高二数学 新人教版(A版) 选择性必修1：圆的标准方程-教学设计

课程基本信息

课例编号2020QJ11SXRA026学科数学年级高二学期上

课题2.4.1圆的标准方程

书名：《数学》选择性必修第一册

教科书

出版社：人民教育出版日期：2020年5月

教学人员

姓名单位

授课教师陈东峰北京汇文中学

指导教师雷晓莉北京东城区教育研修学院

教学目标

教学目标：

（1）理解圆的标准方程的推导过程，体会类比的方法和数形结合思想；

（2）掌握圆的标准方程；

（3）会利用给定条件或适当补充条件，求圆的标准方程，提高提出问题的能力，体会数

形结合以及方程思想．

教学重点：圆的标准方程的导及求法。

教学难点：圆的标准方程的求法。

教学过程

教

学

时间主要师生活动

环

节

在前一阶段的学习中，我们学习了直线与方程，请同学们回忆

一下：

问题1：在直线与方程的学习

回

中，我们都研究了哪些问题？

顾

旧

知

引

入

课

问题2：类比直线方程的研究

题

过程，我们如何研究圆的方程呢？

追问(1)：直线方程是如何建立的呢？怎样

在坐标系中确定一条直线呢？

类

比

分追问(2)：在平面直角坐标系中，如何确

析定一个圆呢？

确需要两个几何要素，圆心与半径。圆心确定了圆的位置，半径

立

确定了圆的大小，二者缺一不可。

研

究

方问题3：设圆心A(a,b)，半径为r,如何建立关于圆的关系式呢？

案

追问1：圆上任一点M(x,y)满足什么性质呢?

在平面解析几何中，用距离定义曲线是比较常见的。由于|MA|=r,

用两点距离公式代入可得：(xa)2(yb)2r，平方化简得：

(xa)2(yb)2r2，记为方程(1)。

追问2：方程（1）一定表示圆的方程吗？我们应该从哪个角度

设

分析呢？

立

条

件

推

导

方

程从曲线和方程的概念出发，说明方程与圆的等价性。

问题4：与直线方程比，圆的标准方程有什么特点？

直线方程是二元一次方程，而圆的方程则是二元二次；直线方

程点斜式方程中含有三个参数：定点坐标和斜率；圆的方程也含有

三个参数，圆心坐标和半径。另外，我们为什么称为圆的标准方程?

是因为该方程结构优美，可直接得到圆心和半径。

问题5：圆心在原点，半径为r的圆的方程是什么？

追问：x2＋y2=m2一定表示圆心在圆点的圆吗

等式右方含有参数，要对m进行讨论，当m≠0时，表示半径为

|m|的圆，而当m=0时，就只能是一个点了。实际上，当m大小变

形化时，该方程表示一组圆，可以称为“同心圆”。

成

方

例1：求圆心为C（2，－3），且经过A（5，1）的圆的标准方程。

程

加分析：关注两个几何要素，几何角度：圆心给定，半径可以通

深

过两点距离求出。从代数的角度思考，由于标准方程中含有三个参

理

解数，现在只有r未知，所以我们可以先待定r,然后利用A点坐标代

入方程即可。两种方法而言，一个关注距离，一个求解方程，二者

在本质上是一致的。

变式:

1.已知A(-4,-5),B(6,-1),求以AB为直径的圆的标准方程.

2.求以C(1,-3)为圆心,且与y轴相切的圆的方程.

问题6：点B（－2，－1）在圆（x－2）2＋（y＋3）2＝25上吗？

追问：点B在圆的什么位置呢？

一般化：如何判断点与圆222的位

例M0(x0,y0)(xa)(yb)r

题置关系呢？

讲

从到圆心距离公式考虑，将点坐标代入圆的方程，若取“=”,

解

巩则在圆上；若“<”,则在圆内；若“>”则在圆外。

固例2：△ABC的三个顶点分别是A（5，1），B（7，－3），C（2，

方

－8），求△的外接圆的标准方程．

程ABC

从代数方程和几何两个角度分析。

解1：设所求的方程是

（x－a）2＋（y－b）2＝r2.①

因为A（5，1），B（7，－3），C（2，－8）三点都在圆上，所

以它们的坐标都满足方程①．于是

(5a)2(1b)2r2，

(7a)2(3-b)2r2，

222

(2a)(8b)r，

观察上面的式子，我们发现，三式两两相减，可以消去a2，b2，r2，

得到关于a，b的二元一次方程组

a2b8，

ab1.

应

a2，

用解此方程组，得

方b3.

程

代入(5a)2(1b)2r2，得r2=25.

梳

理所以，△ABC的外接圆的标准方程是

方（x－2）2＋（y＋3）2＝25．

法

解2：可考虑两条边的中垂线，联立即得圆心，然后再求半径。

例3：已知圆心为C的圆经过A（1，1），B（2，－2）两点，

且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上，求此圆的标准方程．

分析：待定系数法．先设圆心的坐标，通过圆心在直线上，满

足直线的方程，得到圆心的横坐标与纵坐标之间的关系式；再根据

圆心与圆上任意一点的距离都等于半径，得出圆心横坐标与纵坐标

之间的关系式，通过两个关系式，得出圆心的坐标的具体值．这种

方法的出发点和落脚点都是圆心，求出圆心的坐标，圆心坐标确定

后，半径自然