高中选修第一册《直线的方程》直线的一般式方程名师课件

直线的一般式方程情境导入要点诠释：

1.A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线.

当B≠0时，方程可变形为，它表示过点，斜率为

的直线.

当B=0，A≠0时，方程变形为Ax+C=0，即，它表示一条与x轴垂直的直线．由上可知，关于x、y的二元一次方程，它都表示一条直线．

2.在平面直角坐标系中，一个关于x、y的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于x、y的一次方程（如斜率为2，在y轴上的截距为1的直线，其方程可以是2x－y+1=0，也可以是，还可以是4x－2y+2=0等．）知识海洋关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为Ax+By+C=0，这个方程(其中A、B不全为零)叫做直线方程的一般式．直线方程的一般式应用探究【例】设直线

l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0.

（1）若直线

l在

x轴上的截距为－3，则

m＝________.

（2）若直线

l的斜率为1，则m＝________.解：（1）令

y＝0，得m＝

或m＝3(舍去).∴m＝

.－2（2）由直线

l化为斜截式方程得m＝－2或m＝－1(舍去).∴m＝－2.注意：（1）方程

Ax＋By＋C＝0表示直线，需满足

A，B不同时为0.（2）令

x＝0可得在

y轴上的截距.令

y＝0可得在

x轴上的截距.若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式.（3）解分式方程注意验根.直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系应用探究于是与直线平行的直线可以设为；垂直的直线可以设为

.（2）从一般式考虑：知识海洋对于两直线的平行与垂直，（1）从斜截式考虑：已知直线于是与直线y=kx+b平行的直线可以设为y=kx+b1；垂直的直线可以设为．直线方程的综合应用

l1与l2重合，且或，记忆式()应用探究【例】判断下列直线的位置关系：（1）l1：2x－3y＋4＝0，l2：3y－2x＋4＝0；（2）l1：2x－3y＋4＝0，l2：－4x＋6y－8＝0；（3）l1：(－a－1)x＋y＝5，l2：2x＋(2a＋2)y＋4＝0.解：（1）直线

l2的方程可写为－2x＋3y＋4＝0，由题意知∴

l1∥l2.∴l1与

l2重合.（2）由题意知（3）由题意知，当a＝－1时，l1：y＝5，l2：x＋2＝0，∴l1⊥l2.当a≠－1时，

故

l1不平行于

l2，又(－a－1)×2＋(2a＋2)×1＝0，∴l1⊥l2，综上

l1⊥l2.应用探究【例】判断下列直线的位置关系：（1）l1：2x－3y＋4＝0，l2：3y－2x＋4＝0；（2）l1：2x－3y＋4＝0，l2：－4x＋6y－8＝0；（3）l1：(－a－1)x＋y＝5，l2：2x＋(2a＋2)y＋4＝0.（1）当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意

x、y的系数不能同时为零这一隐含条件.（2）在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.应用探究【例】已知直线

l的方程为

3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线

l′的方程：（1）过点(－1,3)，且与

l平行；（2）过点(－1,3)，且与

l垂直.l的方程可化为

∴l的斜率为（1）∵l′与l平行，∴l′的斜率为

又∵l′过点(－1,3)，由点斜式知方程为即3x＋4y－9＝0.（2）∵

l′与

l垂直，∴

l′的斜率为又

l′过点(－1,3)，由点斜式可得方程为即4x－3y＋13＝0.解：方法一：应用探究解：方法二：（1）由

l′与

l平行，可设

l′的方程为

3x＋4y＋m＝0.将点(-1,3)代入上式得

m＝-9.∴所求直线的方程为

3x＋4y-9＝0.（2）由

l′与

l垂直，可设

l′的方程为

4x-3y＋n＝0.将(-1,3)代入上式得

n＝13.∴所求直线的方程为

4x-3y＋13＝0.【例】已知直线

l的方程为

3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线

l′的方程：（1）过点(－1,3)，且与

l平行；（2）过点(－1,3)，且与

l垂直.应用探究【例】已知直线

l的方程为

3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线

l′的方程：（1）过点(－1,3)，且与

l平行；（2）过点(－1,3)，且与

l垂直.

一般地，直线

Ax＋By＋C＝0中系数

A、B

确定直线的斜率，因此，与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0，与直线

Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为

Bx－Ay＋n＝0.这是经常采用的解题技巧.应用探究拓广探索【例】一条光线从点A(3,2)出发，经x轴反射，通过点B(－1,6)，求入射光线和反射光线所在直线的方程．解：

∵点A(3,2)关于x轴的对称点为A'(3,－2)，∴由两点式可得直线A'B的方程为即2x＋y－4=0同理：点B关于x轴的对称点为B'

(－1,－6)，由两点式可得直线AB'

的方程为