高等数学向量代数与空间解析几何习题

向量代数与空间解析几何习题课第1页一、主要内容（一）向量代数（二）空间解析几何第2页向量线性运算向量表示法向量积数量积混合积向量积向量概念（一）向量代数第3页1、向量概念向量模、单位向量、零向量、自由向量、相等向量、负向量、平行向量、向径.2、向量线性运算加、减、数乘3、向量表示法向量分解式：在三个坐标轴上分向量：第4页向量坐标表示式：向量坐标：模、方向余弦坐标表示式4、数量积、向量积、混合积各种积坐标表示式两向量平行、垂直条件第5页直线曲面曲线平面参数方程旋转曲面柱面二次曲面普通方程参数方程普通方程对称式方程点法式方程普通方程空间直角坐标系（二）空间解析几何第6页1、空间直角坐标系2、曲面旋转曲面、

柱面、

二次曲面3、空间曲线4、平面5、空间直线线面关系、线线关系、夹角、点到线面距离两直线共面条件第7页共面6、平面束第8页二、经典例题例1解由题设条件得解得第9页例2设三边三边中点分别为D、E、F试用表示并证实证ABCDEF第10页例3已知证实①②证①ADCB第11页而②因第12页令得唯一驻点而时面积最大例4设求解由题设知第13页两式相减得代入前式有故第14页例5已知向量求与同时垂直，且在上投影为1向量解因为同时垂直于而故可设第15页而故故，所求向量为第16页例6解过已知直线平面束方程为第17页由题设知由此解得代回平面束方程为第18页例7解将两已知直线方程化为参数方程为第19页即有第20页第21页例8求过点且平行于平面又与直线相交直线方程解设所求直线方向数为则直线方程为化成参数方程，有第22页代入已知直线方程，得又所求直线与已知平面平行（两边同乘以）解得直线方程为第23页例9解第24页所求投影直线方程为第25页例10求直线在三个坐标面及平面上投影解分别令参数方程中x,y,z

为0

即可得直线在三个坐标面上投影方程过直线作一平面与已知平面垂直直线方向向量已知平面法向量第26页即为所求平面法向量又点在所求平面上故所求平面方程为即已知直线在所给平面上投影直线方程为第27页例11解因为高度不变,第28页故所求旋转曲面方程为第29页例12求点到直线距离解一如图所表示所求点到直线距离等于平行四边形高由向量积几何意义得第30页解二过M作一平面则平面方程为第31页再求直线和平面交点直线参数方程为代入平面方程，有第32页交点坐标点到直线距离为例13设和为异面直线求它们之间距离第33页解一所谓异面直线间距离，即公垂线上两垂足之间距离。因为公垂线与都垂直故其方向向量为过作平行于平面则到平面距离就是所求异面直线间距离第34页因为为法向量方程为公垂线长等于以

为棱平行六面体高第35页记记则到距离第36页解二设两垂足坐标分别为第37页解出求得垂足，得公垂线方程和公垂线长——异面直线间距离第38页例14过点作一直线，使和z轴相交，且和直线垂直，求其方程[分析]求直线方程，或者求出直线所在平面得交面式方程，或者求出直线上一点及方向向量得点向式方程，或者求出直线上两点得两点式方程解一用交面式直线过点

B

且与L垂直故直线在过

B

且与L垂直平面内第39页oxyzB即第40页又过B且与z轴相交故在由B

及z轴所组成平面内即所求直线方程为第41页解二用点向式已知过B，故只须求出其方向向量而故又过B

且与z轴相交，即在由B及z轴所组成平面内亦即共面第42页所求直线方程为解三用两点式已知过B，故只须求出第二个点又与轴相交，可设法求出这个交点第43页过B作平面，使得即求出z轴与交点将