广东省清远市英德市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（含答案）

第第页广东省清远市英德市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．搭载神舟十六号载人飞船的长征二号F遥十六运载火箭于2023年5月30日成功发射升空，景海鹏、朱杨柱、桂海潮3名航天员开启“太空出差”之旅，展现了中国航天科技的新高度．下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（）A． B．C． D．2．下面各数中，是不等式x≥−3的解的是（）A．−6 B．−5 C．−4 D．−13．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，若∠BAC=110°，则∠BAD的度数为（）A．35° B．55° C．65° D．90° 第3题图 第4题图 第5题图4．公路旁边的汽车最高限速标志牌上的数字，指的是汽车在该路段的最高时速不能超过这个数（单位：km/ℎ）．如果某个最高限速标志牌如图所示，用x（单位：km/ℎ）表示该路段汽车时速，则下列不等式对此标志解释正确的是（）A．x≥40 B．x≤40 C．x>40 D．x<405．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，若BC=9，BD=5，则点D到AB的距离为（）A．9 B．6 C．5 D．46．如图△ABC，直线MN为线段BC的垂直平分线，交AC于点D，连BD，若AD=3，AC=10，则BD长为（）A．6 B．7 C．8 D．9 第6题图 第8题图7．已知x>y，下列不等式一定成立的是（）A．x−6<y−6 B．3x<3y C．−2x<−2y D．2x+1<2y+18．如图，△ABC与△A'BA．点A与点A'是对称点 B．C．AB=A'B9．如图，一次函数y=x+m的图象与x轴交于点(−3,0)，则不等式A．x>−3 B．x<−3 C．x>3 D．x<3 第9题图 第10题图10．如图，A、B是5×6网格中的格点，网格中的每个小正方形边长都为1，以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的格点C的位置有（）A．8个 B．11个 C．12个 D．14个二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）11．“a与4的和是正数”，用不等式表示为．12．在平面直角坐标系中，将点A−2，3向右平移3个单位长度后，那么平移后对应的点A'的坐标是13．如图，在Rt△ABC中，∠A=50°，点D在斜边AB上．如果△ABC经过旋转后与△EBD重合，那么这一旋转的旋转角等于度． 第13题图 第14题图 第15题图14．如图，在△ABC中，AB=AC=8，∠B=15°，CD是腰AB上的高，则CD的长为．15．如图，将线段BC绕点B逆时针旋转120°得到线段BA，点D是平面内一动点，且D、B两点之间的距离为5，连接DA、DC，则DA+DC的最小值为．三、解答题（一）（本大题3小题，每小题8分，共24分）16．解不等式：x−1217．如图，在ΔABC中，AB=AC，∠BAC=120∘，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，连接AF，求18．请补充完成以下证明过程：如图，已知在等边三角形ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且AD=CE．求证：CD=BE．证明：∵△ABC为等边三角形，（已知）∴∠A=∠BCE=60°，（）AC=BC（）∵AD=CE（已知）∴△ADC≌△CEB（）∴CD=BE．（）四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）19．小明､小华､小刚三人在一起讨论一个一元一次不等式组．小明：它的所有解为非负数；小华：其中一个不等式的解集为x≤8；小刚：其中有一个不等式在求解的过程中需要改变不等号的方向．请你试着写出符合上述条件的不等式组，并解这个不等式组．20．如图，已知村庄A，B分别在道路CA、CB上．（1）尺规作图：作∠ACB的角平分线和线段AB的垂直平分线，交于点D（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）作图的基础上，连接AD、BD，过D作DE⊥CA，DF⊥CB，垂足分别为点E和点F，求证：AE=BF．21．如图，点O为平面直角坐标系的原点，点A在x轴上，△OAB是边长为2的等边三角形．（1）写出△OAB各顶点的坐标；（2）以点O为旋转中心，将△OAB按顺时针方向旋转60°，得到△OA'B'，写出五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分）22．小高和小新兄弟俩进行100米赛跑，哥哥小高先让弟弟小新跑12米，然后自己才开始跑．已知弟弟每秒跑4米，哥哥每秒跑5米．（1）分别列出小高、小新赛跑时所跑的距离s1、s2与弟弟赛跑时间t的函数关系式，并画出函数图象．（2）何时弟弟跑在哥哥的前面？（3）谁先跑过50米？谁先到达终点？23．在△ABC中，∠B=90°，D为BC延长线上一点，点E为线段AC，CD的垂直平分线的交点，连接EA，EC，ED．（1）如图1，当∠BAC=40°时，则∠AED=°；（2）当∠BAC=60°时，①如图2，连接AD，判断△AED的形状，并证明；②如图3，直线CF与ED交于点F，满足∠CFD=∠CAE．P为直线CF上一动点．当PE−PD的值最大时，用等式表示PE，PD与AB之间的数量关系为______，并证明．

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】A、不是中心对称图形，此选项不符合题意，排除；B、不是中心对称图形，此选项不符合题意，排除；C、是中心对称图形，此选项符合题意；D、不是中心对称图形，此选项不符合题意，排除；故答案为：C．【分析】将图形沿某一点旋转180°后能够与原图形重合的的图形为中心对称图形.2．【答案】D【解析】【解答】解：A、−6<−3，故选项不符合题意；B、−5<−3，故选项不符合题意；C、−4<−3，故选项不符合题意；D、−1>−3，故选项符合题意；故选：D．

【分析】根据不等式的解集为x≥−3，即找出选项中大于等于−3的数即可得出答案，3．【答案】B【解析】【解答】解：∵AB=AC，AD⊥BC，∠BAC=110°，∴∠BAD=∠CAD=故选：B【分析】由AB=AC，可得△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形的三线合一性质可得答案．4．【答案】B【解析】【解答】解：根据题意得：不等式对此标志解释正确的是x≤40．故选：B

【分析】根据最高限速标志牌的意义，可得汽车的速度不超过（即小于等于）这个数值，即可求解．5．【答案】D【解析】【解答】解：如图，过D作DE⊥AB于E，∵∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，∴DC=DE，∵BC=9，BD=5，∴CD=9−5=4，∴DE=4，∴点D到AB的距离为4．故选：D．【分析】过D作DE⊥AB于E（即点D到AB的距离），根据角平分线的性质可得DC=DE，根据CD=BC-BD求出DC的长度，从而可得答案．6．【答案】B【解析】【解答】解：∵直线MN为线段BC的垂直平分线，且AD=3，AC=10，∴BD=CD=AC−AD=10−3=7；故选：B．

【分析】根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．据此得BD=CD=AC−AD，即可求解．7．【答案】C8．【答案】D【解析】【解答】解：∵△ABC与△A'B∴点A与点A'是对称点，BO=B'∴A，B，C正确，故选：D．

【分析】

利用中心对称的性质：对应边和对应角相等逐项判断即可．9．【答案】B【解析】【解答】解：由图可得不等式x+m<0的解集为x<-3，故答案为：B.

【分析】通过观察图象，图象在x轴上方的对应的x的取值都满足条件，从而求解.10．【答案】C【解析】【解答】解：∵网格中的每个小正方形边长都为1，

∴AB=1当AC=AB=5AC1，AC2，AC3，AC∴以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的格点C的位置有6个；当BC=BA=5BC7，BC8，BC9，BC∴以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的格点C的位置有6个；综上所述，以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的格点C的位置有12个．故选：C．【分析】由网格中的小正方形边长为1，利用勾股定理求出A、B两点间的距离。分别考虑AB为等腰三角形的腰和底边两种情况。若AB为腰，则C点应在AB的垂直平分线上，且距离A、B的距离相同。即C点的坐标应满足到A、B两点距离相等。若AB为底边，则C点应使得AC=BC。同样，利用网格的性质和勾股定理，在网格中寻找满足条件的点即可。11．【答案】a+4>0【解析】【解答】解：根据题意得：用不等式表示为a+4>0．故答案为：a+4>0

【分析】a与4的和可以表示为a+4，而正数则是大于0的数。据此列出不等式即可．12．【答案】1，3【解析】【解答】解：根据题意，从点A平移到点A'，横坐标是−2+3=1故点A'的坐标是故答案为：1，3．

【分析】利用点的平移坐标变化规律“左减右加”解题即可．13．【答案】40【解析】【解答】解：由旋转中，B点的对应点为它本身，因此可以判定旋转中心是点B；∵∠A=50°，∠C=90°，∴∠ABC=90°−50°=40°，∵点D在斜边AB上∴旋转角为40°．故答案为：40．

【分析】先利用旋转的性质及角的运算求出∠ABC=90°−50°=40°，再利用旋转角的定义求出旋转角为40°即可．14．【答案】4【解析】【解答】解：∵AB=AC=8，∠B=15°，∴∠ACB=∠B=15°，∴∠CAD=∠ACB+∠B=30°，又∵CD是腰AB上的高，即∠D=90°，∴CD=1故答案为：4．

【分析】由AB=AC=8，∠B=15°，先根据等腰三角形的性质可得∠ACB=∠B=15°，然后根据三角形的外角性质可得∠CAD=30°，最后根据直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半质可得答案．15．【答案】5【解析】【解答】解：如图，把BD绕点B顺时针旋转120°，交DC的延长线于点D'，过点B作BE⊥DD'，则∠DBD'=∠ABC=120°∵∠ABD+∠DBC=∠DBC+CBD∴∠ABD=∠CBD又∵AB=CB，DB=D∴△ABD≌△CBD∴AD=CD∴AD+CD的最小值为DD∵BE⊥DD∴∠DBE=12∠DB∴∠BDE=30°，∵BD=5，∴BE=1∴DE=5∴DD故答案为：53【分析】把BD绕点B顺时针旋转120°，交DC的延长线于点D'，过点B作BE⊥DD'，则∠DBD'=∠ABC=120°，DB=D'B=5，利用等量代换可得∠ABD=∠CBD'，从而证得△ABD≌△CBD'SAS16．【答案】解：x−1去分母得：2x−1去括号得：2x−2+4≥x，移项得：2x−x≥2−4，合并同类项得：x≥−2【解析】【分析】

按照去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤解不等式即可．17．【答案】解：∵AB=AC，∠BAC=120∘，∴∠B=30∘.

∵EF垂直平分AB，

∴BF=AF，

∴∠BAF=∠B=【解析】【分析】先根据等边对等角结合∠BAC=120°求出∠B的度数，再根据垂直平分线的性质可得出BF=AF，进而得到∠BAF=∠B，最后根据三角形外角性质即可解答．18．【答案】证明：∵△ABC为等边三角形，（已知）∴∠A=∠BCE=60°，（等边三角形的性质）AC=BC（等边三角形的性质）∵AD=CE（已知）∴△ADC≌△CEB（SAS）∴CD=BE．（全等三角形的性质）故答案为：等边三角形的性质，等边三角形的性质，SAS，全等三角形的性质．【解析】【分析】根据等边三角形的性质，即所有角都是60度，所有边都相等。然后，过SAS证明两个三角形全等，最后根据全等三角形的性质即可得出答案。19．【答案】解：∵一元一次不等式组的解集为非负数，∴其中一个不等式的解集必为x⩾0，

∵一个不等式在解的过程中需要改变不等号的方向，

∴其中一个不等式中x的系数为负数，

∴符合条件的一元一次不等式组可以为：8−x⩾0①x⩾0②（答案不唯一）．

解不等式①，得：x⩽8，

结合不等式②【解析】【分析】由于一元一次不等式组的解集为非负数，所以其中一个不等式的解集必为x⩾0，由于一个不等式在解的过程中需要改变不等号的方向，所以其中一个不等式中x的系数为负数，根据这两个条件写出符合条件的一元一次不等式组即可．20．【答案】（1）解：如图所示：CP是∠ACB的角平分线，MN是线段AB的垂直平分线，CP与MN交于点D；（2）证明：如图，

∵MN是线段AB的垂直平分线，

∴BD=AD，

又∵CP是∠ACB的角平分线，DE⊥CA，DF⊥CB，

∴DF=DE，

∴Rt△BFD≌Rt△AED(HL)

∴AE=BF【解析】【分析】（1）根据要求分别作出∠ACB的角平分线和线段AB的垂直平分线即可，作法如下：以C为圆心，任意长为半径画圆弧：这个圆弧会与∠ACB的两边分别相交于两点，分别以这两点为圆心，以大于这两点距离的一半长度为半径分别画圆弧：这两个圆弧会在∠ACB内部相交于一点，设为D。连接CD：线段CD即∠ACB的角平分线。以A、B为圆心，以大于AB一半的长度为半径分别画圆弧：这两个圆弧会相交于两点，设为M和N。连接MN：线段MN即为线段AB的垂直平分线。则CD与MN的交点即为所求；（2）根据线段垂直平分线性质可得BD=AD，角平分线的性质可得DF=DE，进而证明Rt△BFD≌Rt△AED(HL)，即可得出结论．21．【答案】（1）如图1，过B作BC⊥OA于C，

∵△AOB是等边三角形，且OA=2，

∴OC=12OA=1，

由勾股定理得：BC=22−（2）如图2，∵∠AOB=60°，OA=OB，

∴A'与B重合，

∴A'−1,3，

由旋转得：∠BOB'=60°，OB=OB'，

∵∠AOD=90°，

∴∠BOD=30°，

∴∠DOB【解析】【分析】（1）根据题意，由于点O为原点，所以O的坐标为(0，0)。由于点A在x轴上，且OA=2，所以A的坐标为(-2，0)。由于△OAB是边长为2的等边三角形，所以OB=AB=2。过点B作BC⊥OA于点C，由于△OAB是等边三角形，所以点C是AO的中点，即OC=12OA=1。根据勾股定理，有BM=3（2）根据旋转的性质，旋转前后对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角。因此，旋转后点A’与点B重合，可以直接写出A’和B’的坐标。22．【答案】（1）解：由题意可得，s1＝5（t−124s2＝4t，即s1、s2与t的函数关系式分别是：s1＝5t−15，s2＝4t；函数图象如图：（2）解：4t＞5t−15，解得，t＜15，答：当t＜15时，弟弟跑在哥哥的前面．（3）解：s1＝5t−15＝50，解得t＝13，s2＝4t＝50，解得t＝12.5，

12.5＜13，

∴小新先跑过50米，

s1＝5t−15＝100，解得t＝23，

s2＝4t＝100，解得t＝25，

23＜25，

∴小高先到达终点．【解析】【分析】（1）根据弟弟赛跑时间为t，则哥哥赛跑时间t-3，根据路程=速度×时间，可以分别写出s1、s2与t的函数关系式，并利用描点法画出函数图象；（2）由弟弟跑在哥哥的前面，可令s2＞s1，可得一个关于t的一元一次不等式，并解该不等式而即可求解；（3）分别求出当s1、s2等于50、100时t的值，然后进行比较即可得出答案，23．【答案】（1）100（2）解：①结论：△ADE时等边三角形．理由：∵点E是线段AC，CD的垂直平分线的交点，∴EA=EC=ED，∴∠EAC=∠ECA，∠ECD=∠EDC，∵∠ABC=90°，∠BAC=60°，∴∠ACB=90°−60°=30°，∴∠ACD=180°−30°=150°，∴∠EAC+∠ACD+∠EDC=300°，∴∠AED=360°−300°=60°，∴△ADE时等边三角形；②结论：PE−PD=2AB．理由：如图，作点D关于直线CF的对称点D'，连接CD'，