高等数学上-闭区间上连续函数的性质_第1页
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第八节闭区间上连续函数性质第1页闭区间上连续函数有很多主要性质.这些性质在以后各章学习中经惯用到.这些性质,从几何上是轻易了解,但要给出完整而严格证实,有时却是比较困难.本节我们将讨论闭区间上连续函数一些性质,并从几何上对这些性质给予解释.第2页一、最大值最小值定理定义设定义在区间上，则称为函数在区间上最大值；为最大值点，若存在点使得对每一个都有则称为函数在区间上最小值；为最小值点，若存在点使得对每一个都有并记并记第3页例函数在整个区间上最小值为,但无最大值.第4页闭区间上连续函数在该区间上有界,并一定有最大值定理1（最大值最小值定理）.和最小值.从右边图中能够看出,若函数在闭区间上连续,则在点和处分别取到最大值和最小值.证实从略.第5页用简单数学符号，定理1可表述为：值得注意是，定理1中条件在闭区间上连续，不能改为开区间.第6页证因存在，由局部有界性定理，存在例设函数在内连续，且存在，因为区间能够表示为因为函数连续，故函数在闭区间有界.证实在内有界.使得在内有界；由此得函数在内有界.第7页二、零点定理与介值定理在初等代数中,我们熟知这一个事实:从几何上我们能够很清楚地看到则一定存在对多项式函数，若存在使得该问题实际意义.第8页但该问题对于普通函数而言，结论不成立.注意到：比如，但不存在关键原因在于函数不连续.第9页定理2(零点定理)定理2可用符号表述为：若函数在闭区间上连续，且异号，则函数在开区间内最少存在一个零点.第10页从几何上看，定理2表示：若连续曲线弧两个端点分别位于轴两侧，则曲线弧与

轴最少有一个交点.第11页例证实方程在区间内有唯一根.证令由零点定理，必存在，使得又函数是单调增加函数，故零点是唯一.第12页例任何实系数奇次多项式方程必有实根。证设实系数奇次多项式方程为因不妨设.记第13页可见：故，存在使得使得同理存在使得因由零点定理，知存在第14页证作函数则且且,则对于介于与之间任何实定理3(介值定理)若函数在闭区间上连续,数在区间内最少存在一点使得即由零点定理,存在使得第15页注零点定理是介值定理特殊

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