高一数学新人教版(A版) 必修第1册：正弦函数、余弦函数的性质-教学设计

课程基本信息

课例编号2020QJ10SXRA050学科数学年级高一学期第一学期

课题正弦函数、余弦函数的性质

教科书书名：普通高中教科书数学必修第一册A版

出版社：人民教育出版社出版日期：2019年6月

教学人员

姓名单位

授课教师黄天琦北京市第五十中学

指导教师李颖北京市东城区教师研修中心

教学目标

教学目标：

1.初步理解函数的周期性，在周期性和单调性的指导下把握正弦函数、余弦函数的其

他性质；

2.深入周期性和奇偶性的综合，加强多角度认识函数性质；

3.借助单位圆深刻理解性质，提升数学直观和数学推理的数学素养.

教学重点：在周期性和奇偶性的指导下整合正弦函数、余弦函数的其然性质．

教学难点：周期函数、（最小正）周期的意义．

教学过程

时间教学环节主要师生活动

导语：通过前期对指数函数、对数函数的学习，我们已经知道对

函数性质的研究思路:

绘制函数图象——观察图象、发现性质——证明性质

上节课我们已经学习正弦函数、余弦函数的图象，本节课让我们一起

利用函数的图象研究正弦函数、余弦函数的性质.

问题1：类比以往对函数性质的研究，思考本节课可研究正弦函

数、余弦函数的哪些性质？

师生活动：学生思考总结：根据研究函数的经验，我们可探究正

（一）

3分钟弦函数、余弦函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、最大（小）值

新知引入

等.

问题2：观察正弦函数图象并结合其自身特点，思考正弦函数有

哪些保持不变的特征.

师生活动：学生观察正弦函数图象可以发现：正弦函数在，

内的图象，向左或向右平移个单位长度，即在区间，，

02π

，内会出现相同的图象.教师适当启发，引导学生发现横坐标

2π−2π0

每隔4或个单位长度，也会出现纵坐标相同的点.直至推广至

2π4π

.

π−4π

2�π�∈�

追问:如何用代数方法解释以上猜想？

师生活动：学生思考、讨论.当自变量的值增加整数倍时所

对应的函数值，与所对应的函数值相等.可利用诱导公式

�2π

从代数的角度解释猜想的正确性.

�sin�+

教师可引导学生分别讨论和两种情况所对应的两

2�π=sin�(�∈�)

段图象，从而让数与形从特殊到一般进行对应，体会周期描述的周而

�=1�=−1

复始的含义.

设计意图：通过对函数性质的研究思路的回顾，引导学生明确函

数性质的研究内容，选择适当的研究方法.

问题3：请阅读教科书5.4.2节“1.周期性”中的内容，回答下

列问题：什么是周期函数？什么叫做周期？

师生活动：学生阅读教科书，回答周期函数的定义：

一般地，设函数的定义域为，如果存在一个非零常数,使

得对每一个都有，且

�(�)��

，

�∈��+�∈�

那么函数就叫做周期函数.非零常数叫做这个函数的周期.

��+�=�(�)

为学生更好的理解定义，教师可通过以下追问强调对“存在”和“每

�(�)�

一个”的理解.

�追∈问�：你是如何理解定义中的“存在一个非零常数”?

师生活动：对于函数“若对任意一个非零常数,都不能使

�

得恒成立”，即“在函数定义域中总能找到某个

���

值，使得，”在这种情况下，就不是周期函数.

��+�=����

（二）0追问：正弦0函数是否为周期函数?

10分钟���+�≠�(�)��

周期性

追问：，，

2��2����

sin−3+3=sin−3sin3+3=sin3

，，那么是正弦函数的一个周期吗？

4��4��

为sin什么3+？3=sin3⋯3�=sin�

师生活动：学生思考并回答，在正弦函数的定义域中，可以找一

个值，比如当时，，所以不是正弦函数一个

�����

周期.教师引导�学=生6注意s，in在6已+知3函≠数sin6是周期3函数的前提下，只

要函数定义域中有一个值，使得，则就不是

�(�)

函数的周期.所以研究函数的周期要特别关注“每一个”的

�(�)�0��0+�≠�(�)�

含义.

�(�)�∈�

问题4：正弦函数的周期是多少？

师生活动：由关系式可知正弦函数的

sin�+2�π=sin�(�∈�)

周期是且

追问：对于一般的周期函数，如果常数是这个函数的周期，

2�π(�∈��≠0)

你能证明且也是它�(�的)周期吗？�

师生活动：共同探究并证明，让学生试着证明，若学生有困难教

�T(�∈��≠0)

师给予必要的帮助.

从周期函数的定义可以得到，如果是的一个周期，它可以

是正数也可以是负数，并且对定义域内的每一个，都有

��(�)

，于是

���+�=

所以也是的周期.同理可证，都是它的周期.进而

�(�)��+2�=��+�+�=��+�=��.

得到都是它的周期.

2��(�)3�,4�,5�,⋯

类似地，如∗果，那么

��(�∈N)

，由此可知都是它

��+�=�(�)��=��+−�=��+

的周期.从而得到，也都是它的周期.即证明

−�+−�=��+−2�−2�,−3�,−4�,⋯

∗

且都是它的周−期�.�(�∈N)�T�∈

教师引导学生注意，以上推导过程成立的基础是，若是周期函

��≠0

数定义域中的任意一个实数，那么，，�也都

必须在函数定义域中，因此周期函数的定义域一定既无上界也无

���+��+2��−�,⋯

下界，即无界.

�(�)

问题5：在正弦函数的所有周期中，是否存在一个最小的正数？

师生活动：根据正弦函数的周期是且，当

时得到最小的正数为.

2�π�∈��≠0�=1

教师总结：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正

2π

数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期.

��

在后续的学习中，如果不加特别说明，那么所涉及的周期，一般

��

都是指函数的最小正周期.最小正周期是最具有代表性的一个周期，

但不是每个周期函数都存在最小正周期.

问题6：余弦函数是否为周期函数，若是，请指出其周期和最小

正周期.

师生活动：学生观察余弦函数图象得出结论，余弦函数也是周期

函数，且都是它的周期，最小正周期是.

设计意图：直观理解正弦函数、余弦函数的周期性，了解最小正

2�π(�∈��≠0)2π

周期.

问题7：知道了一个函数的周期，对研究它的图象与性质有什么

帮助？

师生活动：学生独立完成，之后进行展示交流，在此基础上教师

进行梳理总结.

教师总结：函数的周期性可以简化对图象和性质的研究过程.对

于一个周期函数，如果知道了周期，在对函数的探究过程中就可以从

一个周期入手，只要认识到一个周期上函数的图象与性质，那么整个

定义域上函数的图象和性质就都完全清楚了.另外，以正弦函数为例，

已知是它的周期后，不一定必须从，开始研究，只要从左向

后平移取个单位长度都可以理解为正弦函数的一个周期进行探

2π02π

究.

2π

设计意图：了解周期性的意义，为下面的研究做铺垫.

问题8：观察正弦函数、余弦函数的图象，完成下面的表格.

正弦函数余弦函数

定义域

值域

周期性

奇偶性

对称轴

对称中心

每一个单调递增区间

每一个单调递减区间

最大值

最小值

师生活动：教师布置该任务后，学生通过观察图象，进行直观想

象、数形结合，完成上述表格；之后互相交流讨论，进行修改完善，

（三）

7分钟并进行展示交流.

其他性质

在填写表格时，学生可以较准确地填写出正弦函数、余弦函数的

定义域、值域、周期性、奇偶性.学生在猜想并写出单调区间、最值

点时可能会产生遗漏，在写出对称轴、对称中心时可能会有疑惑.通

过以下追问促进学生的思考，帮助他们理解.

追问：观察正弦函数图象，找出在内的对称轴和对称

�3�

中心.[−2,2]

追问：观察正弦函数图象，探究在内函数的单调性.

�3�

师生活动：学生能够在一个周期内找[−到正2,弦2函]数的对称轴、对称

中心以及图象的变化趋势.教师引导学生结合正弦函数的周期性，将

对称轴，对称中心和单调性进行归纳，并得到正弦函数的最大（小）

值.