华罗庚数学课本六年级

第一章分数的简便计算

在分数计算峰，经常会出现类似下面的题目：

---------1-----------1-----------1-----------1---------F•••d-----------------

1x22x33x44x55x699x100

19981999

----------1------------1----------+…H------------1----------

19991999199919991999

1x2+2x4+3x64-----I-IOOX200

2x3+4x6+6*9+…+200x300

如果不去观察、尝试，找出其中的奥秘，将很难解决这样的问题。

同学们，你们能想出好的办法吗？本章将就这样的问题，从约分法和分数的拆分角度加

以解决。只要在平时的学习中多研究、多尝试、多思考，你还会想出更好、更奇妙的方法,

试试吧！

第一节巧用运算定律和性质

探究目标

1.能够根据四则运算的定律及性质使一些计算变得简便。

2.能利用和、差、积、商的变化规律进行简便运算。

3.进一步提高分析、抽象、综合、概括等能力。

探究过程参与一下“做数学”的过程，探究过程参与一下“做数学”的过程，乐趣尽在

其中哦！

例用简便方法计算14X-+0.65X—--X14+—X0.65的结果。

713713

建议：1.先观察题目中数字的特点，找出能够简便的方法。

2.要能够合理应用运算定律。

讨论：1.14X,3与2WX14能够运用乘法分配率壹行简便计算。

77

Q5

2.0,65X—与3X0.65能够运用乘法分配率过行简便计算。

1313

证明：题中第一组和第三组的两个乘式可以利用乘法分配律简便计算，第二组和第四组

的两个乘式可以利用乘法分配咎简便计算。所以，

原式=(巳一士)X14+(—+—)X0.65

771313

=2+0.65

=2.65

例1计算：55X—

56o

［完全解题］通过观察发现至与1接近，可以把史看成1一口-.这样就可以运用乘

565656

法的分配律达到简算目的。

=55X(1--)

56

=55X1—55X」—

56

“55

=55——

56

=54—

56

通过观察，还可以发现55加上1正好等于56,所以也可以这样简算:

55,,55

55X——(56—1)X—

5656

5555

=56zX—=1X—

5656

=55工

56

［技法点睛］本题关键是先要观察题目的特点，可以将第一个因数变化，也可以将第二

个因数进行变化。

153

例2计算：一><(4.85+—一3.6+6.15><3—)。

4185

Q1Qq

［完全解题］题中的4.85+—就是4.85X—，即4.85X3—。

555

153

-X(4.854---3.6+6.15X3-)

4185

1333

=-X(4.85X3--3-+6.15X3-)

4555

13

=-X［(4.85-1+6.15)X3-］

45

=1x36

4

<1Q

［技法点睛］本题中关键是将4.85+3改写成4.85X»,再运用乘法分配率进行简

185

便计算。

例3计算：12.5X(36—7，)+3.6。

5

［完全解题］根据运算性质可以把(36—7：)+3.6改写成36+3.6—7：4-3.6。

12.5X(36-7-)4-3.6

5

=12.5X(36+3.6-7.2+3.6)

=12.5X8

=100

［技法点睛］本题的关键是将算式中的某个整体看作一个数,再运用有关定律进行简便

计算。

例4计算：(1+0.23+0.34)X(0.23+0.34+0.65)-(1+0.23+0.24+

0.65)X(0.23+0.34).

［完全解题］仔细观察，这组算式中的数就是1,0.23,0.34,0.65,它们按某种规律

排列，像这样的题目可以将它的某一部分看作一个整体，用字母代替，这样可简化计算的过

程。

设A=0.23+0.34,B=0.23+0.34+0.65<.

原式=(1+A)XB-(1+B)XA

=B+AB—A—AB(AB与BA一样的结果，且可相互抵消)

=B-A

=0.23+0.34+0.65-(0.23+0.34)

=0.65

［技法点睛］本题从题目本身看是不能简便计算的，所以要善于运用拆数的方法。

例5(2003•浙江省小学数学活动课夏令营)计算：(49-L)XL+(46-1)X1+(43

8888

、，八

——1)X1—,+…+(1—1—.)1X—„

8888

［完全解题］利用乘法的分配律，可以将每组中的两个分数分别与1相乘，然后再利

8

用乘法分配律将其重新整理。49、46、43、…、1是一组等差数列，一共(49-1)+3+1=

17个数，所以一共有17组这样的和相加。

原式=49XL—'X-+46X--iX-+43X--11,,,111

-X—+…+1X———X-

888888888888

(49+46+43+…+1)X———X—X17

888

_117

53———

864

“55

=52——

64

［技法点睛］本题在利用乘法分配律之前，要运用等差数列求和的方法求出这些数的和

一共有多少个。

例6(2002•天津市数学学科竞赛)计算：39X—+148X—+48X—„

149149149

［完全解题］对于148X受，可以变式为148X—X86=86X—；对于48X—

149149149149

74148

可以变式为24X2X—=24X—这样三组分数乘整数中的三个分数就变得相同了，利

149149o

用乘法分配律将其简便计算。

148174

原式=39义---+148X------X86+24X2X------

149149149

148

=(39+86+24)X——

149

=149啃

=148

［技法点睛］在整数与分数相乘中，对于aX2,可以变式为aXbxL或者bX色等

CCC

形式，这样的变式有利于找出相同的因数，从而可以利用乘法分配律进行简便计算。

1213141

例7(2002•四川省小学生数学夏令营)计算：29—X—+39—X-+49-X—+59—

2334455

二。

6

［完全解题］题目中每组两个因数中的第一个因数接近一个整十数，并且这个整十数正

好是第二个因数分母的倍数。利用约分的方法进行简便计算。

12233445

原式=(30——)X—+(40——)X—+(50——)X—+(60——)X—

23344556

212323434545

=30X——一X—+40X———X—+50X———又一+60义一一一X—

323434545656

1132

=20+30+40+50—(—+—+—+—)

3253

=140-2—

10

9

=137—

10

［技法点睛］当一个数接近整十、整百……时，可以先将其看作整十、整百数……，然

后再利用乘法分配律进行简便计算。

例8(2002•我爱数学少年夏令营)计算：(-?-+-!-+-!-+-!-)x(-!-+-L+-L+-!_)一

1121314121314151

z11111、、，，111、

(---1----1----1-----------------1-------------)X(---1-----------------1-------------)O

1121314151213141

［完全解题］1----1----1---=A,1-----1=B,然后利用

11213141213141

乘法的分配律进行简便计算。5

原式=A义(B+」-)一(A+」-)XB

5151

=AB+—A-AB-—B

5151

=—X(A-B)

51

11111、/111「

=—X[rz(---1----1----1—)—(---1----1---)]

5111213141213141

11

—-—x—

5111

1

561

［技法点睛］在运用乘法分配律进行计算时，可以将若干个数的和看作一个整体，为使

计算过程简便，可以将相同的一组数用字母代替。

创新训练检测一下自己的能耐吧，你一定很棒!

一、选择题。（每题5分，共20分）

1.（2003•小学数学奥林匹克预赛）3.51X49+35.1X5.1+49X51的结果是（底

A.285B.2850C.28500

2.（2003•天津市数学学科竞赛）1.1+1.91+1.99H——F1.99--991的结果是（）。

100个9

A.20.100--01B.201.00--01C.2010.00--01

100个0100个0100个0

3.（2003•浙江省小学数学活动课夏令营）99X43+98X42+97X41的结果是（）。

A.1235B.12350C.123500

4351

4.（2003•小学数学奥林匹克预赛）0.7X1-+2-X15+0.7X-+-X15的结果是（）。

9494

A.46.4B.464C.4.64

二、填空题。（每题5分，共20分）

1717171717

1.（2003•广东省小学六年级数学竞赛）一X10+—X9+—X8+…+—X2+—

7777777777

___O

2.（2003•天津市数学学科竞赛）1.1+3.3+5.5+7.7+9.9+11.11+13.13+15.15+17.17

+19.19=_o

3.（2004•小学数学奥林匹克预赛）（2」一X9±+73必X9.625）4-96-=。

2003820034-

4.（第一届“陈省身”杯数学邀请赛）85.42X7903.29—286.5X790.329+79032.9X4.323

____O

三、解答题

1.（1+—+—）X（—+—+—）—（1+—+—+—）X（―+一）

3434334534

2.76X（―-—）+23X（―+—）-53X）

235353762376

3.（4—————）X（一+—+—）—4X（———+—）+（—+—+—）X（—-^―）

19177897897891719

第二节约分法

探究目标

1.能够利用约分的方法直接将分子、分母中公有因式进行月份从而达到简便计算的目的。

2.能够灵活地根据四则运算的性质将分子、分母转化、改写、变形等，找出其公有的因式,

达到用约分法简便计算的目的。

3.进一步提高分析、抽象、概括的能力。

探究过程参与一下“做数学”的过程，乐趣尽在其中哦！

例有2000个桃子，猴王分给一批猴子吃，第一天吃了总数的上，第二天吃了余下的

2

第三天吃了第二天余下的上，以后每天都吃前一天余下的,、1、…、—»

345672000

最后还剩下多少个桃子？

建议：1.先找出每天吃的相当于总数的几分之几。

2.通过列式探索其中的规律。

讨论：1.每天吃的都是前一天余下的几分之几，所以，可以依次进行乘法计算剩余的

数量。

2.前一天分数的分母与后一个分数的分子正好能约掉。

证明：第一天吃了以后还余下2000X(1--),第二天吃了以后还余下2000X(1-

2

-)X(1-i),依此类推，一直到吃去前一天的」一后还余下2000X(1—1)X(1一

2320002

-)X-X(1------)。

32000

2000X(1--)X(1--)X-X(1-—^―)

232000

12341999

=2000X—X—X—X—X…X

23452000

1

=2000X

2000

=1(个)

所以最后还剩下1个桃子。

,.、1田1.2+2.3+3.4+4.5+5.6+6.7

例］计算：----------------------------。

12+23+34+45+56+67

［完全解题］题中的分子部分每一个加数都是分母中每一个相应加数缩小10倍的结果,

可将分母部分处理成(1.2+2.3+3.4+4.5+5.6+6.7)X10,而分子部分可写成(1.2+2.3

+3.4+4.5+5.6+6.7)X1这样就可将公有的(1.2+2.3+3.4+4.5+5.6+6.7)约去。

1.2+2.3+3.4+4.5+5.6+6.7

12+23+34+45+56+67

(1.2+2.3+3.4+4.5+5.6+6.7)xl

-(1.2+2.3+3.4+4.5+5.6+6.7)xl0

-10

［技法点睛］本题中的分子与分母只是小数位数的不同，可以利用乘法分配率将其整理。

例2计算：(9士2+72£)+(5±+52)。

7979

［完全解题］利用9冬+72=竺+竺=65X(1+1)

797979

一+——5X(一+一)

7979

这样分子分母中就有相同的因式(1+-)«

79

(9-+7-)4-(-+-)

7979

,6565.55

=(----1----)-(—+—)

7979

65x(；+］)

</1、

5丐+§)

=13

［技法点睛］本题中的被除数与除数中分数部分的分母是相同的，可以利用乘法分配率

将其写成若干个分数单位和的形式。

例3计算：-----------------------------------------------

888888x888888

［完全解题］1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1=8X8

这样可与分母部分的888888X888888约分。

1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1

888888x888888

8x8

888888x888888

1

111111x111111

1

12345654321

［技法点睛］本题中的分子具有一定的规律，正好是8个8的和，所以分子与分母可以

进行约分。

1993+1992x1994

例4计算:

1993x1994-1

［完全解题］分子分母中没有公有的因式可以直接约。但通过观察分子分母中数的特征,

可以转化为两种：一是将分子变化，1993+1992X1994=1994-1+1992X1994=1994X1993

-1;二是将分母变化，1993X1994-1=(1992+1)X1994-1=1992X1994+1993.

1993+1992x1994

1993x1994-1

1994-1+1992x1994

1993x1994-1

1993x1994-1

-1993x1994-1

=1

t1993+1992x1994

【火---------------------------------

1993x1994-1

1993+1992x1994

(1992+1)x1994-1

1993+1992x1994

1992x1994+1993

=1

［技法点睛］本题中的分子与分母要进行变式，可以将分子变的与分母一样，也可以将

分母变的与分子一样。

..71+3+5+7H---k199

例5计t算sit：---------------------。

2+4+6+8+…+200

［完全解题］1+3+5+74----1-199=(1+199)X1004-2

2+4-t6+84------1-200=(2+200)X1004-2

这样分子和分母中都有100+2。可用约分法进行简算。

1+3+5+7+…+199

2+4+6+8+…+200

(1+199)x1004-2

(2+200)x100-2

10()

101

［技法点睛］本题中的分子与分母都是等差数列，可以利用数列求和的方法进行约分。

5x6x7x8x9-lx2x3x4x5

例6计算：----------------------------

5x6x7x8x9

［完全解题］将5X6X7X8X9看作A,1X2X3X4X5看作B,则原式变为

A

—r-fruz'I,~ABB

可变形为-----=———=1——O

AAAA

5x6x7x8x9—Ix2x3x4x5

5x6x7x8x9

_125

~126

［技法点睛］本题中的分子有一部分与分母相同，为了解题方便，可以将每个乘式看作

一个整体。

_______________123456789_______________

例7计算:

12345678912-1234567890x1234567892°

［完全解题］12345678912=1234567891X1234567891

=1234567891X(1234567890+1)

=1234567891X1234567890+1234567891

1234567890X1234567892=1234567890X(1234567891+1)

=1234567890X1234567891+1234567890

这样分母部分的差为1。

_______________123456789_______________

12345678912-1234567890x1234567892

123456789__________________________

1234567891x(1234567890+1)—1234567890x(1234567891+1)

123456789

—1234567891-123456789()

123456789

1

=123456789

［技法点睛］本题的关键是利用乘法分配率将分母进行变式。

、、但1x2+2x44-3x6+4x8

例8计算：------------------------。

2x3+4x6+6x9+8x12

［完全解题］1X2=1X1X(1X2)2X4=2X2X(1X2)

3X6=3X3X(1X2)4X8=4X4X(1X2)

即1X2+2X4+3X6+4X8=1X2X(IX1+2X2+3X3+4X4)

2X3=1X1X(2X3)4X6=2X2X(2X3)

6X9=3X3X(2X3)8X12-4X4X(2X3)

即2X3+4X6+6X9+8X12=2X3义(IX1+2X2+3X3+4X4)

Ix2+2x4+3x6+4x8

2x3+4x6+6x9+8x12

lx2x(1x14-2x2+3x3+4x4)

2x3x(1x14-2x2+3x3-1-4x4)

=\_

-3

［技法点睛］本题的关键是将分子与分母进行变式，将相同的因数进行分类整理，再根

据乘法分配率进行约分。

创新训练检测一下自己的能耐吧，你一定很棒！

一、选择题。（每题5分，共20分）

,„„An.2004+3x2000+12十.

1.(2004•我爱数学少年夏令营)------7--------------------等于(）。

20043-2004x9

C.,

A.1B.2001

2001

2+(仔.工)

2.（第一届“陈省身”杯数学邀请赛）j—等于()

(0.25+;x16

A.刿c49

B.------C,竺

4924024

2004+2003x20053二.

3.（吉林省第十届小学数学邀请赛）2004x2005-1等于()o

B，2^4C.-^―

A.1

2005

4.(2004•四川省小学数学邀请赛)

2004+20042004+200420042004+2004200420042004松工,、

J\.

2005+20052005+200520052005+2005200520052005

2004

A.1B.—

20052005

二、填空题。（每题5分，共20分）

1.（2004•四川省小学生数学夏令营）

12345678911234567890

1234567890—1234567891_

11-

1234567890+1234567891

2.（2004•我爱数学少年夏令营）

205+794x20035_

2004x794-58917--0

3.（第一届“陈省身”杯数学邀请赛）

12-+32-+---+20200201^^+20012002

3420022003_

=2…，20002001一°

3—F5—I--F4001-----F4003

3420022003

4.(吉林省第九届小学数学邀请赛)

1X2X3+2X4X6H---P100x200x300_

2x3x4+4x6x8+•••+200x300x400-

三、解答题。(每题20分，共60分)

1.3456100

123498

3-+5-+7-+9----+197

3456100

1994+1993x19951995+1994x19961996+1995x1997

2.----------------1-----------------1----------------

1994x1995-11995x1996-11996x1997-1

1x2x3x4x5x6+6x7x8x9x10x11

3.

Ix2x3x4x5x6

第三节拆项法

探究目标

1.能灵活运用分数拆分的方法使一些复杂的分数数列求和的计算简便。

2.进一步提高分析、综合、抽象、概括等能力。

探究过程参与一下“做数学”的过程，乐趣尽在其中哦！

例(2001•我爱数学少年夏令营)计算：

1111

-----------1-------------------F-----------------------F•••H-------------------------------------0

1+21+2+31+2+3+41+2+3+…+99

建议：1.仔细观察题目的特点，找出解题的方法。

2.想办法将分数变化形式。

讨论：1.分数的分母依次是等差数列的和，可以用求和的公式进行整理。

2.将分数的分母变成等差数列求和的形式，然后根据1除以一个数的特点改写成倒数

的形式，最后将分数的分母变换成两个连续自然数相乘的形式，这样就可以利用分数拆分的

方法进行简便计算了。

证明：每个分数的分母都是若干个连续自然数的和，可以将分母用等差数列求和的形式

表示出来，再根据1除以一个数就是这个数的倒数的特点进行简便计算。

原式=______!______________!______।___।________!_______

'、(l+2)x2+2(l+3)x3+2(1+99)x99+2

----------1----------F•••H

(l+2)x2(l+3)x3------(1+99)x99

111

=2X一+----4----------+H----------------)

2x33x44x599x100

111.

=2xd」+!」+十,•,+)

23344599100

=2义(--击)

2

49

50

1111

例1计算:---------1-----------1------+----------

1x22x33x449x50

［完全解题］—匚=1£111=J_

-

1x222x3233x43449x5049

1

5()

1

+」+,••H------------

1x22x33x449x50

1

1-------1--------—|--------------H,•

22334.•一50

［技法点睛］本题是直接利用拆项的方法，将每个分数拆成相应的减法形式。

例2计算:---------1-----------+•••+

5x88x1198x101

n11n

［完全解题］——

5x8(58J3*8x11

111

---------1-----------F…+

5x88x11

11、+1

58；4(8

_1111

z)

358811111498101

-X(——-----)

35101

32

505

［技法点晴］本题分母中的两个因数相差3,故是分数的拆分和乘法分配率的综合应用。

111

例3计算:--------------1-----------------1-------1------------------

1x2x32x3x49x10x11

1J1_____LL1

［完全解题］-------

1x2x32x3x4(2x33x4)2

1一(1______QXJ

9x16111910kOJl1

111

+•••+

1x2x32x3x49x10x11

i

p---LV+O+-+

(1x22x3j2(2x3三H9x10

—X----------------+-------++

211x22x32x33^49xl0'10xll

—xI-------------------

211x2lOxllJ

_27

-H0

［技法点睛］本题中每个分数的分母是三个连续自然数的积，直接利用拆分的规律进行计算。

例4计算:1H--------1-----------F•••H------------------------o

1+21+2+31+2+3+・・・+10()

［完全解题］这道题中各分数的分子都是1,分母依次是等差数列，可将其变形为

---=--------=--------=2X(----1

1+2(1+2)X22X(1+2)23

2

___1___-_____1___—____2___—2日x(」____1

1+2+3-(1+3)X3-3x(l+3)-34

2

--------------------------=2X(-------------)

1+2+3+…+100100101

H111,■■■,1

1+21+2+31+2+3+…+10()

=1+2Xg-g1l,Ic/11X

x+…+2X(k而)

=2X-+2X(---)+2X(---)H------I-2X(---)

2233410()101

=2cX(,—1+,—1——1+,1——l+...+_L__L)

2233410()101

=2X(1—)

101

,,99

-1-------

101

［技法点睛］本题中每个分数的分母都是若干个连续自然数的和，可以将分母用等差数列

求和的形式表示出来，再根据1除以一个数就是这个数的倒数的特点进行简便计算。

579111Q

例5（2002•第十二届《祖冲之杯》小学数学竞赛）计算：1一士+'一二+」一二

612203042

,1517,19

I~~IO

567290

［完全解题］观察每个分数的分母，可以发现，它们都是两个相邻自然数的积。所以可

以利用分数拆分的方法进行计算。

原式=1一（,+!）+（L+•!■）—（,+L）+（L+1）-（！+_!_）+（L十！）一（_1

2334455667788

+—）+（一+—）

9910

11,1,111,1,111,1,111,1,1

=1—————+—H--.———+—H--.——----r——+——————+——+—

23344556677889910

,1,141

=1----r-----------

21072

［技法点睛］本题巧用分数拆分的方法，分数的分母是两个连续自然数的积，分子正好

是这两个自然数的和，所以可拆成这两个自然数作分母的分数单位的和。

137293741

例6（2003•浙江省小学数学活动课冬令营）计算：-+-+—+—+—+—+

7836566372

53,29,3

778488°

293741537

［完全解题］对于‘、3•、丝•、二■这四个分数，可以拆成两个分数的和，对于2-、

5663727736

—29，二3这三个分数，可以拆成两个分数的差，然后再根据题中的相关分数合并。

8488

1,3,,411,3.,,1,41,416.,,13.,

原式=—+—+(———)+(—+—)+(—+—)+(—+—)+(—+——)+(———)+

789478798971177

(---)

811

=(—+—+—+—+—)+(-+—+—+-)+(—+—+—)+(———)—(1

777778888999111112+

-)

4

451

=1+1+-+—--

3113

［技法点睛］根据题目的特点巧妙地将一些分数拆成两个分数的和或者两个分数的差,

然后再根据加减法的性质进行简便计算。

111?22

例7（2002•我爱数学少年夏令营）计算：（1+上+上+・“+」-）+（±+±+・“+上）

23603460

+(13+...+3)+…+(生+史)+…+纥

4560596060

［完全解题］先将题目中分母相同的分数结合在一起相加，再利用乘法的分配律进行简

便计算。

11?123123415

原式=1+±+(士+&)+(二+巳+±)+(上十三十士十三)+(上+…+士)+…

233444555566

+(—+乙+2+…+羽+空）

6060606060

,1,13(3-1),14(4-1),1^)...±60(60-1)

=1+-+—X—--------+—X—--------+—X++x

2324252602

,,1,2,3,4,,59

=1+—+-+-+—+…+----

22222

=1+—X(1+2+3+4+…+59)

2