高一数学 新人教版(A版) 必修第2册：7.2.2 复数的乘、除运算及其几何意义（教案）

第七章复数

7.2.2复数的乘、除运算及其几何意义

一、教学目标

1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算；

2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律;会求在复数范围内方程的根.

4.通过对复数的乘、除运算及其几何意义的学习，培养学生数学抽象、数学运算、数学

建模等数学素养。

二、教学重难点

1.复数代数形式的乘法和除法运算;

2.求复数范围内的方程根．

三、教学过程：

1、创设情境：

上一节课我们学习了复数的加、减运算及其几何意义，本节课我们类比上一节课的学习

猜想复数的乘法和除法运算及其几何意义。

首先请同学们阅读课本77-79页，思考复数代数形式的乘法运算法则是什么?

问题1:复数乘法的多项式运算与实数的多项式运算法则是否相同？复数乘法的交换

律、结合律和乘法对加法的分配律分别是什么?(小组合作,学生板演填空)

(1)已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝

______________________.

(2)对于任意z1，z2，z3∈C，有

交换律z1·z2＝_________

结合律(z1·z2)·z3＝_________

乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝_________

生答:(1)(ac－bd)＋(ad＋bc)i.

(2)z1·z2＝z2·z1(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)z1(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3

问题2:思考复数代数形式的除法运算法则是什么?困惑在哪里?

老师点拨:是否可以借助共轭复数解决问题？

(3)复数代数形式的除法法则

(a＋bi)÷(c＋di)＝___________

ac＋bdbc－ad

生答:＋i(c＋di≠0)

c2＋d2c2＋d2

2、建构数学

复数代数形式的乘法法则

已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)

＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.

复数乘法的运算律

对于任意z1，z2，z3∈C，有

交换律z1·z2＝z2·z1

结合律(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)

乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3

复数代数形式的除法法则

ac＋bdbc－ad

(a＋bi)÷(c＋di)＝＋i(c＋di≠0)

c2＋d2c2＋d2

3、数学应用

例1.计算:（1）(2－3i)(2＋3i)；

(2)(4i)(62i)(7i)(43i)；

解:(1)(2－3i)(2＋3i)=(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i＝4－9i2＝4+9＝13.

（2）(4i)(62i)(7i)(43i)

(248i6i2)(2821i4i3)

(262i)(3117i)

515i

变式训练1.已知复数(a2i)(1i)的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是

_____.

【答案】2.

【解析】(a2i)(1i)aai2i2i2a2(a2)i，

令a20得a2.

32i32i

例2.计算：；

23i23i

32i32i

解:

23i23i

i(23i)i(23i)

23i23i

ii

=0

(i2)(i1)

变式训练1..

(1i)(i1)i

(i2)(i1)i2i2i2

解:

(1i)(i1)ii1i2ii

13i

i2

(13i)(i2)

(i2)(i2)

i23i26i

5

55i

5

1i

例3.在复数范围内解下列方程：

（1）x220；

（2）ax2bxc0，其中a,b,cR，且a0,b24ac0．

222

解:（1）因为(2i)(2i)2，所以方程x20的根为x2i．

22

2bb4ac

（2）将方程axbxc0配方，得x，

2a4a2

2

bb4ac

xi．

2a2a

2

bb4ac

所以原方程的根为xi．

2a2a

23i

变式训练1.在复数范围内解方程zzzi（i为虚数单位）

2i

23i3i2i55i

zzzi1i

2i2i2i5

解:设zxyix,yR，则x2y22xi1i

1

22x

xy1213

，解得：zi

2x1322

y

2

z2

例4.已知z是复数,z2i与均为实数(i为虚数单位),且复数zai在复平面上对

2i

应点在第一象限.

(1)求z的值;

(2)求实数a的取值范围.

解:(1)设zxyix,yR,

又z2ixy2i,且为实数,∴y20,解得y2.

zx2ix2i2i2x2x4i

∴,

2i2i2i2i5

zx4

∵为实数,∴0,解得x4.

2i5

∴z42i

(2)∵复数

22