浙江省绍兴市上虞区2023-2024学年高三下学期适应性教学质量调测数学试卷（含答案）

第第页浙江省绍兴市上虞区2023-2024学年高三下学期适应性教学质量调测数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．数据3，4，5，6，7，8，9，10的中位数为（）A．6 B．6.5 C．7 D．7.52．函数fx=x+alnx在点1,1处的切线与直线A．1 B．2 C．−1 D．−23．已知e1，e2是单位向量，且它们的夹角是60°，若a=2e1+eA．25 B．45 C．1 4．若sin5π12+αA．229 B．−229 5．已知fx是定义域为R的偶函数，且在(−∞,0)上单调递减，a=fln2.04A．a<b<c B．a<c<b C．c<b<a D．c<a<b6．已知抛物线C：y2=4x，直线x=m与抛物线C交于A,B两点，过A,B两点分别作抛物线的两条切线交于点P，若△ABP为正三角形，则A．1 B．2 C．3 D．47．汉诺塔（TowerofHanoi），是一个源于印度古老传说的益智玩具.如图所示，有三根相邻的标号分别为A、B、C的柱子，A柱子从下到上按金字塔状叠放着n个不同大小的圆盘，要把所有盘子一个一个移动到柱子B上，并且每次移动时，同一根柱子上都不能出现大盘子在小盘子的上方，请问至少需要移动多少次？记至少移动次数为Hn，例如：H(1)=1，H(2)=3A．H(3)=5 B．H(n)为等差数列C．H(n)+1为等比数列 D．H8．三棱锥A−BCD满足BC−AC=BD−AD=2，二面角C−AB−D的大小为60∘，CD⊥AB，AB=4，CD=3，则三棱锥A−BCDA．7π B．28π C．77π3二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分.9．已知a>0，b>0，a+b=ab，则（）A．a>1且b>1 B．ab≥4 C．a+4b≤9 D．b10．已知复数z=x+yi(x,y∈R)，其中i为虚数单位，若z满足z+1+A．z的最大值为2 B．y的最大值为1C．存在两个z，使得z+z=−4成立 D．存在两个z，使得11．已知数列{an}与{bn}满足a1=1，且an+1=2an+1(n∈N∗)，bn=logA．an+1=2n B．bn=n三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12．1x−2x613．过原点O的直线l与圆C:(x−1)2+y+22=9交于A,B两点，若14．已知定义在0,+∞上的增函数fx满足：对任意的a,b∈0,+∞都有fab=fa+fb且f4=2，函数gx满足gx+g4−x=−2，g4−x=gx+2.当x∈0,1时，gx=fx+1−1，若g四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．在三棱台ABC−A1B1C1中，面BCC1B1⊥面ABC，BC=2（1）求证：C1O//面（2）求直线AA1与平面16．盒子中装有大小形状相同的4个小球，其中2个白色2个红色.每次取一球，若取出的是白球，则不放回；若取出的是红球，则取完放回.（1）取两次，求恰好一红一白的概率；（2）取两次，记取到白球的个数为随机变量X，求随机变量X的分布列及均值；（3）在第2次取出的球是红球的条件下，求第1次取出的球是白球的概率．17．在三角形ABC中，内角A,B,C对应边分别为a,b,c且bcos（1）求∠B的大小；（2）如图所示，D为△ABC外一点，∠DCB=∠B，CD=3，BC=1，∠CAD=30∘，求sin18．在平面直角坐标系xOy中，动点Px,y（x>0）与定点F(2,0)的距离和P到直线l：x=32（1）求动点P的轨迹方程；（2）记动点P的轨迹为曲线C，过点Q32,0的直线l与曲线C交于A,B两点，直线BF与曲线C（i）求kAB（ii）记△OAB面积为S1，△QBF面积为S2，△QEF面积为S319．帕德近似是法国数学家亨利•帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数m,n，函数f(x)在x=0处的[m,n]阶帕德近似定义为：R(x)=a0+a1x+⋯+amxm1+b1x+⋯+bnxn，且满足：f(0)=R(0)，f'(0)=R（1）求实数a,b的值；（2）当x∈0,1时，试比较fx与（3）定义数列{an}：a1=

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：数据已经从小到大排列好，中间有两个数，故该组数据的中位数为：6+72故答案为：B.【分析】根据已知条件和中位数的概念，从而计算出数据3，4，5，6，7，8，9，10的中位数.2．【答案】A【解析】【解答】解：因为f'(x)=1+a因为函数f(x)在点1,1处的切线与直线y=2x平行，所以f'(1)=1+a=2，解得故答案为：A．【分析】先求出函数的导函数，再利用导数的几何意义得出切线的斜率，再根据两直线平行斜率相等，从而得出实数a的值．3．【答案】B【解析】【解答】解：由a⊥b得，a⋅b=(2e1故答案为：B．【分析】由a⊥b得a⋅4．【答案】D【解析】【解答】解：由已知可得，sin25π12则cos2α−故答案为：D．【分析】由二倍角的余弦公式和诱导公式，从而得出cos2α−5．【答案】A【解析】【解答】解：令gx=ex−x−1,x∈(0,1)，

可得g又由g0=0，所以gx>g0=0，又由ln2.04∈(0,1)，所以ln因为fx是定义域为R的偶函数，且在(−则fx在(0,+∞)所以fln2.04<f1.04<f所以a<b<c.故选：A.【分析】令gx=ex−x−1，利用求导的方法判断出函数gx在(0,1)的单调性，再结合函数的单调性求出函数的值域，得到6．【答案】C【解析】【解答】解：由题意可得A,B关于x轴对称，且AB⊥x轴，则两条切线的交点P在x轴上，

设Am,yA，因为△ABP为正三角形，不妨取kAP=3联立y=33x−则Δ=2x0所以AP:y=33x+3，代入A又因为yA2=4m故答案为：C.【分析】利用图形的对称性可得A,B关于x轴对称且AB⊥x轴，从而得出两条切线的交点P在x轴上，设Am,yA，Px0,0，可设AP:y=37．【答案】C【解析】【解答】解：由题意知若有1个圆盘，则需移动一次：若有2个圆盘，则移动情况为：A→C,A→B,C→B，需移动3次；若有3个圆盘，则移动情况如下：A→B,A→C,B→C,A→B,C→A,C→B,A→B，共7次，故H(3)=7，故A错误；由此可知若有n个圆盘，设至少移动an次，则a所以an+1=2an−1+1故an=2则H(n)不为等差数列，故B错误；因为Hn=2n−1，则H因为H7故答案为：C.【分析】由题意可得H(3)=7，则判断选项A；利用归纳法得到Hn=28．【答案】D【解析】【解答】解：如图所示，设AC=m,AD=n，则BC=m+2,BD=n+2，由向量的运算和余弦定理可得：CD==AD所以CD⋅解得：m=n，故AC=AD,BC=BD，

过C作CE⊥AB，连接DE，则DE⊥AB，设AE=x，则m2−x2=m+22−4−x故AC⊥AB，AD⊥AB，即∠CAD为二面C−AB−D的平面角，故三棱锥可放置成如图所示，O1为底面正△ACD的外心，即AO1因为O为A−BCD的外接球球心，即OO1//AB，

为使得OA=OB=OC=OD所以，三棱锥A−BCD的外接球半径R=3+4所以，外接球的体积V=4故答案为：D.【分析】设AC=m,AD=n，根据对角线向量的性质，从而列方程求出m,n的关系式，进而可得线线垂直，过C作CE⊥AB，连接DE，再结合勾股定理得出线线关系，从而可得二面角C−AB−D的平面角，进而可确定外接球球心位置得出外接球半径，再结合球的体积公式可得三棱锥A−BCD外接球的体积.9．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：对于A，因为a>0，b>0，a+b=ab，

则a=bb−1>0，故b>1对于B，因为a>0，b>0，ab=a+b≥2ab当且仅当a=b=2时取等号，故B正确；对于C，因为a>0，b>0，a+b=ab，则1a则a+4b=a+4b当且仅当4ba=a对于D，由于b>0，故ba当且仅当b=1时取等号，又因为b>1，则ba故答案为：ABD.【分析】由a+b=ab可得a=bb−1>0，即可判断b>110．【答案】A,D【解析】【解答】解：由z+1+z−1=4得，

z对于A，z表示复平面内z到原点的距离，因为z在椭圆x24+y2对于B，由椭圆方程y的取值范围可知，−3≤y≤3，则y对于C，由z+z=−4得x=−2，

由椭圆方程中x范围可知，−2≤x≤2，故仅存在一个z满足对于D，因为z−1+32i=1又因为复平面内到点1,32距离为1点的轨迹为圆，方程为则圆与椭圆有2个交点，所以存在两个z，使得z−1+故答案为：AD．【分析】由z+1+z−1=4得出z在复平面内对应点的轨迹为椭圆，由椭圆方程x,y的取值范围，即可判断选项A、选项B和选项C；由z−1+311．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：对于A，因为a1=1且an+1=2a即数列{an+1}为等比数列，a1+1=2则an+1对于B，因为bn对于C，因为新数列{cn}为1,1,1,3,2,2,2,2,7,⋯，由于2即数列{cn}从a1=1到a10=1023而a10和a11之间有210对于D，结合C的分析，

可得S=2036+8194+9920=20150，故D正确.故答案为：BCD.【分析】利用构造等比数列法，则判断出数列{an+1}为等比数列，再结合等比数列的通项公式，从而得出数列{an}的通项公式，则判断选项A；利用bn12．【答案】−160【解析】【解答】1x−2x6令r=3，得T故答案为：−160.

【分析】写出二项式(a+b)n的通项公式Tr+1=Cnr(a)n−r(b)r（Cnr13．【答案】17或【解析】【解答】解：当斜率不存在时x=0x−12+y+22=9，因为−2−22>−2+22且−2−22当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则直线l:y=kx，

将直线l代入圆C:(x−1)2+y+22=9，

得1+k2x则x1+x因为AO=2OB，

则2x2=−联立可得4k−221+k22故答案为：17或1【分析】首先判断直线l的斜率存在，设直线l:y=kx，Ax1,y1，Bx214．【答案】9,11.【解析】【解答】解：定义在0,+∞上的增函数fx，

对任意的a,b∈0,+∞都有则f4=f2×2f2=f1×2当x∈0,1时，gx=fx+1−1，

则gx在函数gx满足gx+g4−x=−2得出gx在3,4上单调递增，且g4=−1因为g4−x=gx+2，则g得出gx在1,2和2,3上单调递减，且g由gx+g4−x=−2和则gx+2+gx+4故gx的一个周期是4，且在x=4t+1t∈Z时取最大值0，在若gx在0,m上取得最大值的x值依次为x1，x2，…，xk，

取得最小值的x值依次为x'1，x'i=1当k=n时，有4k当k=n+1时，有2n2+n−10=0则有x3≤m<x所以m的取值范围为9,11.故答案为：9,11.【分析】由函数fx的性质得出f2=1，f1=0，再由函数gx满足的条件得g0=−1，g1=0，再根据函数15．【答案】（1）证明：∵O为BC中点，BC=2C1B1，∴C1B1=BO，

∵C1B1//BO，所以四边形BOC1B1是平行四边形，

（2）解：法一：将侧棱延长，则交于一点P，连AO，PO，

因为AB=AC=2，所以AO⊥BC，∵面BCC1B1⊥面ABC，AO⊥BC，

面BCC1∴AO⊥平面BCC∴∠APO是直线AA1与平面因为AB=AC=2，所以BC=A所以AO=2又因为BB1=C又因为BC=22，故CP2+BP故OP=1因为AO⊥平面BCC1B1，所以AO⊥PO，故AP=2，∴sin∴直线AA1与平面BCC法二：∵面BCC1B1⊥面ABC，AO⊥BC，面BCC1∴AO⊥平面BCC以O为坐标原点，OA,OB所在直线分别为x,y轴，垂直于平面ABC为z轴，

建立空间直角坐标系，因为AB=AC=2，所以BC=A所以AO=2又因为BB1=CC1则A(2,0,0)，A1其中n=(1,0,0)是面BC∴cos∴直线AA1与平面BCC【解析】【分析】（1）根据棱台的结构特征和O为BC中点，从而得到四边形BOC1B（2）法一：作出辅助线，由面面垂直及线面垂直得到∠APO是直线AA1与平面BCC1B法二：利用已知条件建立空间直角坐标系，从而写出点的坐标和向量的坐标，计算得出平面BCC1B1的法向量，再利用数量积求向量夹角公式和同角三角函数基本关系式，进而求出直线（1）∵O为BC中点，BC=2C∴C1∵C1B1∴又∵C1O⊄面AA1∴C1O//（2）法一：将侧棱延长，则交于一点P，连AO，PO，因为AB=AC=2，所以AO⊥BC，∵面BCC1B1⊥面ABC，AO⊥BC，面BCC1∴AO⊥平面BCC∴∠APO是直线AA1与平面因为AB=AC=2，所以BC=A所以AO=2又因为BB1=C又BC=22，故CP2+BP故OP=1因为AO⊥平面BCC1B1，所以AO⊥PO，故AP=2，∴sin∴直线AA1与平面BCC法二：∵面BCC1B1⊥面ABC，AO⊥BC，面BCC1∴AO⊥平面BCC以O为坐标原点，OA,OB所在直线分别为x,y轴，垂直于平面ABC为z轴，建立空间直角坐标系，因为AB=AC=2，所以BC=A所以AO=2又BB1=CC1则A(2,0,0)，A1其中n=(1,0,0)是面BC∴cos∴直线AA1与平面BCC16．【答案】（1）解：记事件A：第一次取到是红球，事件B：第二次取到是红球，则P=P（2）解：随机变量X可取0，1，2，PX=0=12×随机变量X分布列如下：X012P171所以EX（3）解：因为PAP则PA【解析】【分析】（1）利用已知条件和全概率公式，从而计算出恰好一红一白的概率.（2）利用已知条件得到随机变量X所有可能取值，结合古典概型求概率公式和独立事件求概率公式，从而得出随机变量X的分布列，再结合分布列求数学期望公式，从而得出随机变量X的均值.（3）利用全概率公式、条件概率乘法公式和条件概率公式，从而得出第1次取出的球是白球的概率．（1）记事件A：第一次取到是红球，事件B：第二次取到是红球，则P=PA（2）随机变量X可取0，1，2，PX=0=12×随机变量X分布列如下：X012P171所以EX（3）PAPB则PA17．【答案】（1）解：∵bcos∴sinBcosC+3sinC∴即3sin又∵sinC≠0，即sinB−30°=1，

又∵0（2）解：设∠BCA=θ，

在△ACD中，ACsin∠D=180°−∴AC=sin在△ABC中，

ACsin∠B=BCsin∴AC=sin即23∴4sin∴sin(2θ+60∴2θ+60∘=∴sin因为AC=2=23于是S△ABC【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角可得sinBcosC+3sinCsin（2）设∠BCA=θ，利用已知条件用θ表示∠D，∠BAC，再利用正弦定理可得公共边AC的式子，则可得一个关于角θ的三角方程，从而求解出角θ的大小，进而求出sin∠BCA=22和AC=（1）∵bcos∴sinBcosC+3即∴sin即3sin又∵sin即sinB−30°=1，又∵0（2）设∠BCA=θ，在△ACD中，ACsin∠D=180°−∴AC=sin在△ABC中，ACsin∠B=BCsin∴AC=sin即23∴4sin∴sin(2θ+60∴2θ+60∘=∴sin又由AC==2=23于是S△ABC18．【答案】（1）解：由题意可知，(x−2)2+y2x−32=2（2）解：（i）设Ax1,y1，Bx2由题意知直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB方程为x=my+32，

代入曲线C:x需满足Δ=12m2F(2,0)，直线BF方程为x=ny+2，代入C:x可得n2−3y2+4ny+1=0因为y1y2=−34m2−3同理y2y3=1n2−3，n=x2−2所以kAB（ii）因为S1所以S2−S综上所述，S1S2【解析】【分析】（1）根据题意结合两点距离公式和点到直线的距离公式，从而列出方程，化简即可得出动点P的轨迹方程.（2）（i）设Ax1,y1，Bx2,y2，Ex3,y3，再设直线AB方程为x=my+32，联立直线和曲线C的方程，再根据韦达定理可得根与系数关系式，同理设直线BF方程为x=my+（1）由题意可知，(x−2)2化简得x23−y2（2）（i）设Ax1,y1，B则E在第四象限，由题意知AB的斜率存在且不为0，设直线AB方程为x=my+32，代入C:x需满足Δ=12m2F(2,0)，直线BF方程为x=ny+2，代入C:x可得n2−3y2+4ny+1=