第三单元圆柱与圆锥·总集篇·八种综合型问题【八大考点】-2023-2024学年六年级数学下册典型例题系列（原卷版）人教版

篇首寄语我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生，但在面对琳琅满目的资料时，总是费时费力才能找到自己心仪的那份。于是，编者就常想，如果是自己来创作一份资料又该怎样呢？那这份资料在满足自己教学需求的同时，还能为他人提供参考。本着这样的想法，在结合自己教学经验和学生实际情况后，最终创作出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。《2023-2024学年六年级数学下册典型例题系列》，它基于教材知识和常年真题总结与编辑而成的，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、分层试卷篇等四个部分。1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精炼高效，实用性强。4.分层试卷篇，根据试题难度和不同水平，主要分为基础卷、提高卷、拓展卷三大部分，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我改进，欢迎您的使用，谢谢！101数学创作社2024年2月24日2023-2024学年六年级数学下册典型例题系列第三单元圆柱与圆锥·总集篇·八种综合型问题【八大考点】专题解读本专题是第三单元圆柱与圆锥·总集篇·八种综合型问题。本部分内容一共包括了圆柱与圆锥的拼切问题、圆柱与圆锥的旋转构成问题、圆柱与圆锥的关系问题、比在圆柱与圆锥中的应用问题、圆柱与圆锥的等积变形问题、圆柱与圆锥中不规则物体的体积问题、含圆柱圆锥的不规则或组合立体图形的体积问题、圆柱圆锥中的注水运动问题等八种圆柱圆锥中常考的综合型问题，考点遍布各种题型，考题综合性强，其中大多数内容以思维拓展题型为主，难度极大，建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性讲解部分考点考题，一共划分为八个考点，欢迎使用。目录导航TOC\o"1-1"\h\u【考点一】八种问题之圆柱与圆锥的切拼问题 3【考点二】八种问题之圆柱与圆锥的旋转构成问题 7【考点三】八种问题之圆柱与圆锥的关系问题 11【考点四】八种问题之比在圆柱与圆锥中的应用问题 12【考点五】八种问题之圆柱与圆锥的等积变形问题 13【考点六】八种问题之圆柱与圆锥中不规则物体的体积问题 15【考点七】八种问题之含圆柱圆锥的不规则或组合立体图形的体积问题 18【考点八】八种问题之圆柱圆锥中的注水运动问题 19典型例题【考点一】八种问题之圆柱与圆锥的切拼问题。【方法点拨】立体图形的切拼问题属于小学数学的典型问题和难点问题，由圆柱与圆锥的切拼所产生的表面积增减变化，在分析与思考过程中常常具有一定的抽象性，并涉及到基础的空间想象能力，因此，大部分同学掌握起来显得十分困难，建议在理解方面，尝试绘制示意图，在解题方面，注意寻找切拼后的变化规律。1.圆柱中高的增减变化引起的表面积变化。高的增减变化引起的表面积变化问题，由于底面积没有改变，所以实际上发生变化的是侧面积，由此可以先求出底面周长，再进而求出表面积，即底面周长=变化的表面积÷变化的高度。2.圆柱中横切引起的表面积变化。横切，即沿着底面或平行于底面将圆柱切一刀，此时表面积会多出两个面的面积，这两个面是底面，每多切一刀，便多增加两个面，即面数=刀数×2，相反，如果两段圆柱拼接在一起，则会减少两个底面。3.圆柱中竖切引起的表面积变化。竖切，即沿着直径，垂直于底面切，此时多出的两个面是长方形，它是以底面圆的直径为长，以圆柱的高为宽的长方形。4.圆锥中竖切引起的切面积变化。圆锥中的竖切是指将圆锥沿着高并垂直于底面切成完全相同的两块，每一块的切面都是一个等腰三角形，而且这个三角形的底是底面圆的直径，高是圆锥的高，相比较圆锥的表面积，增加了两个这样的切面。5.圆柱与长方体的切拼引起的表面积变化。将一个底面半径为r，高为h的圆柱沿着高切成若干等份，并将其拼成一个近似的长方体，此时这个圆柱和长方体的体积相等，拼成的长方体的表面积比圆柱多2个面积大小为hr的长方形。【典型例题1】圆柱中高的增减变化引起的表面积变化。一根高8分米的圆柱木料，如果把它的高截短3分米，表面积就减少18.84平方分米，这根圆木体积是多少立方分米？【对应练习】一个圆柱体（如图），如果把它的高截短3厘米，它的表面积减少94.2平方厘米。这个圆柱体积原来是多少立方厘米？【典型例题2】圆柱中横切引起的表面积变化。把一根长10米的木料锯成一样长的两段，结果表面积增加了6.28平方米，这根木料原来的体积是多少立方米？【对应练习】一根长12分米，横截面直径是4厘米的圆柱形木棍，将它平均截成三段，然后全部涂上颜色，涂色部分的面积是多少？【典型例题3】圆柱中竖切引起的表面积变化。如图，一根圆柱形木料高8分米，沿底面直径垂直切开，平均分成两部分。这时表面积比原来增加了0.96平方米（π取3.14）。这根圆柱形木料的体积是多少立方分米？【对应练习】如图，一根圆柱形木料高1米，沿底面直径垂直切开，平均分成两部分。这时表面积比原来增加了1.8平方米（π取3.14）。（1）这根木料原来的表面积是多少平方米？（2）这根圆柱形木料的体积是多少立方米？【典型例题4】圆锥中竖切引起的切面积变化。将一个圆锥形糕点沿着高切成两块，表面积比原来增加了42平方厘米，测得圆锥形糕点的高是7厘米，原来这个圆锥形糕点的体积是多少立方厘米？【对应练习】一个圆锥的底面半径是3分米。从圆锥的顶点沿着高将它切成相等的两半后，表面积比原来的圆锥表面积增加了24平方分米。这个圆锥的体积是多少立方分米？【典型例题5】圆柱与长方体的切拼引起的表面积变化。把一个高为6厘米的圆柱体切割成若干等分，拼成一个近似的长方体。长方体的表面积比圆柱的表面积增加了48平方厘米，如下图，请求出原来圆柱体的表面积和体积。【对应练习】将一个高是12厘米的圆柱体如图那样切拼，切拼后的立体图形的表面积比圆柱体大120平方厘米。求圆柱体的体积。（π取3.14）【考点二】八种问题之圆柱与圆锥的旋转构成问题。【方法点拨】圆柱与圆锥的旋转构成问题属于平面图形和立体图形的空间转化，具有一定的抽象性，需要具备基本的空间想象能力。1.圆柱的四种旋转构成方法。在旋转时，以谁为轴谁就是高，而另一条边就是底面半径。①第一种旋转方法：以宽为轴进行旋转。以宽为轴进行旋转，宽就是圆柱的高，长就是底面圆的半径。②第二种旋转方法：以长为轴进行旋转。以长为轴进行旋转，长就是圆柱的高，宽就是底面圆的半径。③第三种旋转方法：以两条长中点的连线为轴进行旋转。以两条长中点的连线为轴进行旋转，宽就是圆柱的高，长的一半就是底面圆的半径。④第四种旋转方法：以两条宽中点的连线为轴进行旋转。以两条宽中点的连线为轴进行旋转，长就是圆柱的高，宽的一半就是底面圆的半径。2.圆锥的旋转构成方法。沿着直角三角形的一条直角边旋转一周，即可得到一个圆锥，旋转的轴是圆锥的高，另一条直角边是圆锥的底面半径。【典型例题1】圆柱的旋转构成方法。画出如图图形绕BD边旋转后的图形，并求出的它的表面积和体积（单位：厘米）。【对应练习】如图中的长方形绕它的长或宽旋转一周，可分别得到立标图形A和B。（1）算一算立体图形A、B的体积。（2）立体图形A和B的体积之比与原长方形有何关系？（请用数学式子或文字加以说明）【典型例题2】圆锥的旋转构成方法。请你在下图中，选取直角三角形的一条边所在直线为轴旋转一周，所形成的立体图形的体积是多少？【对应练习】如图三角形ABC是一个直角三角形，分别以三条边所在的直线为轴旋转得到三个不同的立体形体，这三个立体图形的体积分别是多少立方厘米？【典型例题3】圆柱与圆锥的旋转构成“综合型”。小明、小花两人分别以直角梯形的上底、下底和高所在的直线为轴，将直角梯形旋转一周，得到了甲、乙、丙三个立体图形。小明说：我们旋转的平面图形是完全一样的，所以旋转后甲、乙、丙三个立体图形的体积也相等。小花说：我不同意你的看法，我认为三个立体图形的体积不相等。你同意谁的说法？甲、乙、丙三个立体图形的体积是多少立方厘米？（π取3.14）【对应练习】请根据下图信息回答问题。（1）直角梯形ABCD，如果以AB为轴进行旋转，所形成的立体图形是图（

）；如果以DC为轴进行旋转，所形成的立体图形是图（

）。（2）选择其中一个立体图形计算它的体积。【考点三】八种问题之圆柱与圆锥的关系问题。【方法点拨】圆柱与圆锥的关系问题常是填空、选择题的常考题型，掌握二者的关系，需要注意寻找前提条件。1.底面积和高均相等的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，反之，圆锥的体积是圆柱体积的。2.体积和高相等的圆锥与圆柱，圆锥的底面积是圆柱的三倍。3.体积和底面积相等的圆锥与圆柱，圆锥的高是圆柱的三倍。【典型例题】有一个容器下面是圆柱，上面是与之等底的圆锥，圆柱的高是10cm，圆锥的高是6cm，容器内水深7cm，把这个容器倒过来，从圆锥的角到水面的高度是()cm。【对应练习1】一个由圆柱和圆锥组成的容器（如图），圆柱的高是10cm，圆锥的高是6cm，正放时，容器里的水深7cm，将这个容器倒过来放时，从圆锥的顶端到水面的高是()厘米。【对应练习2】一个密闭的容器（如下图）是由一个圆柱和一个圆锥组成的，圆柱的高是，圆锥的高是，容器内的液面高。当将这个容器倒过来放时，从圆锥的顶点到液面的高是多少厘米？【对应练习3】一个装有水的长方体容器长13厘米，宽10厘米，把一个圆柱和一个圆锥都放入容器中，水面上升了2厘米。已知圆柱和圆锥等底等高，圆锥完全浸入水中，圆柱有的高露出水面，则圆柱的体积是多少立方厘米？【考点四】八种问题之比在圆柱与圆锥中的应用问题。【方法点拨】比与立体图形的结合，在小升初考察中应用较多，掌握比的基本性质和圆柱圆锥的关系变化是其关系。1.圆柱与比。（1）当圆柱的底面积相等时，已知高之比，求体积之比：高之比就是体积之比。（2）当圆柱的高相等时，已知底面积之比，求体积之比：底面积之比就是体积之比。（3）已知底面积之比和高之比，求体积之比：分别用对应的底面积×对应的高求得对应体积，再求体积之比。2.圆锥与比。（1）当圆锥的底面积相等时，高的比就是体积的比。（2）当圆锥的高相等时，底面积的比就是体积的比。（3）当圆锥和圆柱如果底面积和高均相等，那么圆锥和圆柱的体积之比是1∶3。【典型例题】一个圆柱和一个圆锥，它们底面积的比是2∶3，高的比是2∶5，那么它们的体积比是()。【对应练习1】圆锥的高是圆柱的，圆锥的底面直径是圆柱的2倍，这个圆锥与圆柱的体积比是()。【对应练习2】一个圆柱和一个圆锥，底面周长的比是2∶3，它们的体积比是5∶6，圆柱和圆锥的高的最简单整数比是()。【对应练习3】一个圆柱体和一个圆锥体的底面积相等，它们的高的比是5∶6，它们体积比是多少？【考点五】八种问题之圆柱与圆锥的等积变形问题。【方法点拨】圆柱、圆锥与长方体、正方体的等积变形问题是较常考察的题型之一，总体来说，难度不大，关键是掌握体积不变这一思路，再根据体积不变去解决问题。【典型例题1】其一。一瓶果汁，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），瓶子的容积为32立方厘米，当瓶子正放时，瓶内果汁液面高度为8厘米，当瓶子倒放时，空余部分为2厘米，请你算一算，瓶内果汁的体积是多少立方厘米？【对应练习1】一个装满水的矿泉水瓶，壮壮喝了一些水后，水的高度还有6cm，把瓶盖拧紧后倒置放平，无水部分高度是10cm。已知这个矿泉水瓶的容积是624mL，壮壮喝了多少水？【对应练习2】甲流是甲型流行性感冒的简称，是由甲型流感病毒感染人体所导致的急性呼吸道疾病。李华感染了甲流，需要输液。如图①所示，输液瓶液面高度是10厘米，液体是250毫升。护士阿姨给李华设置了平均每分钟5毫升的输液速度，10分钟后，空的部分高度是6厘米，如图②所示。（1）这个输液瓶的底面积是多少平方厘米？（2）这个输液瓶的容积是多少毫升？【典型例题2】其二。如图，一个圆锥形容器里面装满水，若把这些水全部倒入长方体容器内，水面高3cm，求圆锥形容器的底面积。【对应练习1】一个圆柱形储水桶，底面周长12.56分米，高3分米，盛满一桶水，把它倒入另一长方体水池后，长方体水池里还空着21.5%。已知长方体水池长6分米，长是宽的倍，求水池的高是多少分米？【对应练习2】如图，有两个边长为8厘米的正方体盒子，A盒中放入直径为8厘米、高为8厘米的圆柱体铁块一个，B盒中放入直径为4厘米、高为8厘米的圆柱体铁块四个。先往A盒中注满水，再把A盒的水倒入B盒里，使B盒也注满水，问现在A盒中余下的水是多少。【考点六】八种问题之圆柱与圆锥中不规则物体的体积问题。【方法点拨】排水法求形状不规则物体的体积是立体图形中的必考题型之一，具有一定的抽象性，注意熟练掌握排水法的计算方法：①V物体=V现在－V原来；②V物体=S×(h现在-h原来)；③V物体=S×h升高。【典型例题1】其一。如图所示，一个底面直径为20厘米的装有一些水的圆柱的玻璃杯，水中放着一个底面直径为6厘米、高20厘米的圆锥形状的铅锤，当取出铅锤后，杯里的水下降几厘米？【对应练习1】一个盛有水的圆柱形容器，底面内半径为5厘米，深20厘米，水深15厘米。今将一个底面半径为2厘米，高为17厘米的铁圆柱垂直放入容器中。求这时容器的水深是多少厘米？【对应练习2】有一个倒圆锥形的容器，它的底面半径是5厘米，高是10厘米，容器内放着一些石子，石子的体积为π立方厘米，在容器内到满水后，再把石子全部拿出来，求此时容器内水面的高度．【典型例题2】其二。在一个装了水的圆柱形容器中（如下图），放入一个体积为580cm³的圆锥形铁块，将会溢出多少毫升水？

【对应练习1】有一个底面半径为8cm的圆柱形玻璃容器，水深6cm。把一块底面半径是6cm、高是10cm的圆锥形铁块放入水中，水会溢出45mL，那么这个玻璃容器有多高？（得数保留整数）【对应练习2】有一个高8厘米，容积50毫升的圆柱形容器，装满水，将一只长16厘米圆柱形棒垂直插至杯底，有水溢出。把棒从水中抽出后，水的高度只有6厘米，求棒的体积。【考点七】八种问题之含圆柱圆锥的不规则或组合立体图形的体积问题。【方法点拨】不规则或组合立体图形的体积是图形计算和实际应用中的常考题型，其中组合立体图形的体积等于各部分规则立体图形的体积之和。【典型例题】图形计算。（1）计算下面图形的表面积和体积。（2）计算下面图形的体积。【对应练习1】计算下面图形的表面积和体积。半圆柱的底面直径是10cm【对应练习2】求下图的表面积和体积。【对应练习3】计算下图（按45°斜切）的体积（单位：厘米）。【考点八】八种问题之圆柱圆锥中的注水运动问题。【方法点拨】注水运动问题常使用实验的方式考察圆柱体积在实际生活中的综合应用，审题过程中，关键在于读懂图形给到的信息，需要很巧妙地把给到的注水“实验”过程图形（高度与时间的关系）与实际注水过程节点关联起来，比较考验学生的数