河南省郑州市金水区2024-2025学年高一下学期2月第一次月考数学试卷（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1河南省郑州市金水区2024-2025学年高一下学期2月第一次月考数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.向量，，则（）A. B.0 C. D.1【答案】D【解析】由题可知，∴.故选：D.2.若复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以，所以.故选：A.3.在中，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵，∴由余弦定理，则得，∴解得：，或（舍去），∴由正弦定理可得：．故选：B.4.在中，点，分别为，边上的中点，点满足，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】依题意，而，所以.故选：D.5.若（为虚数单位）是关于方程一个根，则（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】因为是关于方程的一个根，所以，整理得，所以，解得.故选：D.6.在中，若，则的形状为（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】因为，所以，所以，所以由正弦定理得，因为，所以，所以由余弦定理得，所以，所以，所以，所以，所以或，所以或，所以为等腰三角形或直角三角形.故选：D.7.如图，在坡度一定山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进到达处，在处测得对于山坡的斜度为.若，山坡与地平面的夹角为，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以，在中，由正弦定理得，又，解得，在中，由正弦定理得，解得，即，所以.故选：.8.瑞士数学家欧拉是数学史上最多产的数学家，被誉为“数学之王”，欧拉在1765年发表了令人赞美的欧拉线定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条直线被称为欧拉线．已知，为所在平面上的点，满足，，则欧拉线一定过（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意知，即为的外心；，则为的重心；，即有，即，同理，即为垂心；由解析题中向量式中有两共起点的向量，于是，，令，则是以为起点，向量与所在线段为邻边菱形对角线对应的向量，即在的平分线上，共线，所以点的轨迹一定通过的内心，由欧拉线定理知，欧拉线一定过.故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知是两个不共线的单位向量，则下列各组向量中，一定能推出的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】对于A，因为，，故，即，故A正确；对于B，因为，，则，故B正确；对于C，，，由于不共线，故，所以向量不平行，故C错误．对于D，，故，此时，故D正确.故选：ABD．10.已知非零复数，其共轭复数分别为，则下列选项正确的是（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】设复数，且，，A正确；，B正确；，，所以与不一定相等，C错误；令，则，D错误．故选：AB.11.在中，是的内切圆圆心，内切圆的半径为，则（）A.B.C.的外接圆半径为D.【答案】BCD【解析】因为内心是三角形内角平分线的交点，所以在中，，故A错误；由余弦定理可得，因为的面积，所以，故B正确；设的外接圆半径为，则，故，故C正确；对于D：方法一：因为在的平分线上，所以可设，则，同理可设，则，得，又、不共线，根据平面向量基本定理得，解得，即，故D正确；方法二：利用内心的性质结论，有，即，所以，即，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在中，，，，则__________.【答案】【解析】由正弦定理有，即，解得，而，所以，所以，所以.13.已知.若的夹角为钝角，则的范围为__________.【答案】且【解析】若，的夹角为钝角，则，且与不平行，即，且，求得且.14.复平面上两个点，分别对应两个复数，，它们满足下列两个条件：①；②两点，连线的中点对应的复数为，若为坐标原点，则的面积为______．【答案】8【解析】令，，且，由，则，即，故①，由两点，连线的中点对应的复数为，则，即②，联立①②，可得，且，即，，由，即，故为直角三角形，又，，故的面积为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知点求：（1）的模；（2）；（3）在上的投影向量.解：（1）已知点，所以，因此的模为.（2）由已知可得，所以.（3）根据投影向量的定义可得，在上的投影向量为.16.已知复数，且为纯虚数（是的共轭复数）.（1）设复数，求；（2）复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围.解：（1）因为，则，所以为纯虚数，所以，解得.所以，因此.（2）因为，则，因为复数在复平面内对应的点位于第一象限，则，解得.因此实数的取值范围是.17.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）证明：；（2）若，，求的周长.解：（1）因为，所以，所以.因为，所以，则（或，舍去），即.（2）因为，，所以，..由，可得，.故的周长为.18.如图，我们把由平面内夹角成的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系，称为“完美坐标系”.设，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”.（1）若向量的“完美坐标”为，求；（2）已知，分别为向量，的“完美坐标”，证明：；（3）若向量，的“完美坐标”分别为，，设函数，，求的值域.解：（1）因为的“完美坐标”为，则，又因为，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，且夹角为，所以，，所以.（2）由（1）知，所以，即.（3）因为向量，的“完美坐标”分别为，，由（2）得.令，则，因为，所以，即，令，因为的图象是对称轴为，开口向上的抛物线的一部分，所以当时，取得最小值，当时，取得最大值，所以的值域为.19.古希腊数学家托勒密对凸四边形（凸四边形是指没有角度大于180°的四边形）进行研究，终于有重大发现：任意一凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四点共圆时等号成立.且若给定凸四边形的四条边长，四点共圆时四边形的面积最大.根据上述材料，解决以下问题，如图，在凸四边形中，（1）若，，，（图1），求线段长度的最大值；（2）若，，（图2），求四边形面积取得最大值时角的大小，并求出四边形面积的最大值；（3）在满足（2）条件下，若点是外接圆上异于的点，求的最大值.解：（1）由，，，，可得，由题意可得，即，即，当且仅当四点共圆时等号成立，