高一数学新人教版(A版) 必修第1册：根式与分数指数幂-教学设计

教学设计

课程基本信息

课例编号2020QJ10SXRA025学科数学年级高一学期第一学期

课题根式与分数指数幂

书名：普通高中教科书数学必修第一册A版

教科书

出版社：人民教育出版社出版日期：2019年6月

教学人员

姓名单位

授课教师李红北京市第二十二中学

指导教师李颖北京市东城区教师研修中心

教学目标

教学目标：

1.初步理解分数指数幂的概念和运算性质；

2.经历从整数指数幂到分数指数幂的拓展过程，感受数学的发展和其应用价值；

3.提升数学运算和逻辑推理的学科素养.

教学重点：理解分数指数幂的概念和运算性质

教学难点：理解分数指数幂的概念

教学过程

时间教学环节主要师生活动

一．复习初中学习的整数指数幂的概念和运算性质

1.复习整数指数幂的概念

n

（1）正整数指数幂aaaa；

n个

1

（2）负整数指数幂ap；

ap

（3）零指数幂a01其中a0.

2.复习整数指数幂的运算性质

（1）符号表示：

nm

amanamn，amamn，abambm

（2）语言叙述：

6分钟复习引入

同底数幂乘法，底数不变，指数相加；

幂的乘方，底数不变，指数相乘；

积的乘方，将每一个因式分别乘方，再将幂相乘.

3.复习幂函数

在学习幂函数的时候，讨论的问题：如果一个正方形场地的面积为S，那么

1

这个正方形的边长cS，这里c是S的函数，S也可以表示为S2.

1

进而研究了yx2等幂函数.

1

思考：对指数幂的认识从整数指数幂，到像x2这样的分数形式的指数幂，

什么是分数指数幂？分数指数幂有哪些性质呢？

1

二．提出问题

如果x2a，那么x叫做a的平方根，例如2就是4的平方根.

如果x3a，那么x叫做a的立方根，例如2就是8的立方根.

类似的，

4

由于216，称2为16的4次方根；

由于2532，称2为32的5次方根；

当n为正整数时，如果2na，怎么描述2与a的关系呢？可以类比的称2

与a的n次方根.

再进一步思考：如果xna，怎么描述x与a的关系呢？其中x,n,a的取值

范围是什么？

一．定义概念

1.n次方根的概念

一般地，如果xna，那么x叫做a的n次方根，其中n1，且nN*.

当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.

a的n次方根用符号nx表示.例如，

532=2，532=2，3a6=a2.

当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.

正数a的正的n次方根用符号na表示，负的n次方根用符号na表示，正

的n次方根和负的n次方根可以合并写成naa0.例如，

15分钟探究新知

416=2，416=2，416=2.

负数没有偶次方根.

零的任何次方根都是零，记作n0=0.

式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.

2.n次方根的性质

n

（1）由n次方根的定义，可得naa.

25

例如，55，533.

思考：nana一定成立吗？

化简下列各式：

2

234

22，2，323，32，424，42.

化简结果：

2

2242，242，

3

323382，32382，

4

4244162，424162.

（2）当n是奇数时，nana；

a,a0,

当n是偶数时，nana=

a,a0.

例1求下列各式的值：

32

（1）38；（2）10；

42

（3）43；（4）ab.

3

解：（1）388；

2

（2）101010；

4

（3）4333；

2ab,ab,

（4）abab

ba,ab.

3.分数指数幂的概念

根据n次方根的概念和性质，有

10

5

5a105a2a2a5a0，

12

3

3a123a4a4a3a0.

由此，当根式的被开方数（看成幂的形式）的指数能被根指数整除时，根式

可以表示为分数指数幂的形式.

思考：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式还可以表示为分

数指数幂的形式吗？

数学中引进一个新的概念或法则时，总希望它与原有的概念或法则相容.

把根式表示为分数指数幂的形式时，例如，把3a2，b,4c3等写成下列形式：

2

3a2a3a0，

1

bb2b0，

3

4c3c4c0.

3

n

希望整数指数幂的运算性质，如akakn，对分数指数幂仍然适用.

由此规定，正数的正分数指数幂的意义是

m

namana0,m,nN*,n1.

即在条件a0,m,nN*,n1下，根式都可以写成分数指数幂的形式.

请同学们思考这样的规定为什么是合理的？请与同伴交流你的想法.

正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，规定，

m

11

ana0,m,nN*,n1.

mnm

ana

42

1111

例如，53，a3.

434232

535a3a

与0的整数指数幂的意义相仿，规定，

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.

规定了分数指数幂的意义后，ax中指数x的取值范围就从整数拓展到了有

理数.

整数指数幂的运算性质对于有理指数幂也同样适用，即对于任意有理数r，

s，有下面的运算性质.

arasarsa0,r,sQ

s

ararsa0,r,sQ

r

abarbra0,b0,rQ

例2求值：

3

2

494

（1）83；（2）.

81

222

3

解：（1）8323323224；

3333