高二数学 新人教版(A版) 选择性必修1：空间向量的应用（1）-教学设计

课程基本信息

课例编号2020QJ11SXRA013学科数学年级高二学期一

课题空间向量的应用（一）

书名：

教科书

出版社：人民教育出版社出版日期：年月

教学人员

姓名单位

授课教师于洪伟北京景山学校

指导教师雷晓莉东城区教师研修中心

教学目标

教学目标：

教学重点：

教学难点：

教学过程

教

学

时间主要师生活动

环

节

1.问题1：如图所示为某种礼物降落伞在匀速下落的过程的示意图.其

运中有8根绳子和伞面连接，每根绳子的拉力大小相同，每根绳子和

用水平面的夹角均为已知礼物的重力为，求每根绳子拉力的

空大小.（结果精确到）

间60°.9.8N

向0.01N

量

解

决

实追问1：“降落伞在匀速下落”告诉了我们什么信息？

际学生回答：礼物所受绳子的拉力总和与其自身重力平衡.

问追问2：“有8根绳子和伞面连接，每根绳子的拉力大小相同，每根

题绳子和水平面的夹角均为”，我们可以得到哪些信息？

学生回答：问题描述的立体图形结构对称，研究清楚一根绳子的情

况就可以了.𝟔°

追问3：“每根绳子和水平面的夹角均为”在空间图形的关系上

如何解释？

学生回答：每根绳子所在直线与水平面成�角�°为，其拉力与水平面

向上的法向量成角为.

60°

30°

展示解答：

解：设水平面向上的单位法向量为，其中第根绳子拉力为，

则在上的投影向量为.

�

因为和水平面成角为，所以�和的夹角�为.�

���(��⋅�)�

所以��60°���30°

3

��

因为降�落⋅伞�匀�速=下2落�，�所.以

8

�=1�

所以�+�=�.

83

因为每�=个12|�都�|相�+等�，=所�以.记为

因为|��|，所以�1..

1

所以�=−|�|�.43|�|�−|�|�=�

代入数4值3，�1可=得|�|.

所以，每根绳子的拉力大小约为.

1

追问4：回顾一下�，我≈们1.4是1如N何解决这个实际问题的？

1.41N

追问5：运用空间向量求解实际问题的一般思路是什么？

例如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱

底面，，是的中点，作交于点

（1）求证：�；−𝐴𝐵𝐴𝐵𝐵⊥

（2）�求��证�：𝐵=平�面��；��𝐸⊥𝐴𝐴�.

2.（3）判断：线��段⊥𝐴上是否存在一点，满足//请说明理由.

运𝐴⊥𝐸�

用𝐴�����

空

间

向

量

研

究

立

体

几

何

中

的问题2：如何用空间向量来证明？

位

计算向量和的数量积.

置𝑫⊥��

关追问1：选��择哪�组�基底向量呢？

系

，，.

追��问2�：�能�用�这组基底向量表示和么？

，����

111

��=��+����=−��+��−��.

追问3：如果用2坐标法表2示和，该如何2建立空间直角坐标系

呢？����

找到两两垂直且交于一点的三条直线.

本质上是找两两相互垂直的一组基底向量.

追问4：需要写出哪些点的坐标？

，，

11

�0,0,0�(0,,)�1,1,0.

就可以得到，22

1111

��=(0,2,2)��=(−1,−2,2).

（解法一）

（1）证明：

因为底面，

所以，.

因为底𝐵面⊥�为��正�方形，所以.

𝐵⊥𝐵𝐵⊥��

所以𝐴𝐵，�，�⊥��.

��因∙�为�=0��∙��=，0��∙��=0，

111

��=��+����=−��+��−��

所以222

111

��∙��=2��+2��∙−��+2��−��

1112

=−��∙��+��∙��−��

244

1112

−��∙��−��∙��+��.

244

1212

=��−��.

因为，所以4.4

22

所以𝐵=��.所�以�=��.所以直线.

��∙��=0��⊥����⊥𝐴

（解法二）

（1）证明：因为底面，所以，.

因为底面为正方形，所以.

所以以为原点，�以�⊥为轴𝐴，𝐵为轴�，�⊥为𝐵轴，𝐵⊥��

建立空间直𝐴角𝐵坐标系.𝐵⊥��

����������

设长为1，可得，，

11

��所以�0,0,0�(0，,2,2)�1,1,0.

1111

��=(0,,)��=(−1,−,).

所以2222

1111

2222

所以��∙��=.0所×以直−1线+×(−.)+×=0.

��⊥����⊥��

问题3：如何用向量法证明平面？

思路一是证明向量与平面𝑬⊥的法向�量�平�行；

思路二是证明向量��与平面𝐸�内的两个不共线向量垂直.

追问1：你会倾向�于�采用哪�种�思�路？

证明向量与平面内的两个不共线向量垂直.

追问2：你��会选择证�明��哪个向量垂直于呢？

��

（解法一）��

（2）证明：因为，

��=��+��−��，

11

��=��+��

所以22

11

��∙��=��+��−��∙(2��+2��)

1112

=��∙��+��∙��+��

222

1112

+��∙��−��∙��−��.

所以222

1212

22

所以𝐴∙��=.所�以�直−线��=0..

因为��⊥��，�，�⊥��，

平面，平面，

所以𝐸⊥平𝐴面𝐴.⊥��𝐸∩��=�

𝐸⊂𝐸���⊂𝐸�

（解�法�二⊥）𝐸�

采用第（1）问的空间直角坐标系，可得

，，，

11

�0,0,0�(0,,)�1,1,0�0,0,1.

所以22，

11

��=1,1,−1��=(0,,).

所以22

11

��⋅��=1×0+1×+−1×=0.

所以，即2.2

因为��⊥��，𝐴⊥�，�，

平面，平面，

所以𝐸⊥平𝐴面𝐴.⊥��𝐸∩��=�

𝐸⊂𝐸���⊂𝐸�

问题�4�：⊥如何�用�空�间向量表示直线//？

存在，使得.𝑨𝑫

追问�1：用前�面�的=基𝐵底�向量来表示会得到怎样的等式呢？

，

��=𝐵�+1−�，��−���∈0,1

11

�所�以=可以�得�+到等�式�

22

11

𝐵�+1−���−��=�(��+��).

追问2：如果用坐标法，该如2何表示2点的坐标呢？

因为点在线段上，

�

所以存�在𝐴，使得.

�∈(0,1)��=���

（解法一）

（3）解：若存在点在线段上，则

�𝐴

，.

所��以=���+(1−�)���∈(0,1).

因为��=𝐵�+(1−，�)(��−��)

11

22

若有��/=/�，�则+存�在�实数使得.

所以�������=𝐵�

11

𝐵�+1−���−��=�(��+��).

所以22

��

(�−)��+�−1��+(1−�−)��=�.

22

所以�

�−=0,

2

�−1=0,

�

因为上1式−无�解−，所=以0.不存在点在线段上，满足//.

2

（解法二）�𝐴����

解：采用第（1）问的空间直角坐标系，

若存在点在线段上，

所以存在�𝐴，使得.

因为�∈(0,1)，所以��=���.

因为��=1，,1,所−以1��=.�,�,−�

可以�得(到0,