第三单元：长方体和正方体的表面积增减变化问题“一般型”专项练习-2023-2024学年五年级数学下册典型例题系列（解析版）人教版

2023-2024学年五年级数学下册典型例题系列第三单元：长方体和正方体的表面积增减变化问题“一般型”一、填空题。1．把两个长、宽、高分别是10厘米、8厘米、2厘米的相同长方体拼成一个大长方体，这个大长方体的表面积最少是()平方厘米。【答案】304【分析】根据长方体表面积的意义，把两个完全一样的小长方体拼成一个大长方体，要使表面积最小也就是把两个小长方体的最大面重合在一起，拼成一个长10厘米，宽8厘米，高（2×2）厘米的长方体，根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，把数据代入公式解答。【详解】2×2＝4（厘米）（10×8＋10×4＋8×4）×2＝（80＋40＋32）×2＝152×2＝304（平方厘米）则这个大长方体的表面积最少是304平方厘米。2．将一个表面积为30平方厘米的正方体等分成两个长方体，再将这两个长方体拼成一个大长方体，那么这个大长方体的表面积是()平方厘米。【答案】35【分析】如图：，将一个正方体等分成两个长方体后，表面积增加了两个正方体的面的面积，再拼成一个大长方体后，减少的是一个面的面积，大长方体的表面积等于原来正方体的表面积加上正方体一个面的面积；据此作答。【详解】30÷6＋30＝5＋30＝35（平方厘米）将一个表面积为30平方厘米的正方体等分成两个长方体，再将这两个长方体拼成一个大长方体，那么这个大长方体的表面积是35平方厘米。3．一个长方体，左右两个面都是正方形，它的表面积是100平方厘米，能切成2个一样大小的正方体，每个正方体的表面积是()平方厘米。【答案】60【分析】根据题意可知，长方体切成2个一样大小的正方体，则长方体的长是宽2倍，也是高的2倍，设长方体的左面正方形的面积是x平方厘米；左右相等，右边正方形面积也是x平方厘米；则其余四个面中一个面的面积是2x平方厘米，四个面积是（4×2x）平方厘米，这个长方体的表面积是100平方厘米，列方程：2x＋4×2x＝100，解方程，求出左面的面积，再乘6，即可求出正方体的表面积，据此解答。【详解】解：设长方体左面的面积是x平方厘米。2x＋4×2x＝1002x＋8x＝10010x＝100x＝100÷10x＝1010×6＝60（平方厘米）一个长方体，左右两个面都是正方形，它的表面积是100平方厘米，能切成2个一样大小的正方体，每个正方体的表面积是60平方厘米。4．两个完全一样的正方体拼成一个长方体后，其表面积与原来两个正方体表面积之和相比()。【答案】减少了【分析】一个正方体有六个面，两个有12个面，拼成长方体后少了两个面，还剩10个面，据此解答。【详解】因为拼成长方体后少了2个面，所以拼成的长方体的表面积比原来两个正方体的表面积之和减少了。5．一个正方体切成两个长方体，表面积增加了8平方厘米，原正方体的表面积是()平方厘米。【答案】24【分析】把一个正方体切成两个长方体，表面积比原来增加了2个正方形的面积，即8平方厘米，据此求出正方体一个面的面积，再根据正方体的表面积公式：S＝6a2，据此计算即可。【详解】8÷2＝4（平方厘米）4×6＝24（平方厘米）则原正方体的表面积是24平方厘米。【点睛】本题考查正方体的表面积，求出正方体一个面的面积是解题的关键。6．小强用软土做了一个长、宽、高分别是14厘米、12厘米、10厘米的长方体，他想切一刀把这个长方体分割成两个相同的长方体，有()种不同的分法。要使切成的两个长方体表面积之和最小，那么这两个小长方体的表面积之和比原长方体表面积增加了()平方厘米。

【答案】3240【分析】根据题意可知，长方体可以沿着长和宽的面切割，也可以沿着长和高的面切割，也可以沿着宽和高的面切割，一共有3种切法；要使切成的两个长方体表面积之和最小，就看哪种方法切割增加的面积最少；如果沿着长和宽的面切割，则表面积增加2个（14×12）平方厘米，如果沿着宽和高的面切割，则表面积减少2个（12×10）平方厘米，如果沿着长和高的面切割，则表面积减少2个（14×10）平方厘米，再比较每种方法增加的面积，找出增加最少的面积即可。【详解】14×12×2＝336（平方厘米）12×10×2＝240（平方厘米）14×10×2＝280（平方厘米）336＞280＞240把这个长方体分割成两个相同的长方体，有3种不同的分法。要使切成的两个长方体表面积之和最小，那么这两个小长方体的表面积之和比原长方体表面积增加了240平方厘米。【点睛】本题考查了长方体的切割，明确增加了哪些面是解答本题的关键。7．把一个长是20厘米，宽和高都是5厘米的长方体切成几个相同的最大的正方体，表面积之和比原来增加了()平方厘米。【答案】150【分析】求出长宽高的最大公因数，是切成的最大正方体的棱长，每切一次，增加2个面，据此分析增加的面的数量，求出增加的一个面的面积，乘增加的面的数量即可。【详解】把一个长是20厘米，宽和高都是5厘米的长方体切成几个相同的最大的正方体，正方体棱长5厘米，如下图：5×5×6＝150（平方厘米）表面积之和比原来增加了150平方厘米。【点睛】关键是理解最大公因数的意义，将立体图形切开，因为面数目增加，所以表面积增加。8．一根2米长的方钢，把它横截成2段，此时表面积增加60平方厘米，原来的方钢体积是()。【答案】6000立方厘米/600cm3【分析】截成2段增加2个截面的面积，则一个截面的面积＝60÷2＝30平方厘米，长方体的体积＝截面积×长，据此计算。【详解】2米＝200厘米60÷2＝30（平方厘米）200×30＝6000（立方厘米）原来方钢的体积是6000立方厘米。【点睛】此题主要考查长方体体积的求法以及立体图形的切拼，要注意切成两段会增加两个切面的面积。9．一个棱长是4分米的正方体，把它锯成3个相等的长方体，表面积增加了()平方分米。【答案】64【分析】把一个正方体锯成3个相等的长方体需要锯2次，锯1次增加2个正方形的面积，锯2次增加4个正方形的面积，据此解答。【详解】（3－1）×2＝2×2＝4（个）4×4×4＝16×4＝64（平方分米）所以，表面积增加了64平方分米。【点睛】本题主要考查立体图形的切拼，明确增加切面的数量是解答题目的关键。10．用棱长4cm的三个正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是()cm2，比原来三个正方体的表面积之和减少了()cm2。【答案】22464【分析】拼成的长方体长是12cm，宽和高均是4cm。长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体表面积＝棱长×棱长×6，据此列式求出这个长方体的表面积，以及一个正方体的表面积。将正方体的表面积乘3，再减去长方体表面积，求出表面积减少了多少。【详解】4×3＝12（cm）（12×4＋12×4＋4×4）×2＝（48＋48＋16）×2＝112×2＝224（cm2）4×4×6＝96（cm2）96×3－224＝288－224＝64（cm2）所以，这个长方体的表面积是224cm2，比原来三个正方体的表面积之和减少了64cm2。【点睛】本题考查了长方体和正方体的表面积，熟记公式是解题的关键。二、解答题11．把两个棱长为1.5分米的正方体木块拼成一个长方体。这个长方体的体积、表面积分别是多少？如果是用3个正方体木块拼呢？【答案】体积是6.75立方分米，表面积是22.5平方分米；体积是10.125立方分米，表面积是31.5平方分米。【分析】两个正方体拼成一个长方体，表面积和原来的总面积相比，减少2个正方形的面；体积等于原来的体积之和；三个正方体拼成一个长方体，表面积和原来的总面积相比，减少4个正方形的面；体积等于原来的体积之和；根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求解即可。【详解】表面积：1.5×1.5×6×2＝2.25×6×2＝13.5×2＝27（平方分米）1.5×1.5×2＝2.25×2＝4.5（平方分米）27－4.5＝22.5（平方分米）体积：1.5×1.5×1.5×2＝2.25×1.5×2＝3.375×2＝6.75（立方分米）表面积：1.5×1.5×6×3＝2.25×6×3＝13.5×3＝40.5（平方分米）1.5×1.5×4＝2.25×4＝9（平方分米）40.5－9＝31.5（平方分米）体积：1.5×1.5×1.5×3＝2.25×1.5×3＝3.375×3＝10.125（立方分米）答：这个长方体的体积是6.75立方分米，表面积是22.5平方分米；如果是用3个正方体，则体积是10.125立方分米，表面积是31.5平方分米。12．如何把下面这个长方体木块分成两个棱长为4厘米的正方体？这两个正方体的表面积之和与原长方体的表面积相等吗？【答案】见详解【分析】由于长方体的长是8厘米，是宽和高的2倍，所以把这个长方体竖着切开就分成了两个棱长为4厘米的正方体，那么会增加中间切开位置的两个面；也就是各增加了正方体的1个面；据此解答。【详解】由分析可得：把这个长方体竖着切开就分成了两个棱长为4厘米的正方体；两个正方体的表面积之和与这个长方体的表面积不相等，因为两个正方体的表面积之和比原来长方体的表面积增加了两个截面的面积。13．一个长方体如果高减少一部分，就变成了一个棱长为5厘米的正方体，长方体减少的体积为100立方厘米，原来的长方体表面积为多少平方厘米？【答案】230平方厘米【分析】根据题意可知，原来的长方体长和宽都是5厘米，即长方体的底面积是（5×5）＝25平方厘米，再根据体积减少100立方厘米，可以求出高减少了几厘米，根据长方体体积公式：体积＝底面积×高，高＝体积÷底面积，即（100÷25）＝4厘米，这样就可以求出原来的高（5＋4）厘米，再根据长方体的表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。【详解】100÷（5×5）＋5＝100÷25＋5＝4＋5＝9（厘米）（5×5＋5×9＋5×9）×2＝（25＋45＋45）×2＝（70＋45）×2＝115×2＝230（平方厘米）答：原来的长方体的表面积是230平方厘米。14．把两个长方体搭成一个大长方体，计算搭成大长方体的最大表面积。（单位：厘米）【答案】352平方厘米【分析】根据题意，把两个一样的长方体搭成一个大长方体时，会减少两个相同的长方形的面积；因为4×4＜10×4，所以把两个长方体的4×4的两个面重合，这样减少的表面积最少，搭成的大长方体的表面积就最大。搭成一个长（10＋10）厘米、宽4厘米、高4厘米的大长方体，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算即可求解。【详解】如图：长：10＋10＝20（厘米）（20×4＋20×4＋4×4）×2＝（80＋80＋16）×2＝176×2＝352（平方厘米）答：搭成大长方体的最大表面积是352平方厘米。【点睛】本题考查长方体表面积公式的运用，明确用两个长方体搭成一个大长方体，让两个长方体中面积最小的两个面重合，搭成的大长方体表面积最大。15．用6块如图所示（长3cm，宽2cm，高1cm）的长方体木块拼成一个大长方体，有多种拼法，其中表面积最小的是多少平方厘米？

【答案】66平方厘米【分析】根据题意，要使拼成的长方体表面积最小，则6个小长方体接触的面积最多，且重叠面的面积尽可能大。据此解答即可。【详解】根据分析，表面积最小时，长方体的拼法如下图：

此时，拼成的大长方体长3厘米，宽（2＋2）厘米，高（1＋1＋1）厘米。2＋2＝4（厘米）1＋1＋1＝3（厘米）表面积为：（3×4＋3×3＋4×4）×2＝（12＋9＋12）×2＝33×2＝66（平方厘米）答：表面积最小的是66平方厘米。【点睛】本题考查长方体的表面积，解题关键在于构造新长方体的摆放方式。16．如图，把一个长、宽、高分别为12厘米、7厘米、9厘米的长方体木块沿着一个方向锯开，能够得到两个小一些的长方体木块。怎样锯才能使得到的两个小长方体木块的表面积之和最小？请在图中画一画，并求出锯开后的两个小长方体木块的表面积之和。【答案】图见详解；636平方厘米【分析】以大长方体的宽和高为锯开面的长和宽，增加的表面积最小。据此，先求出大长方体的表面积，再加上两个锯开面的面积，即可求出锯开后的两个小长方体木块的表面积之和。【详解】如图：

（12×9＋12×7＋9×7）×2＋9×7×2＝（108＋84＋63）×2＋126＝255×2＋126＝510＋126＝636（平方厘米）答：锯开后的两个小长方体木块的表面积之和是636平方厘米。【点睛】本题考查了长方体的表面积，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。17．一个正方体，它的高增加2厘米后就成了长方体，这个长方体的表面积比原正方体表面积增加了96平方厘米，求原正方体的表面积。【答案】864平方厘米【分析】一个正方体如果它的高增加2厘米，就变成了长方体，表面积比原来增加96平方厘米，它的底面积没变，增加的是4个侧面的面积，增加部分每个面的面积是：96÷4＝24平方厘米，用24除以2就可以求出原来正方体的棱长；再根据：正方体的表面积＝6a2，将数据代入公式计算即可。【详解】96÷4÷2＝24÷2＝12（厘