2024年中考数学真题分类汇编（全国）：专题27 方程及函数的实际问题（17题）（教师版）

专题27方程及函数的实际问题（17题）

一、题型一：实际问题与一次方程（组）

1．（2024·江苏无锡·中考真题）《九章算术》中有一道“凫雁相逢”问题（凫：野鸭），大意如下：野鸭从南

海飞到北海需要7天，大雁从北海飞到南海需要9天．如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过

多少天相遇？设经过x天相遇，则下列方程正确的是（）

1111

．xx1．xx1．．

A79B79C9x7x1D9x7x1

【答案】A

11

【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，根据题意可得野鸭的速度为，大雁的速度为，设经过

79

x天相遇，则相遇时野鸭的路程+大雁的路程=总路程，据此即可列出方程．

【详解】解：设经过x天相遇，

11

可列方程为：xx1，

79

故选：A．

2．（2024·辽宁·中考真题）我国古代数学著作《孙子算经》中有“雉兔同笼”问题：“今有雉兔同笼，上有三

十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”其大意是：鸡兔同笼，共有35个头，94条腿，问鸡兔各多少只？

设鸡有x只，兔有y只，根据题意可列方程组为（）

xy94xy94xy35xy35

A．B．C．D．

4x2y352x4y354x2y942x4y94

【答案】D

【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系是解题关键．设鸡有x只，兔有y只，根据“鸡

兔同笼，共有35个头，94条腿”列二元一次方程组即可．

【详解】解：设鸡有x只，兔有y只，

xy35

由题意得：，

2x4y94

故选：D．

3．（2024·甘肃兰州·中考真题）数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一，书中

记载着这样一个问题，大意是：999文钱买了周果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7

个苦果，问甜果，苦果各买了多少个？设买了甜果x个，苦果y个，则可列方程组为（）

xy1000xy1000xy1000

A．114B．114C．411

xy999xy999xy999

979779

xy999

D．411

xy1000

79

【答案】A

【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，根据999文钱买了周果和苦果共1000个，11文钱可

买9个甜果，4文钱可买7个苦果，列出方程组即可．

【详解】解：设买了甜果x个，苦果y个，由题意，得：

xy1000

114；

xy999

97

故选A．

4．（2024·辽宁·中考真题）甲、乙两个水池注满水，蓄水量均为36m3、工作期间需同时排水，乙池的排水

速度是8m3/h．若排水3h，则甲池剩余水量是乙池剩余水量的2倍．

(1)求甲池的排水速度．

(2)工作期间，如果这两个水池剩余水量的和不少于24m3，那么最多可以排水几小时？

【答案】(1)4m3/h

(2)4小时

【分析】本题考查了列一元一次方程解应用题，一元一次不等式的应用，熟练掌握知识点，正确理解题意

是解题的关键．

（1）设甲池的排水速度为xm3/h，由题意得，363x23683，解方程即可；

（2）设排水a小时，则36248a24，再解不等式即可．

【详解】（1）解：设甲池的排水速度为xm3/h，

由题意得，363x23683，

解得：x4，

答：甲池的排水速度为4m3/h；

（2）解：设排水a小时，

则36248a24，

解得：a4，

答：最多可以排4小时．

5．（2024·浙江·中考真题）小明和小丽在跑步机上慢跑锻炼．小明先跑，10分钟后小丽才开始跑，小丽跑

步时中间休息了两次．跑步机上C档比B档快40米/分、B档比A档快40米/分．小明与小丽的跑步相关

信息如表所示，跑步累计里程s（米）与小明跑步时间t（分）的函数关系如图所示．

时间里程分段速度档跑步里程

小明16:00~16:50不分段A档4000米

第一段B档1800米

第一次休息

小丽16:10~16:50第二段B档1200米

第二次休息

第三段C档1600米

(1)求A，B，C各档速度（单位：米/分）；

(2)求小丽两次休息时间的总和（单位：分）；

(3)小丽第二次休息后，在a分钟时两人跑步累计里程相等，求a的值．

【答案】(1)80米/分，120米/分，160米/分

(2)5分

(3)42.5

【分析】此题考查函数图象获取信息，一元一次方程的应用，读懂图象中的数据是解本题的关键．

（1）由小明的跑步里程及时间可得A档速度，再根据C档比B档快40米/分、B档比A档快40米/分可得

B，C档速度；

（2）结合图象求出小丽每段跑步所用时间，再根据总时间即可求解；

（3）由题意可得，此时小丽在跑第三段，所跑时间为a1015105a40（分），可得方程

80a3000160a40，求解即可．

【详解】（1）解：由题意可知，A档速度为40005080米/分，

则B档速度为8040120米/分，C档速度为12040160米/分；

（2）小丽第一段跑步时间为180012015分，

小丽第二段跑步时间为3000180012010分，

小丽第三段跑步时间为4600300016010分，

则小丽两次休息时间的总和50101510105分；

（3）由题意可得：小丽第二次休息后，在a分钟时两人跑步累计里程相等，

此时小丽在跑第三段，所跑时间为：a1015105a40（分）

可得：80a3000160a40，

解得：a42.5．

6．（2024·江西·中考真题）如图，书架宽84cm，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数

学书厚0.8cm，每本语文书厚1.2cm．

(1)数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各多少本；

(2)如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？

【答案】(1)书架上有数学书60本，语文书30本．

(2)数学书最多还可以摆90本

【分析】本题主要考查了一元一次方程及不等式的应用，解题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量

关系，设出未知数，列出方程．

（1）首先设这层书架上数学书有x本，则语文书有(90x)本，根据题意可得等量关系：x本数学书的厚

度(90x)本语文书的厚度84，根据等量关系列出方程求解即可；

（2）设数学书还可以摆m本，根据题意列出不等式求解即可．

【详解】（1）解：设书架上数学书有x本，由题意得：

0.8x1.2(90x)84，

解得：x60，

90x30．

∴书架上有数学书60本，语文书30本．

（2）设数学书还可以摆m本，

根据题意得：1.2100.8m84，

解得：m90，

∴数学书最多还可以摆90本．

7．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）牡丹江某县市作为猴头菇生产的“黄金地带”，年总产量占全国总产量

的50%以上，黑龙江省发布的“九珍十八品”名录将猴头菇列为首位．某商店准备在该地购进特级鲜品、特

级干品两种猴头菇，购进鲜品猴头菇3箱、干品猴头菇2箱需420元，购进鲜品猴头菇4箱、干品猴头菇

5箱需910元．请解答下列问题：

(1)特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价各是多少元？

(2)某商店计划同时购进特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇共80箱，特级鲜品猴头菇每箱售价定为50元，

特级干品猴头菇每箱售价定为180元，全部销售后，获利不少于1560元，其中干品猴头菇不多于40箱，

该商店有哪几种进货方案？

(3)在（2）的条件下，购进猴头菇全部售出，其中两种猴头菇各有1箱样品打a（a为正整数）折售出，最

终获利1577元，请直接写出商店的进货方案．

【答案】(1)特级鲜品猴头菇每箱进价为40元，特级干品猴头菇每箱进价为150元

(2)有3种方案，详见解析

(3)特级干品猴头菇40箱，特级鲜品猴头菇40箱

【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一元一次方程的应用，解题的

关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次

不等式组；（3）正确计算求解．

（1）设特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价分别是x元和y元，根据“购进鲜品猴头菇3箱、干

品猴头菇2箱需420元，购进鲜品猴头菇4箱、干品猴头菇5箱需910元”，列出方程组求解即可；

（2）设商店计划购进特级鲜品猴头菇m箱，则购进特级干品猴头菇80m箱，根据“获利不少于1560

元，其中干品猴头菇不多于40箱，”列出不等式组求解即可；

（3）根据（2）中三种方案分别求解即可；

【详解】（1）解：设特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价分别是x元和y元，

3x2y420

则，

4x5y910

x40

解得：，

y150

故特级鲜品猴头菇每箱进价为40元，特级干品猴头菇每箱进价为150元；

（2）解：设商店计划购进特级鲜品猴头菇m箱，则购进特级干品猴头菇80m箱，

5040m80m1801501560

则，

80m40

解得：40m42，

∵m为正整数，

∴m40,41,42，

故该商店有三种进货方案，

分别为：①购进特级鲜品猴头菇40箱，则购进特级干品猴头菇40箱；

②购进特级鲜品猴头菇41箱，则购进特级干品猴头菇39箱；

③购进特级鲜品猴头菇42箱，则购进特级干品猴头菇38箱；

（3）解：当购进特级鲜品猴头菇40箱，则购进特级干品猴头菇40箱时：

aa

根据题意得401504040118015050401801501577，

1010

解得：a9；

当购进特级鲜品猴头菇41箱，则购进特级干品猴头菇39箱时：

aa

根据题意得411504039118015050401801501577，

1010

解得：a9.9（是小数，不符合要求）；

当购进特级鲜品猴头菇42箱，则购进特级干品猴头菇38箱时：

aa

根据题意得421504038118015050401801501577，

1010

解得：a10.7（不符合要求）；

故商店的进货方案是特级干品猴头菇40箱，特级鲜品猴头菇40箱．

8．（2024·山东威海·中考真题）定义

我们把数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值．数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离

ABabab．特别的，当a0时，表示数a的点与原点的距离等于a0．当a<0时，表示数a的点

与原点的距离等于0a．

应用

如图，在数轴上，动点A从表示3的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点

B从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动．

(1)经过多长时间，点A，B之间的距离等于3个单位长度？

(2)求点A，B到原点距离之和的最小值．

【答案】(1)过4秒或6秒

(2)3

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，不等式的性质，绝对值的意义等知识，解题的关键是：

（1）设经过x秒，则A表示的数为3x，B表示的数为122x，根据“点A，B之间的距离等于3个单

位长度”列方程求解即可；

（2）先求出点A，B到原点距离之和为3x122x，然后分x3，3x6，x6三种情况讨论，利

用绝对值的意义，不等式的性质求解即可．

【详解】（1）解：设经过x秒，则A表示的数为3x，B表示的数为122x，

根据题意，得122x3x3，

解得x4或6，

答，经过4秒或6秒，点A，B之间的距离等于3个单位长度；

（2）解：由（1）知：点A，B到原点距离之和为3x122x，

当x3时，3x122x3x122x153x，

∵x3，

∴153x6，即3x122x6，

当3x6时，3x122xx3122x9x，

∵3x6，

∴39x6，即33x122x6，

当x6时，3x122xx32x123x15，

∵x6，

∴3x153，即3x122x3，

综上，3x122x3，

∴点A，B到原点距离之和的最小值为3．

9．（2024·贵州·中考真题）为增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，某校组织学生参加劳动实践．经

学校与劳动基地联系，计划组织学生参加种植甲、乙两种作物．如果种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27

名学生，种植2亩甲作物和2亩乙作物需要22名学生．

根据以上信息，解答下列问题：

(1)种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生？

(2)种植甲、乙两种作物共10亩，所需学生人数不超过55人，至少种植甲作物多少亩？

【答案】(1)种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要5、6名学生

(2)至少种植甲作物5亩

【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，

（1）设种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要x、y名学生，根据“种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27

名学生，种植2亩甲作物和2亩乙作物需要22名”列方程组求解即可；

（2）设种植甲作物a亩，则种植乙作物10a亩，根据“所需学生人数不超过55人”列不等式求解即可．

【详解】（1）解：设种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要x、y名学生，

3x2y27

根据题意，得，

2x2y22

x5

解得，

y6

答：种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要5、6名学生；

（2）解：设种植甲作物a亩，则种植乙作物10a亩，

根据题意，得：5a610a55，

解得a5，

答：至少种植甲作物5亩．

10．（2024·四川资阳·中考真题）2024年巴黎奥运会将于7月26日至8月11日举行，某经销店调查发现：

与吉祥物相关的A，B两款纪念品深受青少年喜爱．已知购进3个A款比购进2个B款多用120元；购进

1个A款和2个B款共用200元．

(1)分别求出A，B两款纪念品的进货单价；

(2)该商店决定购进这两款纪念品共70个，其总费用不超过5000元，则至少应购买B款纪念品多少个？

【答案】(1)A款纪念品的进货单价为80元，则B款纪念品的进货单价为60元

(2)至少应购买B款纪念品30个

【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，（1）设A款纪念品的进货单价为x元，

则B款纪念品的进货单价为y元，根据题意列二元一次方程组求解即可；

（2）设购买B款纪念品a个，则购买A款纪念品70a个，根据题意列一元一次不等式求得a的取值范

围，即可求解．

【详解】（1）解：设A款纪念品的进货单价为x元，则B款纪念品的进货单价为y元，

3x2y120

由题意得，，

x2y200

x80

解得，

y60

答：A款纪念品的进货单价为80元，则B款纪念品的进货单价为60元．

（2）解：设购买B款纪念品a个，则购买A款纪念品70a个，

由题意得，8070a60a5000，

解得，a30，

答：至少应购买B款纪念品30个．

二、题型二：实际问题与函数

11．（2024·山东潍坊·中考真题）2024年6月，某商场为了减少夏季降温和冬季供暖的能源消耗，计划在商

场的屋顶和外墙建造隔热层，其建造成本P（万元）与隔热层厚度xcm满足函数表达式：P10x．预计

x2x4

该商场每年的能源消耗费用T（万元）与隔热层厚度xcm满足函数表达式：T21，其中

8

0≤x≤9．设该商场的隔热层建造费用与未来8年能源消耗费用之和为y（万元）．

(1)若y148万元，求该商场建造的隔热层厚度；

(2)已知该商场未来8年的相关规划费用为t（万元），且tyx2，当172t192时，求隔热层厚度xcm

的取值范围．

【答案】(1)该商场建造的隔热层厚度为6cm

(2)3x8

【分析】本题主要考查了一次函数的性质，二次函数的性质以及解一元二次方程，掌握一次函数的性质，

二次函数的性质以及解一元二次方程，弄清楚题意是解题的关键．

（1）根据题意可以得出yx24x160，再令y148，解一元二次方程求解即可；

（2）将（1）中yx24x160代入tyx2，可得出t与x的关系式t4x160，然后利用一次函数的

性质，即可求出x的取值范围．

x2x4

【详解】（1）由题意得：yP8T10x821

8

整理得yx24x160，

当y148时，则x24x160148，

解得：x16,x22．

Q0x9，

x22不符合题意，舍去，

该商场建造的隔热层厚度为6cm．

（2）由（1）得yx24x160，

tyx2，

tx24x160x24x160172t192．

40，

t随x的增大而增大，

当t172时，4x160172，解得x3；

当t192时，4x160192，解得x8；

x的取值范围为3x8．

12．（2024·江苏无锡·中考真题）某校积极开展劳动教育，两次购买A,B两种型号的劳动用品，购买记录如

下表：

A型劳动用品（件）B型劳动用品（件）合计金额（元）

第一次20251150

第二次1020800

(1)求A，B两种型号劳动用品的单价；

(2)若该校计划再次购买A，B两种型号的劳动用品共40件，其中A型劳动用品购买数量不少于10件且不

多于25件．该校购买这40件劳动用品至少需要多少元？（备注：A，B两种型号劳动用品的单价保持不

变）

【答案】(1)A种型号劳动用品单价为20元，B种型号劳动用品单价为30元

(2)该校购买这40件劳动用品至少需要1100元

【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，不等式的实际应用，一次函数的实际应用．

（1）设A种型号劳动用品单价为x元，B种型号劳动用品单价为y元，根据表格中的数据，列出方程组求

解即可；

（2）设够买A种型号劳动用品a件，则够买B种型号劳动用品40a件，根据题意得出10a25，设

购买这40件劳动用品需要W元，列出W关于a的表达式，根据一次函数的性质，即可解答．

【详解】（1）解：设A种型号劳动用品单价为x元，B种型号劳动用品单价为y元，

20x25y1150

，

10x20y800

x20

解得：，

y30

答：A种型号劳动用品单价为20元，B种型号劳动用品单价为30元．

（2）解：设够买A种型号劳动用品a件，则够买B种型号劳动用品40a件，

根据题意可得：10a25，

设购买这40件劳动用品需要W元，

W20a3040a10a1200，

∵100，

∴W随a的增大而减小，

∴当a10时，W取最大值，W101012001100，

∴该校购买这40件劳动用品至少需要1100元．

13．（2024·黑龙江大庆·中考真题）“尔滨”火了，带动了黑龙江省的经济发展，农副产品也随之畅销全国．某

村民在网上直播推销某种农副产品，在试销售的30天中，第x天(1x30且x为整数)的售价为y(元/千

克)．当1x20时，ykxb；当20x30时，y15．销量z(千克)与x的函数关系式为zx10，

已知该产品第10天的售价为20元/千克，第15天的售价为15元/千克，设第x天的销售额为M(元)．

(1)k，b_____；

(2)写出第x天的销售额M与x之间的函数关系式；

(3)求在试销售的30天中，共有多少天销售额超过500元？

【答案】(1)1，30

x220x3001x20

(2)M

15x15020x30

(3)在试销售的30天中，共有7天销售额超过500元

【分析】本题考查了一次函数与二次函数的综合应用；

（1）待定系数法求解析式，即可求解；

（2）根据销售额等于销量乘以售价，分段列出函数关系式，即可求解；

（3）根据题意，根据M500，列出方程，解方程，即可求解．

【详解】（1）解：依题意，将10,20，15,15代入ykxb，

10kb20

∴

15kb15

k1

解得：

b30

∴yx301x20

故答案为：1，30．

x301x20

（2）解：依题意，y

1520x30

当1x20时，Myzx10x30x220x300

当20x30时，Myz15x1015x150

x220x3001x20

∴M

15x15020x30

2

（3）解：依题意，当1x20时，Myzx10x30x220x300x10400400

当20x30时，15x150500

70

解得：x

3

x为正整数，

∴第24天至第30天，销售额超过500元

302417（天）

答：在试销售的30天中，共有7天销售额超过500元

14．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学

问题进行了深入研究．下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾

空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，

建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．根据测量

和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决．

7

(1)如图1，点B与地面的距离为2米，水滑道最低点C与地面的距离为米，点C到点B的水平距离为3

8

米，则水滑道ACB所在抛物线的解析式为______；

(2)如图1，腾空点B与对面水池边缘的水平距离OE12米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离DE

不少于3米．若某人腾空后的路径形成的抛物线BD恰好与抛物线ACB关于点B成中心对称．

①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线BD的解析式；

②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）；

(3)为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固．如图2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距

地面4米的点M处竖直支撑的钢架MN，另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架BM．现在需要在水

滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与BM平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定

在钢架MN上，另一端固定在地面上．请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）．

127

【答案】(1)yx3

88

251225

(2)①此人腾空后的最大高度是米，解析式为yx3；②此人腾空飞出后的落点D在安全范

888

围内，理由见解析

(3)这条钢架的长度为217米

7

【分析】（1）根据题意得到水滑道ACB所在抛物线的顶点坐标为C3,，且过点B0,2，设水滑道ACB

8

27

所在抛物线的解析式为yax3，将B0,2代入，计算求出a的值即可；

8

12

（2）①根据题意可设人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为yxbc，由抛物线的顶点为

8

251225

3,，即可得出结果；②由①知人腾空后的路径形成的抛物线BD的解析式为：yx3，令

888

y0，求出x的值，即点D的坐标，即可得出结论；

127

（3）根据题意可得M点的纵坐标为4，令yx3中y4，求出符合实际的x值，得到点M的

88

1

坐标，求出BM所在直线的解析式为yx2，设这条钢架为GH，与MN交于点G，与地面交于H，

4

1

根据这条钢架与BM平行，设该钢架所在直线的解析式为yxn，由该钢架与水滑道有唯一公共点，

4

1

yxn

41

联立，根据方程组有唯一解，求出n0，即该钢架所在直线的解析式为yx，点H

1274

yx3

88

1

与点O重合，根据GN82，NO8，GNO90，利用勾股定理即可求解．

4

7

【详解】（1）解：根据题意得到水滑道ACB所在抛物线的顶点坐标为C3,，且过点B0,2，

8

27

设水滑道ACB所在抛物线的解析式为yax3，

8

279

将B0,2代入，得：2a03，即9a，

88

1

a，

8

127

水滑道ACB所在抛物线的解析式为yx3；

88

（2）解：①人腾空后的路径形成的抛物线BD恰好与抛物线ACB关于点B成中心对称，

12

则设人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为yxbc，

8

7

人腾空后的路径形成的抛物线BD的顶点坐标与抛物线ACB的顶点坐标C3,关于点B0,2成中心

8

对称，

725

0233,22，

88

2525

人腾空后的路径形成的抛物线BD的顶点坐标为3,，即b3,c，

88

251225

∴此人腾空后的最大高度是米，人腾空后的路径形成的抛物线BD的解析式为：yx3；

888

1225

由①知人腾空后的路径形成的抛物线BD的解析式为：yx3，

88

12252

令y0，则x30，即x325

88

x8或x2（舍去，不符合题意），

点D8,0，

OD8，

OE12，

DEOEOD43，

此人腾空飞出后的落点D在安全范围内；

（3）解：根据题意可得M点的纵坐标为4，

1272

令yx34，即x325，

88

x2（舍去，不符合题意）或x8，

M8,4，

设BM所在直线的解析式为ykxb，

2b

将M8,4,B0,2代入得：，

48kb

b2

解得：1，

k

4

1

BM所在直线的解析式为yx2，

4

如图，设这条钢架为GH，与MN交于点G，与地面交于H，

这条钢架与BM平行，

1

设该钢架GH所在直线的解析式为yxn，

4

1

yxn

41127

联立，即xnx3，

127488

yx3

88

整理得：x28x168n0，

该钢架GH与水滑道有唯一公共点，

Δ8241168n0，

1

n0即该钢架所在直线的解析式为yx，

4

点H与点O重合，

1

GN82，NO8，GNO90，

4

GHGN2NO2217，

这条钢架的长度为217米．

【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，其中涉及点的坐标的求法，二次函数的实际应用，一次函

数与二次函数交点问题，勾股定理，借助二次函数解决实际问题，体现了数学建模思想．

15．（2024·贵州·中考真题）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价

不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值．

销售单价x/元…1214161820…

销售量y/盒…5652484440…

(1)求y与x的函数表达式；

(2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？

(3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日

销售获得的最大利润为392元，求m的值．

【答案】(1)y2x80

(2)糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元

(3)2

【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：

（1）利用待定系数法求解即可；

（2）设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次函数

的性质求解即可；

（3）设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量-m×销售量求出w关于x的函数表达式，然后利

用二次函数的性质求解即可．

【详解】（1）解∶设y与x的函数表达式为ykxb，

12kb56

把x12，y56；x=20，y40代入，得，

20kb40

k2

解得，

b80

∴y与x的函数表达式为y2x80；

（2）解：设日销售利润为w元，

根据题意，得wx10y

x102x80

2x2100x800

2

2x25450，

∴当x25时，w有最大值为450，

∴糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元；

（3）解：设日销售利润为w元，

根据题意，得wx10my

x10m2x80

2x21002mx80080m，

1002m50m2

50m50m

∴当x时，w有最大值为21002m80080m，

22222

∵糖果日销售获得的最大利润为392元，

2

50m50m

∴21002m80080m392，

22

化简得m260m1160

解得m12，m258

b

当m58时，x54,

2a

则每盒的利润为：5410580,舍去，

∴m的值为2．

16．（2024·湖北武汉·中考真题）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火

箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运

行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的

1

直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线yax2x和直线yxb．其中，当火箭运行的

2

水平距离为9km时，自动引发火箭的第二级．

(1)若火箭第二级的引发点的高度为3.6km．

①直接写出a，b的值；

②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km，求这两个位置之间的距离．

(2)直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km．

1

【答案】(1)①a，b8.1；②8.4km

15

2

(2)a0

27

【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，

一次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题的关键．

2

1211515

（1）①将9,3.6代入即可求解；②将yxx变为yx，即可确定顶点坐标，得出

151524

y2.4km，进而求得当y2.4km时，对应的x的值，然后进行比较再计算即可；

2

（2）若火箭落地点与发射点的水平距离为15km，求得a，即可求解．

27

【详解】（1）解：①∵火箭第二级的引发点的高