2023-2024学年北京通州区高一（下）期中数学试卷和答案

高中PAGE1试题2023-2024学年北京市通州区高一（下）期中数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．（4分）在复平面内，复数z＝i•（2﹣i）对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（4分）如图，四边形ABCD是菱形，下列结论正确的是（）A．AB→=CD→ B．AC→=3．（4分）已知向量a→=（m，3），b→=（﹣3，1）．若a→A．﹣9 B．9 C．1 D．﹣14．（4分）为了解学生们的视力状况，某学校决定采用分层抽样的方法，从高一、高二、高三三个年级共抽取100人进行调查．已知高三年级有200人，高二年级有240人，高一年级有360人，则高三年级抽取的人数为（）A．20 B．25 C．30 D．455．（4分）已知样本数据为x1、x2、x3、x4、x5、x6、x7，去掉一个最大值和一个最小值后的数据与原来的数据相比，下列数字特征一定不变的是（）A．极差 B．平均数 C．中位数 D．方差6．（4分）已知a→，b→，A．若|a→|＝|b→|，则a→=±b→ B．若|a→+C．若a→•b→=a→•c→，则b→=c→ D．若a→7．（4分）已知两个单位向量a→，b→满足|2a→+b→|A．π6 B．π4 C．π38．（4分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“A＞B”是“asinA＞bsinB”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件9．（4分）如图，在△ABC中，D是AB的中点，E是BC延长线上一点，且BE＝2BC，若DE→=λAB→+μA．−12 B．12 10．（4分）如图，为了测量河对岸的塔高AB，选取与塔底B在同一水平面内的两个观测点C和D，测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD长a米，并在C处测得塔顶A的仰角为γ，则塔高AB＝（）米．A．a⋅sin(α+β)tanγsinβ B．a⋅sinγC．a⋅sin(α+β)sinβtanγ D．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11．（5分）若复数z＝（a﹣1）+i为纯虚数，则实数a＝．12．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C=π6，a=3，b＝1，则c＝，△ABC13．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，则AE→•BD→14．（5分）如图是李明3月1日至10日记录的一分钟跳绳次数折线图，由图判断从第天开始，连续三天的跳绳次数方差最大．15．（5分）已知平面向量a→，b→，c→，正实数t，满足|a→|＝4，a→与b→的夹角为2π3，且a三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16．（12分）若复数z满足（1﹣i）•z＝3+i，其中i为虚数单位，其共轭复数为z．（Ⅰ）求复数z和|z|；（Ⅱ）若z⋅z=a+bi，（a，b∈R），求实数a，17．（14分）已知向量a→=（﹣1，1），b→（Ⅰ）求a→•b（Ⅱ）求a→与b→夹角（Ⅲ）若向量ka→+b→与18．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，B=2π3，b=（Ⅰ）求sinC；（Ⅱ）若c＝1，D为AC边上的中点，求边长a及中线BD的长．19．（15分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB=3（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若a＝2，求△ABC周长的最大值．20．（15分）对某校高一学生参加志愿服务次数进行统计，随机抽取n名学生作为样本，得到这n名学生参加志愿服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图．分组频数频率[10，15）150.3[15，20）25p[20，25）mq[25，30]40.08合计n1（Ⅰ）请补全表格，并求出图中a的值；（Ⅱ）若该校高一年级学生有400人，试估计该校高一年级学生参加志愿服务的次数在区间[10，20）上的人数；（Ⅲ）试估计该校高一年级学生参加志愿服务次数的中位数和平均数（每组次数用中间值代替）．21．（15分）甲、乙、丙三人进行5轮的投篮比赛，每轮各投10次，其成绩（命中次数）如下：甲投中次数66878乙投中次数65a46丙投中次数x1x2x3x4x5（Ⅰ）若乙比甲平均少投中2次，求a的值，甲和乙投中次数的方差分别为s12和s22，试比较（Ⅱ）若投中一球计三分，丙平均得分为21分，方差为27，且每轮得分互不相同，可否求出丙在比赛中的最高得分，并说明理由．

2023-2024学年北京市通州区高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析题号12345678910答案ACABCBCCBD一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．（4分）在复平面内，复数z＝i•（2﹣i）对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】利用复数代数形式的乘法运算求出z的坐标得答案．【解答】解：∵z＝i•（2﹣i）＝1+2i，∴在复平面内，复数z＝i•（2﹣i）对应的点的坐标为（1，2），在第一象限．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2．（4分）如图，四边形ABCD是菱形，下列结论正确的是（）A．AB→=CD→ B．AC→=【分析】根据向量的性质和运算判断即可．【解答】解：因为四边形ABCD是菱形，所以AB→=DCAC→向量和BD→向量不共线，故因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，所以AC→⋅BD根据平行四边形法则可知，AB→+AD故选：C．【点评】本题主要考查平面向量的性质和运算，属于基础题．3．（4分）已知向量a→=（m，3），b→=（﹣3，1）．若a→A．﹣9 B．9 C．1 D．﹣1【分析】根据已知条件，结合向量平行的性质，即可求解．【解答】解：向量a→=（m，3），b→=（﹣3，1），则1×m＝（﹣3）×3，解得m＝﹣9．故选：A．【点评】本题主要考查向量平行的性质，属于基础题．4．（4分）为了解学生们的视力状况，某学校决定采用分层抽样的方法，从高一、高二、高三三个年级共抽取100人进行调查．已知高三年级有200人，高二年级有240人，高一年级有360人，则高三年级抽取的人数为（）A．20 B．25 C．30 D．45【分析】根据分层抽样的定义求解．【解答】解：由分层抽样的定义可知，高三年级抽取的人数为100×200故选：B．【点评】本题主要考查了分层抽样的定义，属于基础题．5．（4分）已知样本数据为x1、x2、x3、x4、x5、x6、x7，去掉一个最大值和一个最小值后的数据与原来的数据相比，下列数字特征一定不变的是（）A．极差 B．平均数 C．中位数 D．方差【分析】根据极差、平均数、中位数和方差的定义判断．【解答】解：根据题意，将7个数据从小到大排列，去掉一个最高分和一个最低分，得到5个有效评分，原始数据和有效评分相比，最中间的数没有发生改变，所以中位数不改变，而极差、平均数和方差都有可能发生改变．故选：C．【点评】本题主要考查了数据的数字特征，属于基础题．6．（4分）已知a→，b→，A．若|a→|＝|b→|，则a→=±b→ B．若|a→+C．若a→•b→=a→•c→，则b→=c→ D．若a→【分析】通过举反例及向量数量积的计算依次对每一选项进行判断．【解答】解：对于A，设a→=(1，0)，b→=(0，1)，则|a→|＝|b→|，但对于B，因为|a→+b→|＝|a→所以a→⋅b→=0，又a→，对于C，设a→=(1，1)，b→=(1，0)，c→=(0，1)，则对于D，当a→与b→反向时，则a→•b→=−|a故选：B．【点评】本题考查了平面向量的概念及数量积运算，属于基础题．7．（4分）已知两个单位向量a→，b→满足|2a→+b→|A．π6 B．π4 C．π3【分析】利用向量的数量积公式求解即可．【解答】解：设a→，b→的夹角为∵|a→|＝|b→|＝1，|2a→∴（2a→+b→）2＝4a→2+b→2+4a→b∴cosθ=1又∵θ∈[0，π]，∴θ=π故选：C．【点评】本题考查向量夹角的求法，涉及向量数量积的计算，属于基础题．8．（4分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“A＞B”是“asinA＞bsinB”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】直接利用正弦定理求出结果．【解答】解：利用正弦定理：asinA＞bsinB⇔a2＞b2，故a＞b⇔A＞B．故选：C．【点评】本题考查的知识点：正弦定理，主要考查学生的运算能力，属于基础题．9．（4分）如图，在△ABC中，D是AB的中点，E是BC延长线上一点，且BE＝2BC，若DE→=λAB→+μA．−12 B．12 【分析】由已知结合向量的线性运算及平面向量基本定理即可求解．【解答】解：由题意得，DE→=DB→+BE＝2AC→若DE→=λAB→+μAC所以λ+μ=1故选：B．【点评】本题主要考查了向量的线性运算及平面向量基本定理的应用，属于基础题．10．（4分）如图，为了测量河对岸的塔高AB，选取与塔底B在同一水平面内的两个观测点C和D，测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD长a米，并在C处测得塔顶A的仰角为γ，则塔高AB＝（）米．A．a⋅sin(α+β)tanγsinβ B．a⋅sinγC．a⋅sin(α+β)sinβtanγ D．【分析】由题意及正弦定理可得BC的值，再在Rt△ABC中，可得AB的值．【解答】解：因为∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD长a米，可得∠CBD＝π﹣（α+β），所以sin∠CBD＝sin[π﹣（α+β）]＝sin（α+β），在△BCD中，由正弦定理可得：BCsin∠BDC所以BC=sinβsin(α+β)•在Rt△ABC中，AB＝CD•tanγ=a⋅sinβtanγ故选：D．【点评】本题考查正弦定理及直角三角形的性质的应用，属于基础题．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11．（5分）若复数z＝（a﹣1）+i为纯虚数，则实数a＝1．【分析】根据已知条件，结合纯虚数的定义，即可求解．【解答】解：复数z＝（a﹣1）+i为纯虚数，则a﹣1＝0，解得a＝1．故答案为：1．【点评】本题主要考查纯虚数的定义，属于基础题．12．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C=π6，a=3，b＝1，则c＝1，△ABC的面积为【分析】直接利用余弦定理和三角形的面积公式求出结果．【解答】解：利用余弦定理：c2故c＝1；利用三角形的面积公式S△ABC故答案为：1；34【点评】本题考查的知识点：余弦定理，三角形的面积公式，主要考查学生的运算能力，属于基础题．13．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，则AE→•BD→【分析】根据两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，可得要求的式子为（AD→+1【解答】解：∵已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AB→•AD故AE→•BD→=（AD→+DE→=AD→2−AD→•AB→+故答案为2．【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，向量的数量积的运算，两个向量垂直的性质，属于中档题．14．（5分）如图是李明3月1日至10日记录的一分钟跳绳次数折线图，由图判断从第4天开始，连续三天的跳绳次数方差最大．【分析】根据方差的意义求解．【解答】解：由图可知，从第4天开始连续三天的跳绳次数分别是193，194，197，此时数据的波动最大，因此方差也最大．故答案为：4．【点评】本题主要考查了方差的意义，属于基础题．15．（5分）已知平面向量a→，b→，c→，正实数t，满足|a→|＝4，a→与b→的夹角为2π3，且a→+【分析】先移项得到−c【解答】解：因为a→+tb→所以|c所以|c→|故答案为：23．【点评】本题主要考查平面向量的数量积，属于中档题．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16．（12分）若复数z满足（1﹣i）•z＝3+i，其中i为虚数单位，其共轭复数为z．（Ⅰ）求复数z和|z|；（Ⅱ）若z⋅z=a+bi，（a，b∈R），求实数a，【分析】（Ⅰ）根据复数的运算化简z，可得z的模长；（Ⅱ）求出z的共轭复数，进而可得a，b．【解答】解：（Ⅰ）由题意，z=3+i1−i=|z|=1+4（Ⅱ）z=1﹣2i，z•z=（1+2i）（1﹣2则a＝5，b＝0．【点评】本题考查复数的运算及共轭复数的概念，属于基础题．17．（14分）已知向量a→=（﹣1，1），b→（Ⅰ）求a→•b（Ⅱ）求a→与b→夹角（Ⅲ）若向量ka→+b→与【分析】（Ⅰ）由向量数量积的坐标表示计算即可；（Ⅱ）由向量夹角公式计算即可；（Ⅲ）由向量垂直的坐标表示计算即可．【解答】解：（Ⅰ）因为a→=（﹣1，1），b→（Ⅱ）cosθ=aa→与b→夹角θ的余弦值为（Ⅲ）ka→+且向量ka→+b→与c→所以k＝﹣6．【点评】本题考查了平面向量数量积的坐标表示，考查了向量垂直的坐标表示，属于基础题．18．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，B=2π3，b=（Ⅰ）求sinC；（Ⅱ）若c＝1，D为AC边上的中点，求边长a及中线BD的长．【分析】（Ⅰ）由正弦定理可得sinC的值；（Ⅱ）由c的值，可得b的值，由余弦定理可得a的值，求出向量BD→的表达式，进而求出BD【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理可得bsinB即7csin2π3（Ⅱ）c＝1，所以b=7由余弦定理可得b2＝a2+c2﹣2accosB，即7＝a2+1﹣2a•1•（−1整理可得a2+a﹣6＝0，解得a＝2或a＝﹣3（舍），即a的值为2；因为BD是中线，所以BD→=1所以|BD→|2=14（BA→2+BC→2+2BA→•BC→）=14（BA所以|BD→|=即BD=3【点评】本题考查正弦定理及余弦定理的应用，用向量的方法求中线的大小，属于中档题．19．（15分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB=3（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若a＝2，求△ABC周长的最大值．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知等式可求得tanA的值，由A的范围求出角A的大小；（Ⅱ）根据条件和正弦定理表示出b+c，再由正弦函数的性质求出b+c的最大值，即可求出△ABC的周长最大值．【解答】解：（Ⅰ）依正弦定理可将asinB=3bcosA，化为：因为在△ABC中，sinB＞0，所以sinA=3cosA，即因为0＜A＜π，所以A=π（Ⅱ）因为a+b+c＝2+b+c，所以当b+c最大时，△ABC的周长最大，因为asinA所以b+c=433（sinB=433[sinB=433（sinB+sin2π3cosB﹣cos=433（32sinB＝4sin（B+π因为0＜B＜2π3，当B=π3时，4sin（B+π所以△ABC周长的最大值为6．【点评】本题考查正弦定理、余弦定理，两角和与差的正弦函数以及正弦函数的性质，属于中档题．20．（15分）对某校高一学生参加志愿服务次数进行统计，随机抽取n名学生作为样本，得到这n名学生参加志愿服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图．分组频数频率[10，15）150.3[15，20）25p[20，25）mq[25，30]40.08合计n1（Ⅰ）请补全表格，并求出图中a的值；（Ⅱ）若该校高一年级学生有400人，试估计该校高一年级学生参加志愿服务的次数在区间[10，20）上的人数；（Ⅲ）试估计该校高一年级学生参加志愿服务次数的中位数和平均数（每组次数用中间值代替）．【分析】（Ⅰ）利用频数与频率的关系求解m，n，p，q，利用频率分布直方图能求出a的值；（Ⅱ）利用频数分布表能估计该校高一年级学生参加志愿服务的次数在区间[10，20）上的人数；（Ⅲ）先求出[10，15）的频率为0.3，[10，20）的频率为0.3+0.5＝0.8，由此能估计该校高一年级学生参加志愿服务次数的中位数；利用频数分布表能求出平均数．【解答】解：（Ⅰ）∵[10，15）的频数为15，频率为0.3，∴n=150.3=50，m＝50﹣15﹣25﹣4＝6，q=6∴频数分布表为：分组频数频率[10，15）150.3[15，20）250.5[20，25）60.12[25，30]40.08合计501图中a=0.5（Ⅱ）该校高一年级学生有400人，估计该校高一年级学生参加志愿服务的次数在区间[10，20）上的人数为400×（0.3+0.5）＝320；（Ⅲ）[10，15）的频率为0.3，[10，20）的频率为0.3+0.5＝0.8，∴估计该校高一年级学生参加志愿服务次数的中位数为：15+0.5−0.3平均数为：x=【点评】本