高二数学 新人教版(A版) 选择性必修2：导数的四则运算法则-教学设计

课程基本信息

课例编号2020QJ11SXRA071学科数学年级高二学期一

课题导数的四则运算法则

书名：普通高中教科书数学选择性必修第二册

教科书

出版社：人民教育出版社出版日期：2020年5月

教学人员

姓名单位

授课教师于洪伟北京景山学校

指导教师雷晓莉东城区教师研修中心

教学目标

教学目标：掌握导数的四则运算法则，会用导数的四则运算法则求函数的导数。

教学重点：运用导数的四则运算法则求函数的导数。

教学难点：函数积、商的求导法则的记忆。

教学过程

教学

时间主要师生活动

环节

1.

回问题1如何求函数的导数？

顾我们知道导数的定义，可以用导数的定义来求函数的导数，这涉及

旧极限的运算，�=��

知并不是任意一个函数，我们目前的知识都可以通过定义求出其导数；

一些特殊的，比如基本初等函数，我们前一节课已经得到了求导公

式，所以可以直接通过公式得到其导数.

追问：学习了哪些基本初等函数的导数？

1.若为常数，则；

2.若��=��（∈Q，且�≠'�0），=则0；

3.若�，则；�−1

4.若��=�，α则α；�'�=��

5.若��=sin(��,''�且=cos)�，则；

特别地��，若=co�s�，�(则�)=−sin�;�

��=��>�0�≠1��'�=�ln�

6.若��=(e,�'且�=e)，则；

1

�

特别地��，若=log��>，0则�≠1.�'�=�ln�

1

��=ln��'�=�

2.问题2如何求函数的导数？

新目前，我们只能通过定义来求其�导数.

课��=�+�

设，由导数的定义，

2

�=ℎ�=�+�22

∆�(�+∆�)+�+∆�−(�+�)

=，

∆�2∆�

(∆�)+2�⋅∆�+∆�

所以==∆�+2�+1

∆�

'∆�

ℎ�=∆l�im→0∆�=2�+1.

追问：观察，，；

与导数，2，2.

你有什么发�现�和猜=想�？��=�'ℎ�=�+�

�'�=2�；�'�=1ℎ(�)=2�.+1

猜想：.

同ℎ�样地=，��+��ℎ'�=�'�+�'.�

[��+��]'='�'�'+�'�

[��−��]=�(�)−�'�

函数和、差的求导运算法则

一般地，对于两个函数，的和（或差）的导数，我们有如

下法则：����

'''

��±��=�(�)±�(�).

例1求下列函数的导数：

（1）；

（2）3；

（3）��=��−�+.3

解：（1�）�=2�+cos�

ℎ�=e+3�

�'�=(�−�+33)'

=(�2)'−(�)'+(3)'

=3�−1.

（2）

�

�'�=(2+cos��)'''

（3）=�2+cos�

�=2ln2−sin�.

ℎ'�=(e+�)'

�''

=e+�

�1

=e+.

2�

问题3以，为例，计算

与，看看是�否相等？

'��=���=�[���(�)]'

���'(�)，

'3'2

����=�=3�，

所'以'.

����=2�⋅1='2�

[���(�)]'≠���'(�)

追问：再验算与商的导数是否等于它们导数的

商？�

��=���=�

，

'2'

���'�'(�)2�

==�=1==2�.

所以����'(�)1

��'�'(�)

��≠�'(�).

函数积、商的求导运算法则

事实上，对于两个函数，的乘积（或商）的导数，我们有

如下法则：���(�)

；

'''

����=�(�)��+���(�)

'''

������−����

=2��≠0.

����

进一步，由函数乘积的导数法则可以得出

也就是说，常数与函数的'积的'导数，等'于常数与'函数的导数的积，

即：���=���+���=���.

''

���=���.

例2求下列函数的导数：

（）；

3�

（1）��=�e

2sin�

2��=2;

（）�.

2

3ℎ�=�+2��

解：（1）

'3�'

��=�e

3�3�

=(�2)'�e+�3�(e)'

=3�e+�e

23�

=3�+�e.

（）

''22

'2sin�2sin��−2sin�(�)'

2�(�)=2=4

�2�

2cos�⋅�−2sin�⋅2�

=4

�

2�cos�−4sin�

=3.

�

'2

3ℎ(�)=[�+2��]'

2'2'

=�+2��+�+2��

21

=2�+2⋅�+�+2�⋅

2�

2

5�+6�

=.

2�

53

'222

3ℎ(�)=[�+2��]'=(�+2�)'

5331

225232

=(�)'+(2�)'=�+2∙�

3122

522

=�+3�.

例3日常生活中的2饮用水通常是经过净化的.随着水的纯净度的

提高，所需净化费用不断增加.已知将吨水净化到纯净度为时

所需费用（单位：元）为

1�%

5284

��=80<�<100.

求净化到纯净度为和100−�时，所需净化费用的瞬时变化率.

90%98%

问题4怎样求纯净度为和时，所需净化费用的瞬时变化

率？

𝟗%𝟗%

5284

通过求净化费用函�数�的=导数来解决8.0<�<100.

100−�

解：因为，

5284

��=

所以100−�

'

'52840×100−�−5284×(−1)

��==2

100−�(100−�)

5284

所以，=.2.

''(100−�)

追问�：9根0据=计5算2.8结4果能�得9出8哪=些13结21论？

净化到纯净度为时净化'费用的瞬时'变化率是净化到纯净度为

时的倍.�98=25�90

即净化到纯净度为98%时净化费用变化的快慢是净化到纯净度为

90%时净化25费用变化快慢的