湖南省益阳市沅江市两校2024年中考数学三模试卷（含答案）

第第页湖南省益阳市沅江市两校2024年中考数学三模试卷一、选择题(本大题包括10个小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项)1．−2024的相反数是（）A．2024 B．−2024 C．12024 D．2．下列运算正确的是（）A．2a+3b=5ab B．aC．(−2a2)3．下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中与其他三个几何体的左视图与俯视图不相同的是（）A． B． C． D．4．近年来，湖南走特色路、打特色牌，振兴乡村，发展特色小镇旅游经济，实现乡村居民创收．亮亮调查了家乡小镇10家餐饮企业的年收入情况，并绘制成下表（数据已取整）．根据图表信息，下列描述正确的是（）A．年收入的中位数为4.5 B．年收入的众数为5C．年收入的平均数为4.4 D．年收入的方差为6.4 第4题图 第7题图5．下面是一个被墨水污染过的方程：2x−12=3x+，答案显示此方程的解是A．1 B．−1 C．−12 6．反比例函数y=kx的图象经过点A．k=−5 B．函数图象分布在第二、四象限C．函数图象关于原点中心对称 D．当x<0时，y随x的增大而减小7．如图，将一块含有60°角的直角三角板放置在两条平行线上，若∠1=40°，则∠2为（）A．60° B．40° C．30° D．20°8．小明为了估算玻璃球的体积，做了如下实验：在一个容量为600cm3的杯子中倒入A．25cm3以上，30cm3以下 B．C．30cm3以上，36cm3以下 D．9．如图，在等腰△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=90°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连接OD、AD，则图中阴影部分的面积为（）A．16π−32 B．8π−16 C．4π−8 D．4π−4 第9题图 第10题图10．如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于(−2,0)，(x1,0)，其中0<x1<1．有下列五个结论：①abc>0；②a−b+c>0；③A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题(本大题包括8个小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个正确选项)11．分解因式：m2−16=12．古人常说的“一刹那”大约是0.000005小时，这个数据用科学记数法表示是13．对于代数式x+3x+1，x的取值范围是14．某电视台招募主持人，甲候选人的综合专业素质、普通话、才艺展示成绩如表所示，根据实际需求，该电视台规定综合专业素质、普通话和才艺展示三项测试得分按5：3：2的比例确定最终成绩，则甲候选人的最终成绩为分．测试项目综合专业素质普通话才艺展示测试成绩86909015．学生甲在凉亭A处测得湖心岛C在其南偏西15°的方向上，又从A处向正东方向行驶300米到达凉亭B处，测得湖心岛C在其南偏西60°的方向上，则凉亭B与湖心岛C之间的距离为． 第15题图 第17题图 第18题图16．在过去的2023年，直播电商一词，我们并不陌生．原本以内容为主的视频平台在入局电商后，大力开拓直播带货模式，并实现高速增长．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为元．17．如图，平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的坐标分别为(4，0)，(0，3)，(−2，−2)，AB=5，E，F是x轴上的两个动点，且EF=2，D为线段AB上一动点，则CE+DF的最小值为18．如图，矩形ABCD的对角线AC和BD交于点O，AB=3，BC=4．将△ADC沿着AC折叠，使点D落在点E处，连接OE交BC于点F，AE交BC于点G，则EF=．三、解答题(本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10.分，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)19．计算：（cos2024-π）0+(−20．先化简再求值：a−3a2−2a÷(21．实施新课程改革以来，学生的学习能力有了很大提高，刘老师为进一步了解本班学生自主学习、合作交流的现状，对该班部分学生进行调查，把调查结果分成四类（A：特别好，B：好，C：一般，D：较差）．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请根据统计图解答下列问题：（1）本次调查中，刘老师一共调查了名学生；（2）将条形统计图补充完整；（3）为了共同进步，刘老师先从被调查的A类学生中选一名学生，再从被调查的D类选取一名学生进行“兵教兵”互助学习，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中两名同学恰好一男一女的概率．22．建于清咸丰四年的龙角塔，位于诸葛亮躬耕地南阳卧龙岗内，是武侯祠的一个重要人文景观．小豫和小宛利用所学知识测量龙角塔高度，如图，小豫站在龙角塔(AB)旁的水平地面上D处，小宛在BD之间的水平地面上放置一个平面镜并来回移动，当平面镜移动到点E时，小豫刚好在平面境内看到龙角塔顶端A，此时测得DE=0.9米，小豫眼睛距地面高度CD=1.8米；然后小宛沿BD前进至点G处用测角仪测得龙角塔顶端A处的仰角α=40°，已知测角仪FG高度为1.6米，小宛行走的距离EG=6米，点G、D、E、B在同一水平线上，AB、CD、FG都垂直23．如图，正方形ABCD的边长为4，点G在BC上，且BG=3，DE⊥AG于点E，BF∥DE，交AG于点F．

（1）求证：AE=BF；（2）求EG的长．24．陈老师的家乡出产青李，因雪峰山特殊的地形形成特殊的气候，所以青李的品质很高．家乡人成立了雪峰商会，其中有一专项就是青李的销售．去年青李成熟之际，商会收集了大量的青李，用A，B两种型号的货车，分两批装箱运往C市销售，具体运输情况如表：第一批第二批A型货车的辆数（单位：辆）815B型货车的辆数（单位：辆）410累计运输物资的吨数（单位：吨）4495备注：第一批、第二批每辆货车均满载（1）求A、B两种型号货车每辆满载分别能运多少吨青李？（2）已知A型车满载运往C市一趟的运费为540元，B型车满载运往C市一趟的运费需要740元，商会后续又筹集了40吨青李，现需要10辆货车运送青李．为控制运费不超过6600元，试问有哪几种方案可以一次性将这批青李运往目的地？25．问题提出如图（1），在△ABC和△DEC中，∠ACB=∠DCE=90°，BC=AC，EC=DC，点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F．线段AF，BF，CF之间存在怎样的数量关系？（1）问题探究：①先将问题特殊化如图（2），当点D，F重合时，易证△ACD≌△BCE（SAS），请利用全等探究AF，BF，CF之间的数量关系（直接写出结果，不要求写出理由）；②再探究一般情形如图（1），当点D，F不重合时，证明（1）中的结论仍然成立．（2）问题拓展：如图（3），在△ABC和△DEC中，∠ACB=∠DCE=90°，BC=kAC，EC=kDC（k是常数），点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F．直接写出一个等式，表示AF，BF，CF之间的数量关系．26．抛物线y=ax2−2x+c(a<0)与x轴交于点C和点B（点C在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点A（1）求该抛物线的函数解析式；（2）如图1，直线y=kx+k+1(k<0)交抛物线于D，E两点，P为抛物线顶点，连接PD，PE，若△PDE面积为214，求k（3）如图2，M，N是直线AC上的两个动点，M在N点左边且MN=22，P是直线下方抛物线上的点，∠MPN=90°，tan∠MNP=12

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：−2024的相反数是2024.

故答案为：A.

【分析】根据相反数的定义即可得出答案。2．【答案】C【解析】【解答】解：A.2a与3b不能合并，故A不符合题意；

B．a1•a4=a5，故B不符合题意；

C．（-2a2）3=-8a6，故C符合题意；

D．（a+2）2=a2+4a+4，故D不符合题意.

故答案为：C．

【分析】根据合并同类项的法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方与积的乘方、完全平方公式进行解题即可。3．【答案】B【解析】【解答】解：选项A、C、D左视图为，俯视图为，选项B左视图为，俯视图为.

故答案为：B．

【分析】分别画出四个选项的左视图和俯视图，进行排除选项即可。熟练掌握三视图是解题的关键。4．【答案】C【解析】【解答】解：这组数据排列为3、4、4、4、4、4、5、5、5、6，所以这组数据的众数为4，

中位数为4+42=4，

平均数为110×3+4×5+5×3+6=4.4

方差为110×[（3-4.4）2+（4-4.4）2×5+（5-4.4）25．【答案】D【解析】【解答】解：设被墨水遮盖的常数为a

∵x=-1

∴2×−1−12=3×−16．【答案】D【解析】【解答】解：A、∵反比例函数y＝kx的图象经过点（5，-1），

∴k=5×（-1）=-5，A不符合题意；

B、∵k=-5＜0，

∴此函数图象的两个分支位于二四象限，B不符合题意；

C、∵反比例函数的图象关于原点对称，C不符合题意；

D、∵反比例函数图象的两个分支位于二四象限，

∴当x＜0时，y随着x的增大而增大，D符合题意．

故答案为：D．

7．【答案】D【解析】【解答】解：解：如图：延长FG交CD于点E，

∵∠FGH是△EGH的一个外角，

∴∠FGH=∠2+∠3=60°，

∵AB∥CD，

∴∠1=∠3，

∴∠2+∠1=60°，

∵∠1=40°，

∴∠2=60°-40°=20°，

故答案为：D．

【分析】延长FG交CD于点E，利用猪脚模型进行计算，即可解答。8．【答案】C【解析】【解答】解：根据题意，设一颗玻璃球的体积为xcm则有：5x<600−4206x>600−420解得：30<x<36，∴一颗玻璃球的体积在30cm3以上，故答案为：C

【分析】本题考查一元一次不等式组的应用.设一颗玻璃球的体积为xcm3，根据题意：在一个容量为600cm3的杯子中倒入9．【答案】C【解析】【解答】解：∵在等腰三角形ABC中，AB=AC=8，∠BAC=90°，

∴BC=82+82=82，∠ABC=45°，

∵AB为⊙O的直径，

∴AD⊥BC，

∴△ABD是等腰直角三角形，AD=12BC=42，

∵OA=OB=12AB＝4，

∴OD⊥AB，即∠AOD=90°，10．【答案】B【解析】【解答】解：①由图象得：a<0，b<0，c>0，

∴abc>0，则①正确，

②当x=−1时，y>0，

∴a−b+c>0，则②正确，

③当x=−2时，y=0，

∴4a−2b+c=0，

∴b=2a+12c，

当x=1时，y<0，

∴a+b+c<0，

∴a+2a+12c+c<0，

∴2a+c<0，则③错误，

④∵−1<−b2a<−12，

∴12<b2a<1，

∵a<0，

∴a>b>2a，

∴a−b>0，2a−b<0，

∴(a−b)(2a−b)<0，则④错误，

⑤∵ax+2x−x1+1=0，

令y'为：y=ax2+bx+c=ax+2x−x1向上平移1个单位长度得到，

∴m<−2，n>x1，

∴−1<m+n2<−12，

∴−2<m+n<−1，则⑤正确，

综上所述，正确的结论有①②⑤，共3个，

11．【答案】（m+4）（m-4）【解析】【解答】解：原式=m故答案为：（m+4）（m-4）.【分析】直接利用平方差公式进行分解即可.12．【答案】5×1【解析】【解答】解：0.000005=5×10-6，

故答案为：5×10-6．

【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，n表示小数点移动的位数。小数点向右移动则n为负整数；小数点向左移动则n为正整数，据此即可得出答案。13．【答案】x≥−3且x≠−1【解析】【解答】解：根据题意知，x+3≥0，x+1≠0，解得：x≥−3且x≠−1，故答案为：x≥−3且x≠−1．

【分析】利用二次根式和分式有意义的条件列出不等式组求解即可.14．【答案】88【解析】【解答】解：86×5+90×3+90×25+3+2∴甲候选人的最终成绩为88，故答案为：88．

【分析】利用加权平均数的定义及计算方法（每个数值与它的权数相乘，然后将这些乘积加总，最后除以所有权数的总和）分析求解即可.15．【答案】(150+1503【解析】【解答】解：点A作AD⊥BC于点D，

由题意可得：∠ABD=30°，∠CAB=105°，

∴∠DAB=60°，∠CAD=45°，

∴∠ACD=∠CAD=45°，

∴CD=AD；

在△ABD中，AB=300米，

∴BD＝ABsin60°＝300×32＝1503（米），

AD＝CD＝ABcos60°＝300×12＝150（米），

∴CD=AD=150米，

∵BC=BD+CD，

∴BC＝BD+CD＝(1503+150)米，

故答案为：(150+1503)米．

16．【答案】50【解析】【解答】解：设售价应定为x元，则每件的利润为（x-40）元，

日销售量为20+1060−x5＝(140−2x)件，

依题意，得：（x-40）（140-2x）=（60-40）×20，

整理，得：x2-110x+3000=0，

解得：x1=50，x2=60．

故商家想尽快销售完该款商品，售价应定为50元．

故答案为：50．17．【答案】4【解析】【解答】解：将AB沿x轴向左平移2个单位长度，得到线段A'B'，

过点D作x轴的平行线，交A'B'于点D'，

∵EF=2，DD'=2，且EF∥DD'，

∴四边形EFDD'是平行四边形，

∴DF=D'E，

则当CE+ED'取得最小值时，CE+DF取得最小值．

过点C作A'B'的垂线，垂足为M，

在Rt△A'B'P中，

A'B'=32+42＝5，

∵S△A'B'C＝12B'C•A'P＝12A'B'•CM，

∴CM=B'C•A'PA'B18．【答案】3519．【答案】解：原式=1+9−5−3=220．【答案】解：a−3====1a(a+3)当a=3−3时，原式=1【解析】【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算即可。21．【答案】（1）25（2）补充条形统计图．（3）列表如下，A类学生中的两名男生分别记为A1和A2，女生编号为A3和A4，D类中男生编号为D1和D2，女生为D3男A1男A2女A3女A4男D1男A1男D1男A2男D1女A3男D1女A4男D1男D2男A1男D2男A2男D2女A3男D2女A4男D2女D3男A1女D3男A2女D3女A3女D3女A4女D3（树状图按照相同比例给分）共有12种等可能的结果，其中一男一女的有6种，所以P（一位男生一位女生）=【解析】【解答】解：（1）∵A类的频数和百分数分别为2+2=4、16%，

∴本次调查中，刘老师一共调查了4÷16%=25（名），

故答案为：25.

（2）∵C类的频数为：25×24%=6（名），

∴C类的女生为：6-3=3（名），

∵D类的百分数为：1-16%-48%-24%=12%，

∴D类的频数为：25×12%=3（名），

∴D类的男生为：3-1=2（名），

根据计算结果可将条形图补充完整.

【分析】（1）观察直方图和扇形图可知A类的频数和百分数，根据样本容量=频数÷百分数可求得本次调查中，刘老师调查的学生人数；

（2）根据频数=样本容量×百分数可求得C类的频数，则C类的女生人数可求解；根据各小组的百分数之和等于1可求得D类的百分数，同理可求得D类的男生人数，然后可将条形图补充完整；

（3）由题意列出表格，根据表格中的信息可知：共有12种等可能的结果，其中一男一女的有6种，然后根据概率公式可求解.22．【答案】解：如图，过点F作FH⊥AB于H，，∵AB⊥BG，FG⊥BG，FH⊥AB，∴四边形BGFH是矩形，∴BH=FG=1.6米，设AB=x米，由题意得：∠CED=∠AEB，∠CDE=∠ABE，∴△CDE∽△ABE，∴CDDE=∴BE=0.∴HF=BG=GE+BE=(6+0.∵α=40°，AH=(x−1.∴tan解得：x≈11，∴龙角塔的高约为11米．【解析】【分析】过点F作FH⊥AB于H，则四边形BGFH是矩形，设AB=x米，证明△CDE∽△ABE，由相似三角形的性质即可得出答案。23．【答案】（1）证明证明：∵DE⊥AG，BF∥DE，

∴BF⊥AG，

∴∠AED=∠BFA=90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD且∠BAD=∠ADC=90°，

∴∠BAF+∠EAD=90°，

∵∠EAD+∠ADE=90°，

∴∠BAF=∠ADE，

在△AFB和△DEA中，∠AFB=∴△AFB≌△DEA（AAS），

∴AE=BF；（2）解：在Rt△ABG中，AB=4，BG=3，根据勾股定理得，AG=3∵S∴3×4=5BF，∴BF=12∴AE=BF=12由勾股定理得：AF=A∴EF=AF−AE=16∵BG=3，BF=12根据勾股定理得，FG=B∴EG=EF+FG=4【解析】【分析】（1）先求出出∠AED=∠BFA=90°，再判断出∠BAF=∠ADE，进而利用“角角边”证明△AFB和△DEA全等，根据勾股定理求出AG，再求出BF=AE；

（2）先求出AG；再求出AF、FG的长，再求解即可得答案。24．【答案】（1）设A种型号货车每辆满载能运x吨青李，B种型号货车每辆满载能运y吨青李，依题意，得：8x+4y=44解得：x=3答：A种型号货车每辆满载能运3吨青李，B种型号货车每辆满载能运5吨青李．（2）设需m辆A种型号货车，（10-m）辆B种型号货车可以一次性将这批青李运往目的地，依题意，得：3m+5解得：4≤m≤5，又∵m为正整数，∴m=4或5，∴运输方案有两种：①4辆A种型号货车，6辆B种型号货车；②5辆A种型号货车，5辆B种型号货车【解析】【分析】（1）设A种型号货车每辆满载能运x吨青李，B种型号货车每辆满载能运y吨青李，根据前两批具体运输情况数据表，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）设需m辆A种型号货车，（10-m）辆B种型号货车可以一次性将这批青李运往目的地，由题意列出一元一次不等式组可得出答案。25．【答案】（1）解：问题探究

①BF-AF=2CF．理由如下：如图（2），

∵∠BCA=∠ECF=90°，EC=CF，

∴∠BCE=∠ACF，DE=2CF，

∵BC=AC，EC=CF，

∴△BCE≌△ACF，

∴BE=AF，

∴BF-AF=BF-BE=EF=2CF；

②证明：过点C作CG⊥CF交BE于点G，则∠FCG=∠ACB=90°，

∴∠BCG=∠ACF．

∵∠ACB=∠DCE=90°，

∴∠BCE=∠ACD．

又∵AC=BC，DC=EC，

∴△ACD≌△BCE，

∴∠CAF=∠CBG．

∴△ACF≌△BCG．

∴AF=BG，CF=CG，

∴△CGF是等腰直角三角形．

∴GF=2CF．

∴BF-AF=BF-BG=GF=2CF．（2）（2）BF−k⋅AF=1+∵∠BCA=∠ECD=90°，∴∠BCE=∠ACD，∵BC=kAC，EC=kCD，∴BC∴△BCE∽△ACD，∴∠EBC=∠FAC，过点C作CM⊥CF交BE于点M，则∠FCM=∠ACB=90°，∴∠BCM=∠ACF．∴△BCM∽△ACF，∴BM:∴BM=kAF，MC=kCF，∴MF=M∵BF−BM=MF，∴BF−kAF=1+【解析】【分析】（1）先证明△BCE≌△ACD，得到AF=BE