高一数学新人教版(A版) 必修第1册：三角函数的图象与性质应用(2)-教学设计

课程基本信息

课例编号2020QJ10SXRA054学科数学年级高一学期第一学期

课题三角函数的图象与性质应用（2）

书名：高中数学必修一

教科书

出版社：人民教育出版社出版日期：2019年6月

教学人员

姓名单位

授课教师田会永北京汇文中学

指导教师李颖东城区教师研修中心

教学目标

教学目标：

１．进一步理解三角函数的图象与性质，会利用三角函数的图象和性质解决相关函数最大（小）值的问

题，以及利用图象和性质会解一些特殊的不等式；

２．在解决问题的过程中体会数形结合思想和转化与化归思想的应用，加深知识间的内在联系；

３．在知识的运用过程中发展数学运算和数学直观的素养.

教学重点：利用三角函数图象及性质解决相关函数的问题.

教学难点：问题解决过程中方法的选择及转化策略的使用.

教学过程

时间教学环节主要师生活动

三角函数的图象与性质应用（2）

简单回顾三角函数的图象与性质.

上节课已经研究了一些三角函数的图象与性质的应用，比如说：ycosx，

复习

我们讨论了它的单调区间和周期性，研究的方法离不开图象的支持，今天继续应用

三角函数的图象与性质来研究相关函数，那么函数图象与性质是否还能帮助我们解

决问题呢？

设计意图：本节课的主要内容是利用三角函数的图象与性质解决问题，先帮助

学生复习这部分内容.

例1：求下列函数的最大值、最小值.

1.y1cosx，xR；

π2π

2.y1cosx，x[，]；

33

ππ2π

3.y1cos(x)，x[，].

333

分析：

（1）通过观察图象

例题

当cosx=1时，函数y=1cosx取到最大值为2，此时x=π+2kπ，kZ.

当cosx=−1时，函数y=1−cosx取到最小值为0，此时x=2kπ，kZ.

−

2π3

(2)当x时，函数y=1cosx取到最大值为.

32

−

π1

当x时，函数y=1cosx取到最小值为.

32

−

π2ππππ

(3)当x[，]时，x[0，].所以先考查ycosx在[0，]上的最大值、最小值.

33333

π2π1

当x时，函数取到最小值为0.当x时，函数取到最大值为.

332

学生活动：通过观察函数图象以及利用函数的性质，求函数的最值.

设计意图：通过余弦函数图象，解决多个不同函数的值域问题，也就是说，此例题

的问题，都可以转化为利用余弦函数图象以及性质进行解决.

π

例2：已知函数f(x)cosx，其中x[，m]，若f(x)的值域是[1，0]，求实数

2

m的取值范围．

分析：先让同学观察图象，思考如何解决问题.

3π

通过动画，让学生观察余弦函数的图象，可以发现当m[π，]时，f(x)的值域是

2

[1，0].

学生活动：观察图象，思考如何利用函数图象解决此问题.

设计意图：此题若通过代数方法解决是比较困难的，而利用图像，可以非常直观的

展现出m的取值范围.

ππ

思考题1：已知函数f(x)cos(x)，其中x[，m]，若f(x)的值域是[1，0]，

36

求m的取值范围．

ππππππ

当x[，m]时，x[，+m]，接下来只需考察f(x)cosx在[，+m]上的

632323

值域是[1，0].这就转化为例2的情况.

3ππ3π2π7π

在例2中，m[π，]，所以此题的m满足：π+m，解得：m[，].

23236

学生活动：同学们体会函数图象及性质在此题中的作用.

设计意图：与例2相比，此例题中的函数有一点变化，但任然可以使用三角函

数图象及性质进行解决.

ππ

思考题2：已知函数f(x)cos(3x)，其中x[，m]，若f(x)的值域是[1，0]，

318

求m的取值范围．

ππππ

分析：当x[，m]时，3x[，+3m]，接下来只需只需f(x)cosx在

18323

ππ

[，+3m]的值域是[1，0]这个问题.这就转化为例2的情况.在例2中，

23

3ππ3π2π7π

m[π，]，所以此题的m满足：π+3m，解得：m[，].

232918

学生活动：让同学体会函数图象及性质在此题中的作用，并思考与前面两个例

题的关系.

设计意图：与前面两个题相比，此例题中的函数又有一点变化，但任然可以使

用三角函数图象及性质进行解决.

例3：求不等式sinxcosx的解集.

分析：通过观察正、余弦函数的图象，先计算出sinx=cosx的解，进而得到不等式

π5π

在[0，2π]内的解.在[0，2π]内，不等式sinxcosx的解集为：[，].

44

π5π

因此，不等式sinxcosx的解集为：x2kπx2kπ，kZ.

44

学生活动：有些学生可能会使用代数方法进行解决，但借助函数图形，可以相

对轻松的解决此问题，让学生思考，函数图形及性质在此题中的作用.

设计意图：利用三角函数图形及性质解不等式.

思考题：求不等式sinx+cosx0的解集.

分析：不等式sinx+cosx0可转化为：sinxcosx.

π3π

在[π，π]内，sinx=cosx的解为，.

44

π3π

sinxcosx的解为[，].

44