高一数学新人教版(A版) 必修第1册：弧度制-教学设计

课程基本信息

课例编号2020QJ10SXRA043学科数学年级高一学期上

课题弧度制

书名：普通高中教科书数学必修第一册（A版）

教科书

出版社：人民教育出版社出版日期：2019年6月

教学人员

姓名单位

授课教师胡芳北京市第五中学

指导教师

教学目标

教学目标：1、了解弧度制引入的必要性，理解弧度制定义的合理性，能正确进行

弧度与角度的换算；

2、了解角的集合与实数集R之间可以建立一一对应的关系，会用弧度

制解决简单的实际问题；

3、经历建立弧度制的探究过程，感受引入弧度制的必要性，了解数学

知识发展的过程，提升数学抽象，逻辑推理的数学素养；

教学重点：理解弧度的定义；正确进行弧度与角度的换算

教学难点：弧度制概念的生成

教学过程

教

时学

主要师生活动

间环

节

问题1、初中学过哪些度量角的单位？1o的角是如何定义的吗？度、分、秒又如

何换算呢？

有度、分、秒.将一个圆的圆周分成360等份，每一份的圆弧所对的圆

心角叫做1度的角.这种度量角的单位制叫做角度制.

问题2、你知道60sin60等于多少吗？

预计：认为两个量不能相加，因为单位不同，o是角度，而o是

问60sin60

3

题实数，所以无法相加.

分

导我们知道度量不同的量要用不同的单位，对于同一种量，也可以运用不同

钟

入的度量单位，比如，测量身高时，可以使用米，也可以使用尺；测量重量时，在

不同的条件可以使用吨、公斤，也可以使用克等.此外还有国际公制，有中国市

制，那么，度量角的单位是否只有角度制一种呢？

历史背景：公元六世纪，印度数学家家阿耶波多在创新制作正弦表时,就发现了

有一个问题不好解释，比如sin300.5，他发现了什么问题呢？

在这个等式中，单位制是不同的，左边是60进制,右边是10进制为单位，单

位不统一的两个数学对象分别放在等式的左右两侧,所以阿耶波多想到了能否

对角的度量采用十进制.

【设计意图】引发学生的认知冲突，让学生意识到角度不是实数，产生对角的单

位有必要重新认知的需要，为引入弧度制作准备.

探究活动：根据角的动态定义，射线OA绕端点O旋转到OB形成角.在旋转

过程中，射线OA上点P（不同于端点O）的轨迹

是一条圆弧.记=n.

如果要把角的单位统一成十进制，那么就必须借助

用十进制表示的量，这里很明显涉及到两个量：弧

长和半径.

问题：射线上三个点旋转到点

3OAA,A1,A2

，在这个过程中，都涉及到哪些量，你能

B,B1,B2

发现它们之间蕴含着哪些相等关系与不等关系？

涉及到三个量：弧长、半径和圆心角，

显然，弧长、半径是不等的，也不相等，但

角度是相等的.

【设计意图】从历史背景中引出数学问题，引导学生在

熟悉的生活体验中，用数学的眼光进行观察相等关系与不等关系，为下面挖掘“弧

长与半径比值为定值”这一隐含的数学现象做好铺垫.

追问1、圆心角、半径、弧长这三个量之间存在什么关系呢？能否用我们以前学

探过的数学公式来表示他们之间的关系？

7

究

分nr

新在初中我们学过弧长公式l.

钟

知180

追问2、你能否用弧长公式解释在这个运动过程中，弧长和半径都发生变化，而

圆心角不变吗？

180l

圆心角与弧长和半径有关，n.

r

ln

当圆心角不变时，为定值.

r180

所以，圆心角所对的弧长与半径的比值只与角的大小有关.

llABlAB

如图，对同一个圆心角，可得：AB1122.

OAOA1OA2

ll

因此，弧长与半径的比值只与圆心角的大小有关，当圆心角确定时，也唯一

rr

确定.这就让我们想到可以用弧长与半径的关系度量圆心角.

l180

当弧长与半径相等时，是一个定值，此时圆心角等于度.我们把这时

r

l

的比值1记为1个单位的角,就可以用这个1个单位的角去表示其他的角.

r

比如当弧长l2r时，所对圆心角为2个单位的角；当弧长l0.5r时，所

l

对圆心角为0.5个单位的角，这里是一个实数，这样

r

l

可以用来度量角的大小，解决了用实数度量角的大小

r

问题.这就是度量角的另一种单位制——弧度制.

弧度单位用符号rad表示，读作弧度.

规定：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1rad.

【设计意图】通过对初中所学的弧长公式的回顾与变形，不仅从代数关系上说明

l

了与角的大小有关，而且这个比值是一个实数，有弧长的参与，学生自然体会

r

到弧度制的合理性，同时让学生经历从观察、分析到抽象、概括的过程，培养学

生的理性数学思维.

弧度制的精髓是把角度和弧度的度量统一起来，极大的简化了与之有关的运

算，在高等数学里，优势相当明显.

问题4：你能否作出2rad大小的角？

l

根据定义，2，即l2r时，弧长所对圆心角为2rad.

r

理

6

解

分

新

钟

知

l

问题5：任意角都可以用的比值表示吗？正角、负角和零角的弧度数如何规定

r

呢？

任意角都是从旋转角度定义的，当半径一定时，旋转量从弧长可以判

l

断，符号由旋转方向决定，所以任意角都可以用表示.正角、零角、

r

负角分别用正数、零、负数表示.

规定：如果半径为r的圆的圆心角所对弧长为l，那么角的弧度数的绝对值

l

是a，这里，的正负由角的终边的旋转方向决定.

r

追问:反过来任意一个实数都可以表示角吗？这种表示是唯一的吗？

l

对于任意一个实数a满足a，那么lar，此时的绝对值

r

大小确定，再由的旋转方向确定的正负符号，所以任意一个实数

都可以表示唯一确定的角.

这样就在角的集合与实数集之间建立了一一对应关系.

【设计意图】帮助学生进一步理解弧度制可以度量角的大小，而且可以和实数集

合建立一一对应的关系.

早在18世纪，瑞士数学家欧拉，在他的名著《无穷小分析引论》中倡导使用

弧度制，统一了角与长度的单位，从而使得对三角函数的研究大为简化，并提出

了弧度制的思想.

而弧度这个词产生于1873年，爱尔兰工程师詹姆

斯·汤姆森（JamesThomson）教授在其编著的一本考试

集中创造性地首先使用了“弧度”一词.他将“半径

（radius）”的前四个字母与“角(angle)”的前两个字母

组合在一起，构成了一个新词radian，被人们广泛接受.

【设计意图】在通过介绍弧度制及其名称符号的发展历

史，让学生感受数学文化丰富的历史沉淀.

问题6：角度制、弧度制都是角的度量单位，它们之间应该如何换算呢？

当角的终边旋转一周，所得到周角的弧度数为2，而在角度制下为

360，即3602rad，180rad，

应

5所以1rad0.001745rad.

用

分180

新

钟

知180

反过来可得1rad57.305718'.

例1.（1）把6730'化成弧度

（2）把3.14rad化成角度（用度表示，精确到0.001）

1353

借助前面的结论，可得6730'rad

21808

180

3.14rad3.14179.909

用弧度表示角的大小时，只要不引起误解，“弧度”二字或“rad”可以省略不

写．但是“°”为单位不能省.

练习：填写下面特殊角的度数与弧度数的对应表

度

03045120135150360

弧

3

度

322

【设计意图】通过实际操作，让学生明白角度制与弧度制可以度量同一个角，所

以它们之间可以互换并要掌握这种互换，同时要注意规范及掌握一些特殊角的角

度和弧度值.

例2利用弧度制证明下列关于扇形的公式

121

（1）lR；（2）SR；（3）SlR.

22

其中R是圆的半径，02为圆心角，l是扇形的弧长，S是扇

形的面积.

l

解：从我们前面得到的弧度制公式a出发，可得lR.

r

下面我们证明（2）（3）

初中我们学过，在角度制下，半径为R，圆心角为no的扇形的弧长公式和面积

nRnR2

公式分别为l，S.

180360

n

将圆心角转化为弧度，得

180.

2

nR12

所以，代入公式S得到SR.

3602

1

再将lR代入