《空间向量及其运算》空间向量及其线性运算教学课件（统编人教A版）

第1课时

空间向量的线性运算重难点：1.会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律.2.能运用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何问题.与平面向量一样：一、空间向量的概念(1)向量:在空间中,具_________和______的量.(2)向量a的长度或模:表示向量a的有向线段的长度,记作|a|.（3）零向量：长度为______的向量。（手写记作）单位向量：长度为_______的向量。（4)相等向量：在空间，方向相同且模相等的向量。（5）相反向量：长度_______方向________的向量。(6)共线向量或平行向量:如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合。规定:零向量与任意向量共线.大小方向做一做1、正方体ABCD-A'B'C'D'中与向量相等的向量有_____1相等相反03

已知空间向量，以任意点O为起点，作向量，我们就可以把他们平移到同一平面，这样任意的两个空间向量的运算就可以转化为平面向量运算。由此，我们把平面向量的运算推广到空间，定义空间向量的加减法以及数乘运算：A.1个

B.2个C.3个

D.4个【例1】

如图,已知长方体ABCD-A'B'C'D',化简下列向量表达式,并在图中画出化简结果的向量.反思运用法则进行向量的线性运算时要注意关键的要素:(1)向量加法的三角形法则:“首尾相接,指向终点”;(2)向量减法的三角形法则:“起点重合,指向被减向量”;(3)平行四边形法则:“起点重合”;(4)多边形法则:“首尾相接,指向终点”.运算律与平面向量一样，空间向量的线性运算满足以下运算律（(λ∈R,μ∈R):(1)结合律

(a+b)+c=a+(b+c);(2)交换律

a+b=b+a.（3）分配律λ(a+b)=λa+λb,(λ+μ)a=λa+μa(λ∈R,μ∈R);说明:空间向量的加法、减法运算满足平行四边形法则或三角形法则,并且空间向量的加法满足交换律和结合律.答案:0反思数乘向量的运算一般是结合所给几何体,联系数乘向量的几何意义转化为一个新的向量.若同时涉及几个数乘向量,则还要注意数乘向量运算律的运用.共线向量定理:空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ,使得a=λb.说明:向量共线的充要条件强调b为非零向量,若b为零向量,则a=λb中的a只能为0,没有研究的意义.探究【做一做3】

若非零空间向量e1,e2不共线,则使2ke1-e2与e1+2(k+1)e2共线的k的值为

.

解析:由题可知,2ke1-e2≠0,且e1+2(k+1)e2≠0.若2ke1-e2与e1+2(k+1)e2共线,则存在实数λ,使得2ke1-e2=λ[e1+2(k+1)e2]成立.解:如图,取AC的中点记为G,连接EG,FG,思考：我们知道，任意两个空间向量总是共面的，但三个空间向量既可能是共面的，也可能是不共面的。那么，什么情况下三个空间向量共面呢？在立体几何的学习中我们学习了异面直线与共面直线，那么向量之间有没有共面的情况呢？如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α。平行于同一平面的向量，叫做共面向量。探究：题型四、向量共面问题1.设a,b是两个不共线的向量,λ,μ∈R,若λa+μb=0,则(

)A.a=b=0 B.λ=