华师大版2024-2025学年七年级（下）月考数学培优试卷 （含解析）

华东师大版2024-2025学年七年级（下）月考数学培优模拟练习卷时间：120分钟满分：120分范围：第5~8章一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（24-25七年级·重庆万州·阶段练习）若不论k取什么数，关于x的方程2kx+m3−x−nk6=1（m、n是常数）的解总是x=1A．−0.5 B．−1.5 C．0.5 D．152．（3分）（24-25七年级·福建福州·期末）已知a、b、c满足3a+2b−4c=6，2a+b−3c=1，且a、b、c都为正数．设y=3a+b−2c，则y的取值范围为（

）A．3<y<24 B．0<y<3 C．0<y<24 D．y<243．（3分）（24-25七年级·江苏南通·阶段练习）商店里有A、B、C三种商品，单价分别为50元，30元，10元．若田同学购买了其中两种商品，共花费140元，则田同学的购买方案有（

）种A．3 B．7 C．10 D．124．（3分）（24-25七年级·辽宁·专题练习）已知关于x的不等式组3x−m>0x−1<5有四个整数解，则m的取值范围是（

A．6≤m<9 B．6<m≤9 C．6<m<9 D．6≤m≤95．（3分）（24-25七年级·江苏南京·阶段练习）如图，在△ABC中，D是AB中点，E是BC边上一点，且BE＝4EC，CD与AE交于点F，连接BF．若四边形BEFD的面积是14，则△ABC的面积是（

）A．28 B．32 C．30 D．296．（3分）（24-25七年级·浙江·专题练习）一个多边形的内角和与它的一个外角的和为570°，则这个多边形的边数为（

）A．5 B．6 C．7 D．87．（3分）（24-25七年级·湖北黄石·期末）若关于x的不等式ax−b>0的解集为x<13，则关于x的不等式(a+b)x>b−a的解集是（A．x<−12 B．x<12 C．8．（3分）（24-25七年级·浙江舟山·期末）若方程组a1x+b1y=c1A．x=−1y=1 B．x=−1y=−1 C．x=59．（3分）（24-25七年级·江苏宿迁·期中）幻方是中国古代传统游戏，多见于官府、学堂．如图有一个类似于幻方的“如圆”，将−2，−4，−6，0，3，5，7，9分别填入图中的圈内，使横、竖，以及内、外圈上的4个数字之和都相等．现已完成了部分填数，则图中x+y的值是（）A．−6 B．5 C．−10 D．5或−1010．（3分）（24-25七年级·浙江杭州·期中）如图，在△ABC，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于G，交BC于H，下列结论：①∠DBE=∠F；②2∠BEF=∠BAF+∠C；③∠F=12(∠BAC−∠C)A．②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（24-25七年级·安徽合肥·学业考试）设[x]表示不超过x的最大整数(例如：[2]=2,[1.25]=1)，则方程3x−2[x]+4=0的解为．12．（3分）（24-25七年级·安徽合肥·专题练习）已知关于a,b的方程组a−b=1+3ma+3b=−15−5m，a为负数，b为非正数．若m为整数，则当m=时，不等式2mx−3>2m−3x的解集为x<113．（3分）（24-25七年级·安徽安庆·阶段练习）已知等腰三角形的三边长分别为13，10−x,x+6，则该等腰三角形的底边长为．14．（3分）（24-25七年级·重庆九龙坡·阶段练习）一个正五边形与一个正六边形按如图所示方式放置，若AB、AC分别平分正五边形与正六边形的一个内角，则∠BAC的度数为．15．（3分）（2025·陕西咸阳·模拟预测）某市举行了一次无人机表演大赛，参赛者勇勇让自己的微型无人机上升到一定高度时，开始按照如图所示的程序框图在空中完成表演，从开始表演到结束表演，勇勇的无人机飞行的总路程是米．16．（3分）（24-25七年级·安徽合肥·专题练习）如图，AB∥CD，E是线段AB上一点，F是线段DE的延长线上一点，∠ABF的平分线BG交EF于点G，交线段DA的延长线于点I，过点D作DH⊥BG于点H．且∠ADC=2∠ADE．下列结论：①2∠BED=3∠BAD；②∠CDH−∠ABG=90°；③∠F+∠ADF=2∠I；④若∠FDH=55°，则∠F+∠ADF=35°．正确结论的序号是．三．解答题（共8小题，满分72分）17．（6分）（24-25七年级·河南周口·期中）如图，有一根长度为18cm的木条，从两端各截取长度为x(1)若得到的三根木条能组成等边三角形，求x的值；(2)若得到的三根木条能组成三角形，写出x的取值范围．18．（6分）（24-25七年级·安徽亳州·阶段练习）某超市销售A，B两种型号的篮球，已知采购3个A型篮球和2个B型篮球需要220元，采购1个A型篮球和4个B型篮球需要290元．(1)该超市采购1个A型篮球和1个B型篮球分别需要多少元？(2)若该超市准备采购50个这两种型号的篮球，总费用不超过2550元，则最多可采购B型篮球多少个？(3)在（2）的条件下，若该超市以每个A型篮球58元和每个B型篮球98元的价格销售完采购的篮球，能否实现利润不少于1540元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．19．（8分）（24-25七年级·北京·阶段练习）在平面内，对于∠P和∠Q，给出如下定义：若存在一个常数tt>0，使得∠P+t∠Q=180°，则称∠Q是∠P的“t系数补角”．例如，∠P=80°，∠Q=20°，有∠P+5∠Q=180°，则∠Q是∠P(1)若∠P=90°，在∠1=60°，∠2=45°，∠3=30°中，∠P的“3系数补角”是______；(2)在平面内，AB∥CD，点E为直线AB上一点，点F为直线CD上一点．如图，点G为平面内一点，连接GE，GF，∠DFG=50°，若∠BEG是∠EGF的“6系数补角”，求∠BEG的大小．20．（8分）（24-25七年级·北京·期中）若不等式只有n个正整数解（n为自然数），则称这个不等式为n阶不等式．我们规定：当n=0时，这个不等式为0阶不等式．例如：不等式x+1<6只有4个正整数解，因此称其为4阶不等式．不等式2<x+1<6有3个正整数解，因此称其为3阶不等式．请根据定义完成下列问题：(1)x<12是阶不等式；−3<−x+1<1是(2)若关于x的不等式1≤x<a是4阶不等式，a的取值范围为；(3)关于x的不等式n≤x<m的正整数解有a1，a2，a3，a4，…，其中a1<a2<a3<a4<…．如果n≤x<m21．（10分）（24-25七年级·安徽淮北·期中）计算：如图1，已知∠A=45°，∠DBC=85°，求∠ECB的度数．归纳：∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，∠A与∠DBC+∠ECB之间的数量关系为__________________，并给予证明．应用：如图2，在△ABC纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE．若∠2=125°，则∠1−∠C=_______________．拓展：如图3，在四边形ABCD中，BP，CP分别平分外角∠EBC，∠FCB，设∠A+∠D=α0°<α<360°①试说明∠P与α的数量关系；②根据α值的情况，请直接判断△BPC的形状（按角分类）．22．（10分）（24-25七年级·安徽合肥·期中）小东在学习中遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，CE平分∠ACB，BE平分外角∠ABD．猜想∠E与∠A的数量关系．

(1)小东阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入∠A的值求∠E的值，①如果∠A=50°，则∠E的度数为_____；如果∠A=130°，则∠E的度数为_____．②请猜想∠A与∠E的数量关系，并说明理由．(2)小东继续探究，如图2，在四边形ABCD中，CF平分∠BCD，且与四边形ABCD的外角∠ABE的平分线BF交于点F．若∠A=80°，∠D=130°，则∠F的度数为_____．(3)小东又思考，改变∠BAD，∠D的大小，如图3，在四边形ABCD中，四边形的内角∠BCD的角平分线所在的直线与外角∠ABE的角平分线所在的直线相交于点F，若∠BAD=α，∠D=β，则∠F可表示为_____．（请用含α、β的表达式表示）23．（12分）（24-25七年级·北京·期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程x−1=3的解为x=4，而不等式组x−1>1x−2<3的解集为2<x<5，不难发现x=4在2<x<5的范围内，所以方程x−1=3是不等式组x−1>1(1)在方程①6x+2−x+4=23：②9x−3=0；③(2)若关于x的方程3x−k=6是不等式组3x+12>x①(3)若关于x的方程x−4m2=−2是关于x的不等式组2x+3>m①24．（12分）（24-25七年级·福建泉州·期末）如图，直线AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F,∠AEF=50°，G是直线CD上的动点（不与F重合），以E为直角顶点作直角三角形EGH，且∠EGH=30°，点H在直线EF右侧，记(1)当点G在点F右侧时，若∠AEF=2∠FEG，求α的度数；(2)在点G运动过程中，若射线EA、EF、EG满足其中一条射线平分另外两条射线所构成的角时，求α的度数；(3)已知∠EFD的平分线和∠EGD的平分线交于点M，当点G在运动过程中，且满足点H在直线AB和CD之间，∠M和∠BEH之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．华东师大版2024-2025学年七年级（下）月考数学培优试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（24-25七年级·重庆万州·阶段练习）若不论k取什么数，关于x的方程2kx+m3−x−nk6=1（m、n是常数）的解总是x=1A．−0.5 B．−1.5 C．0.5 D．15【答案】C【分析】先把x=1代入方程2kx+m3−x−nk6=1，整理成关于k本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握方程有无数解的基本条件是解题的关键．【详解】解：∵2kx+m3∴4kx+2m−x+nk=6，∴4x+nk=6+x−2m∵不论k取什么数，关于x的方程2kx+m3−x−nk6=1（m∴4+nk=7−2m∴4+n=0,7−2m=0，∴n=−4,m=3.5，∴m+n=−4+3.5=−0.5，故选：C．2．（3分）（24-25七年级·福建福州·期末）已知a、b、c满足3a+2b−4c=6，2a+b−3c=1，且a、b、c都为正数．设y=3a+b−2c，则y的取值范围为（

）A．3<y<24 B．0<y<3 C．0<y<24 D．y<24【答案】A【分析】把c当作常数解方程组，再代入y，根据a、b、c都为正数，求出c的取值范围，从而求解．【详解】解：∵3a+2b−4c=6，2a+b−3c=1，∴a=2c−4，b=9−c，∴y=3a+b−2c=3(2c−4)+9−c+2c=3c−3，∵a、b、c都为正数，∴2c−4>09−c>0∴2<c<9，∴3<3c−3<24，∴3<y<24．故选：A．【点睛】本题是不定方程和不等式组的综合题是一道难度不小的综合题，求出c的取值范围是解题的关键．3．（3分）（24-25七年级·江苏南通·阶段练习）商店里有A、B、C三种商品，单价分别为50元，30元，10元．若田同学购买了其中两种商品，共花费140元，则田同学的购买方案有（

）种A．3 B．7 C．10 D．12【答案】B【分析】需要分类讨论：若购买A、B两种商品分别为x、y件；若购买A、C两种商品分别为a、b件；若购买B、C两种商品分别为m、n件；列出方程求其正整数解即可.【详解】解：①若购买A、B两种商品分别为x、y件，根据题意得：50x+30y=140，∵x、y都是正整数，∴x=1y=3②若购买A、C两种商品分别为a、b件，根据题意得：50a+10b=140，∵a、b都是正整数，∴a=1b=9或a=2③若购买B、C两种商品分别为m、n件，根据题意得：30m+10n=140，∵m、n都是正整数，∴m=4n=2或m=3n=5或m=2n=8综上，小明的购买方案有7种；故选：B.【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，解题的难点在于挖掘题目中的数量关系，列出二元一次方程，然后根据未知数的实际意义求其正整数解.4．（3分）（24-25七年级·辽宁·专题练习）已知关于x的不等式组3x−m>0x−1<5有四个整数解，则m的取值范围是（

A．6≤m<9 B．6<m≤9 C．6<m<9 D．6≤m≤9【答案】A【分析】解不等式组的两个不等式，根据其整数解的个数得出2≤m本题主要考查不等式组的整数解问题，根据不等式组的整数解的个数得出关于m的不等式组是解题的关键．【详解】解：解不等式3x−m>0，得：x>m解不等式x−1≤5，得：x≤6，∵不等式组有4个整数解，∴2≤m解得：6≤m<9．故选：A．5．（3分）（24-25七年级·江苏南京·阶段练习）如图，在△ABC中，D是AB中点，E是BC边上一点，且BE＝4EC，CD与AE交于点F，连接BF．若四边形BEFD的面积是14，则△ABC的面积是（

）A．28 B．32 C．30 D．29【答案】C【分析】根据三角形的高相等时，三角形面积之比等于底边边长之比，来计算．设△EFC的面积为a，△AFC的面积为b，则△AEC的面积为a+b，根据BE=4EC，D为AB中点，找到相关等量关系，列出关于a、b的二元一次方程组，解方程即可求解．【详解】设△EFC的面积为a，△AFC的面积为b，则△AEC的面积为a+b，∵BE=4EC，∴根据三角形的高相等时，三角形面积之比等于底边边长之比，有：S△BEF=4S∴S△BAF∵D为AB中点，∴S△BDF=S∵S△BDC=S∴3b=2b+5a，即b=5a，∵四边形BEFD面积为14，∴S四边形∴b=5a2b+4a=14，解得a=1∵△ABC的面积为S△ABC∴S△ABC故选：C．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组在几何问题中的应用，根据三角形的高相等时，三角形面积之比等于底边边长之比，确定等量关系是解答本题的关键．6．（3分）（24-25七年级·浙江·专题练习）一个多边形的内角和与它的一个外角的和为570°，则这个多边形的边数为（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【分析】本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的特征，还需要懂得挖掘此题隐含着边数为正整数这个条件．本题既可用整式方程求解，也可用不等式确定范围后求解．【详解】解法1：设边数为n，这个外角为x度，则0<x<180根据题意，得n−2解得：n=930−x∵n为正整数，∴930−x必为180的倍数，又∵0<x<180，∴n=5．解法2：∵0<x<180．∴570−180<570−x<570，即390<570−x<570．又∵n−2180°=570−x∴390<n−2解之得4.2<n<5.2．∵边数n为正整数，∴n=5．故选A．7．（3分）（24-25七年级·湖北黄石·期末）若关于x的不等式ax−b>0的解集为x<13，则关于x的不等式(a+b)x>b−a的解集是（A．x<−12 B．x<12 C．【答案】A【分析】本题主要考查了含参不等式的求解，根据一元一次不等式的基本性质得到a与b的比值以及a<0，b<0的结论，设b=m，【详解】解：由ax−b>0得：ax>b，∵不等式ax−b>0的解集是x<1∴ba设b=m,a=3m(m<0),则b−a=−2m,a+b=4m<0,∴(a+b)x>b−a的解集是x<b−a即x<−1故选：A．8．（3分）（24-25七年级·浙江舟山·期末）若方程组a1x+b1y=c1A．x=−1y=1 B．x=−1y=−1 C．x=5【答案】A【分析】将3a1x+2b1y=a1−c1【详解】解：将3a1x+2设-3x+1=x’，-2y=y’，则原方程变形为：a1因为方程组a1x+b所以−3x+1=4−2y=−2，解得：x=−1所以方程组3a1x+2故选：A．【点睛】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解与二元一次方程组的关系是解题的关键．9．（3分）（24-25七年级·江苏宿迁·期中）幻方是中国古代传统游戏，多见于官府、学堂．如图有一个类似于幻方的“如圆”，将−2，−4，−6，0，3，5，7，9分别填入图中的圈内，使横、竖，以及内、外圈上的4个数字之和都相等．现已完成了部分填数，则图中x+y的值是（）A．−6 B．5 C．−10 D．5或−10【答案】D【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用和有理数的四则混合运算，由横、竖，以及内、外两圈上的4个数字之和都相等，可列出关于y的一元一次方程，解之可得出y的值，结合横、竖两列的数相等及八个数分别为−2,−4,−6,0,3,5,7,9,可求出内圆上最左边的数，结合八个空填写不同的八个数，可得出x的值，再将其代入x+y中，即可求出结论，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解决此题的关键．【详解】解：根据题意得：0+5+3=y+5+7,解得：y=−4,∵又∵横、竖以及内、外两圈上的4个数字之和都相等，且这8个数总和为12，∴横、竖以及内、外两圈上的4个数字之和为12÷2=6，∴6−0−5−3=−2,∴在”幻圆”中填上部分数，如图所示：∴x可以为−6或9，当x=−6时，x+y=−6−4=−10，当x=9时，x+y=9−4=5，∴x+y的值为−10或5，故选：D．10．（3分）（24-25七年级·浙江杭州·期中）如图，在△ABC，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于G，交BC于H，下列结论：①∠DBE=∠F；②2∠BEF=∠BAF+∠C；③∠F=12(∠BAC−∠C)A．②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【答案】D【分析】本题考查了余角性质，三角形的角平分线和高，三角形外角的性质，根据等角的余角相等可证明结论①；根据角平分线的定义可证明结论②；证明∠DBE=∠BAC=∠C=∠DBE，再结合①的结论可证明结论③；证明∠AEB=∠ABE+∠C，再由BD⊥FC，FH⊥BE，可以证明结论④，正确识图是解题的关键．【详解】解：如图，设BE交FH于点J，①∵BD⊥FD，∴∠FGD+∠F=90°，∵FH⊥BE，∴∠BGJ+∠DBE=90°，∵∠FGD=∠BGJ，∴∠DBE=∠F，故①正确；②∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE=1∵∠BEF=∠CBE+∠C，∴2∠BEF=2∠CBE+2∠C=∠ABC+2∠C，∵∠BAF=∠ABC+∠C，∴2∠BEF=∠BAF+∠C，故②正确；③∵∠ABD=90°−∠BAC，∠ABE=∠CBD−∠DBE，∴∠DBE=∠ABE−∠ABD=∠CBD−∠DBE−90°+∠BAC，∴2∠DBE=∠CBD−90°+∠BAC，∵∠CBD=90°−∠C，∴2∠DBE=∠BAC−∠C，∴∠DBE=1由①得，∠DBE=∠F，∴∠F=1④∵∠AEB=∠EBC+∠C，∠ABE=∠EBC，∴∠AEB=∠ABE+∠C，∵BD⊥FC，FH⊥BE，∴∠FGD=∠BGH=∠FEB，∴∠BGH=∠ABE+∠C，故④正确；∴正确的序号是①②③④，故选：D．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（24-25七年级·安徽合肥·学业考试）设[x]表示不超过x的最大整数(例如：[2]=2,[1.25]=1)，则方程3x−2[x]+4=0的解为．【答案】−4或−143【分析】本题主要考查解一元一次方程与一元一次不等式组，解题的基本思路是设[x]=n，解一元一次方程，用含n的式子表示x，再根据新定义[x]，确定x的取值范围，进一步确定的取值范围，进而求解．【详解】令[x]=n(n为整数)，则原方程为3x−2n+4=0．∴x=2n−4∵[x]表示不超过x的最大整数∴[x]≤x<[x]+1，∴n≤2n−4解得−7<n≤−4，∴n=−4或−5或−6，分别将n的值代入x=2n−4x=−4或−143或故答案为：−4或−143或12．（3分）（24-25七年级·安徽合肥·专题练习）已知关于a,b的方程组a−b=1+3ma+3b=−15−5m，a为负数，b为非正数．若m为整数，则当m=时，不等式2mx−3>2m−3x的解集为x<1【答案】−2【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解一元一次不等式，解二元一次方程组，先解方程组可得a=m−3b=−2m−4，再由a为负数，b为非正数，求得−2≤m<3，再由不等式2mx−3>2m−3x的解集为x<1得到2m+3<0【详解】解：解方程组a−b=1+3ma+3b=−15−5m得a=m−3b=−2m−4因为a为负数，b为非正数，所以m−3<0−2m−4≤0解得−2≤m<3，因为2mx−3>2m−3x，所以2m+3x>2m+3要使不等式2mx−3>2m−3x的解集为x<1，必须2m+3<0，解得m<−3又因为−2≤m<3，且m为整数，所以m=−2．故答案为：−2．13．（3分）（24-25七年级·安徽安庆·阶段练习）已知等腰三角形的三边长分别为13，10−x,x+6，则该等腰三角形的底边长为．【答案】3或13【分析】本题考查了等腰三角形的定义以及三角形的三边关系，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能够组成三角形．分10−x=x+6，x+6=13和10−x=13三种情况分别求出x的值，从而确定出三角形的三边，再根据三角形的任意两边之和大于第三边进行判断，最后根据三角形的周长的定义即可求解．【详解】解：分以下三种情况：①当10−x=x+6，解得x=2，10−x=8，x+6=8，三角形的三边分别为8、8、13，8+8>13，∴此时能组成三角形；∴底边长为13；②x+6=13，解得x=7，10−x=3，三角形的三边分别为13、13、3，3+13>13，∴此时能组成三角形，底边为3；③10−x=13，解得x=−3，综上所述，该三角形的底边等于3或13．故答案为：3或1314．（3分）（24-25七年级·重庆九龙坡·阶段练习）一个正五边形与一个正六边形按如图所示方式放置，若AB、AC分别平分正五边形与正六边形的一个内角，则∠BAC的度数为．【答案】114°/114度【分析】本题考查了正多边形的内角计算，角的平分线的计算，熟练掌握正多边形的内角和是解题的关键；先计算正多边形的内角，再根据角平分线的定义计算即可．【详解】∵正五边形的内角为5−2×180°5=108°AB、AC分别平分正八边形与正六边形的内角，∴∠BAC=∠BAC+∠BAD=1故答案为：114°．15．（3分）（2025·陕西咸阳·模拟预测）某市举行了一次无人机表演大赛，参赛者勇勇让自己的微型无人机上升到一定高度时，开始按照如图所示的程序框图在空中完成表演，从开始表演到结束表演，勇勇的无人机飞行的总路程是米．【答案】60【分析】本题考查正多边形的性质与流程图，根据流程图得到路程是正多边形，根据外角得到边数，再求解即可得到答案．【详解】解：由流程图可得，无人家的飞行轨迹是正多边形，多边形外角为30°，∴边数为：360°30°∴无人机飞行的总路程是：12×5=60（米），故答案为：60．16．（3分）（24-25七年级·安徽合肥·专题练习）如图，AB∥CD，E是线段AB上一点，F是线段DE的延长线上一点，∠ABF的平分线BG交EF于点G，交线段DA的延长线于点I，过点D作DH⊥BG于点H．且∠ADC=2∠ADE．下列结论：①2∠BED=3∠BAD；②∠CDH−∠ABG=90°；③∠F+∠ADF=2∠I；④若∠FDH=55°，则∠F+∠ADF=35°．正确结论的序号是．【答案】①②③【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，三角形外角的性质，掌握平行线的性质及三角形外角的性质是解题的关键．根据平行线的性质及三角形外角的性质，垂直的定义，角平分线的定义对每一项判断即可解答．【详解】解：∵AB∥∴∠BAD=∠ADC，∵∠ADC=2∠ADE，∴∠ADE=1∵∠BED是△ADE的外角，∴∠BED=∠BAD+∠ADE=3∴2∠BED=3∠BAD，故①结论正确；如图，延长AB、DH交于点M，∴∠ABG=∠HBM∵AB∥∴∠CDH+∠M=180°，∴∠M=180°−∠CDH，∵DH⊥BG，∴∠BHM=∠GHD=90°，∴∠HBM+∠M=90°，∴∠ABG+180°−∠CDH=90°，∴∠CDH−∠ABG=90°，∴②结论正确；∵∠ADF=12∠BAD∴∠BED=∠BAD+∠ADF=3∠ADF，∵∠BED是△BEF的外角，∴3∠ADF=∠F+∠ABF，∴∠F+∠ADF=4∠ADF−∠ABF=4×1∵BI平分∠ABI，∴∠ABF=2∠ABI，∴∠F+∠ADF=2∠I，∴③结论正确；若∠FDH=55°，则∠DGH=90°−∠FDH=35°，∵∠DGH是△BGF的外角，∴∠F+∠FBG=∠DGH=35°，而∠ADF与∠FBG不一定相等，∴∠F+∠ADF=35°不一定成立，∴④不正确；综上所述，正确结论的序号是①②③，故答案为：①②③．三．解答题（共8小题，满分72分）17．（6分）（24-25七年级·河南周口·期中）如图，有一根长度为18cm的木条，从两端各截取长度为x(1)若得到的三根木条能组成等边三角形，求x的值；(2)若得到的三根木条能组成三角形，写出x的取值范围．【答案】(1)6(2)9【分析】本题考查了等边三角形的性质及三角形的三边关系的综合应用，能够熟练运用三角形三边关系列出不等式，并能够考虑多种情况下不等式的求解是解决本题的关键．（1）抓住等边三角形三条边相等的性质，通过简单的方程即可求解．（2）根据三角形三边关系，列出不等式，然后根据不同情况分别求解化简，最终得出x的取值范围即可．【详解】（1）解：根据题意可知：组成等边三角形的三条边分别为xcm、xcm、∵等边三角形的三条边相等．∴x=18−2x．解得：x=6．即x的值为6．（2）根据题意可知：组成三角形的三根木条长度分别为xcm、xcm、∵三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边．∴x+(18−2x)>xx−(18−2x)①当x−(18−2x)≥0，即x≥6时．则x+(18−2x)>xx−(18−2x)<x解得：x<9．∴6≤x<9．②当x−(18−2x)<0，即x<6时．则x+(18−2x)>x(18−2x)−x<x解得：92∴9综上所述：9218．（6分）（24-25七年级·安徽亳州·阶段练习）某超市销售A，B两种型号的篮球，已知采购3个A型篮球和2个B型篮球需要220元，采购1个A型篮球和4个B型篮球需要290元．(1)该超市采购1个A型篮球和1个B型篮球分别需要多少元？(2)若该超市准备采购50个这两种型号的篮球，总费用不超过2550元，则最多可采购B型篮球多少个？(3)在（2）的条件下，若该超市以每个A型篮球58元和每个B型篮球98元的价格销售完采购的篮球，能否实现利润不少于1540元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．【答案】(1)该超市采购1个A型篮球需要30元，1个B型篮球需要65元(2)最多可采购B型篮球30个(3)能，该超市共有3种采购方案．方案1：采购A型篮球22个，B型篮球28个；方案2：采购A型篮球21个，B型篮球29个；方案3：采购A型篮球20个，B型篮球30个．【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用：（1）设该超市采购1个A型篮球需要x元，1个B型篮球需要y元，根据采购3个A型篮球和2个B型篮球需要220元，采购1个A型篮球和4个B型篮球需要290元，列出方程组进行求解即可；（2）设采购B型篮球m个，则采购A型篮球50−m个，根据题意，列出不等式进行求解即可；（3）根据利润不少于1540元，列出不等式，求出m的范围，结合（2）中m的范围，即可得出结果．【详解】（1）解：设该超市采购1个A型篮球需要x元，1个B型篮球需要y元．根据题意，得3x+2y=220,解得x=30,y=65.答：该超市采购1个A型篮球需要30元，1个B型篮球需要65元．（2）设采购B型篮球m个，则采购A型篮球50−m个．根据题意，得3050−m解得m≤30，所以m的最大值为30．答：最多可采购B型篮球30个．（3）根据题意，得98−65m+解得m≥28．因为m≤30，且m为正整数，所以m可取28，29，30，所以能实现利润不少于1540元的目标，该超市共有3种采购方案．方案1：采购A型篮球22个，B型篮球28个；方案2：采购A型篮球21个，B型篮球29个；方案3：采购A型篮球20个，B型篮球30个．19．（8分）（24-25七年级·北京·阶段练习）在平面内，对于∠P和∠Q，给出如下定义：若存在一个常数tt>0，使得∠P+t∠Q=180°，则称∠Q是∠P的“t系数补角”．例如，∠P=80°，∠Q=20°，有∠P+5∠Q=180°，则∠Q是∠P(1)若∠P=90°，在∠1=60°，∠2=45°，∠3=30°中，∠P的“3系数补角”是______；(2)在平面内，AB∥CD，点E为直线AB上一点，点F为直线CD上一点．如图，点G为平面内一点，连接GE，GF，∠DFG=50°，若∠BEG是∠EGF的“6系数补角”，求∠BEG的大小．【答案】(1)∠3(2)∠BEG是26°或1307【分析】此题考查了平行线的性质、二元一次方程组的应等知识，理解新定义的含义是解题的关键．（1）设∠P的“3系数补角”是x，根据题意可得90°+3x=180°，解方程即可得到答案；（2）设∠BEG=m，∠EGF=n，再根据G的位置，结合m<30，再建立方程组，解方程组即可得到答案；【详解】（1）解：设∠P的“3系数补角”是x，∵∠P=90°，∴∠P+3x=180°，即90°+3x=180°，解得x=30°，∴∠P的“3系数补角”是∠3=30°；故答案为：∠3（2）解：设∠BEG=m，∠EGF=n，如图，设AB与GF相交于点H，

∵AB∥CD，∴∠BHG=∠DFG=50°，∵∠G+∠GEH+∠EHG=180°=∠EHG+∠BHG，∴∠BEG+∠EGF=∠BHG=50°，即m+n=50°①，∵∠BEG是∠EGF的“6系数补角”，∴∠EGF+6∠BEG=180°，即n+6m=180°②，∴m<30°，联立①②得，m+n=50°n+6m=180°解得m=26°n=24°即∠BEG是26°；如图，当G在AB,CD之间时，过G作GH∥AB，而∴AB∥∴∠BEG=∠HGE，∠HGF=∠DFG，∴∠EGF=∠BEG+∠DFG，∵∠BEG=m，∠EGF=n即n=m+50°①，∵∠BEG是∠EGF的“6系数补角”，∴∠EGF+6∠BEG=180°，即n+6m=180°②，联立①②得，n=m+50°n+6m=180°解得m=130∴∠BEG=130如图，当G在CD的下方时，同理可得：∠DFG=∠BEG+∠EGF，即m+n=50°①，∵∠BEG是∠EGF的“6系数补角”，∴∠EGF+6∠BEG=180°，即n+6m=180°②，联立①②得，m+n=50°n+6m=180°解得：m=26°n=24°综上：∠BEG是26°或13020．（8分）（24-25七年级·北京·期中）若不等式只有n个正整数解（n为自然数），则称这个不等式为n阶不等式．我们规定：当n=0时，这个不等式为0阶不等式．例如：不等式x+1<6只有4个正整数解，因此称其为4阶不等式．不等式2<x+1<6有3个正整数解，因此称其为3阶不等式．请根据定义完成下列问题：(1)x<12是阶不等式；−3<−x+1<1是(2)若关于x的不等式1≤x<a是4阶不等式，a的取值范围为；(3)关于x的不等式n≤x<m的正整数解有a1，a2，a3，a4，…，其中a1<a2<a3<a4<…．如果n≤x<m【答案】(1)0，3(2)4<a≤5(3)m=10，2<n≤3【分析】（1）求出题中的不等式（组）的解集，再根据已知所给定义即可得到解答；（2）首先根据已知求出原不等式组的正整数解，然后可得a的取值范围；（3）根据已知可得关于m的方程，求出m后可以用数轴表示出不等式组的正整数解，根据数轴即可得到n的取值范围．本题考查新定义有理数运算的综合应用，熟练掌握不等式（组）的求解及用数轴表示解集是解题关键．【详解】（1）解：∵当x<12时，则∴x<1∵−3<−x+1<1∴−4<−x<0∴0<x<4．∴有3个正整数解，为1，2，3．∴−3<−x+1<1是3阶不等式组．故答案为：0，3；（2）解：∵关于x的不等式1≤x<a是4阶不等式，∴x有4个正整数解，为：1，2，3，4，∴4<a≤5．故答案为：4<a≤5；（3）解：∵关于x的方程2x−m=0的解是不等式n≤x<m的正整数解a3∴2x=m∴x=m2，∴m为偶数，且am∴m2∴m=10，∴可得图如下所示：∴n的取值范围是2<n≤3．21．（10分）（24-25七年级·安徽淮北·期中）计算：如图1，已知∠A=45°，∠DBC=85°，求∠ECB的度数．归纳：∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，∠A与∠DBC+∠ECB之间的数量关系为__________________，并给予证明．应用：如图2，在△ABC纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE．若∠2=125°，则∠1−∠C=_______________．拓展：如图3，在四边形ABCD中，BP，CP分别平分外角∠EBC，∠FCB，设∠A+∠D=α0°<α<360°①试说明∠P与α的数量关系；②根据α值的情况，请直接判断△BPC的形状（按角分类）．【答案】计算：140°；归纳：∠DBC+∠ECB−∠A=180°，证明见解析；应用：55°；拓展：①∠P=180°−12α；②当0°<α<180°时，△BPC为钝角三角形；当α=180°，△BPC为直角三角形；当180°<α<360°【分析】计算：根据三角形外角的性质和三角形内角和定理求解即可．归纳：由∠ABC+∠ACB=180°−∠A，∠ABC=180°−∠DBC，∠ACB=180°−∠ECB，再进一步求解即可．拓展：①利用角平分线的定义、三角形外角和内角和定理求解即可．②分三种情况：当0°<α<180°时，当α=180°时，当180°<α<360°时，分别判定即可.【详解】解：计算：∵∠DBC=85°，∴∠ABC=180°−∠DBC=180°−85°=95°，∵∠A=45°，∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A=180°−45°=135°，∴∠ACB=135°−95°=40°，∴∠ECB=180°−40°=140°；归纳：∠DBC+∠ECB−∠A=180°；证明：∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A．∵∠ABC+∠DBC=180°，∠ACB+∠ECB=180°，∴∠ABC=180°−∠DBC，∠ACB=180°−∠ECB，∴∠ABC+∠ACB=180°−∠DBC+180°−∠ECB=360°−∠DBC+∠ECB∴180°−∠A=360°−∠DBC+∠ECB∴∠DBC+∠ECB−∠A=180°；应用：∵在△ABC纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE．∴结合归纳可得：∠1+∠2−∠C=180°，∵∠2=125°，∴∠1−∠C=180°−125°=55°；拓展：①如图，∵BP，CP分别平分外角∠EBC，∠FCB，∴∠PBC=12∠CBE∴∠P=180°−=180°−=180°−=180°−=180°−1∴∠P=180°−1②当0°<α<180°时，∵∠P=180°−1∴90°<∠P<180°，∴△BPC为钝角三角形；当α=180°时，∠P=180°−1∴△BPC为直角三角形；当180°<α<360°时，∵∠P=180°−1∴0°<∠P<90°，由题意可得∠1=90°−∠42，∴∠1，∠2都是锐角．∴△BPC为锐角三角形．【点睛】本题考查角平分线的定义，三角形外角性质与内角和定理，三角形分类，四边形的内角和定理，熟练掌握三角形外角性质与内角和定理是解题的关键．22．（10分）（24-25七年级·安徽合肥·期中）小东在学习中遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，CE平分∠ACB，BE平分外角∠ABD．猜想∠E与∠A的数量关系．

(1)小东阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入∠A的值求∠E的值，①如果∠A=50°，则∠E的度数为_____；如果∠A=130°，则∠E的度数为_____．②请猜想∠A与∠E的数量关系，并说明理由．(2)小东继续探究，如图2，在四边形ABCD中，CF平分∠BCD，且与四边形ABCD的外角∠ABE的平分线BF交于点F．若∠A=80°，∠D=130°，则∠F的度数为_____．(3)小东又思考，改变∠BAD，∠D的大小，如图3，在四边形ABCD中，四边形的内角∠BCD的角平分线所在的直线与外角∠ABE的角平分线所在的直线相交于点F，若∠BAD=α，∠D=β，则∠F可表示为_____．（请用含α、β的表达式表示）【答案】(1)①25°，65°②∠A=2∠E，详见解析(2)15°，详见解析(3)90°−1【分析】（1）利用三角形内角和与外角关系求出∠E与∠A的关系，①将∠A=50°和∠A=130°代入即可得解，②利用三角形内角和与外角关系求出∠E与∠A的关系即可得证；（2）根据四边形内角和得出∠ABC+∠BCD=150°，利用三角形外角的性质和角平分线的性质得出∠F=90°−1（3）如图，延长BC到G，延长AB，DC交于点H，由（1）得，∠H=2∠F，由三角形的内角和得出∠H=180°−α+β【详解】（1）解：①∵∠ABD是△ABC的外角，∴∠ABD=∠A+∠ACB，∴∠ABD−∠ACB=∠A，∵BE平分∠ABD，CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠ECB=12∠ACB∴∠E=∠EBD−∠ECB=1当∠A=50°得∠E=12×50°=25°，当∠A=130°故答案为：25°，65°；②∠A=2∠E，理由如下：∵∠ABD是△ABC的外角，∴∠ABD=∠A+∠ACB，∴∠ABD−∠ACB=∠A，∵BE平分∠ABD，CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠ECB=12∠ACB∴∠E=∠EBD−∠ECB=1∴∠A=2∠E；（2）∵∠ABC+∠BCD−∠D−∠A=360°，∠A=80°，∠D=130°，∴∠ABC+∠BCD=360°−80°−130°=150°，∵∠EBF是△BCF的外角，∴∠EBF=∠F+∠BCF，∴∠F=∠EBF−∠BCF，∵BF平分∠ABE，CF平分∠DCB，∴∠DCF=∠FCB=12∠DCB∴∠F=∠EBF−∠BCF====90°−=90°−=15°，∴∠F=15°，故答案为：15°；（3）如图，延长BC到G，延长AB，DC交于点H，

∴∠BCD=∠HCG，∠ABE=∠HBG，∵BF平分∠ABE，CF平分∠DCB，∴BF平分∠HBG，CF平分∠HCG，由（1）得，∠BHC=2∠F，在△HAD中，∠BAD=α，∠D=β，∴∠AHD=180°−∠BAD+∠D∴∠F=1故答案为：90°−1【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、四边形内角和，三角形外角的性质以及角平分线的性质等知识点，熟练掌握四边形的内角和是360°和三角形外角的性质是解决此题的关键．23．（12分）（24-25七年级·北京·期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程x−1=3的解为x=4，而不等式组x−1>1x−2<3的解集为2<x<5，不难发现x=4在2<x<5的范围内，所以方程x−1=3是不等式组x−1>1(1)在方程①6x+2−x+4=23：②9x−3=0；③(2)若关于x的方程3x−k=6是不等式组3x+12>x①(3)若关于x的方程x−4m2=−2是关于x的不等式组2x+3>m①【答案】(1)①(2)−9<k≤−3；(3)1≤m<4【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“相依方程”是解题的关键．（1）分别解三个一元一次方程与不等式组，再根据新定义作判断即可；（2）分别解不等式组与方程，再根据新定义列不等式组−1<k+6（3）先解不等式组可得m−32<x≤3m+1，再根据此时不等式组有5个整数解，令整数的值为：n，n+1，n+2，n+3，n+4，再求解−65<n<