3—¥+1>0”，

答案为C.

1.2.3与命题”若“任丽，则等价的命题是().

(A)若bGM,则述A/(B)若bCM,贝UaGAf

(C)若贝iJadM(D)若底加，则人CM

解析逆否命题与原命题互为等价命题，原命题的逆否命题为“若"M,则,

所以，答案为C.

1.2.4设段)是定义在正整数集上的函数，且<x)满足：“当//心炉成立时，总可以推

出〃+1以左+1)2成立"，那么，下列命题总成立的是().

(A)若/(3心9成立，则当后1时，均有加巨好成立

(B)若<5巨25成立，则当后5时，均有.然巨*成立

(C)若人7)<49成立，则当行8时，均有火后)<必成立

(D)若<4)=25成立，则当眩4时，均有巨*成立

解析由25>16得｛4)=25使得<4巨4?成立，由已知可得当行4时，均有人大巨妙成立,

答案为D.

1.2.5命题