8.4.4 分组分解法与十字相乘法 教案 沪科版七年级数学下册（2024版）

分课时教学设计第四课时《8.4.4分组分解法与十字相乘法》教学设计课型新授课☑复习课☐试卷讲评课☐其他课☐教学内容分析《8.4.4分组分解法与十字相乘法》是沪科版七年级下册第8章《整式乘法与因式分解》的第四节第四课时的内容。本节课内容聚焦因式分解中的两大核心方法——分组分解法与十字相乘法，旨在通过系统讲解与实例演示，帮助学生掌握多项式因式分解的技巧。分组分解法适用于四项及以上多项式，其核心在于通过合理分组提取公因式或应用公式；十字相乘法则针对二次三项式，通过“拆常数项、凑一次项”的思路实现分解。本节课强化了整式乘法与因式分解的互逆关系，为分式约分、解一元二次方程、三角函数恒等变形等后续内容奠定基础。学习者分析学生已具备整式乘法基础，但因式分解的逆向思维对其构成挑战。多数学生能理解提取公因式法与公式法，但对分组分解法的分组策略（如按系数、次数分组）和十字相乘法的符号处理（如常数项为负时的因数异号）存在困惑。此外，部分学生对复杂多项式的因式分解缺乏耐心，需通过分层练习提升解题能力。教学目标1.掌握分组分解法的分组原则及十字相乘法的操作步骤，能独立完成四项式及二次三项式的因式分解。2.通过对比整式乘法与因式分解的互逆关系，培养逆向思维能力。3.通过典型例题分析，学会从特殊到一般的解题策略。4.在分组合作中体会数学探究的乐趣，增强解决复杂问题的信心，形成严谨的数学表达习惯。教学重点分组分解法的分组策略及十字相乘法的符号处理。教学难点复杂多项式的分组选择及符号运算的准确性。学习活动设计教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1：回顾与思考：问题1：什么是提公因式法和公式法？问题2：分解因式的一般步骤是什么？提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.公式法：运用公式(完全平方公式和平方差公式)进行因式分解的方法叫作公式法.分解因式的一般步骤：1.提取公因式：首先检查多项式的各项是否有公因式，如果有，先提取公因式。2.应用公式：如果多项式是平方差或完全平方的形式，可以应用相应的公式进行分解。3.检查是否分解彻底：分解因式后，检查每个因式是否还能继续分解，直到不能再分解为止。学生活动1：认真思考，回顾旧知回顾提公因式法回顾公式法回顾分解因式的一般步骤活动意图说明：复习导入有利于衔接新旧知识，提高学习效率。通过旧知识引入新的知识有利于活跃课堂教学氛围，激发学生学习动机。环节二：探究新知教师活动2：探究一：分组分解法例6把下列各式分解因式：（1）x2-y2+ax+ay;(2)a2+2ab+b2-c2.任务一：自主思考，将下列各式进行因式分解。任务二：合作交流，分享你的解题思路。解：(1)x2-y2+ax+ay=x2-y2+(ax+ay)=(x+y)(x-y)+a(x+y)=(x+y)(x-y+a).(2)a2+2ab+b2-c2=(a2+2ab+b2)-c=(a-b)2-c2=(a-b-c)(a-b

+c归纳分组分解法：分组分解法是把各项适当分组，先使因式分解能分组进行，再在各组之间进行因式分解.四项式的分组方式：二、二分组：既可运用提公因式法，又可将平方差公式和提公因式法混合使用.（如x2-y2+ax+ay）一、三分组：主要运用完全平方公式和平方差公式.(如a2+2ab+b2-c2)探究二：添项法你会把x2+4x+3分解因式吗？任务一：自主思考，通过添项或拆项进行因式分解。任务二：合作交流，分享你的解题思路。添项法：解：x2+4x+3=x2+4x+4-4+3=(x=(x+2+1)(x+2-1)=(x+3)(x+1)添项法：1.凑完全平方公式2.运用平方差公式拆项法：解：x2+4x+3=x2+3x+x+3=(x2+3x)+(x+3)=x(x+3)+(x+3)=(x+3)(x+1)拆项法：1.拆中间项2.因式分解探究三：十字相乘法(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab→x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)思考：你能利用该规律将x2+4x+3分解因式吗？十字相乘法：解：x2+4x+3=x2+(1+3)x+1×3=(x+3)(x+1)二次项系数为1时：注意：1.拆两边2.十字交叉相乘再相加3.是否等于中间项二次项系数不为1时：学生活动2：认真思考，独立完成习题合作交流认真听讲认真听讲认真听讲，了解什么是分组分解法认真听讲，了解常见的分组方式认真思考，独立完成习题合作交流认真听讲认真听讲，了解什么是添项法认真听讲认真听讲，了解什么是拆项法活动意图说明：学生通过合作探究不仅促进了学生的合作意识，还有利于提高学生解决问题的能力，能促进学生的全面发展。环节三：课堂总结教师活动3：学生活动4：学生跟随教师对学习内容进行归纳梳理活动意图说明：对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律。板书设计课堂练习【知识技能类作业】必做题：1.用分组分解法将x2-xy+2y-2x分解因式，下列分组不恰当的是（）A．(x2-2x)+(2y-xy) B．(x2-xy)+(2y-2x) C．(x2+2y)+(-xy-2x) D．(x2-2x)-(xy-2y)2.下列六个多项式中，在实数范围内，能因式分解的有（）个①t2+2t-15

②a2+1

③a2-6a+9

④xA．3 B．4 C．5 D．63.若因式分解得：x2+mx+n=(x+5)(x-3)，则m、A．m=2，n=-15 B．m=8，n=-15C．m=-2，n=15 D．m=2，n=15选做题：4.因式分解：x3+5.在实数范围内因式分解x2-6x+2=6.分解因式a2-2a+1-b2=．【综合拓展类作业】7.因式分解：(1)4a2-b2+4a-2b;(2)x作业设计【知识技能类作业】必做题：1.下列因式分解正确的是（）A．xB．yC．9D．102.若把多项式x2+mx+12分解因式后含有因式x+2，则m的值为（A．6 B．-6 C．-8 D．83.若x2+kx+16能分解成两个一次因式的积，且k为整数，那么k不可能是（A．10 B．17 C．15 D．8【综合拓展类作业】4.因式分解：a教学反思本节课通过“先拆后合”的思路引导学生理解分组分解法，但部分学生在分组时仍依赖盲目尝试，需强