高二数学 新人教版(A版) 选择性必修1：两条直线的交点坐标-教学设计

课程基本信息

课例编号2020QJ11SXRA022学科数学年级高二学期一学期

课题两条直线的交点坐标

书名：普通高中教科书数学A版选择性必修1

教科书

出版社：人民教育出版社出版日期：2020年5月

教学人员

姓名单位

授课教师佘岩北京汇文中学

指导教师雷晓莉北京市东城区教育研修中心

教学目标

教学目标：会求两条相交直线的交点坐标；

掌握二元一次方程组的解与两条直线的位置的对应关系.

教学重点：能判断两条直线的位置关系，会求两直线的交点坐标.

教学难点：两条直线相交与二元一次方程的关系.

教学过程

教

学

时间主要师生活动

环

节

通过前一阶段的学习，我们把几何图形放入平面直角坐标系中。用坐标来表

示点，用二元一次方程来表示直线，实现几何图形的

(x0,y0)AxByC0

代数化。进而得到：点在直线上，则点的坐标一定满足这条直线的方程，即

。反之，直线方程的每一组解都表示直线上的点坐标。即：

引Ax0By0C0

1’言

若满足，则点一定在以的

(x0,y0)Ax0By0C0(x0,y0)AxByC0

直线上。

这样我们可以通过把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，

例如两条直线的交点坐标。

问题1：已知两条直线，相交，

l1:A1xB1yC10l2:A2xB2yC20

如何求得两条直线的交点坐标？

6’

在学习函数时就知道两个函数图象的交点坐标，就是由这两个函数解析式

组成的方程组的解.同理，求两条直线的交点，只需联立方程组求解即可.

A1xB1yC10xx0,

联立方程组，解得

A2xB2yC20yy0.

求

即，(x,y)就是两条直线的交点坐标.

解00

两追问1：能否从点坐标与直线方程间的关系解释？

条

因为两条直线相交，所以两条直线存在唯一交点，记为(x,y).也就是说，

直00

线

点(x,y)既在直线l上也在直线l上.因此，(x,y)同时满足两条直线方程。

交001200

点

即，(x,y)是方程组的唯一解。反之，(x,y)是方程组的唯一解，说明(x,y)

坐000000

标

既在上也在直线上所以是两条直线的唯一交点

l1l2.,(x0,y0).

故两条直线相交。所以，两条直线相交等价于对应方程组有唯一解。

例1：求下列两条直线的交点坐标，并画出图形.

l1:3x4y20,l2:2xy20.

3x4y20,x2,

解：（1）解方程组，得.

2xy20,y2.

交点坐标为(2,2).

问题2：如果两条直线，平行，

l1:A1xB1yC10l2:A2xB2yC20

能否判断对应方程组解的情况？

两条直线平行说明两条直线没有公共点，即不存在点同时满足两条直线方

程，所以方程组无解.反之亦然.所以两条直线平行等价于对应方程组无解.

问题3：如果两条直线，平行，

l1:A1xB1yC10l2:A2xB2yC20

能否判断对应方程组解的情况？

两条直线重合等价于两条直线有无数个公共点，即存在无数个点同时满足

两条直线方程，所以方程组有无数组解.

所以两条直线平行等价于对应方程组无解

梳理两条直线的位置关系与对应二元一次方程组解的个数的关系.

直线的位置关系公共点的个数方程组解的个数

相交有且仅有1个公共点唯一解

平行没有无解

垂直无数个无数多组解

例1判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点的坐标.

（1）；

l1:xy0,l2:3x3y100

（2）；

l1:3xy40;l2:6x2y10

（3）.

l1:3x4y50,l2:6x8y100

(逐题讲解)

5

x

xy03

解：（1）解方程组，得.

3x3y1005

y

3

55

交点坐标为(,).

二33

元3xy40

（2）解方程组，得90，故方程组无解,直线无交点.

一6x2y10

次

追问1：题目改为只问“判断下列各对直线的位置关系”，你还有没有其他的

方

判断方法？

17’程

用斜率，对于斜率分别为的两条直线，有

组k1,k2l1,l2

的

.

解l1//l2k1k2

与

追问2：能否用直线斜率判断上述两对直线的位置关系？

两

可以，但关注方程形式，我们所给的直线方程都是一般式.

直

追问3：如何从直线方程的一般式中确定斜率？

线

将两条直线方程化为斜截式,找x的系数即为斜率.

位

10

置（1）将两条直线方程化为斜截式，直线，直线与

l1:yxl2:yxl1

的3

直线的斜率不等，相交.

对l2l1,l2

应

1

关（2）将两条直线方程化为斜截式，直线，直线

l1:y3x4l2:y3x

系3

与直线的斜率相等，截距不等，平行.

l1l2l1,l2

能否用直线斜率和解方程组这两种方法判断（3）中两直线的位置关系？

35

（3）斜率法：将两条直线方程化为斜截式，直线l:yx，

144

35

l:yx直线l与直线l的斜率与截距均相等，因此两条直线

24412

重合.

解方程组法：

3x4y50

解方程组：，两方程为同一方程，即方程组有无数解，所以

6x8y100

两条直线重合.

问题4：比较用斜率判断和解方程组判断两直线位置关系，你有什么体会？

用斜率能快速判断两条直线平行或相交。解方程组不但可以判断位置关系

还可以求交点坐标。但计算量有时较大。当然，如果仅仅判断两直线位置关系，

可以用斜率判断.

例2：求满足下列条件的直线l的方程:

(1)经过两条直线2xy80和x2y10的交点，且平行于直线

4x3y70.

追问1：求解直线方程需要具备哪些条件？

实际上，只要已知两点或一点+斜率都可以确定直线，写出直线方程。

追问2：分析本题中的条件，能获得哪些确定直线的信息？

由直线经过两条直线2xy80和x2y10的交点，可确定一点。又

由平行于直线4x3y70可以确定斜率。所以可以写出直线l的点斜式方

程。

所以联立方程组

2xy80,(1)

x2y10.(2)

4

解得交点坐标为(3,2).由直线l与4x3y70平行知，l的斜率为.

3

4

所以直线l的方程为y2(x3)，整理得4x3y60.

3

(2)经过两条直线2x3y100和3x4y20的交点，且垂直于直线

3x2y40.

有了第一问的经验，我们能很快找到做题的思路，即先求交点坐标，再利

用垂直条件得到直线l的斜率，进而写出直线方程的点斜式，再化为一般式。

其中，我们需要明确的是两直线垂直斜率间的关系。

追问4：两条直线垂直，斜率有何关系？

两直线垂直，斜率应为负倒数，即乘积等于-1.

2x3y100,(1)

解：（2）联立方程组求交点坐标得(2,2)，

3x4y20.(2)

2

由直线l与3x2y40平行知，l的斜率为.所以直线l的方程为

3

222

y2