专题82立体图形的直观图

专题8.2立体图形的直观图（知识梳理及题型总结）·模块一斜二测画法的步骤·模块二与直观图有关的计算·模块三课后作业模块一模块一斜二测画法的步骤用斜二测画法画立体图形的直观图步骤1.建立轴测坐标系轴的方向：z，轴：垂直方向，保持原长（变形系数为1）。x，轴y，轴：与水平线成45°角（通常向右下方倾斜），长度缩短为实际尺寸的一半2.确定变形系数x，轴和z，轴y，轴3.绘制物体的正面选择物体与x，z，4.沿y，轴绘制深度从正面各顶点沿y，轴方向（45°倾斜）绘制线段，长度为实际深度的一半5.连接各点形成立体结构将y，6.处理细节擦除被遮挡的线条（隐藏线），加强可见轮廓线。对于平行于x，z，例：绘制边长为a的立方体1.正面：绘制正方形，边长为a，x，轴水平，z2.深度：从四个顶点沿y，轴（45°方向）画线段，长度0.5a3.背面：连接线段端点形成平行四边形，完成立方体结构。【考点1斜二测画法画平面图形】【例1.1】已知平面四边形OABC用斜二测画法画出的直观图是边长为1的正方形O'A'B'C'，则原图形OABCA．2 B．22 C．3 D．【答案】C【分析】根据斜二测画法规则结合勾股定理即可求解.【详解】根据斜二测画法规则，

OA=O'A'=1,OB=2故选：C．【例1.2】用斜二测画法画出下列图形：(1)水平放置的边长为5cm(2)水平放置的梯形和平行四边形；【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】根据题意，结合斜二测画法的规则，即可画出平面图形的直观图.【详解】（1）解：在已知正方形OABC中，OA=OC=5cm，取所在直线为x,y轴，如图所示，画出对应的x',y'轴，使∠x即四边形O'A'B

（2）解：取等腰梯形底边AB,CD的中点O,E，连接OE，以O为原点，以AB,OE所在的直线分别为x,y轴建立平面直角坐标系，如图所示，画出对应的x',y'轴，使可得等腰梯形ABCD的直观图为A'B

以O为原点，以OA所在的直线分别为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，画出对应的x',y'轴，使可得平行四边形OABC的直观图为O'

【变式1.1】用斜二测画法画水平放置的边长为1的正方形，所得直观图的周长为（

）A．4 B．3 C．2+1 D．【答案】B【分析】画出直观图，结合斜二测画法线段关系得到直观图中相关的线段长度，即可得解.【详解】如图平面正方形OABC的边长为1，则直观图如下所示：则O'A'=OA=1，所以直观图的周长为1+1+1故选：B【变式1.2】画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图．【答案】答案见解析【分析】运用斜二测画法画图即可.【详解】画法：（1）如图所示，取AB所在直线为x轴，AB的中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x'O'（2）以O'为中点在轴上取A'B'=AB，在y'轴上取，以E'（3）连接B'C'，，所得的四边形A'【考点2斜二测画法画立体图形】【例2.1】画出棱长为3cm的正方体的直观图．【答案】答案见解析.【分析】先画底面图形，按照横不变，纵减半，指的是和x轴重合或者平行的线段长度不变，和y轴平行或者重合的线段长度减半，画出底面的平行四边形；再就是z轴的方向上的线段长度不变，画出长方体的高，连接各个顶点即可．【详解】(1)作水平放置的正方形的直观图ABCD，使∠BAD=45°，AB=3cm,(2)过点A作z′轴，使∠BAz'=90°，分别过点A，B，C，D，沿z′轴的(3)连接A1B1,B

【例2.2】若把一个高为10cm的圆柱的底面画在x'O'A．平行于z'轴且大小为10cm B．平行于z'轴且大小C．与z'轴成45°且大小为10cm D．与z'轴成45【答案】A【分析】根据斜二测画法，即可判断选项.【详解】平行于z轴（或在z轴上）的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致，所以圆柱的高应画成平行于z'轴且大小为故选：A【变式2.1】已知一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，长方体的长、宽、高分别为20m，5m，10m，四棱锥的高为8m．如果按1:500的比例画出它的直观图，那么在直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为（

）A．4cm，1cm，2cm，1.6cm B．4cm，0.5cm，2cm，0.8cmC．4cm，0.5cm，2cm，1.6cm D．4cm，0.5cm，1cm，0.8cm【答案】C【分析】根据条件所给的比例结合斜二测画直观图的画法规则即可求解.【详解】由比例可知，所画长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为4cm，1cm，2cm和1.6cm，又因为斜二测画直观图的画法：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中平行于，保持长度不变；已知图形中平行于y轴的线段，在直观图中平行于y'已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中平行于z'轴，保持长度不变所以该建筑物按1:500的比例画出它的直观图的相应尺寸分别为4cm，0.5cm，2cm和1.6cm．故选：C.【变式2.2】有一个正六棱锥，底面边长为3cm，高为3cm，画出这个正六棱锥的直观图．【答案】直观图见解析【分析】借助直观图的画法逐步画出即可得.【详解】（1）先画出边长为3cm的正六边形的水平放置的直观图，如图①所示．（2）过正六边形的中心O′建立z′轴，在z′轴上截取O′V′＝3cm，如图②所示．（3）连接V′A′，V′B′，V′C′，V′D′，V′E′，V′F′，如图③所示．（4）擦去辅助线，遮挡部分用虚线表示，即得到正六棱锥的直观图，如图④所示．模块二模块二与直观图有关的计算由直观图还原为平面图的关键：找与x,轴、y,轴平行的直线或线段，且平行于x,轴的线段还原时长度不变，平行于y直观图与原图面积之间的关系：若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S,，则有SS=22【考点1直观图与原图形面积计算】【例1.1】一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（

）A．4 B． C． D．22【答案】B【分析】根据斜二测画法得到原图，进而求出原图的面积.【详解】还原直观图为原图形，如图所示，因为，所以O'B还原回原图形后，OA=O所以原图形面积为2×故选：B【例1.2】（多选）如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形A'B'C'D'，已知A．A'D'C．四边形ABCD的面积为62 D．四边形ABCD的周长为【答案】BC【分析】A选项，作出辅助线，得到各边长，结合∠D'A'M=45°，求出A'D'=2；B选项，由斜二测法可知AB=A'【详解】A选项，过点C',D'作C'因为等腰梯形A'B'C'所以MN=2,A又∠D'A'M=45°B选项，由斜二测法可知AB=A'BC选项，作出原图形，可知，AB=4，CD=2，AD⊥AB，故四边形ABCD的面积为CD+AB⋅AD2D选项，过点C作CH⊥AB于点，则AH=CD=2,BH=4-由勾股定理得BC=B四边形ABCD的周长为AB+CD+AD+BC=4+2+22+23=6+2故选：BC【变式1.1】△ABC的直观图△A'B'C'如图所示，其中轴，轴，且A'B

A．22 B．4 C． D．8【答案】B【分析】将直观图还原为原图，然后即可求解.【详解】将直观图还原为原图，如图所示，则△ABC是直角三角形，其中AC=4，AB

故△ABC的面积为S△故选：B．【变式1.2】如图，矩形O'A'B'C'是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形OABC【答案】6【分析】根据直观图和原图形之间的关系结合图象求解即可.【详解】在直观图中设B'C'交O则C'D'平面四边形OABC如图所示，则，OA=O'所以S四边形模块三模块三课后作业画出如图水平放置的直角梯形OABC的直观图．

【答案】作图见解析【分析】以O为坐标原点建立平面直角坐标系，然后取∠x'O'y'=45∘，画出x'轴和y【详解】第一步：已知的直角梯形OABC中，以底边OC所在直线为x轴，垂直于OC的腰OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，画相应的x'轴和y'轴，使第二步：在x'轴上截取O'C'=OC=4，在y'轴上截取O'A'=12OA=1，过点A'作x第三步：所得四边形O'A'B

利用斜二测画法画出边长为3cm的正方形的直观图，正确的是（

A． B． C． D．【答案】C【分析】利用直观图的性质求解即可.【详解】由直观图的性质得原正方形的横向长度不变，纵向长度减半，横纵夹角变为π4，显然C正确故选：C用斜二测画法画长、宽、高分别为5cm、3cm、3cm的长方体的直观图．【答案】作图见解析【分析】利用斜二测画法可得直观图.【详解】（1）先建立如图所示的空间直角坐标系，其中∠xoy=45（2）在x轴的正半轴上截取线段OA=5，在y轴的正半轴上截取线段OB=1.5，过A作y轴的平行线，过B作x轴的平行线，交点为C，平行四边形OBCA为长方体的底面的直观图，（3）在z轴的正半轴上截取OD=3，过B,C,A分别作z轴的平行线，在这些平行线上分别截取BE=CF=AH=3，（4）顺次连接D,H,F,E，由上述4步则可得如图所示的长、宽、高分别为5、3、3的长方体的直观图.一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20m、5m、10m，四棱锥的高为8m，若按1∶1000的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为（）A．4cm，1cm，2cm，1，6cm B．4cm，0，5cm，2cm，0，8cmC．4cm，0，5cm，2cm，1，6cm D．2cm，0，25cm，1cm，0，8cm【答案】D【分析】根据条件所给的比例结合斜二测画直观图的画法规则即可求解.【详解】由比例可知，所画长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为2cm，0.5cm，1cm和0.8cm，又因为斜二测画直观图的画法：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中平行于，保持长度不变；已知图形中平行于y轴的线段，在直观图中平行于y'已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中平行于z'轴，保持长度不变所以该建筑物按1:1000的比例画出它的直观图，直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为2cm，0.25cm，1cm和0.8cm．故选：D.如图，△O'A'B'是水平放置的A．6 B．9 C